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南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学 2018.01注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 柱体的底面积,h 为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡上的相应位置上．1．已知集合A ＝{x ∣x (x －4)＜0}，B ＝{0，1，5}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．设复数z ＝a ＋i(a ∈R ，i 为虚数单位），若(1＋i)⋅z 为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80) (单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若x ＝0，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．7．设函数y ＝e x ＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知α，β均为锐角，且满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为 ▲ ． 9．若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018，则S 2017的值为 ▲ ．(第4题)/分钟(第3题)0.0050.0100.020a 0.03511．设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )，0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3．若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m12．在平面直角坐标系xOy 中，上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足→OP ＝3→OQ ，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则→AB ⋅→CD 的最大值为 ▲ ．14．若不等式k sin 2B ＋sin A sin C ＞19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点．（1）求证：BN ∥平面A 1MC ；（2）若A 1M ⊥AB 1，求证：AB 1⊥A 1C ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝52b ．（1）若C ＝2B ，求cos B 的值；（2）若→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，求cos(B＋π4)的值．(第13题) A BC A 1 B 1C 1 M N （第15题）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120︒的扇形，且弧⌒EF ，⌒GH 分别与边BC ，AD 相切于点M ，N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的下顶点为B ，点M ．N是椭圆上异于点B 的动点，直线BM ，BN 分别与x 轴交于点P ，Q ，且点Q 是线段OP的中点．当点N 运动到点(3，32)处时，点Q 的坐标为(2 33，0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点M ，N 均在y 轴右侧，且→DN ＝2→NM 时，求直线BM的方程．(第18题)（第17题-甲） F（第17题-乙）设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m⋅a n≥n－r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立，求满足条件的所有数列{a n}中T的最小值．20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋bx－c(a，b，c∈R)．（1）当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，求a，b的值；（2）当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0，3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值；（3）当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点．求证：x1x2－x2＜b＜x1x2－x1．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题2018.01 注意事项：1．附加题供选修物理考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .（选修4-1：）A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若DE ＝4，求切点E 到直线AB 的距离．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2001，求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下所得的曲线方程．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，求r 的值．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足x 2＋3y 2＝1，求当x ＋y 取最大值时x 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，AC ＝4，BD ＝2，OP ＝4．（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值．AB ED O · （第21(A)）23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C rn ＋…＋n C n －1n C nn ．（1）求f (1)，f (2)，f (3)的值；（2）试猜想f (n )的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 2018.01说明：MACDOP（第22题）1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)1．{1} 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(－∞，2] 8．3π4 9．(0，14] 10．4034 11．[1，94) 12．－ 3 13．24 14．100 二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.)15．证明：（1）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1．又因为点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点，所以MB ＝A 1N ，且MB ∥A 1N ，所以四边形A 1NBM 是平行四边形，从而A 1M ∥BN ．……………………………… 4分又BN ⊄平面A 1MC ，A 1M ⊂平面A 1MC ，所以BN ∥平面A 1MC ． ……………………………………………………………………………6分（2）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，而CM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CM ．又CA ＝CB ，且M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ．又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………………………………8分又AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥AB 1．………………………………………………………………10分又AB 1⊥A 1M ，A 1M ，CM ⊂平面A 1MC ，A 1M ∩CM ＝M ，所以AB 1⊥平面A 1MC ，…………………………………………………………………………………12分又A 1C ⊂平面A 1MC ，所以AB 1⊥A 1C ．…………………………………………………………………14分A BC A 1 B 1 C 1 MN（第15题）16．解：（1）因为c ＝52b ，则由正弦定理，得sin C ＝52sin B ．…………………………………………2分又因为C ＝2B ，所以sin2B ＝52sin B ，即2sin B cos B ＝52sin B . ………………………………………4分又B 是△ABC 的内角，所以sin B ＞0，故cos B ＝54． ………………………………………………6分（2）因为→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，所以cb cos A ＝ba cos C ，则由余弦定理，得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c ． …………………………………………………………………10分从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ c 2＋c 2－(2 5c )22c 2＝35．………………………………………………………12分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45．从而cos(B ＋π4)＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35⨯22－45⨯22＝－210． ……………………………………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE ＝OF ＝OM ＝R ，在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60︒，所以OT ＝12R ，则MT ＝OM －OT ＝R 2．从而BE ＝MT ＝12R ，即R ＝2BE ＝2．