10—1 马克维茨的资产组合理论
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β i = CoviM
2 σM
25
假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益 率之间存在着一种线性关系 线性关系: 率之间存在着一种线性关系
γit =αi + βiγmt +εit （ t=1,2… n） … ）
( ( 误差项， 其中， 其中， εit ：误差项， E(εi ) = 0, Cov εi , ε j ) = 0, Cov εit , εit' ) = 0 ；
分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并 不能消除性统性风险。
5
2、在现实的证券市场上，大多数情况是各个证 、在现实的证券市场上，
券收益之间存在一定的正相关关系。 券收益之间存在一定的正相关关系。 正相关关系 有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱 有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱 的证券组合， 的证券组合，以保证在一定的预期收益下尽可能 地降低风险。 地降低风险。
E Aσ
σ
B B
− E Bσ −σ A
A
+
EB − EA σ σB −σ A
P
11
图2
E ( RP ) E ( RB )
完全正相关时的组合收益与风险的关系
B
ρ =1
E ( RA )
0 A
σA
σB
σP
12
2、完全不相关情况（ρ=0）
2 2 2 Var ( RP ) = σ p = W A2σ A + WB2σ B + 0
σp =WAσ A+WBσ B
因此，当证券间的相关系数为 的时候 的时候， 因此，当证券间的相关系数为1的时候，组合的风险是组合 中单个证券风险的线性函数。 中单个证券风险的线性函数 显然， 可以看出， 显然，由Ep=WAEA+WBEB 可以看出，组合的预期收益是 组合中单个证券收益的线性函数。 组合中单个证券收益的线性函数。 也可以证明，在证券间的相关系数为 的时候 的时候， 也可以证明，在证券间的相关系数为1的时候，组合收益E(Rp ) 的线性函数。 也是组合风险 σ p 的线性函数。
第10章—1 10章 马克维茨的资产组合理论
一、基本假设 投资者的厌恶风险性和不满足性： 投资者的厌恶风险性和不满足性： 厌恶风险性 1、厌恶风险 、 2、不满足性 、
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
——1981年诺贝尔经济学奖公布后， 记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、 通俗地概括他的研究成果，教 授即回答了这句话。
23
最优投资组合（T）的确定
E ( RP )
I3 T
I2 I1 B
N A O
σP
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、 补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数 模型、对角线模型） 模型、对角线模型） （1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券 ）定义： 按其市值比重组成一个“市场组合” 按其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组 ， 合的非系统性风险将等于零。 合的非系统性风险将等于零。 （2）衡量证券 系统性风险的指标： 系统性风险的指标： ）衡量证券i系统性风险的指标
22
四、最优投资组合的确定
1、投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己 投资效用最大化的最优投资组合。这个组合位于无 差异曲线与有效集的相切点 。（是惟一的） 2、对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证 券市场决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由 自己的风险——收益偏好决定的。
厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因 此其最优投资组合越接近N点。 厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因 此其最优投资组合越接近B点。
• 进而有， σ P = W Aσ A − WBσ B 在由收益率和标准差构 进而有， 成的坐标系中，该函数为两条直线。 成的坐标系中，该函数为两条直线。而且这两条直线 在收益率轴上有一个交点。 在收益率轴上有一个交点。 • 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（恰 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（ 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。 ），组合甚至可以完全回避风险 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。
8
1、资产收益间完全正相关情况 （ρ=1）
例1：假设有两种股票 和B，其相关系数ρ=1，并且 ：假设有两种股票A和 ， ， σA=2%，σB=4%，WA=50%，WB=50%，则组合方 ， ， ， ， 差为： 差为：
2 2 2 2 σ p = WAσ A +WB2σ B + 2WAWB ρABσ Aσ B
该点的 WA =
4 1 ,WB = , E( RP ) = 7%,σ P = 179% 5 5
15
3、完全负相关情况（ρ=-1）
• 当证券间完全负相关的时候，组合的方差为 当证券间完全负相关的时候，
