高中数学解题方法谈 结合“树”“表”求概率

结合“树”“表”求概率

概率问题比较抽象、深奥，历来是学习的难点．因此，在解题中结合具体图形可使概率问题变得清晰直观．树形图和图表就是两种很有用的分析工具．现举例说明．

例1开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，设第一次出现红灯的概率是1

2

，出现绿灯的

概率也是1

2

．从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是

1

3

，接着出现绿灯的概

率是2

3

；同样，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是

3

5

，接着出现绿灯的概率是

2

5

．试

问：

（1）第二次出现红灯的概率是多少？

（2）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率是多少？

（3）三次发光，红、绿灯交替发光的概率是多少？

解：用“”表示绿灯发光，“”表示红灯发光．画出如下图所示的树形图．

由图可知：

（1）第二次出现红灯的概率是：

13117

252315

⨯+⨯=；

（2）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率是：

12313212234

25525323575

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；

（3）红、绿灯交替发光的概率是：

1321232

2532355

⨯⨯+⨯⨯=．

点评：本题也可以用分类讨论的方法求解，但画出树形图来计算更加一目了然．图中每一条路径都清楚地表示了三次发光的一种可能情形．一般地，树形图可分为若干阶段（本例中分为三个阶段），每一阶段中的分叉可能是两个也可能不止两个，而且每一分叉的概率未必相同．

例2在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上．有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2.5kg、5kg、10kg和20kg，每次都随机的从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器．（1）随机的从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果．

（2）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：①20kg；②30kg；③不超过10kg；④超过10kg．

（3）如果一个人不能拉动超过22kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？

解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取．我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果．例如，我们用（10，20）来表示：在一次随机的选取中，从第一个箱子中取的质量盘是10kg，从第二个箱子中取的质量盘是20kg．表1列出了所有可能结果．

从表1中可以看出，随机的从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种．由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型．（2）用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是20kg”，用B表示事件“选取的两个质量盘的总质量是30kg”，用C表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10kg”，用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过10kg”．

从表2中可以看出：

1 ()

16

P A=；

21 ()

168

P B==；

41 ()

164

P C==；

123 ()

164

P D==．

点评：结合图表为解决概率问题提供了一个简捷直观的方法．用图解法的关键是要抓住题目的特征，注意不重不漏．