…………………… 2分故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF＝13πR 2－12R 2sin120︒＝4π3－3．………………………… 4分又所得柱体的高EG ＝4，所以V ＝S ⨯EG ＝16π3－43．答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为(16π3－43)立方分米. …………………………………………………………………………6分（2）设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin120︒＝(4π3－3)x 2.又所得柱体的高EG ＝6－2x ，所以V ＝S ⨯EG ＝(8π3－23)(－x 3＋3x 2) ，其中0＜x ＜3. ……………………………………10分令f (x )＝－x 3＋3x 2，x ∈(0，3)，则由f '(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)＝0，解得x ＝2． ………………………………………………………………………………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. ……………………………………14分18．解：（1）由N (3，32)，Q (2 33，0)，得直线NQ 的方程为y ＝32x －3．……………………2分令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x 2a 2＋y 23＝1 ．…………………………………………………………………… 4分将点N 的坐标(3，32)代入，得(3)2a 2＋(32)23＝1，解得a 2＝4．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………………………………………………………… 8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为k (k ＞0)，则直线BM 的方程为y ＝kx －3．在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k ．所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－(－3)32k－0＝2k ．………………………………………………10分联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝8 3k 3＋4k 2 ．用2k 代k ，得x N ＝16 3k3＋16k 2．……………………………………………………………………12分又→DN ＝2→NM ，所以x N ＝2(x M －x N )，得2x M ＝3x N ．…………………………………………… 14分故2⨯8 3k 3＋4k 2＝3⨯16 3k 3＋16k2，又k ＞0，解得k ＝62．所以直线BM 的方程为y ＝62x －3． …………………………………………………………16分方法二：设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由B (0，－3)，得直线BM 的方程为y ＝ y 1＋3x 1x －3，令y ＝0，得x P ＝3x 1y 1＋3．同理，得x Q ＝3x 2y 2＋3．而点Q 是线段OP 的中点，所以x P ＝2x Q ，故3x 1y 1＋3＝2⨯3x 2y 2＋3． …………………………10分又→DN ＝2→NM ，所以x 2＝2(x 1－x 2)，得x 2＝23x 1＞0，从而1y 1＋3＝43y 2＋3，解得y 2＝43y 1＋33．…………………………………………………………………………………12分将⎩⎨⎧x 2＝23x 1，y 2＝43y 1＋33，代入到椭圆C 的方程中，得x 129＋(4y 1＋3)227＝1．又x 12＝4(1－y 123)，所以4(1－y 123)9＋(4y 1＋3)227＝1，………………………………………………14分即3y 12＋2y 1－3＝0，解得y 1＝－3（舍）或y 1＝33．又x 1＞0，所以点M 的坐标为M (4 23，33)．故直线BM 的方程为y ＝62x －3．……………………………………………………………… 16分 19．解：（1）由题意，可得a n 2＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1. …………………………………………………………4分（2）将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1⨯4＋λ，解得λ＝0，所以a n 2＝a n ＋1a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n－1. ………6分欲存在r ∈[3，7]，使得m ⋅2n －1≥n －r ，即r ≥n －m ⋅2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ⋅2n －1，所以m ≥n －72n －1 对任意n ∈N *都成立. …………………………………………8分令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n 2n ，所以当n ＞8时，b n ＋1＜b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8；当n ＜8时，b n ＋1＞b n ．所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.………………………………………10分（3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2．①若T ＝2，则a n ＋1＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎨⎧a 22＝a 12＋λ(a 2－a 1)2，a 12＝a 22＋λ(a 2－a 1)2，所以λ(a 2－a 1)2＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，这与已知条件矛盾，所以T ＝2不合题意. …………………………………………………………………………………12分②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2，2，n ＝3k －1，－3，n ＝3k ，(k ∈N *)（*），满足a n ＋3＝a n 恒成立．…………………… 14分由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，可得此时λ＝7．则条件式变为a n 2＝a n ＋1a n －1＋7．由22＝1⨯3＋7，知a 3k －12＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2⨯1＋7，知a 3k 2＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)⨯2＋7，知a 3k ＋12＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2；所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. …………………………………………………………………………………16分（注：写一个数列{a n }时，需满足a 1＋a 2＋a 3＝0，且a 1≠a 2．）20．解：（1）由f (x )＝ln x ，得f (1)＝0，又f '(x )＝1x，所以f '(1)＝1．当c ＝0时，g (x )＝ax ＋b x ，所以g '(x )＝a －b x 2 ，所以g '(1)＝a －b ．…………………………… 2分因为函数f (x )与g (x )的图象在x ＝1处有相同的切线，所以⎩⎨⎧f '(1)＝g '(1)，f (1)＝g (1)，即⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12． …………………………………………………4分（2）方法一：当x 0＞1时，则f (x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f (x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－a x－c ＝t (t ＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2， ……………6分即关于x 的方程ax 2－(c ＋t )x ＋(3－a )＝0(t ＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，△＝(c ＋t )2－4a (3－a )＞0，x 1＋x 2＝c ＋t a ＞0，x 1x 2＝3－a a＞0．得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，(c ＋t )2＞4a (3－a )，c ＋t ＞0．所以c ＞2a (3－a )－t 对任意t ∈(0，＋∞)恒成立．…………………………………………… 8分因为0＜a ＜3，所以2a (3－a )≤2⨯a ＋3－a 2＝3(当且仅当a ＝32时取等号)．又－t ＜0，所以2a (3－a )－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3. …………………………………………………………………………………10分方法二：由b ＝3－a ，且0 ＜a ＜3，得g '(x )＝a －3－a x 2＝ax 2－(3－a )x 2＝0，得 x ＝3－a a或x ＝－3－a a(舍)，则函数g (x )在(0，3－a a )上递减；在(3－a a，＋∞)上递增．又对任意x 0＞1，f (x 0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则g (x )的最小值小于或等于0.即g (3－a a)＝2a (3－a )－c ≤0， ……………………………………………………………6分即c ≥2a (3－a )对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a (3－a )≤a ＋(3－a )＝3，所以c ≥3．…………………………………………………… 8分当c ＝3，对任意a ∈(0，3)，x 0∈(1，＋∞)，方程g (x )－f (x 0)＝0化为 ax ＋3－a x－3－f (x 0)＝0，即ax 2－[3＋f (x 0)]x ＋(3－a )＝0（*）关于x 的方程（*）的△＝[3＋f (x 0)]2－4a (3－a )≥[3＋f (x 0)]2－4⎝⎛⎭⎫ a ＋3－a 22 ＝[3＋f (x 0)]2－9,因为x 0＞1，所以f (x 0)＝ln x 0＞0，所以△＞0，所以方程（*）有两个不相等的实数解x 1，x 2，又x 1＋x 2＝f (x 0)＋3a ＞0，x 1x 2＝3－a a＞0，所以x 1，x 2为两个正实数解．