变精度粗糙集模型
第六讲 变精度粗糙集模型
P( E6 , X ) 0 ，故 m1 0.5 ， m2 0.25 ，
从而 ( R, X ) 0.5 ，即使得 X 为 精确集的最小的 值为 0.5 ， 或者说，对于任意 0.5 ， X 为 粗糙集。
3 （2）令 X {x1 , x2 , x6 , x9}，则 P( E1 , X ) ， 5 2 3 P( E2 , X ) ， P( E3 , X ) ， P(E4 , X ) P(E5 , X ) P(E6 , X ) 1 ， 3 4
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 0.7} U E3.
从而 bnr ( X ) E1 E2 E4 ， negr ( X ) E3.
0.3 0.3
0.3
0.3
3 基本性质
定理： 设 (U , R) 为近似空间。对于任意的 X , Y U ，
由于 P( E1 , X ) ，P( E2 , X ) 故
3 5
2 1 1 ，P( E3 , X ) 1 ，P( E4 , X ) ，P( E5 , X ) ，P( E6 , X ) 0 ， 3 2 4
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 0.3} E5 E6 {xi ;15 i 20}，
第六讲: Ziarko变精度粗糙集模型
1 错分率与多数包含关系
设 U 为非空有限论域， X , Y U . 令
1 | X Y | , | X | 0 | X | P( X , Y ) | X | 0 0,
其中 | X | 表示集合 X 的基数。称 P( X , Y ) 为集合 X 关于集合 Y 的相对错误分类率。
变精度覆盖粗糙集模型近似算子的性质
非 空 且 ＵＣ＝Ｕ， Ｃ是 的 一 个 覆 盖 ， （ ， 为 则 称 Ｃ）
一
定义 ２ ４ 设 （ ， ） 一个覆盖近似空 间， － ］ Ｃ 为 对 任意 ∈Ｕ 称 Ⅳ（ ， ）＝Ｎ ｝ Ｋ∈ＣＪ ∈Ｋ｝ 为 的
邻 域． 定义 ３ 设 （ Ｃ） 一 个 覆 盖 近 似 空 间 ， Ｕ， 为
仅适 合这 些对象 ． 但在 实 际应 用 中 ， 往往需 要把 小规
模 对 象 集 中得 到 的 结 论 应 用 到 大 规 模 对 象 集 上 去 ．
另外 ， 有些 实际 问题 的分 类也 不一 定要求 完全精 确． 为 了克服 这些 局 限性 ， ｉ ｋ Ｚａ ｏ提 出 了变 精 度 粗 糙 集 ｒ
目前 ， 已经 在 人 工 智 能 、 识 发 现 、 式 识 别 与 分 它 知 模
类 、 障检测 等方 面得到 了普遍 应用 ． 故
粗 糙 集 理 论 将 分 类 与 知 识 联 系 在 一 起 ， 据 已 根
知知识 自身 的不可 分辨关 系 ， 过一对 近似算 子 ， 通 对 某一 给定 的概 念进 行 近 似表 示 ， 是 一 种数 据 驱 动 它 的方法 ， 本质 上不需 要 任 何关 于数 据 和相 应 问题 以 外 的 先 验 知 识 ， 此 特 别 适 合 应 用 于 知 识 发 现 因 （ Ｄ 与 数 据挖 掘 （ Ｍ） 域 ． ａ ｌ Ｋ Ｄ） Ｄ 领 Ｚ Ｐ ｗａ ｋ粗糙 集 模
摘
要 ： 精 度 覆 盖粗 糙给 出 的 ， 而 导 致 近 似 算 子 发 生 了变 化 ． 介 变 因 在
绍 了覆 盖 粗 糙 集 模 型 和 变精 度覆 盖粗 糙 集 模 型 的 概 念 的基 础 上 ， 出 并 证 明 了 变 精 度 覆 盖 粗 糙 集 模 型 的 近 给 似 算 子 的几 个 性 质 ， 即定 理 １ 定 理 ２ 定 理 ３及 其 推 论 ． 、 、
变精度覆盖粗糙集模型的推广
象集 中得 到 的结论应 用 于大规 模对象 集． Ｐ ａ ｗｌ ａ ｋ粗 糙集 模 型 的这 些局 限性 限制 了它 的应 用． 为 了克 服 这 些 局 限性 ， Ｚ ｉ ａ ｒ ｋ ｏ 提 出了变精 度粗糙集 模 型［ ２ ］ ， 即允许 一定 程度 的错误 分类 率 存在 ， 它 可 以解 决 属性 间无 函数关 系 的数 据分类 问题 ． 当时 ， 变精 度粗糙 集就退 化 为 Ｐ ａ ｗｌ ａ ｋ粗 糙集 ． 目前 ， 变精 度粗 糙集 模 型 已经 在 很 多领域 得 到广泛 的应 用［ ３ ］ ．
定义 ５ 设 （ ｕ， Ｃ ） 为一 个覆 盖近 似空 间 ， 称 ｍｄ （ ｘ ） 一（ Ｋ』 Ｋ ∈Ｃ， Ｖ ＳＥ Ｃ Ｅ Ｓ ￣Ｋ＝ ＞ Ｓ ＝Ｋ］ 为 ｚ的极 小
描述 ．
定义 ６ ［ ｎ ］ 设（ ｕ， Ｃ ） 为一个 覆 盖近 似空 间 ， 称 Ｍｄ （ ｘ ） ＝｛ ＫＩ Ｋ∈Ｃ， ＶＳＥｃ ［ Ｓ Ｋ Ｓ＝Ｋ］ 为 ｘ的极 大 描述 ． 定义 ７ 设 （ ｕ， Ｃ ） 为一 个覆 盖近 似空 间 ， 对 于任 意 ｚ∈Ｕ， 定义 下面 六个邻 域算 子
（ ５ ）如果 Ｖ ０ ７ ２ ， Ｙ∈Ｕ， Ｙ ∈ （ ） 蕴含 ” （ ） （ ） ， 则 称 是 传递 的 ；
（ ６ ）如果 Ｖ２， Ｙ ＥＵ， ｙ Ｅ” （ ｚ ） 蕴含 （ ｚ ） ｎ （ ） ， 则称 ７ ｌ 是欧几 里得 的． 定义 ３ 设 ｕ 是一 非空有 限论域 ， 为 ｕ 上 的一 个邻 域算子 ． 对 Ｕ 中的任意子集 ｘ， 定义 ｘ 关 于 的 两 对上 ， 下近 似如 下 。 叩
基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究
㊀第54卷第3期郑州大学学报(理学版)Vol.54No.3㊀2022年5月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)May 2022收稿日期:2021-05-22基金项目:国家自然科学基金项目(62076089,61772176);河南省科技攻关项目(182102210078,212102210136)㊂第一作者:薛占熬(1963 ),男,教授,主要从事人工智能基础理论㊁粗糙集理论和三支决策理论研究,E-mail:xuezhanao@㊂基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究薛占熬1,2,㊀荆萌萌1,2,㊀姚守倩1,2,㊀张艳娜1,2(1.河南师范大学计算机与信息工程学院㊀河南新乡453007;2. 智慧商务与物联网技术 河南省工程实验室㊀河南新乡453007)摘要:针对经典的Pawlak 粗糙集模型容易受到噪声数据影响的问题,在覆盖概念的基础上,对变精度粗糙直觉模糊集进行研究㊂首先,通过设定变精度中的两个约束条件(α,β),将其引入到覆盖粗糙直觉模糊集模型中,从而提出基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型,又考虑到元素邻域㊁规则置信度及元素与最小描述之间的关系,定义了有关该模型的4种类型,并且证明了该模型的相关性质,分析了该模型与现有模型之间的关系以及4种模型之间的关系㊂其次,在所给模型的基础上定义了基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型的近似质量和粗糙性测度㊂最后,通过信用卡申请的实例分析证明了该模型在实际应用中的有效性,并通过改变两个约束条件(α,β)的取值,分析得出较合理的α和β取值范围㊂关键词:粗糙集;直觉模糊集;变精度粗糙集;覆盖粗糙模糊集中图分类号:TP391㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2022)03-0010-12DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.2021202Research on Covering-based Variable Precision RoughIntuitionistic Fuzzy Set ModelsXUE Zhanᶄao1,2,JING Mengmeng1,2,YAO Shouqian1,2,ZHANG Yanna 1,2(1.College of Computer and Information Engineering ,Henan Normal University ,Xinxiang 453007,China ;2.Engineering Lab of Intelligence Business &Internet of Things ,Xinxiang 453007,China )Abstract :The classical Pawlak rough sets were easily affected by noise data.Based on the concept ofcovering,variable precision rough intuitionistic fuzzy sets were studied.Firstly,by setting two constraints in variable precision (α,β),it was introduced into covering rough intuitionistic fuzzy set models,thus,a variable precision rough