2 2 Var ( RP ) = W A2σ A + WB2σ B − 2W AWBσ Aσ B = (W Aσ A − WBσ B ) 2
β
28
练习题
1、哪种风险可以通过多样化来消除： 1）预想到的风险; 2）系统性风险; 3）市场风险; 4）非系统性风险 2、下面哪种说法是正确的？ 1）系统性风险对投资者不重要； 2）系统性风险可以通过多样化来消除； 3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险； 4）承担风险的回报取决于系统性风险。 3、系统性风险可以用什么来衡量？ 1）贝塔系数; 2）相关系数; 3）收益率的标准差; 4）收益率的方差
10
证明： 证明：
∵σp =WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB －σA ） ∴ WB = σ P − σ A σ B −σ A
σ P −σ A ∴ EP = E A + (EB − E A ) σ B −σ A
=
=
E Aσ B − E Aσ B + σ P ( E B − E A ) − E Bσ A + E Aσ A σ B −σ A
19
Baidu Nhomakorabea
图5
双证券组合收益、 双证券组合收益、风险与相关系数的关系
E( RP )
B
﹣ ρ =﹣ 1 D C
ρ =1
ρ =0
A 0
σ P （ min） σP
20
N项资产的资产组合集合，它是个平面区域
E ( RP )
B 可行集 N A 0
σ P （ min）
可行集与有效组合 可行集与有效组合
σP
21
6、有效集曲线（效率边界）的特点： 有效集曲线（效率边界）的特点： ①是一条向右上方倾斜的曲线，反映了“高 收益、高风险”的原则； ②是一条向上凸的曲线； ③曲线上不可能有凹陷的地方。
16
σp=0 WAσA =WBσB
WA σ A = WB σ B
1 − WB σ B = WB σA
WB =
σA σ A +σB σA σB ，组合完全回避了风险 时（ W A = ） 组合完全回避了风险。 ，组合完全回避了风险。 σ A +σ B σ A +σB
因此， 因此，当投资组合 W B =
B
ρ =0
E ( RA )
A
0
σA
σB
σP
图3
完全不相关时的组合收益与风险的关系
14
思考： 思考： 构成证券组合。 假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。 A的期望收益率 （RA）=5%，标准差 的期望收益率E（ ， σA=20%；B的期望收益率 （RB）=15%，标 ； 的期望收益率E（ ， 准差σB=40%； ； A和B的相关系数为ρAB=0，求A和B在最小方差 组合中的比例 中的比例W 组合中的比例 A和WB ？
2 σM
α i = γ i − β iγ m
26
系数＝ （3）证券组合的 β 系数＝各种证券的 ） 的加权平均数
n
β
系数
βP = ∑xi βi ，其中， xi =证券 i 的市值／组合的总价值 其中， 证券 的市值／
i=1
27
（4）证券和证券组合的 β ）
系数： 系数：
若 β ＝1，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； 若 β ＞1，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； 若 β ＜1，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； 0，说明其没有系统性风险。 若 β ＝0，说明其没有系统性风险。
问题：如何进行证券组合，即 （1）将鸡蛋放在多少个篮子里？ （2）这些篮子有什么特点？
3
二、证券组合与分散风险 •
n
E(Rp ) =
n 2 p
n
∑ E ( R )W
i =1 i
n i =1
i
•
= ∑ Wi 2σ i2 + 2 ∑ Cov ijWiW j σ = ∑∑ CovijWiW j
i =1 j =1
= 0.52 × 0.022 + 0.52 × 0.042 + 2 × 0.5× 0.5×1× 0.02× 0.04 = 0.0009
σ P = 0.03= 3%
9
而且由 σ 得
2 p
= W A2σ
2 A
2 + W B2σ B + 2W AW B σ Aσ B = (W Aσ
A
+ W Bσ B ) 2
17
例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。 ：同前例， － 。上述结论可以用图 来说明。
E ( RP )
E ( RB )
B
ρ =﹣1 ﹣
E ( RA )
A
0 图4
σA
σB
σP
完全负相关时的组合收益与风险的关系
18
结论
1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无 而风险则与之有很大关系； 关，而风险则与之有很大关系； 2．完全正相关时，组合风险无法低于两者之 完全正相关时， 间最小的； 间最小的； 3．完全不相关时，可以降低风险，随着风险 完全不相关时，可以降低风险， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 并在某一点达到风险最小。 并在某一点达到风险最小。 4．完全负相关时，组合风险可大大降低，甚 完全负相关时，组合风险可大大降低， 至可以使风险降为0 至可以使风险降为0。
*
• 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个 证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收 益的协方差或相关系数。
4
1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的 收益率只是单个证券收益率的加权平均数。 分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散 投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券 之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降 低风险的效果就越明显。