所以c 的最小值为3. ……………………………………………………………………………10分（3）当a ＝1时，因为函数f (x )与g (x )的图象交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧ln x 1＝x 1＋b x 1－c ，ln x 2＝x 2＋b x 2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)．……………………………… 12分要证明x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2＜x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)＜x 1x 2－x 1，即证1x 2＜ln x 2－ln x 1x 2－x 1＜1x 1，即证1－x 1x 2＜ln x 2x 1＜x 2x 1－1．…………………………………………… 14分令x 2x 1＝t ，则t ＞1，此时即证1－1t＜ln t ＜t －1．令ϕ(x )＝ln t ＋1t －1，所以ϕ'(t )＝1t －1t 2＝t －1t 2＞0，所以当t ＞1时，函数ϕ(t )单调递增．又ϕ(1)＝0，所以ϕ(t )＝ln t ＋1t －1＞0，即1－1t＜ln t 成立．再令m (t )＝ln t －t －1，所以m '(t )＝1t －1＝1－t t＜0，所以当t ＞1时，函数m (t )单调递减，又m (1)＝0，所以m (t )＝ln t －t －1＜0，即ln t ＜t －1也成立．综上所述，实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1． …………………………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 2018.0121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲解：如图，连接AE ，OE ，过E 作EF ⊥AB ，交AB 于F ．因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ，又因为AD 垂直DE 于D ，所以AD ∥OE ，所以∠DAE ＝∠OEA ①，在⊙O 中OE ＝OA ，所以∠OEA ＝∠OAE ②，…………………………5分由①②得∠DAE ＝∠OAE ，即∠DAE ＝∠F AE ，又∠ADE ＝∠AFE ，AE ＝AE ，所以△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝FE ，又DE ＝4，所以FE ＝4，即E 到直径AB 的距离为4. …………………………………………………………………………10分B ．选修4-2：矩阵与变换解：设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，则x 02＋y 02＝1．设点P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0 ，即⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x ，y 0＝y ，…………………………………………………………………………………5分代入x 02＋y 02＝1，得x 24＋y 2＝1，即为所求的曲线方程. ……………………………………………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，由ρcos(θ＋π3)＝1 ，得ρ(cos θcos π3－sin θsin π3)＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0 ．………………………………………………………… 5分曲线ρ＝r 的直角坐标方程为圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝∣1⨯0－3⨯0－2∣ 12＋(－3)2＝1．因为直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1. ……………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(3y )2][12＋(33)2]≥(x ⨯1＋3y ⨯33)2，即43(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2 ．而x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2≤43，所以－233≤x ＋y ≤23A B E D F O · （第21(A)）3，………………………………………… 5分由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 33，x ＋y ＝233，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝36，所以当且仅当x ＝32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝23 3 ．所以当x ＋y 取最大值时x 的值为x ＝32．…………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．因为OP ⊥底面ABCD ，所以以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (0，1，0)，P (0，0，4)，C (－2，0，0)，M (－1，0，2)，所以→AP ＝(－2，0，4)，→BM ＝(－1，－1，2)，→AP ⋅ →BM ＝10，∣→AP ∣＝25，∣→BM ∣＝6．则cos ＜→AP ，→BM ＞＝→AP ⋅ →BM ∣→AP ∣∣→BM ∣＝102 5⨯ 6＝306．故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306………………5分（2）→AB ＝(－2，1，0)，→BM ＝(－1，－1，2)．设平面ABM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⋅ →AB ＝0，n ⋅ →BM ＝0，得⎩⎨⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝4，z ＝3．所以平面ABM 的一个法向量为n ＝(2，4，3)．又平面P AC 的一个法向量为→OB ＝(0，1，0)，所以n ⋅→OB ＝4，∣n ∣＝29，∣→OB ∣＝1．则cos ＜n ，→OB ＞＝n ⋅ →OB ∣n ∣∣→OB ∣＝4 2929 ．故平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值为4 2929. …………………………………………10分23．解：（1）由条件，n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ①，在①中令n ＝1，得f (1)＝C01⋅C 11＝1．…………………………………………………………………… 1分在①中令n ＝2，得2f (2)＝C 02C12＋ 2 C 12C 22＝6，得f (2)＝3．…………………………………………… 2分在①中令n ＝3，得3f (3)＝C 03C 13＋2 C 13C 23＋3 C 23C 33＝30，得f (3)＝10． ………………………………3分C（第22题）（2）猜想f (n )＝C n 2n －1(或f (n )＝C n －1 2n －1)．………………………………………………………………… 5分欲证猜想成立，只要证等式n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n 成立．方法一：当n ＝1时，等式显然成立．当n ≥2时，因为r C r n ＝r ⨯n !r !(n －r )!＝n !(r －1)!(n －r )!＝n ⨯(n －1)!(r －1)!(n －r )!＝n C r －1n －1，………………………7分故r C r －1n C r n ＝(r C r n ) C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n ．故只需证明n C n 2n －1＝n C 0 n －1C 0n ＋n C 1 n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1n ．即证 C n 2n －1＝C 0 n －1C 0n ＋ C 1 n －1C 1n ＋…＋ C r －1n －1C r －1n ＋…＋ C n －1n －1C n －1n ．而C r －1n ＝C n －r ＋1n ，故即证C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ②．由等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 可得，左边x n 的系数为n2n －1．而右边(1＋x )n －1(1＋x )n ＝(C 0 n －1＋C 1 n －1x ＋C 2 n －1x 2＋…＋C n －1n －1x n －1)( C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )所以x n 的系数为C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ．由(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 恒成立可得②成立.综上，f (n )＝C n 2n －1成立．……………………………………………………………………………… 10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有2n －1个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球．现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球(n －r 个白球）的n 个小球的组合的个数为C r n －1C n －r n ，0≤r ≤n －1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为 C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ．另一方面，从袋中2n －1个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为C n 2n －1．故C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ，余下同方法一. …………………………………………………………………………………………10分方法三：由二项式定理，得(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ③．两边求导，得n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…r C r n x r －1 ＋…＋n C nn x n －1 ④．③×④，得n (1＋x )2n －1＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )( C 1n ＋2C 2n x ＋…r C r n x r －1 ＋…＋n C nn x n －1) ⑤．左边x n 的系数为n C n2n －1．右边x n 的系数为C 1n C n n ＋2 C 2n C n －1n ＋…＋r C r n C n －r ＋1n ＋…＋n C n n C 1n＝C 1n C 0n ＋2C 2n C 1n ＋…＋r C r n C r －1n ＋…＋n C n n C n －1n＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ．由⑤恒成立，可得n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ．故f (n )＝C n 2n －1成立． ……………………………………………………………………………………10分。