intuitionistic fuzzy set model based on covering was proposed.At the sametime,the neighborhood of elements,the confidence of rules,and the relationship between elements andminimum description were also considered.Four types of models were defined,the related properties of models were proved,the relationship between the model and existing models and the relationship among the four models were analyzed.Secondly,based on the given model,the approximate quality and rough-ness measurements of the variable precision rough intuitionistic fuzzy set models based on covering were defined.Finally,it was proved by the example of the credit card application,the effectiveness of the pro-posed covering variable precision rough intuitionistic fuzzy set models in the practical application was veri-fied.And by changing the values of two constraints (α,β),a reasonable value range of αand βwas ob-tained.Key words :rough sets;intuitionistic fuzzy sets;variable precision rough sets;covering rough fuzzy sets㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究0㊀引言粗糙集理论[1]是由Pawlak于1982年提出,该理论主要用来处理不确切㊁不准确等问题,已经广泛应用于人工智能等多个领域[2-4],由于经典的粗糙集具有严格的等价关系,并没有考虑到噪声的影响㊂针对传统粗糙集的这种局限性,Ziarko[5]提出了变精度粗糙集,通过设定一个参数值β,将噪声的影响考虑进去,从而使正负域的区间增大,缩小了边界域,给分类提供了更大的容错性㊂因此,许多学者将它推广到一些更普遍的应用领域㊂Jiang等[6]基于模糊邻域,通过模糊逻辑运算提出了两种基于覆盖的变精度模糊粗糙集㊂Huang等[7]引入概率集值信息系统的概念,提出了基于巴特查理亚距离的λ-容差关系的扩展变精度粗糙集模型㊂Yang等[8]提出了一种基于变精度粗糙集最小误分类代价的新模型㊂为了进一步提高粗糙集的鲁棒性和泛化能力公差关系,Kang等[9]以概念格作为理论基础,提出了一种新的计算粒度公差关系的可变精度粗糙集模型㊂为了提高分类系统的容错能力,Chen等[10]定义了颗粒包含㊁变精度邻域逼近集和正区域等概念,并提出了一种变精度邻域粗糙集模型㊂为了更有效地处理不精确性问题,薛占熬等[11]将模糊变精度粗糙集与多粒度相结合,定义了基于L-模糊近似空间的广义L-模糊可变精度粗糙集中的左下(右下)和左上(右上)近似算子㊂模糊集理论[12]是由Zadeh于1965年提出,该理论主要用来描述模糊现象和模糊概念㊂直觉模糊集(intuitionistic fuzzy sets,IFS)理论[13]由Atanassov 于1986年提出,该理论推广了Zadeh模糊集,通过增加一个非隶属度,使之更好地刻画模糊概念,更符合人们的思维过程㊂因此,引起了国内外学者极大的关注,也取得了一些有意义的成就㊂Zhou等[14]提出一个基于关系的直觉模糊粗糙近似算子的一般框架㊂杨倩等[15]利用度量加权的概念把直觉模糊等价关系推广为度量加权直觉模糊优势关系,建立了度量加权直觉模糊序信息系统㊂Liu[16]提出了一些新的直觉模糊集之间和元素之间相似度的度量方法㊂薛占熬等[17]针对直觉模糊环境下的三支决策建模问题,综合考虑了决策者的不同风险偏好所引起的阈值变化,提出一种基于前景理论的直觉模糊三支决策模型㊂张利亭等[18]定义了新的直觉模糊相似关系以及直觉模糊相似关系的截关系,并用直觉模糊相似关系的截关系代替经典决策粗糙集模型中的等价关系,得到一种基于不完备信息系统的直觉模糊三支决策方法㊂基于覆盖的粗糙集是对粗糙集的一种拓展,已经广泛应用于多个领域[19-22],成为众多学者们的研究热点㊂Li等[23]从颗粒的角度给出了两个覆盖之间的尺度关系的定义,并在多尺度覆盖的基础上研究了邻域和近似算子的一些性质,从而构建了基于多尺度覆盖的粗糙集模型㊂Zhang等[24]将多粒度粗糙集与覆盖概念相结合,提出4种多覆盖粗糙集模型㊂胡军等[25]从规则置信度出发,建立了一种覆盖粗糙模糊集模型㊂在大规模覆盖的近似空间中使用集合表示来计算最小和最大描述非常耗时且容易出错,Liu等[26]为了处理这一问题,提出了基于矩阵的覆盖粗糙集最小和最大描述计算方法㊂Dai等[27]提出一种新的用于不确定度评定的覆盖物偏序,即覆盖粗糙集的不确定度测量㊂薛占熬等[28]结合直觉模糊集和覆盖概念,提出覆盖粗糙直觉模糊集(cov-ering rough intuitionistic fuzzy sets,CIFS)模型㊂Wang等[29]提出了一种新的覆盖粗糙集模型不确定性测度 上粗糙熵和下粗糙熵㊂近几年,将覆盖粗糙集和变精度粗糙集相结合的研究引起了许多学者的关注,并取得了一些有意义的成果[30-33]㊂本文在上述研究的基础上,对变精度粗糙集和直觉模糊集的结合进行深入研究㊂通过设定变精度中的两个约束条件(α,β),将其引入到CIFS模型中,提出基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊模型,同时又考虑到元素邻域㊁规则置信度及元素与最小描述之间的关系,定义了有关该模型的4种类型,并证明了该模型的相关性质,分析了该模型与现有模型之间㊁以及4种模型之间的关系㊂其次,在所给模型的基础上重新定义了该模型的近似质量和粗糙性测度㊂最后,通过实例分析证明所提出的模型在实际应用中的有效性㊂并改变两个约束条件(α,β)的取值,分析得出α和β较合理的取值范围㊂1㊀基础知识定义1[34]㊀设U是非空有限论域,C是U的一个子集族㊂如果C中的所有集合都非空,且ɣC= U,则称(U,C)为覆盖近似空间㊂定义2[34]㊀设(U,C)为一个覆盖近似空间,对xɪU,称Md(x)={KɪC xɪKɡ(∀SɪCɡxɪSɡS⊆K⇒K=S)}为x的最小描述㊂定义3[13]㊀设X为非空集合,A={(x,μA(x),νA(x))xɪU}称为X上的一个直觉模糊集合㊂其11郑州大学学报(理学版)第54卷中μA (x ):U ң[0,1]表示的是U 中元素x 属于A 的隶属度,νA (x ):U ң[0,1]表示的是U 中元素x 属于A 的非隶属度,并且满足0ɤμA (x )+νA (x )ɤ1㊂定义4[25]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CF (A ),CF (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CF (A )={(x ,μCF (A )(x ),νCF(A )(x ))};CF (A )={(x ,μCF (A )(x ),νCF (A )(x ))},(1)其中:μCF (A )(x )=sup{μA (y )y ɪɣMd (x )};νCF (A )(x )=inf{νA (y )y ɪɣMd (x )};μCF (A )(x )=inf{μA (y )y ɪɣMd (x )};νCF (A )(x )=sup{νA (y )y ɪɣMd (x )}㊂㊀㊀我们将该模型称为Ⅰ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂定义5[35]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CS (A ),CS (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CS (A )={(x ,μCS (A )(x ),νCS (A )(x ))};CS (A )={(x ,μCS (A )(x ),νCS (A )(x ))},(2)其中:μCS (A )(x )=sup{μA (y )y ɪɘMd (x )};νCS (A )(x )=inf{νA (y )y ɪɘMd (x )};μCS (A )(x )=inf{μA (y )y ɪɘMd (x )};νCS (A )(x )=sup{νA (y )y ɪɘMd (x )}㊂㊀㊀我们将该模型称为Ⅱ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂定义6[36]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CT (A ),CT (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CT (A )={(x ,inf K ɪMd (x ){sup μA (y )},sup K ɪMd (x ){inf νA (y )})y ɪK };CT (A )={(x ,sup K ɪMd (x ){inf μA (y )},inf K ɪMd (x ){sup νA (y )})y ɪK }㊂(3)㊀㊀我们将该模型称为Ⅲ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂定义7[28]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CK (A ),CK (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CK (A )={(x ,μCK (A )(x ),νCK (A )(x ))};CK (A )={(x ,μCK (A )(x ),νCK (A )(x ))},(4)其中:μCK (A )(x )={max(μA (x ),μᶄA (x ))};νCK (A )(x )={min(νA (x ),νᶄA (x ))};μCK (A )(x )={min(μA (x ),μᶄA (x ))};νCK (A )(x )={max(νA (x ),νᶄA (x ))}㊂μᶄA (x )㊁νᶄA (x )分别为对象x 关于A 的模糊覆盖粗糙隶属度㊁非隶属度,μᶄA (x )=ðy ɪ(ɣMd (x ))μA (y )ɣMd (x ),νᶄA (x )=ðy ɪ(ɣMd (x ))νA (y )ɣMd (x )㊂下文类同,不再赘述㊂我们将该模型称为Ⅳ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂在这4个模型中,Ⅰ模型的上㊁下近似隶属度是在包含元素的所有集合中求出最大㊁最小值,上㊁下近似非隶属度是在包含元素的所有集合中求出最小㊁最大值㊂Ⅱ模型的上㊁下近似隶属度是在包含某元素的所有集合中求出交集,然后在所求出的交集中选出最大㊁最小值,上㊁下近似非隶属度是在包含某元素的所有集合中求出交集,再在所求出的交集中选出最小㊁最大值㊂Ⅲ模型的上㊁下近似隶属度与非隶属度都是在每一个元素与最小描述的集合中求出最大㊁最小隶属度与非隶属度,最后在所求出最大㊁最小隶属度与非隶属度的基础上,选出最小㊁最大隶属度与非隶属度㊂可以看出,Ⅱ模型相比Ⅰ模型缩小了集合中元素的个数㊂Ⅲ模型通过加入最小描述,既没有算集合中全部元素,也没有把集合中大部分元素摒弃,使得到的上㊁下近似介于前两者之间,Ⅳ模型不仅加入最小描述,还考虑到元素与论域中其他元素间的关系,得出的结果清晰,符合实际情况㊂2㊀基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型2.1㊀基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集的4种模型定义8㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,IFS (U )为U 上所有直觉模糊集组成的集合,对A ɪIFS (U ),21㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上㊁下近似的隶属度为F1(y),非隶属度为N1(z),则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅰ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CF P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)>α,N1(z)>1-β};CF P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)ȡβ,N1(z)ȡ1-α},(5)其中: F1(y)=ðyɪ(ɣMd(x))μA(y)ɣMd(x);N1(z)=1-ðzɪ(ɣMd(x))νA(z)ɣMd(x)㊂㊀㊀定义9㊀设(U,C)为覆盖近似空间,IFS(U)为U上所有直觉模糊集组成的集合,对AɪIFS(U),∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上㊁下近似的隶属度为F2(y),非隶属度为N2(z),则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅱ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CS P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɘMd(x))ɡzɪ(ɘMd(x)){A(y,z)F2(y)>α,N2(z)>1-β};CS P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɘMd(x))ᶱzɪ(ɘMd(x)){A(y,z)F2(y)ȡβ,N2(z)ȡ1-α},(6)其中: F2(y)=ðyɪ(ɘMd(x))μA(y)ɘMd(x);N2(z)=1-ðzɪ(ɘMd(x))νA(z)ɘMd(x)㊂㊀㊀定义10㊀设(U,C)为覆盖近似空间,IFS(U)为U上所有直觉模糊集组成的集合,对AɪIFS(U),∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上近似的隶属度为F3(y),非隶属度为N3(z);下近似的隶属度为F3(y),非隶属度为N3(z)㊂则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅲ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CT P(α,β)A(x)=ᶱyɪMd(x)ɡzɪMd(x){A(y,z)F3(y)>α,N3(z)>1-β};CT P(α,β)A(x)=ɡyɪMd(x)ᶱzɪMd(x){A(y,z)F3(y)ȡβ,N3(z)ȡ1-α},(7)其中:F3(y)=ðyɪMd(x)supμA(y)Md(x);N3(z)=1-ðzɪMd(x)infνA(z) Md(x);F3(y)=ðyɪMd(x)infμA(y)Md(x);N3(z)=1-ðzɪMd(x)supνA(z)Md(x)㊂㊀㊀定义11㊀设(U,C)为覆盖近似空间,IFS(U)为U上所有直觉模糊集组成的集合,对AɪIFS(U),∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上近似的隶属度为F4(y),非隶属度为N4(z);下近似的隶属度为F4(y),非隶属度为N4(z)㊂则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅳ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β};CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α},(8)其中:F4(y)=ðyɪ(ɣMd(x))μCK(A)(y)ɣMd(x);N4(z)=1-ðzɪ(ɣMd(x))νCK(A)(z)ɣMd(x);F4(y)=ðyɪ(ɣMd(x))μCK(A)(y)ɣMd(x);N4(z)=1-ðzɪ(ɣMd(x))νCK(A)(z)ɣMd(x)㊂㊀㊀覆盖近似空间中A的上㊁下近似的集合是由两个约束条件(α,β)来逼近的,若CF P(α,β)A(x)=CF P(α,β)A(x),CS P(α,β)A(x)=CS P(α,β)A(x),CT P(α,β)A(x)=CT P(α,β)A(x),CK P(α,β)A(x)=CK P(α,β)A(x),则A是可定义的;否则,称A是不可定义的㊂定义12㊀在覆盖近似空间(U,C)中,A关于(U,C)的近似质量定义为γ(α,β)(A)=ðxɪU CK P(α,β)Aμ(x)U㊂(9)㊀㊀近似质量反映的是下近似所有元素的隶属度之和占整个论域元素个数的百分比㊂显然,下近似的隶属度之和越大,得到的百分比越高㊂定义13㊀在覆盖近似空间(U,C)中,A关于(U,C)的粗糙性测度定义为δ(α,β)(A)=1-ðxɪU CK P(α,β)Aμ(x)ðxɪU CK P(α,β)Aμ(x),(10)其中:0ɤδ(α,β)ɤ1㊂31郑州大学学报(理学版)第54卷粗糙性测度反映的是边界域所有元素的隶属度之和占上近似所有元素的隶属度之和的百分比㊂显然,上近似元素中包含的下近似元素个数越多,得到的百分比越低㊂定理1 