，在由收益率和标
准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 由此可以看出，投资组合可以大大降低风险。
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 ：同前例，不同的是， ， 来说明。 来说明。
E ( RP ) E ( RB )
6
3、证券组合的风险随着股票只数的增加而减少 、
σP
非系统性风险
总风险 系统性风险 0 组合中证券的数量(n) 组合中证券的数量
证券的数量和组合的系统性、 证券的数量和组合的系统性、非系统性风险之间的关系
7
三、可行集和有效组合 （一）可行集 有效组合（效率边界） （二）有效组合（效率边界）
定义：对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶 定义：对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶 风险而偏好收益。在既定的风险约束下，追求最 风险而偏好收益。在既定的风险约束下， 大的收益；在既定的目标收益率下， 大的收益；在既定的目标收益率下，尽量的降低 风险。 风险。 能够同时满足这两个条件的投资组合的集合就是 能够同时满足这两个条件的投资组合的集合就是 同时满足这两个条件的投资组合的集合 有效集。 有效集。
29
4、考虑两种完全负相关的风险证券A和B，其 、考虑两种完全负相关的风险证券 和 ， 的期望收益率为10%，标准差 中A的期望收益率为 的期望收益率为 ，标准差0.16；B的期 ； 的期 望收益率8%，标准差为0.12。则A和B在最小 望收益率 ，标准差为 。 和 在最小 标准差资产组合中的权重分别是（ 标准差资产组合中的权重分别是（ ）
αi ：截距项，当γ mt = 0 时，第 i 种证券的平均收益率； 截距项， 种证券的平均收益率； βi ：斜率项，衡量证券 i 系统性风险大小的指标，证券 i 收益率变化对 斜率项， 系统性风险大小的指标，
市场组合收益率变化的敏感度指标.。 市场组合收益率变化的敏感度指标 。
βi = CoviM 由最小二乘估计， 由最小二乘估计，可得
2 σM
25
假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益 率之间存在着一种线性关系 线性关系: 率之间存在着一种线性关系
γit =αi + βiγmt +εit （ t=1,2… n） … ）
( ( 误差项， 其中， 其中， εit ：误差项， E(εi ) = 0, Cov εi , ε j ) = 0, Cov εit , εit' ) = 0 ；
分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并 不能消除性统性风险。
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2、在现实的证券市场上，大多数情况是各个证 、在现实的证券市场上，
券收益之间存在一定的正相关关系。 券收益之间存在一定的正相关关系。 正相关关系 有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱 有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱 的证券组合， 的证券组合，以保证在一定的预期收益下尽可能 地降低风险。 地降低风险。
E Aσ
σ
B B
− E Bσ −σ A
A
+
EB − EA σ σB −σ A
P
11
图2
E ( RP ) E ( RB )
完全正相关时的组合收益与风险的关系
B
ρ =1
E ( RA )
0 A
σA
σB
σP
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2、完全不相关情况（ρ=0）
2 2 2 Var ( RP ) = σ p = W A2σ A + WB2σ B + 0
σp =WAσ A+WBσ B
因此，当证券间的相关系数为 的时候 的时候， 因此，当证券间的相关系数为1的时候，组合的风险是组合 中单个证券风险的线性函数。 中单个证券风险的线性函数 显然， 可以看出， 显然，由Ep=WAEA+WBEB 可以看出，组合的预期收益是 组合中单个证券收益的线性函数。 组合中单个证券收益的线性函数。 也可以证明，在证券间的相关系数为 的时候 的时候， 也可以证明，在证券间的相关系数为1的时候，组合收益E(Rp ) 的线性函数。 也是组合风险 σ p 的线性函数。
第10章—1 10章 马克维茨的资产组合理论
一、基本假设 投资者的厌恶风险性和不满足性： 投资者的厌恶风险性和不满足性： 厌恶风险性 1、厌恶风险 、 2、不满足性 、
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
——1981年诺贝尔经济学奖公布后， 记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、 通俗地概括他的研究成果，教 授即回答了这句话。
23
最优投资组合（T）的确定
E ( RP )
I3 T
I2 I1 B
N A O
σP
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、 补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数 模型、对角线模型） 模型、对角线模型） （1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券 ）定义： 按其市值比重组成一个“市场组合” 按其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组 ， 合的非系统性风险将等于零。 合的非系统性风险将等于零。 （2）衡量证券 系统性风险的指标： 系统性风险的指标： ）衡量证券i系统性风险的指标
22
四、最优投资组合的确定