2018年高三最新高考模拟测试2018001 精品

高考模拟测试10数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．设全集I=R ，集合}2|{-≥=x x A ，集合},3|{<=x x B 则BA =（）（A ）}32|{<≤-x x （B ）}2|{-≤x x（C ）}3|{<x x （D ）}2|{-<x x2．在等差数列{a n }中，,12031581=++a a a 则1092a a -的值为（A ）24（B ）22（C ）20（D ）－８3．给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3π=x 对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（）（A ）)62sin(π+=x y （B ）)62sin(π+=x y（C ）|sin |x y = （D ）)62sin(π-=x y4．已知函数12)(+=x x f 的反函数为)(1x f -，则)(1<-x f 的解集是（）（A ）（－∞，2）（B ）（1，2）（C ）（2，+∞）（D ）（－∞，1） 5．已知复数,)62(2i z +-=则argz 等于（）（A ）3π（B ）32π（C ）34π（D ）35π6．已知双曲线12222=-b y a x （)0,0>>b a 的右焦点为F ，右准线为l ，过F点作垂直于x 轴的直线m 交双曲线于A 、B 两点，且|AB|等于l 与m 间距离的4倍，则双曲线的离心率为（）（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）37．α、β是锐角三角形的两个内角，,sin sin ,cos cos ),sin(βαβαβα+=+=+=z y x 则x ，y ，z 的大小关系(图1)是（）（A ）x ＜y ＜ z （B ）z ＜y ＜x（C ）x ＜z ＜y （D ）z ＜x ＜y8．设直线l 和平面α、β，且βα⊄⊄l l,，给出下列论断：①α⊥l ②βα⊥③β//l ，从中取两个作为条件，其余的一个作为结论，在构成的诸命题中，正确命题的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）39．（理）把圆θρcos 2=绕极点顺时针旋转6π后所得曲线的方程是（A ）)6cos(2πθρ-=（B ）)6cos(2πθρ+=（C ）)3cos(2πθρ+=（D ）)3cos(2πθρ-=（文）椭圆14)1(3)2(22=-+-y x 的焦点坐标为（）（A ）（1，1）和（3，1）（B ）（2，0）和（2，2）（C ）)1,72(+和)1,72(-（D ）)71,2(+和)71,2(-10．函数d cx bx ax y +++=23的图象如图1所示，则（）（A ）a ＞0，b ＞0，c ＞0（B ）a ＞0，b ＞0，c ＜0 （C ）a ＜0，b ＜0，c ＞0（D ）a ＜0，b ＜0，c ＜11．图2样的是（）（A ）（1）与（2）（B ）（1）与（3）（C ）（2）与（4）（D ）（3）与（4）12．如图3所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某信息通过该段网线所需的时间（单位：毫秒）．信息由结点A 传递到结点B 所需的最短时间为（）（A ）5毫秒（B ）4.9毫秒（1）（2）（3）（4）（C ）4.8毫秒（D ）4.7毫秒二、填空题：本题共4小题，每小题4分13．过抛物线px y 22=（)30<<p 的焦点F ，倾斜角为30°的直线与圆1)3(22=+-y x 相切，则抛物线的准线方程为．14．已知圆锥的侧面展开图是半径为3cm 的半圆，则它的内切球的表面积为 cm 2．15．2018年韩日世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各组的前2名小组出线），这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为．（用数字作答） 16．已知数列{a n }前n 项和为S n ，且),(1R q q S n n ∈-=有下列命题：①对任意实数q ，{a n }都是等比数列②存在实数q ，使{a n }是等差数列；③当1＞q ＞0时，;1lim 1=+∞→nn n S S ④当q ＞1时，有).(212N n S S S n n n ∈<⋅++则其中正确的命题（序号）是．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的外接圆直径．．为1，且角A 、B 、C 成等差数列，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c ，求a 2+c2的取值范围．18．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是A 1A 上的点，E 是B 1C 1中点，且A 1E//平面DBC 1，（Ⅰ）试判断D 点在A 1A 上的位置，并给出证明；（Ⅱ）设1112B A BB 求二面角C 1—BD —B 1的大小．19．（本小题满分12分）设G 、R 分别为不等边三角形ABC 的重心与外心，B(－a ,0)， C(a ,0)(a ＞0)，且GR 平行于x 轴．（Ⅰ）求A 点的轨迹Q 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 过点（0，a ）并与曲线Q 交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．1C20．（本小题满分12分）一只小船以10m/分的速度，由南向北等速驶过湖面，在离湖面20m高处的桥上，一辆汽车由西向东以20m/分的速度等速前进，如图所示，现在小船在水面P 点以南40m处，汽车在桥上Q点以西30m处，求小船与汽车间的最短距离（可以不考虑汽车和小船本身的大小，线段PQ分别垂直于小船和汽车的路线）．21．（本小题满分14分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b n }对任意自然数n ，均有：0log )(log )(log )(5213221221=-+-+⋅-++++a b b a b b a b b n n n n n n 成立，又b 1=1，b 7 =13．（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）在数列{b n }中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，……，第2n －1项，……，组成一个新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和T n ；（Ⅲ）当n ≥3时，比较T n 与S n 的大小．22．（本小题满分12分）设函数c bx x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根为x 1，x 2，且x 2－x 1 ＞2．（Ⅰ）求证：x 1，x 2为方程f [f （x ）]=x 的两个根；（Ⅱ）若四次方程f [f （x ）]=x 的另两个根为x 3，x 4，且x 3＞x 4，试判断x 1，x 2，x 3，x 4的大小．高考模拟测试10 数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（13）x =－1 （14）3π （15）64 （16）②、③、④ 三、解答题17．解：1：由A 、B 、C 成等差数列，得2B=A+C ，又A+B+C=180° ∴B=60°………………………………………………2分设,60,60αα-︒=+︒=C A 由︒<<︒120,0C A 得︒<<︒-6060α……………………………………4分由正弦定理得)12(sin sin 2,sin sin 2=====R C C R c A A R a ……6分 22cos 122cos 1sin sin 2222C A C A c a -+-=+=+∴……………8分)]2120cos()2120[cos(211αα-︒++︒-=α2cos 211+=……………………10分︒<<︒-︒<<︒-12021206060αα12cos 21≤<-∴α ]23,43(22∈+∴c a ………………12分解法2：由正弦定理 23s i n s i n 2===B B R b 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=ac c a +=+∴4322 430,022>+∴>>c a c a 222c a ac +≤∴2432222c a c a ++≤+∴2322≤+∴c a 综上，234322≤+<c a 18．解：（I ）D 是A 1A 中点设F 为BC 1中点，连EF 、FD∵E 为B 1C 1中点，∴EF ∥B 1B 而A 1D ∥B 1B∴A 1D ∥EF ∴A 1、E 、F 、D 四点共面…………………2分FDE A FD DBC EFD A EFD A E A DBC E A ////1111111⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂平面平面平面平面 ……………………4分 11121,BB EF EF D A EFD A ==⇒⇒又是平行四边形中点为A A D AA BB D A 11112121∴==⇒………………………6分（Ⅱ）设G 为A 1B 1中点，连C 1G ，则C 1G ⊥A 1B 1BB AA GC A B A A A G C A A G C B A C B A G C C B A AA 11111111111111111111平面平面平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ ……8分作GH ⊥BD 于H 点，连C 1H ，则C 1H ⊥BD∴∠C 1HG 为二面角C 1—BD —B 1的平面角………………10分不妨设A 1B 1=2，则3,2211==G C B B 32236216,223222224==⋅⋅∴==---=∆GH GH BD S GBD︒=∠∴451HG C ……………………………12分19．