设(U,C)为一个覆盖近似空间,A,BɪIFS(U),0<α<β<1,则该模型具有以下性质(以Ⅳ模型为例):1)CK(α,β)(U)=CK(α,β)(U)=U,CK(α,β)(φ)=CK(α,β)(φ)=φ;2)若A⊆B,则CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B);3)CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B),CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B);4)CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B),CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B)㊂证明:1)当直觉模糊集A退化为模糊集U时,∀xɪU,μU(x)=1,νU(x)=0,由定义7可知,μᶄU(x)=1,νᶄU(x)=0,且P(ɣMd(x),U)=1;对∀xɪU, CK(α,β)(U)(x)=CK(α,β)(U)(x)=(1,0),则CK(α,β)(U)=CK(α,β)(U)=U;同理,对∀xɪU,μφ(x)=0,νφ(x)=1,由定义7可知,μᶄφ(x)=0,νᶄφ(x)=1,且P(ɣMd(x),φ)=0;对∀xɪU,CK(α,β)(φ)(x)=CK(α,β)(φ)(x)=(0,1),则CK(α,β)(φ)=CK(α,β)(φ)=φ㊂2)因A⊆B,对于∀xɪU,有μA(x)ɤμB(x),νA(x)ȡνB(x),μᶄA(x)ɤμᶄB(x),νᶄA(x)ȡνᶄB(x)㊂则有关A的上㊁下近似隶属度与非隶属度有4种情况,如下所示:①μCK(A)(x)=μA(x),μCK(A)(x)=μᶄA(x),νCK(A)(x)=νA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x);②μCK(A)(x)=μᶄA(x),μCK(A)(x)=μA(x),νCK(A)(x)=νA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x);③μCK(A)(x)=μA(x),μCK(A)(x)=μᶄA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x),νCK(A)(x)=νA(x);④μCK(A)(x)=μᶄA(x),μCK(A)(x)=μA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x),νCK(A)(x)=νA(x)㊂以下仅对①这一情况进行证明㊂(a)若μCK(B)(x)=μB(x),μCK(B)(x)=μᶄB(x),νCK(B)(x)=νB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂㊀㊀(b)若μCK(B)(x)=μᶄB(x),μCK(B)(x)=μB(x),νCK(B)(x)=νB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),因μA(x)ɤμᶄA(x)ɤμᶄB(x),μᶄA(x)ɤμᶄB(x)ɤμB(x)㊂故μA(x)ɤμᶄB(x),μᶄA(x)ɤμB(x)㊂则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂㊀㊀(c)若μCK(B)(x)=μB(x),μCK(B)(x)=μᶄB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),νCK(B)(x)=νB(x),因νA(x)ȡνᶄA(x)ȡνᶄB(x),νᶄA(x)ȡνᶄB(x)ȡνB(x)㊂故νA(x)ȡνᶄB(x),νᶄA(x)ȡνB(x)㊂则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),41㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂㊀㊀(d)若μCK(B)(x)=μᶄB(x),μCK(B)(x)=μB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),νCK(B)(x)=νB(x),则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂类似可以证明其他3种情况,略㊂综上CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂3)将AɘB⊆A,B代入式(2),得CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A),CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(B)㊂即CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B)㊂同理CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B)㊂4)将A,B⊆AɣB代入式(2),得CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A),CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(B)㊂即CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B)㊂同理CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B)㊂2.2㊀基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型的分析对覆盖变精度粗糙直觉模糊集模型与现有模型之间的关系进行分析讨论㊂分为以下几种情形㊂情形1㊀当直觉模糊集A退化为模糊集A~时,即当xɪA~时,μA(x)+νA(x)=1,则此模型中只有隶属度,没有非隶属度,进而当隶属度为1时,即没有模糊集A~的存在,就变成了确切存在的分明集A-,即当xɪA-时,A-(x)=1,x∉A-时,A-(x)=0㊂则此模型退化成覆盖变精度粗糙集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为CK PαA~(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x)){A~(y)F4ᶄ(y)>α},CK PαA~(x)=ɡyɪ(ɣMd(x)){A~(y)F4ᶄ(y)ȡ1-α}㊂进而退化为CK PαA-(x)={xɪUɣMd(x)ɘA-ɣMd(x)>α},CK PαA-(x)={xɪUɣMd(x)ɘA-ɣMd(x)ȡ1-α},其中:F4ᶄ(y)=ðyɪ(ɣMd(x))max(A~(y),A~ᶄ(y))ɣMd(x);F4ᶄ(y)=ðyɪ(ɣMd(x))min(A~(y),A~ᶄ(y))ɣMd(x);A~ᶄ(y)=ðyɪ(ɣMd(x))A~(y)ɣMd(x)㊂㊀㊀情形2㊀设(U,C)为覆盖近似空间,当α=0,β=1时,即没有变精度的出现,则该模型退化为覆盖粗糙直觉模糊集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为CK(A)={x,μCK(A)(x),νCK(A)(x)},CK(A)={x,μCK(A)(x),νCK(A)(x)}㊂51郑州大学学报(理学版)第54卷㊀㊀情形3㊀当没有覆盖存在时,即此模型中的近似空间(U,C)退化为Pawlak近似空间(U,R),那么U的划分U/R={[x]R xɪU}便构成了U的覆盖,ɣMd(x)即为[x]R,此时,该模型退化为变精度粗糙直觉模糊集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为R P(α,β)A(x)=ᶱyɪ[x]Rɡzɪ[x]R {A(y,z)F4ᵡ(y)>α,N4ᵡ(z)>1-β},R P(α,β)A(x)=ɡyɪ[x]Rᶱzɪ[x]R {A(y,z)F4ᵡ(y)ȡβ,N4ᵡ(z)ȡ1-α},其中:F4ᵡ(y)=F4ᵡ(y)=ðyɪ[x]RμA(y) [x]R;N4ᵡ(z)=N4ᵡ(z)=1-ðyɪ[x]RνA(z) [x]R㊂㊀㊀情形4㊀当情形1与情形3同时存在时,即集合A中没有覆盖,并且A也退化成A-时,则该模型退化为变精度粗糙集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为R P αA-(x)=ɣ{[x]R[x]RɘA-[x]R>α},R P