1、投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己 投资效用最大化的最优投资组合。这个组合位于无 差异曲线与有效集的相切点 。（是惟一的） 2、对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证 券市场决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由 自己的风险——收益偏好决定的。
厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因 此其最优投资组合越接近N点。 厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因 此其最优投资组合越接近B点。
• 进而有， σ P = W Aσ A − WBσ B 在由收益率和标准差构 进而有， 成的坐标系中，该函数为两条直线。 成的坐标系中，该函数为两条直线。而且这两条直线 在收益率轴上有一个交点。 在收益率轴上有一个交点。 • 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（恰 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（ 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。 ），组合甚至可以完全回避风险 好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。
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1、资产收益间完全正相关情况 （ρ=1）
例1：假设有两种股票 和B，其相关系数ρ=1，并且 ：假设有两种股票A和 ， ， σA=2%，σB=4%，WA=50%，WB=50%，则组合方 ， ， ， ， 差为： 差为：
2 2 2 2 σ p = WAσ A +WB2σ B + 2WAWB ρABσ Aσ B
该点的 WA =
4 1 ,WB = , E( RP ) = 7%,σ P = 179% 5 5
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3、完全负相关情况（ρ=-1）
• 当证券间完全负相关的时候，组合的方差为 当证券间完全负相关的时候，
2 2 Var ( RP ) = W A2σ A + WB2σ B − 2W AWBσ Aσ B = (W Aσ A − WBσ B ) 2
β
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练习题
1、哪种风险可以通过多样化来消除： 1）预想到的风险; 2）系统性风险; 3）市场风险; 4）非系统性风险 2、下面哪种说法是正确的？ 1）系统性风险对投资者不重要； 2）系统性风险可以通过多样化来消除； 3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险； 4）承担风险的回报取决于系统性风险。 3、系统性风险可以用什么来衡量？ 1）贝塔系数; 2）相关系数; 3）收益率的标准差; 4）收益率的方差
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证明： 证明：
∵σp =WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB －σA ） ∴ WB = σ P − σ A σ B −σ A
σ P −σ A ∴ EP = E A + (EB − E A ) σ B −σ A
=
=
E Aσ B − E Aσ B + σ P ( E B − E A ) − E Bσ A + E Aσ A σ B −σ A
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Baidu Nhomakorabea
图5
双证券组合收益、 双证券组合收益、风险与相关系数的关系
E( RP )
B
﹣ ρ =﹣ 1 D C
ρ =1
ρ =0
A 0
σ P （ min） σP
20
N项资产的资产组合集合，它是个平面区域
E ( RP )
B 可行集 N A 0
σ P （ min）
可行集与有效组合 可行集与有效组合
σP
21
6、有效集曲线（效率边界）的特点： 有效集曲线（效率边界）的特点： ①是一条向右上方倾斜的曲线，反映了“高 收益、高风险”的原则； ②是一条向上凸的曲线； ③曲线上不可能有凹陷的地方。
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σp=0 WAσA =WBσB
WA σ A = WB σ B
1 − WB σ B = WB σA
WB =
σA σ A +σB σA σB ，组合完全回避了风险 时（ W A = ） 组合完全回避了风险。 ，组合完全回避了风险。 σ A +σ B σ A +σB
因此， 因此，当投资组合 W B =
B
ρ =0
E ( RA )
A
0
σA
σB
σP
图3
完全不相关时的组合收益与风险的关系
14
思考： 思考： 构成证券组合。 假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。 A的期望收益率 （RA）=5%，标准差 的期望收益率E（ ， σA=20%；B的期望收益率 （RB）=15%，标 ； 的期望收益率E（ ， 准差σB=40%； ； A和B的相关系数为ρAB=0，求A和B在最小方差 组合中的比例 中的比例W 组合中的比例 A和WB ？
2 σM
α i = γ i − β iγ m
26
系数＝ （3）证券组合的 β 系数＝各种证券的 ） 的加权平均数
n
β
系数
βP = ∑xi βi ，其中， xi =证券 i 的市值／组合的总价值 其中， 证券 的市值／
i=1
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（4）证券和证券组合的 β ）