解：（I ）设A （x ，y ），则),3,3(yx G 显然0≠xy ………………2分又设外心R （0，m ），由|RA|=|RC|得2222)(m a y m x +=-+解得)0(2222≠-+=y yay x m …………………4分∵GR 平行于x 轴，32222y y a y x =-+∴整理得)0(33222≠=+xy a y x …………………………6分（Ⅱ）假设存在直线l ；满足题设条件，l 的方程为a kx y +=代入,33222a y x =+得02)2()3(222=-++a x ak x k ………………①易验证△＞0，设),(),,(2211a kx x N a kx x M ++则x 1，x 2是方程②的两个实根32,322221221+-=+-=+∴k a x x k ak x x ……②………………8分由题设OM ⊥ON ，即1)()(2211-=+⋅+x a kx x a kx整理得（k 2+1）x 1x 2+ka （x 1+x 2）+a 2=0…………③将②代入③得0)32)(()32)(1(22222=++-++-+a k akka k a k …………………10分解得33±=k故存在直线l ：x y 33±=，使得以MN 为直径的圆经过原点…12分20．解：如右图，设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点则AQ=30―20t ，BP=40―10t ，PQ=20，AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ．设小船所在平面为α，AQ 、QP 确定平面为β．记αβαβα⊥⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=PQ P PB l PB PQ l PQ PQ AQ l AQ AQ AQ ////1 作AC//PQ ，则AC ⊥α，连CB 则AC ⊥CBBP CP AP CP BP AQ ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//………………………………………6分∴AB 2=AC 2+CB 2=PQ 2+PB 2+PC 2（注：直接由异面直线上两点间距离公式得函数关系式不扣分）=218+（40－10t ）2+（30－20t ）2…………………………10分 =100[5（t －2）2+9] ∴t=2时，AB 取最小值30（m ）答：小船与汽车间最短距离为30m ．…………………12分 21．解：（I ）设公比为q （q ≠1），a 3=a 1q 2，a 5=a 1q 4……………2分代入0log )(log )(log )(5213221221=-+-+-++++a b b a b b a b b n n n n n n得)](2)[(2log )]()()[(12121221++++++-+-+-+-+-n n n n n n n n n n b b b b a b b b b b b 0log 2=q 即0log )2(212=-+++q b b b n n n)(2,0log ,1122N n b b b q q n n n ∈=+∴≠∴≠++∴{b n }是等差数列……………………………4分21717=--=b b d 22)]12(1[,12n n n S n b n n =-+=-=∴……………6分（Ⅱ）12122121-=-⋅==--n n n n b cn T n n n -++++=-++-+-+-=)2222()12()12()12()12(3213212212)12(21--=---=+n n n n …………………………………………8分（3）)2(221++-=-+n n S T n n nn=3时，T 3－S 3=2＞0，n=4时，T 4－S 4=10＞0猜测n ≥3 （n ∈N ）时，T n ＞S n …………………………………………10分用数学归纳法证明如下1）n=3时，T 3＞S 3（已证）2）假设n=k （k ≥3）时不等式成立，即2221++>+k k k …………12分 n=k+1时，)2(2222211++>⋅=++k k k k又0]2)1()1[()2(2222>-=++++-++k k k k k k11222,2)1()1()2(22+++>++++>++>∴k k k S T k k k k即n=k+1时，不等式成立。

高三数学-2018年南通市高三第一次调研考试精品

2018年南通市高三第一次调研考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上． 3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k ) =C kn P k (1－P )n －k正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧=cl 21其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球= 43π3R ，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M ={y|y=x -2}，P ={y |y=x －1 }，那么M ∩P=A ．(1，+∞)B ．［1，+∞)C ．(0，+∞)D ．［0，+∞) 2．设3a =4,3b =12,3c =36，那么数列a ，b ，cＡ．是等差数列但不是等比数列 B ．是等比数列但不是等差数列Ｃ．既是等差数列也是等比数列Ｄ．既不是等差数列也不是等比数列 3．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为A ．p+q －2p qB ．p+q －pqC ． p+qD ． pq 4．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6 ，k ∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k ∈Z.5．将棱长为3的正四面体的各棱长三等份，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E 为A ．16B ．17C ．18D ．196．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是A ．12 B ．1 C ．2 D ．927．已知向量=(2,1)， =(1,7)， =(5,1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．48．直线 x 4 + y 3 =1与椭圆 x 216 + y 29 =1相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使△P AB 的面积等于12．这样的点P 共有A ．1个B ．2个C 3个D ．4个9．函数y=f (x )与y=g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任何x ，有f (x )+f (－x )=0，g (x )·g (－x )=1，且当x ≠0时，g (x ) ≠1，则()F x ＝2f (x )g (x )－1＋()f xA ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数10．当x ∈［0,2］时，函数f (x )=ax 2+4(a －1)x －3在x=2时取得最大值，则a 的取值范围是 A ．[－21,+∞) B ．[0，+∞） C ．[1, +∞) D ．[32,+∞)11．已知直线ax+by+1=0中的a ，b 是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些条件的直线的共有A ．8条B ．11条C ．13条D ．16条 12．方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．02018年南通市高三第一次调研考试数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取名． 14．不等式(x －2)x 2－2x －3 ≥0的解集是．15．若（1＋x ＋31x）10＝∑40i=1 a i x 10－i，则a 10＝．16．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；其中正确的命题序号为（请把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）当0＜x ≤π3 时，试求f (x )的值域．18．（本小题满分12分）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B在底面上的射影D落在BC上．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？（Ⅲ）若α = arccos 13，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．C1ABCDA1B1得分评卷人20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)．（Ⅰ）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)；（Ⅱ）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．21．(本题满分12分)已知正方形的外接圆方程为x2+y2－24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD 所在直线的方向向量为(3，1)．（Ⅰ）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；（Ⅱ）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．22．(本题满分14分)已知数列n 满足n a >0，且对一切n ∈N + ，有∑ni=1a 3i =S 2n，其中S n =∑ni=1a i ，（Ⅰ）求证：对一切n ∈N +，有a 2n +1 －a n+1=2S n ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：∑n k=1 ka 2k＜3．2018年南通市高三第一次调研考试数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．