αA-(x)=ɣ{[x]R[x]RɘA-[x]Rȡ1-α}㊂㊀㊀情形5㊀当情形1㊁情形2与情形3都存在时,即集合A中没有覆盖,A退化成A-时,且没有约束条件α和β(α=0,β=1),该模型退化经典粗糙集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为RA-(x)={xɪU[x]RɘXʂφ},RA-(x)={xɪU[x]R⊆X}㊂2.3㊀4种覆盖变精度粗糙直觉模糊集模型的关系本节主要说明4个模型之间存在的相互联系,具体关系如下㊂定理2㊀设(U,C)为覆盖近似空间,当所有元素在一个集合中,即只有一个覆盖时,Ⅰ模型和Ⅱ模型相同㊂证明:充分性:假设C有多个覆盖,那么存在x属于U,使Md(x)ʂ1,令A1㊁A2为Md(x)中的两个元素,并且A1ʂA2,则ɣMd(x)ʂɘMd(x),所以P(ɣMd(x),A)ʂP(ɘMd(x),A),即CF P(α,β)A(x)ʂCS P(α,β)A(x),CF P(α,β)A(x)ʂCS P(α,β)A(x)㊂所以,当有多个覆盖时,Ⅰ㊁Ⅱ模型中元素所在的集合势必不一样,则两模型不会相同㊂那么要使两模型相同,则必须只有一个覆盖,这样无论是求元素的交集还是并集,都是这个集合,所以这2个模型没有差别㊂必要性:设x属于U,当覆盖C中只有一个集合时,则Md(x)=1,所以ɣMd(x)=ɘMd(x),则P(ɣMd(x),A)=P(ɘMd(x),A),所以有CF P(α,β)A(x)=CS P(α,β)A(x),CF P(α,β)A(x)=CS P(α,β)A(x)㊂因此,当覆盖C中只有一个集合时,Ⅰ模型和Ⅱ模型相同㊂定理3㊀设(U,C)为覆盖近似空间,对AɪIFS(U),0<α<β<1,有CF P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CF P(α,β)A(x)㊂证明:∀xɪU,令q=inf{μA(y)yɪɣMd(x)},Q=sup{μA(y)yɪɣMd(x)},r=inf{νA(y)yɪɣMd(x)},R=sup{νA(y)yɪɣMd(x)}㊂㊀㊀由A中的隶属度与非隶属度可知,qɤμᶄAɤQ,rɤνᶄAɤR㊂因qɤμAɤQ,rɤνAɤR,所以有以下4种情况,分别为61㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究1)μᶄAɤμA,νᶄAɤνA;2)μᶄAɤμA,νᶄAȡνA;3)μᶄAȡμA,νᶄAɤνA;4)μᶄAȡμA,νᶄAȡνA㊂以下对4种情况分别进行讨论㊂1)当μᶄAɤμA,νᶄAɤνA时,CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β}ɤᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)>α,N1(z)>1-β}=CF P(α,β)A(x),所以CK P(α,β)A(x)⊆CF P(α,β)A(x)㊂2)当μᶄAɤμA,νᶄAȡνA时,CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β}=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)>α,N1(z)>1-β}=CF P(α,β)A(x),所以CK P(α,β)A(x)=CF P(α,β)A(x)㊂3)当μᶄAȡμA,νᶄAɤνA时, CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)ȡβ,N1(z)ȡ1-α}=CF P(α,β)A(x),所以CK P(α,β)A(x)=CF P(α,β)A(x)㊂4)当μᶄAȡμA,νᶄAȡνA时, CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}ȡɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)ȡβ,N1(z)ȡ1-α}=CF P(α,β)A(x),所以CF P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)㊂即CF P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CF P(α,β)A(x)㊂㊀㊀由于Ⅲ模型加入了最小描述,所以,当集合中元素个数不是1个的时候,其最小描述是不相同的,即ɣMd(x)=ɘMd(x)ʂK,所以,无法比较与其他模型之间关系㊂3㊀实例分析本节通过信用卡申请的实例分析证明Ⅰ~Ⅳ模型在实际应用中的有效性,并用控制变量法验证这4个模型的优越性㊂通过改变两个约束条件α㊁β的取值,计算该模型的上㊁下近似,近似质量以及粗糙性测度,得出α和β的较合理取值范围㊂3.1㊀Ⅰ~Ⅳ模型的实例分析假设有6个信用卡申请者共组成一个论域U= {x1,x2, ,x6},这6个申请者分别由4个专家E1㊁E2㊁E3㊁E4对他们的收入水平进行好(high)㊁中等偏上(above average)㊁中等偏下(below average)㊁差(low)4个级别的评价,得到的覆盖为C={high,above average,below average,low}= {k1,k2,k3,k4},k1={x1,x2},k2={x2,x3,x4},k3={x3,x4,x5},k4={x5,x6}㊂high={(x1,0.7,0.2),(x2,0.3,0.6),(x3,0.5,0.4),(x4,0.2,0.7),(x5,0.6,0.3),(x6,0.8,0.1)}, Above average={(x1,0,0.7),(x2,0.2,0.6), (x3,0.5,0.5),(x4,0.7,0.2),(x5,1,0),(x6,0.6,0.3)},Below average={(x1,0,0.6),(x2,0,0.9), (x3,0.6,0.2),(x4,0.3,0.6),(x5,0,0.9),(x6,0,0.7)},low={(x1,0,0.8),(x2,0.1,0.8),(x3,0,0.9),(x4,0,0.6),(x5,0.7,0.1),(x6,0.8,0.1)}㊂㊀㊀解:分别用Ⅰ型㊁Ⅱ型㊁Ⅲ型和Ⅳ型来求出覆盖变精度粗糙直觉模糊集的 high 上近似和下近似㊁近似质量以及粗糙性测度,分3步进行计算㊂1)由最小描述定义知:Md(x1)={{x1,x2}};Md(x2)={{x1,x2},{x2,x3,x4}};Md(x3)=Md(x4)={{x2,x3,x4},{x3,x4,x5}};Md(x5)={{x3,x4,x5},{x5,x6}};Md(x6)={{x5,x6}}㊂㊀㊀2)由定义7,求出A的隶属度与非隶属度:μᶄA(x1)=0.5,μᶄA(x2)=0.43,μᶄA(x3)=μᶄA(x4)= 0.4,μᶄA(x5)=0.53,μᶄA(x6)=0.7㊂νᶄA(x1)=0.4,νᶄA(x2)=0.48,νᶄA(x3)=νᶄA(x4)= 0.5,νᶄA(x5)=0.38,νᶄA(x6)=0.2㊂Aᶄ={(x1,0.5,0.4),(x2,0.43,0.48),(x3,0.4,0.5),(x4,0.4,0.5),(x5,0.53,0.38),(x6,0.7,0.2)}㊂㊀㊀3)设α=0.3,β=0.52㊂①由定义8㊁定义12和定义13得到Ⅰ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:71郑州大学学报(理学版)第54卷CF P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.7,0.2),(x 3,0.6,0.3),(x 4,0.6,0.3),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CF P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0.2,0),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCFP(0.3,0.52)A μ(x )U=0.86=13.3%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCF P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CFP(0.3,0.52)A μ(x )=81%㊂㊀㊀②由定义9㊁定义12和定义13得到Ⅱ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:CS P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0,0),(x 3,0.6,0),(x 4,0.6,0),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CS P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0.2,0.7),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCSP(0.3,0.52)A μ(x )U=0.86=13.3%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCS P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CSP(0.3,0.52)A μ(x )=77.1%㊂㊀㊀③由定义10㊁定义12和定义13得到Ⅲ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:CTP(0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.7,0.2),(x 3,0.6,0.3),(x 4,0.6,0.3),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CT P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.3,0.6),(x 2,0,0.6),(x 3,0.2,0.7),(x 4,0,0),(x 5,0.2,0.7),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCTP(0.3,0.52)A μ(x )U=1.36=21.7%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCT P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CTP(0.3,0.52)A μ(x )=69%㊂㊀㊀④由定义11㊁定义12和定义13得到Ⅳ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:CK P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.7,0.2),(x 3,0.6,0.3),(x 4,0.6,0.3),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CK P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.3,0.6),(x 2,0.2,0.7),(x 3,0.2,0.7),(x 4,0.2,0.7),(x 5,0.2,0.7),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCKP(0.3,0.52)A μ(x )U=1.76=28.3%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.3,0.52)A μ(x )=60%㊂㊀㊀从例子中可以很直观地看出4种模型中元素上㊁下近似隶属度和非隶属度有所不同,并且对元素的近似描述也不相同㊂但是这4个模型的上近似隶属度与非隶属度值没有太大的变化,究其原因,可以从求解过程中得出,通过设定α㊁β这两个约束条件,计算出来的结果是Ⅰ㊁Ⅱ模型的下近似的隶属度和非隶属度几乎没有,是因为这两个模型只是单纯地求元素的并集或交集,再在并集或交集中求出最大或最小值,这样就会导致许多元素被分到边界域㊂Ⅲ模型用元素与最小描述之间的联系去计算,既没有算集合中全部元素,也没有把集合中全部元素摒弃,这样得出的结果介于前两种模型之间㊂但是此模型也是单纯地对最小描述中的元素进行求大和求小,所以,算出来的结果也不是很理想㊂Ⅳ模型不仅考虑到元素与最小描述之间的联系,也把其他元素考虑进去,这样使比较多的元素列入下近似中去,从而算出来的结果较合理,与实际情况接近㊂从结果中也可以看出Ⅰ㊁Ⅱ模型的近似质量是一样的,说明无论是从对象的全邻域还是近邻域去求隶属度和非隶属度,其结果都没有变化㊂虽然Ⅲ模型近似质量有所增加,但对隶属度与非隶属度也只是单纯地求大与求小,并没有准确地反映实际情况㊂而在Ⅳ模型中,近似质量有较明显的增大,说明下近似中的元素逐渐增多,符合实际情况㊂再从这4个模型的粗糙性测度的结果看,前三个模型的值都很高,说明元素被分到下近似的个数很少,而Ⅳ模型所求出的结果相对前三个模型而言,增加了下近似中元素个数,即上近似元素中包含的下近似元素个数变多,符合实际情况㊂3.2㊀模型阈值取值分析由3.1可知,Ⅳ模型与前3个模型相比,符合实81㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究际情况㊂因此本小节在Ⅳ模型中对α㊁β的取值范围进行分析㊂设论域U ={x 1,x 2, ,x 7},U 上的一个覆盖C ={{x 1,x 2},{x 2,x 3,x 4},{x 3,x 4,x 5},{x 6,x 7}},直觉模糊集A ={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.6,0.3),(x 3,0.8,0.1),(x 4,0.9,0),(x 5,0.5,0.4),(x 6,0.4,0.3),(x 7,0.7,0.1)}㊂解:1)由最小描述定义知:Md (x 1)={{x 1,x 2}};Md (x 2)={{x 1,x 2},{x 2,x 3,x 4}};Md (x 3)=Md (x 4)={{x 2,x 3,x 4},{x 3,x 4,x 5}};Md (x 5)={{x 3,x 4,x 5}};Md (x 6)={{x 6,x 7}};Md (x 7)={{x 6,x 7}}㊂㊀㊀2)由定义7,求出A 的隶属度与非隶属度:μᶄA (x 1)=0.65;μᶄA (x 2)=0.75;μᶄA (x 3)=μᶄA (x 4)=0.7;μᶄA (x 5)=0.73;μᶄA (x 6)=μᶄA (x 7)=0.55㊂νᶄA (x 1)=0.25;νᶄA (x 2)=0.15;νᶄA (x 3)=νᶄA (x 4)=0.2;νᶄA (x 5)=0.17;νᶄA (x 6)=νᶄA (x 7)=0.2㊂㊀㊀①当α1=0.1,β1=0.8时:CK P (0.1,0.8)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CKP(0.1,0.8)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0,0),(x 6,0,0),(x 7,0,0)};γ(0.1,0.8)(A )=ðx ɪUCKP(0.1,0.8)A μ(x )U=0;δ(0.1,0.8)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.1,0.8)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.1,0.8)A μ(x )=100%㊂㊀㊀②当α2=0.2,β2=0.7时:CKP(0.2,0.7)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CK P (0.2,0.7)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0,0),(x 6,0,0),(x 7,0,0)};γ(0.2,0.7)(A )=ðx ɪUCKP(0.2,0.7)A μ(x )U=0;δ(0.2,0.7)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.2,0.7)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.2,0.7)A μ(x )=100%㊂③当α3=0.3,β3=0.6时:CK P (0.3,0.6)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CK P (0.3,0.6)A (x )={(x 1,0.6,0.3),(x 2,0.6,0.3),(x 3,0.5,0.4),(x 4,0.5,0.4),(x 5,0.5,0.4),(x 6,0,0.3),(x 7,0,0.3)};γ(0.3,0.6)(A )=ðx ɪUCKP(0.3,0.6)A μ(x )U=2.77=38.6%;δ(0.3,0.6)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.3,0.6)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.3,0.6)A μ(x )=52.6%㊂㊀㊀④当α4=0.4,β4=0.5时:CK P (0.4,0.5)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CK P (0.4,0.5)A (x )={(x 1,0.6,0.3),(x 2,0.6,0.3),(x 3,0.5,0.4),(x 4,0.5,0.4),(x 5,0.5,0.4),(x 6,0.4,0.3),(x 7,0.4,0.3)};γ(0.4,0.5)(A )=ðx ɪUCKP(0.4,0.5)A μ(x )U=3.57=50%;δ(0.4,0.5)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.4,0.5)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.4,0.5)A μ(x )=38.6%㊂㊀㊀从例子中可以看出,当α1=0.1,β1=0.8与α2=0.2,β2=0.7时,求出来的近似质量为0,粗糙性测度为100%,说明下近似中的元素个数为0,显然不符合实际情况,当α3=0.3,β3=0.6与α4=0.4,β4=0.5时,元素被分到下近似中的个数逐渐增多,元素被分到边界域中的个数逐渐减少,从而符合实际情况㊂所以,α取值范围在(0.3,0.4),β取值范围在(0.5,0.6)时,该模型符合实际情况㊂4 结束语在覆盖粗糙集理论和变精度粗糙集理论基础上,通过设定变精度中的两个约束条件(α,β),提91郑州大学学报(理学版)第54卷出基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊模型,同时又考虑到元素邻域㊁规则置信度及元素与最小描述之间的关系,定义了有关该模型的4种类型,证明了此模型的一系列性质,进而研究了此模型与现有模型之间的关系以及4种模型之间的相互关系㊂接着定义了基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型的近似质量和粗糙性测度㊂最后实例分析证明该模型的有效性,并分析得出α和β较合理的取值范围㊂参考文献:[1]㊀PAWLAK Z.Rough sets[J].International journal ofcomputer and information sciences,1982,11(5):341-356.