系数： 系数：
若 β ＝1，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险； 若 β ＞1，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险； 若 β ＜1，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； ，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； 0，说明其没有系统性风险。 若 β ＝0，说明其没有系统性风险。
问题：如何进行证券组合，即 （1）将鸡蛋放在多少个篮子里？ （2）这些篮子有什么特点？
3
二、证券组合与分散风险 •
n
E(Rp ) =
n 2 p
n
∑ E ( R )W
i =1 i
n i =1
i
•
= ∑ Wi 2σ i2 + 2 ∑ Cov ijWiW j σ = ∑∑ CovijWiW j
i =1 j =1
= 0.52 × 0.022 + 0.52 × 0.042 + 2 × 0.5× 0.5×1× 0.02× 0.04 = 0.0009
σ P = 0.03= 3%
9
而且由 σ 得
2 p
= W A2σ
2 A
2 + W B2σ B + 2W AW B σ Aσ B = (W Aσ
A
+ W Bσ B ) 2
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例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。 ：同前例， － 。上述结论可以用图 来说明。
E ( RP )
E ( RB )
B
ρ =﹣1 ﹣
E ( RA )
A
0 图4
σA
σB
σP
完全负相关时的组合收益与风险的关系
18
结论
1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无 而风险则与之有很大关系； 关，而风险则与之有很大关系； 2．完全正相关时，组合风险无法低于两者之 完全正相关时， 间最小的； 间最小的； 3．完全不相关时，可以降低风险，随着风险 完全不相关时，可以降低风险， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降， 并在某一点达到风险最小。 并在某一点达到风险最小。 4．完全负相关时，组合风险可大大降低，甚 完全负相关时，组合风险可大大降低， 至可以使风险降为0 至可以使风险降为0。
*
• 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个 证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收 益的协方差或相关系数。
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1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的 收益率只是单个证券收益率的加权平均数。 分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散 投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券 之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降 低风险的效果就越明显。
，在由收益率和标
准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。 由此可以看出，投资组合可以大大降低风险。
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例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 ：同前例，不同的是， ， 来说明。 来说明。
E ( RP ) E ( RB )
6
3、证券组合的风险随着股票只数的增加而减少 、
σP
非系统性风险
总风险 系统性风险 0 组合中证券的数量(n) 组合中证券的数量
证券的数量和组合的系统性、 证券的数量和组合的系统性、非系统性风险之间的关系
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三、可行集和有效组合 （一）可行集 有效组合（效率边界） （二）有效组合（效率边界）
定义：对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶 定义：对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶 风险而偏好收益。在既定的风险约束下，追求最 风险而偏好收益。在既定的风险约束下， 大的收益；在既定的目标收益率下， 大的收益；在既定的目标收益率下，尽量的降低 风险。 风险。 能够同时满足这两个条件的投资组合的集合就是 能够同时满足这两个条件的投资组合的集合就是 同时满足这两个条件的投资组合的集合 有效集。 有效集。
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4、考虑两种完全负相关的风险证券A和B，其 、考虑两种完全负相关的风险证券 和 ， 的期望收益率为10%，标准差 中A的期望收益率为 的期望收益率为 ，标准差0.16；B的期 ； 的期 望收益率8%，标准差为0.12。则A和B在最小 望收益率 ，标准差为 。 和 在最小 标准差资产组合中的权重分别是（ 标准差资产组合中的权重分别是（ ）
αi ：截距项，当γ mt = 0 时，第 i 种证券的平均收益率； 截距项， 种证券的平均收益率； βi ：斜率项，衡量证券 i 系统性风险大小的指标，证券 i 收益率变化对 斜率项， 系统性风险大小的指标，
市场组合收益率变化的敏感度指标.。 市场组合收益率变化的敏感度指标 。
βi = CoviM 由最小二乘估计， 由最小二乘估计，可得