C ． 2．A 3．A 4．D 5．C 6． B 7．B 8．B 9．B 10．D 11．D 12．C 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．13．100 14. {x |x =－1或x ≥3}， 15. 2101 16.（2）、（4）三、解答题：本大题共6小题；共74分．17．（Ⅰ）()f x = 3 sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx …………………… 2分=2ωx ＋12 (1+cos2ωx )=sin(2ωx+π6 )+ 12……………………… 4分∵ ω>0，∴T=π=2π2ω ，∴ω=1． ……………………… 6分（Ⅱ）由（1），得()f x =sin(2x+π6 ) + 12,∴0＜x ≤π3 , ∴π6 ＜2x+π6 ≤5π6 ． ………………………… 9分∴()f x ∈[1，32]． ………………………… 12分18． (Ⅰ)①P （A ）= C 15 ·2·A 28A 410 = 19． ……………………… 4分 ②()P B =C 15 ·2·A 28A 410 = 19． ……………………… 8分 (Ⅲ) P （AB ）= C 25 ·2·C 12·2 A 410 = 163 , ()()P A P B =181， ∴()()P A P B ≠()P AB ，故A 与B 是不独立的． ……………………… 8分 19. （Ⅰ）∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC 平面ABC ，∴ B 1D ⊥AC , 又AC ⊥BC ,BC ∩B 1D =D ．∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． ………………………… 3分(Ⅱ) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，要使AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知，只须B 1C ⊥BC 1， ………………………… 5 分 ∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形，此时，BC=BB 1．又∵ B 1D ⊥BC , 要使D 为BC 中点，只须B 1C= B 1B ，即△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°． ………………………… 7分∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且使D 为BC 中点． ……………………… 8分（Ⅲ）过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ．过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ．∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角． …………………… 10分设AC=BC=AA 1=a ，在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos3，C 1E=322a ．在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°．……………… 12分解法二：（1）同解法一 ……………… 3分（Ⅱ）要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →|， ∴11()0AC CB BC +=， ||||11B BC ⋅=0，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， …………………… 7分 ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点． …………………8分（Ⅲ）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，－34a ，322a ），平面ABC 的法向量n 1=（0，0，1），设平面ABC 1的法向量n 2=（x ，y ，z ）．由⋅n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43y ＋2 2 3 z =0 . ∴n 2=（22，22，1）． ……………………10分 cos<n 1, n 2>＝112 +12+1 = 2 2 ，故n 1 , n 2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．………………………12分20. （Ⅰ）∵ f (x )=(x －a )(x －b)(x －c )＝ｘ3－（a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x －abc ……………3 分f ′(x )=3 x 2－2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2－ (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2－ (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2－ (b+c )x ＋bc ]=(x －a )(x －b )＋(x －a )(x －c ) ＋(x －b )(x －c )．……………………………6分（Ⅱ）∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2－2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立．∴△≤0, 4(a+b+c )2－12(ab+bc+ca ) ≤0，∴ (a －b )2＋(a －c ）2＋ (b －c )2≤0，∴ a=b=c ．∴ f (x )=(x －a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称． ………………………9分证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x －a )3图像上的任意一点，y=(x －a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a －x ，－y )，∵(2a －x －a )3=(2a －x )3= －(x －2a )3=－y ，∴点P ′在函数f (x )=(x －a )3的图像上，即函数f (x )=(x －a )3关于点(a ，0)对称．…………………………………………………………12分21．(Ⅰ) 由（x －12）2+y 2=144－a (a <144),可知圆心M 的坐标为(12，0)， …………………………2分依题意，∠ABM=∠BAM=π4 ，k AB = 13 , MA 、MB 的斜率k 满足| k －13 1＋13k |=1, 解得AC k =2，BD k =－ 12． …………………………………4分 ∴所求BD 方程为x+2y －12=0，AC 方程为2x －y －24=0． ……………6分(Ⅱ) 设MB 、MA 的倾斜角分别为θ1，θ2，则tan θ1＝2，tan θ2＝－12，设圆半径为r ，则A （12＋,55r r ），B （12－5r，5）， ……9分再设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于A ，B 两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧（5r ）2=2p (12－5r )（5r ）2=2p （12＋5） ∴ r=4 5 ，p=2．得抛物线方程为y 2＝4x 。

2018年江苏省高考数学一轮训练试题考点3：三角函数,解三角形与平面向量

2018-2019学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷数学 Ⅰ试题 2018.17、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 ▲ 答案：42511、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ 12、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 ▲16、（本题满分14分）已知向量)sin ,(sin B A =，)cos ,(cos A B =，C n m 2sin =⋅，其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅，求AB 的长. 解：(Ⅰ))sin(cos sin cos sin B A A B B A +=⋅+⋅=⋅ ………………………(2分)对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ，.sin C =⋅∴………………………(4分)又C n m 2sin =⋅ ，.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C ………………………(7分) (Ⅱ)由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得.2b a c +=………………………(9分)18,18)(=⋅∴=-⋅ ，即.36,18cos ==ab C ab……………………(12分)由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c …………………(14分)江苏省2018高考数学模拟题(压题卷)3．已知点O 为△ABC 的外心，且4AC = ，2AB =，则AO BC ⋅ 的值等于 6 ．4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则c 的最大值是2． 6. 已知2πn x ≠，函数xx 22cos 4sin 1+的最小值是 8 . 二、1．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，cos m n B C ⋅=- ． (1)求角A 的大小；(2)若a =3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos cos sin sin m n A B A B ⋅=+，又cos()m n B A B ⋅=++cos cos sin sin B A B A B =+-，s i n 2s i ns i n B B A =， sin 2A =， 3A π∴=或23A π=． (2)2222cos a b c bc A =+-， ①当3A π=时，229b c bc bc +-=≥，1s i n 2s b c A b ∴=；②当23A π=时，2293b c bc bc =++≥，故3bc ≤，1sin 2S bc A ∴=≤．