[2]㊀JIA X Y,TANG Z M,LIAO W H,et al.On an optimi-zation representation of decision-theoretic rough set model[J].International journal of approximate reasoning,2014,55(1):156-166.[3]㊀JÄRVINEN J,RADELECZKI S.Rough sets determinedby tolerances[J].International journal of approximatereasoning,2014,55(6):1419-1438.[4]㊀CHEN D G,ZHANG X X,WANG X Z,et al.Uncer-tainty learning of rough set-based prediction under a holis-tic 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3变精度粗糙集方法
3变精度粗糙集方法粗糙集方法是为了解决模糊或不确定性问题而发展的一种理论与方法。
在粗糙集方法中，对象的属性值可以是模糊的或精确的，而决策或分类规则可以通过属性之间的相对约束关系来确定。
本文将介绍三个常用的变精度粗糙集方法，并对其进行详细阐述。
1.粗糙集的数学模型：粗糙集的数学模型是基于信息系统理论和近似推理理论。
它可以将不精确或模糊的数据转化为一个或多个精确的决策或分类规则。
其数学模型定义了粗糙集的三个基本元素：信息系统、下近似集和上近似集。
这三个元素构成了粗糙集的主要特性和运算规则。
2.变精度粗糙集的基本概念：在粗糙集方法中，为了处理不确定性或模糊性问题，可以使用变精度技术来调整精确度。
变精度粗糙集是在标准粗糙集的基础上引入了多个精度级别的概念，从而可以根据不同的应用要求对精确度进行调整。
3.粗糙集方法的三个变精度技术：a.基于粗糙集的属性精度：在传统粗糙集方法中，属性的精确度是预先定义的，而在基于粗糙集的属性精度技术中，属性的精确度是由用户根据实际情况进行调整的。
通过调整属性的精确度，可以提高粗糙集方法的分类或决策效果。
b.基于粗糙集的决策精度：传统粗糙集方法中，决策的精确度是通过属性之间的相对约束关系来确定的。
而在基于粗糙集的决策精度技术中，可以通过调整决策的精确度来改善分类或决策结果。
这种技术常常会涉及到模糊推理或概率推理的方法。
c.基于粗糙集的规则精度：在传统粗糙集方法中，规则的精确度是预先定义的。
而在基于粗糙集的规则精度技术中，可以通过调整规则的精确度来提高分类或决策的准确性。
这种技术通常涉及到规则的修剪或合并。
总结起来，粗糙集方法是一种基于信息系统理论和近似推理理论的模糊或不确定性问题处理方法。
它的数学模型定义了信息系统、下近似集和上近似集等三个基本元素，并通过属性精度、决策精度和规则精度等三个变精度技术来提高分类或决策的准确性。
这些方法在实际应用中具有较好的效果，并逐渐成为数据挖掘和智能决策等领域的重要研究方向。
基于一般关系下的双论域变精度粗糙集模型
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第 ６期
张海东 ： 基于一般关系下 的双论域变精 度粗糙集模型
・１ ９・
则称 Ｃ Ｒ （ ｙ ， （ ，）Ｘ×Ｙ 为 Ｒ （ ｙ 关于 ｘ×Ｙ的迪卡 尔乘 积 相对错 误 分类 率． ） ，） 令 ０ ８＜ ． ， 卡尔 乘积 多数 包含 关 系定 义为 ≤Ｊ ０５ 迪
卢 ＾ ＾
Ｘ Ｘｙ
（ ） Ｃ Ｒ （ Ｙ ， Ｙ ≤ ． ， 甘 （ ， ） Ｘ Ｘ ）
有 了前 面 的相关 定义 ， 面给 出一 般关 系 下 的双论 域变 精度 粗糙集 模 型 的定 义． 下 定 义 ４ 设 ， 有 限非 空论 域 ， 是论 域 ＵＸＶ上 的关 系 ， Ａ（ ， ） 广义 近 似空 间． 于任 是 称 ＵＸＶ Ｒ 为 对 意 ＸＸｙ ＵＸＶ０ ＜ ． ， ｃ ，≤ ０ ５ Ｘ×Ｙ关 于该 近似 空 间的下 、 近似 分别 定义 为 ＿ 上 ａｒ（ ）＝｛ ，） ｐ￣ ＸＸＹ （ Ｙ ∈Ｕ× ： （ ，）ＸＸＹ ≤ ｝ Ｃ Ｒ （ ｙ ， ） ，
Ｙ， ） 都有 （ ， ∈Ｘ×Ｙ 则称 Ｘ×Ｙ 含 Ｒ （ Ｙ ， 作 尺 （ Ｙ ｃ Ｙ） ， 包 ， ） 记 ， ） ＿ｘ×ｙ ．令
ｃ 蠢（ ｙ ， ｙ ：？ （ ）Ｘ× ） ， ｛ｓ ｙ Ｉ Ｒ（ ） ， 【 ＾ １ ． ．
０，尺 （ ｙ Ｉ ０ ｌ ， ） ＝ ．
定义 １ 定 义 Ｕ×Ｖ上 的关 系 Ｒ： （ Ｙ ， ， 对 ，） （ Ｙ ）∈Ｕ×Ｖ （ Ｙ Ｒ（ ， 当且仅 当 尺 ， Ｙ ， ， ， ） Ｙ）
即（ ）∈ （ ， ， Ｒ ，）Ｙ）∈Ｒ ； ， ：称关 系 尺为 ， 诱导 的 Ｕ×Ｖ中的关 系．
系下 的 双 论 域 变 精 度 粗 糙 集 模 型 ， 这是 对 一般 关 系下 的 双 论 域 粗 糙 集 模 型 的 推 广 ；最 后 讨 论 了 与 该 模 型 相 关
基于逆概率的变精度粗糙集模型
不变 的前提下， 通过知识约简， 出问题 的决策或分类规则（ ｆ） 由波兰数 学家Ｐ ｗ ａ ． ９２ 导 见 ２． １它 ａ ｌ ｚ ８ 年 ｋ １
最初提 出的．
。
粗糙集理论 的特点是， 无需提供除问题所需处理的数据集合之外 的任何先验信息， 因而相对于其他
处 理不 确 定性 和不 精 确性 问题 的理论 （ 模 糊集 合 理论 ， 如 两者 的联 系与 区 别， 已经有 学 者进 行 了 比较研
模型 不受先验概率的影响， 而减 小 了决策 失误 的风 险． 从 关键 词： 逆概率； ｙ ｓ Ｂａｅ 因子 ； 粗糙 集模型 中图分类号： ０１１ ４． ４ 文献标识码： Ａ
文 章编号： ６４１３ （ ０）３０１— １７—３１２ ８０—０６０ ０ ３
Ａ ｒ ａｂｌ ｅ ｉ ｉ Ｖａ ｉ ｅ Ｐｒ ｃ ｓ ｏｎ ｏｕｇｈ ｔ Ｍ ｏｄｅ ｓ ｄ Ｒ Ｓｅ ｌ Ｂａ ｅ ｏｎ ｈｅ Ｉ ｔ ｎｖｅ ｓ ｏ ｂｉｉｙ ｒ ｅ Ｐｒ ｂａ ｌｔ
收 稿 日期 ： ０ ７ １— ３ ２０－ ２２
基金项目： 宁夏师范学院科研资助项 目 ＮＯ Ｚ ７０ ． （ ． ００ １） １ 作者简介： 陈志恩（９ ６ ） 男， １ ７ 一 ， 宁夏海原人， 讲师， 硕士， 研究方 向： 粗糙集理论及应用
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第 ２卷 第３ ９ 期 ２ ０ 年 ６月 ０８
宁夏师范学 院学报 （ 自然科 学） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ｉ、ｅｃｅｓ ｉｅｓｙ（ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏ ｒａ ｏ ｎ ｘ Ｔ ａｈｒ ｖｒｉ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ） Ｎ ａ Ｕｎ ｔ ｅ
ａ ｉ ｔ ｏ ｇ ｅ ｏ ｅ ｎ ｏ ｓ ｌｉ ｈ ｙ ｓ ｆ ｃ ｏ ．Ｔｈ ｓｍ ｏ ｅ ｓ ｎ ｔ ｅ ｅ ｔ ｄ ｂ ｒｏ ｒ ｂ ｂ ｌ ｙ ｂ ｌ ｙ ｒ ｕ ｈ ｓ ｔｍ ｄ ｌａ ｄ ｃ ｎ ｕ ｔｎｇ ｔ ｅ Ｂａ ｅ ａ ｔ ｒ ｉ ｉ ｄ ｌｉ ｏ ｆ ｃ ｅ ｙ ｐ ｉ ｒ ｐ ｏ ａ ｉ ｔ ， ｉ ｔ ｅ ｅ ｏ ｅ ｔ ｅ ｒｓ ｆｔ ｅ ｆ ｕ ｔ ｍ ａ ｉ ｇ ｐ ｌ ｙ ｈ ｖ ｎ ｉ ｉ ｉ ｈ ｄ． ｈ ｒ ｆ ｒ ， ｈ ｉｋ ｏ ｈ ａ ｌ ｋ ｎ ｏ ｉ ａ ｉ ｇ ｄ ｍ ｎ ｓ ｅ ｃ ．
变精度粗糙集模型及其一个性质的推广
ｒｕｈ ｅｍ ｄ１ ｓ ｅｔ ｄ ｎ ｉ ｌｉ ｈ ｓ ｆｈ ｃａｇ ｐｒ ｎ ９ ｌ ｅａｐｏｉ ａ ｏ ｏｇ ｔ ｏ ｅ Ｗｅ ｌ ｅ ｓ ｏｔ ｎ ｒ ａ ｏ ｉ ｔ ｅ ｈｎｅ ｆＢ ｐｅ ｄ ｏ ｒ ｐｒｘ ｔ ｎ ｓ ． ａ ｏ ｘ ｎ ｃ ａ ｓｅ ｔ ｎ ｐ ｏ ｅ ｘ ｓ ｏ ｕ ａ ｗ ｍ ｉ
ＶＡＩ ＡＢＬＥ Ｕ ＰＲＥ ＣＩ Ｉ Ｓ ＯＮ ＲＯ ＵＧ Ｈ ＳＥＴ ｏ ＤＥＬ Ｍ ＡＮＤ ＴＳ ＮＡＴＵＲＥ Ｉ ｏＦ Ａ ＰＲｏ Ｍ ｏ ＴＩ ｏＮ
Ｌ ＡＮＧ ｕ — ｉ’ Ｉ Ｊ ｎ ｑ
（ ． ｐ ｒ ｎｍ ｏ Ｍａｈｍａｉ ，ｈ ｎ ｑｕＮ ｒ ｌ ｉｅｓ ｙ， ｈ ｎ ｑｕ Ｈｅ ａ ４ ６ ０ ， ｉａ １ Ｄｅ ａ ｒ ｔ ｅ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ａ ｇ ｉ ｏｍａ Ｕｎｖｒｉ Ｓ ａ ｇ ｉ， ｎ ｎ ７ ０ ０ Ｃｈ ； ｃＳ ｔ ｎ ２ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｔｅ ａｉ ＆ Ｓａｉ ｉｓＷｕ ａ ｉｖ ｒ ｔ， ｈ ｎ Ｈ ｂ ｉ ４ ０ ７ ， ｈｎ） ． ｃ ｏ ｌ Ｍａ ｍ ｔ ｓ ｔｔｔ ， ｈ ｎ ｏ ｈ ｃ ｓｃ Ｕｎ ｅｓ ｙ Ｗｕ ａ ， ｕ ｅ ｉ ３ ０ ２ Ｃ ｉａ
些 变化 。 目前 ，对这 些模 型 的近 似 算子性 质研 究
的较 少 。 我们 在 文献 【 ７ 】中推广 了覆 盖粗 糙集模 型 的
一
个 性质 。本 文在【】 ７的基础 上 ，继 续讨 论变精 度粗
糙集 模型 及其 性质 的推广 。
１变精度粗糙集模型及其性质的推广
ＺＰ ｗａ ．ａ ｌ ｋ粗集模 型 的局 限性 凸显 。为 了推 广粗集 理
论及 其应 用的范 围 ， 根据 具 体 问题 ， 人们 对 ＺＰ ｗｌｋ ．ａ ａ 粗集模 型进 行 了多种形 式 的推广 ，如 基于 一般 二元
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4 集合的精度
集合的精度与错误分类率 有关。一般地，定义
X U 的 精度 ( R, , X ) 为：
( R, , X )
R (X ) R (X )
。
若 1
2 ，则 ( R, 1, X ) ( R, 2 , X ) ，即随着错
故 m1 0.4 ， m2 0 ，从而 ( R, X ) 0.4 ，即使得 X 为 精确集的 最小的 值为 0.4 。
问题：1 属性约简
设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表，其中 A 为条件 属性集合， d 为决策属性。定义：
pos( A, d , ) Y U A (Y ).
（1） 令 X {x4 , x5 , x8 , x14 , x16 , x17 , x18 , x19 , x20 } ，由于 P( E1 , X )
3 ， 5
2 1 1 P( E2 , X ) ， P( E3 , X ) 1 ， P( E4 , X ) ， P( E5 , X ) ， 3 2 4
R ( X ) 分别定义为：
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) } ，
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 1 } 。
等价定义（1）
R ( X ) {x U | P([ x]R , X ) }，
R ( X ) {x U | P([ x]R , X ) 1 } 。
第六讲: Ziarko变精度粗糙集模型
1 错分率与多数包含关系
设 U 为非空有限论域， X , Y U . 令
1 | X Y | , | X | 0 | X | P( X , Y ) | X | 0 0,
其中 | X | 表示集合 X 的基数。称 P( X , Y ) 为集合 X 关于集合 Y 的相对错误分类率。
X U ， X 关于 (U , R) 的 下近似 R ( X ) 、 上近似
R ( X ) 分别定义为：
R ( X ) {Rs ( x); P( Rs ( x), X ) } ，
R ( X ) {Rs ( x ); P( Rs ( x ), X ) 1 } 。
0 0.5 ，下列关系成立：
（1） R (U ) R (U ) U ， R () R () ； （2）若 X Y ，则 R ( X ) R (Y ) ， R ( X ) R (Y ) ； （3） R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ， R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ，
R
{Ei ;1 i 6} ， E1 {xi ;1 i 5} ， E2 {xi ;6 i 8}，
E3 {xi ;9 i 12} ， E4 {xi ;13 i 14} ， E5 {xi ;15 i 18} ， E6 {xi ;19 i 20} 。
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 0.7} U E3.
从而 bnr ( X ) E1 E2 E4 ， negr ( X ) E3.
0.3 0.3
0.3
0.3
3 基本性质
定理： 设 (U , R) 为近似空间。对于任意的 X , Y U ，
R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ， R ( X Y ) R X R Y ；
（4） R ( X ) R ( X ) ； （5） R ( X ) ~ R (~ X ) ， R ( X ) ~ R (~ X ) ； （6） X R ( X ) ； （7）若 ，则 R ( X ) R ( X ) ， R ( X ) R ( X ) 。
m1 1 min{P( E, X ); E U ,0.5 P( E, X )} ， R m2 max{P( E, X ); E U , P( E, X ) 0.5}. R
5例
考虑近似空间 (U , R) ，其中 U {xi ;1 i 20} ，等价关系 R 所确定的划分 为U
P( E6 , X ) 0 ，故 m1 0.5 ， m2 0.25 ，
从而 ( R, X ) 0.5 ，即使得 X 为 精确集的最小的 值为 0.5 ， 或者说，对于任意 0.5 ， X 为 粗糙集。
3 （2）令 X {x1 , x2 , x6 , x9}，则 P( E1 , X ) ， 5 2 3 P( E2 , X ) ， P( E3 , X ) ， P(E4 , X ) P(E5 , X ) P(E6 , X ) 1 ， 3 4
U
R
{Ei ;1 i 6} ， E1 {xi ;1 i 5} ， E2 {xi ;6 i 8} ， E3 {xi ;9 i 12} ，
E4 {xi ;13 i 14} ， E5 {xi ;15 i 18} ， E6 {xi ;19 i 20} 。 取 0.3 ， 考 虑 集 合 X {x4 , x5 , x8 , x14 , x16 , x17 , x18 , x19 , x20率 的增加，集合的精度将增加。
类似于 Pawlak 粗糙集模型，若 ( R, , X ) 1 ，则称 X 为 精确集；若 ( R, , X ) 1 ，则称 X 为 粗糙集。 显然， X 为 精确集等价于 R ( X ) R ( X ) ， 或 bnr ( X ) .
令 rg ( R, X ) { ; bnr } ，即 rg ( R, X ) 是使得 X 为 粗糙的所 有 值的集合。设
( R, X ) sup rg ( R, X ) ，
( R, X ) 可理解为使得 X 为 精确集的最小的 值。
定理：设 (U , R) 为近似空间， X U 。则 ( R, X ) max{m1 , m2} ，其中
d
若 B A 满足 pos( A, d , ) pos( B, d , ) ， 则称
B 是 S 的一个 正域协调集；极小的（关于集合包含关系）
正域协调集称为 S 的 正域约简。
问题2 广义变精度粗糙集模型
定义： 设 (U , R) 为广义近似空间， 0 0.5 。对于任意的
令 0 0.5 ， 包含关系 定义为
Y X P( X , Y ) .
一般地，称 包含关系为多数包含关系。
2 变精度粗糙集
定义： 设 (U , R) 为近似空间， 0 0.5 。对于任意的
X U ， X 关于 (U , R) 的 下近似 R ( X ) 、 上近似
（2）令 0.5 1，
R ( X ) {x U |
[ x]R X [ x]R [ x]R X [ x]R
}，
R ( X ) {x U |
1 } 。
例 ： 考 虑 近 似 空 间 (U , R) ， 其 中 U {xi ;1 i 20} ， 等 价 关 系 R 所 确 定 的 划 分 为
由于 P( E1 , X ) ，P( E2 , X ) 故
3 5
2 1 1 ，P( E3 , X ) 1 ，P( E4 , X ) ，P( E5 , X ) ，P( E6 , X ) 0 ， 3 2 4
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 0.3} E5 E6 {xi ;15 i 20}，