六、函数题1．如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．(1)若BC l =,求养殖场面积最大值；(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ，使B D D C l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>2222cos222cos2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，22222cos 24sin l l xy θθ≤=-，22211cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ=≤⋅⋅=，所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ，当且仅当x y =时取到．(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ，由2DB DC l a +==，a =12l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，1sin 22ABC S mn θ∆=为定值．只需D B C ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点． BCD b S ∆==面积的最大值为122c b c ⋅⋅=因此,四边形ACDB 面积的最大值为1sin 22m n c θ⋅⋅+2．如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60o （海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离,BC D =为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设()CD x km =，点D 对跑道AB 的视角为θ．(1)将tan θ表示为x 的函数； (2)求点D 的位置，使θ取得最大值．解：(1)过A 分别作直线CD ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ．由题知， 4.5,906030AB BC ABF ==∠=︒-︒=︒，所以94.5sin 30, 4.5cos304CE AF BF AE CF BC BF ==⨯︒==⨯︒===+=，因为(0C D x x =>，所以tan BC BDC CD ∠== 当94x >时，9,tan 4AE ED x ADC ED=-∠=494x ==-（如图1），当904x <<时, 9,4ED x =-tan AE ADC ED ∠=-=(如图2)，所以tan tan tan()ADB ADC BDC θ=∠=∠-∠tan tan 1tan tan ADC BDC ADC BDC ∠-∠==+∠⋅∠=0x >且9.4x ≠ 当94x =，tan 48CE BC θ==符合上式．所以tan 0x θ=>.(2)4)tan ,0400(49)3004(4)414x x x x x x θ+==>-+++-+，因为4004(4)4141394x x ++-≥=+，当且仅当4004(4)4x x +=+，即6x =时取等号．所以当6x =时，4004(4)414x x ++-+取最小值39，所以当6x =时，tan θ取最大值13由于tan y x =在区间(0,)2π上是增函数，所以当6x =时θ取最大值，答：在海湾一侧的海岸线CT 上距C 点6km 处的D 点处观看飞机跑道的视角最大．2019届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题9.在△ABC 中,已知b =22,a =2,如果三角形有解,则角A 的取值范围是答案：(0,π4]二、16．(本小题满分14分) 在∆ABC 中，点M 是BC 的中点，∆AMC 的三边长是连续三个正整数，tan ∠C •tan ∠BAM=1 (1)判断∆ABC 的形状；(2)求∠BAC 的余弦值。

江苏省南京市2018届高三上学期迎一模模拟考试数学试题(含答案)

（第6题）2017-2018高三数学迎一模模拟卷第I 卷（共160分）一．填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB= ▲ ．【答案】[1,2]2．复数ii a 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】 4 3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.【答案】]1,(-∞4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 . 【答案】125．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为__________．【答案】 30．6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．【答案】 47．在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线错误！未找到引用源。

的渐近线的距离为 ▲ ．【答案】错误！未找到引用源。

8．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，则a ▲ 2b -ab2。

(填“>”、“<”或“=”)【答案】错误！未找到引用源。

9．A B C∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边B C的中点，14A M AB m A C=+⋅，向量A M 的终点M 在A C D ∆的内部（不含边界），则A MB M⋅的取值范围是．【答案】 ()2,6-10．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是．【答案】22⎪⎪⎩⎭；11．已知棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -，F 是棱B C 的中点，M 是线段1AF上的动点，则△1M D D 与△1M C C 的面积和的最小值是．【答案】10;12．已知函数2()(,)f x x a x b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m-+，则实数c 的值为．【答案】214-13. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )＝(k －1)x －1，g (x )＝0，h (x )＝(x ＋1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________．【答案】{2}14．若实数x , y 满足x －4y ＝2x －y ，则x 的取值范围是．【答案】{0} [4，20] .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）如图，在xo y 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，A O B θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan ()4πθ+的值；（2）若O A O B O C+=，1813O B O C⋅=，求c o s()3πθ-.A ED C B15. （1）由于34(,55B -，A O B θ∠=，所以3c o s 5θ=-，4sin 5θ=，所以4ta n 3θ=-，所以1tan 1tan ()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)O A =,(c o s ,s in )O B θθ=,所以(1c o s ,s in )O CO AO B θθ=+=+,22218co s (1co s )sin co s co s sin 13O C O B θθθθθθ⋅=⨯++=++=.所以5co s 13θ=，所以12sin 13θ=，所以c o s()c o s c o s sinsin 33326πππθθθ-=+=.16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ．（1）求证：AE //面DBC ；（2）若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．16．（1）过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC∩面ABC＝BC ，DO ⊂面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．又AE ⊥面ABC ，则AE//DO ．又AE ⊄面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE //面DBC ．（2）由（1）知DO ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ．又AB ⊥BC ，且DO∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥面DBC ．因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥DC ．又BD ⊥CD ，AB∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥面ABD ．又AD ⊂面ABD ，故可得AD ⊥DC ．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方A O 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的O B ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离O M m =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在A B 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2α=，3c o s β=15A Okm=．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路A B 段的长A B ．17. （1）在A O M ∆中，15A O=，A O Mβ∠=且c o s β=O M=，由余弦定理得，2222co s A MO A O MO A O M A O M=+-⋅⋅∠2215215=+-⨯⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=A M ∴=M 与站A 的距离AM为m；（2）c o s β=，且β为锐角，sin β∴=在A O M ∆中，由正弦定理得，sin sin A M O M M A Oβ=∠,s in M A O=∠，sin 2M A O ∴∠=4M A Oπ∴∠=，4A B O πα∴∠=-，tan 2α=，sin α∴=，c o s α=又A O Bπα∠=-，sin sin ()A O Bπα∴∠=-=，在A O B ∆中，15A O =，由正弦定理得，sin sin A B A O A O BA B O=∠∠，即15A B =，3A B ∴=A B 段的长A B为3m．18．（本小题满分16分）设椭圆:C22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2e=yx =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12x=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段M N 为直径作圆D ．若圆D与y 轴相交于不同的两点,A B ，求A B D ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P于点E ．设2AP的斜率为k ，E F 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．18. （1）圆O 的方程为222xyb+=，直线yx =+O 相切，b∴=，即1b =，又32e =，2∴=，2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）由题意，可得11((,2424MN -，∴圆D的半径4r=，2A B ∴=∴A B D∆的面积为112228S=⋅=；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-，由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640kx k x k+-+-=，其中2Ax=，228214Pkxk-∴=+，222824(,)1414kk P k k--∴++，则直线2B P的方程为211221)k yx k +=-+-（，令0y=，则2(21)21k x k -=+，即2(21)(,0)21k F k -+，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k ky k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k kE k k +∴--，∴E F的斜率421212(21)4242121kkkmk kk k-+-==-+-+-，∴2112242km k k+-=⋅-=（定值）．19．(本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋n＝2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.求满足不等式T n－22n－1>2 010的n的最小值．19．(1)因为S n＋n＝2a n，所以S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得a n＝2a n－1＋1.所以a n＋1＝2(a n－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{a n＋1}为等比数列．因为S n＋n＝2a n，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1.(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，所以b n＝(2n＋1)·2n.所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. 若Tn －22n －1>2 010，则122)12(1-⋅-+n n n >2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式Tn －22n －1>2 010的n 的最小值是10.20.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x a x x =+，()g x b x=-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在2x=处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间；（2）若0a=时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.20. (1)因为1()f x a x x'=+，所以(1)1f a '=+,由(1)(1)2f g '=--可得a =b -3.又因为()f x 在2x=处取得极值，所以22f '=+，所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x xx x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x xxx-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12xx =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a=时，()ln h x x b x =+，其定义域为（0，+∞）.①由()0h x =得ln -x b x=，记ln ()x x xϕ=-，则2ln 1()x x xϕ-'=,所以ln ()x x xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增，所以当xe=时ln ()x x xϕ=-取得最小值1e-.又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<, 所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x b x x b x +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=,所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212xx e> , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x xx x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x xx x x -->+，设21(1)x tt x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t tt t t -'=-=>++,所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =，所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+,所以212x x e> .第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 122122⎡-⎢=⎥⎥⎥⎣⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a ，b 的值．B ．依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡-⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦，由逆矩阵公式得， (NM )1-144144⎡⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣-⎢⎥⎣⎦，即有5a=，b=C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为s in ()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知P 为椭圆22:139xyC+=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.C.(1)直线l的极坐标方程s in 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin c o s 22θθ-=即sin co s 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;(2)P 为椭圆22139xy C +=:上一点,设o s 3s in )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d==,所以当0c o s(60)1α+=-时,d的最小值为【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若xy为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．22．（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），故21(1)P ξ===；所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，答：ξ的数学期望为14-．23．（本小题满分10分）已知2012(2)(1)(1)+(1)(*)n nn x a a x a x a x n N +=+-+--∈．⑴求0a 及1nnii Sa ==∑；⑵试比较nS 与2(2)32nn n-+的大小，并说明理由．23．⑴令1x =，则03na =，令2x =，则04nni i a ==∑，所以143nn ni i a ==-∑．⑵要比较nS 与2(2)32n n n -+的大小，只要比较4n 与2(1)32n n n -+的大小．当1n =时，24(1)32n n n n >-+，当2n =或3时，24(1)32n n n n <-+，当n=4或5时，24(1)32n n n n >-+ 猜想：当n ≥4时，24(1)32n n n n >-+．下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当4n =时，结论成立．②假设当*(,)n k k k =∈N ≥4时结论成立，即24(1)32k k k k >-+，两边同乘以4，得1212244(1)3232(1)[(4)342]k k k k k k k k k kk ⎡⎤>-=---⎣⎦+++++++6，而22(4)342(4)3(2)kkkkk k k k ---=---+6+6+2k +10(4)3(2)(1)0k k k k =-->+6++2k +10，所以1124[(1)1]32(1)k k k k>-+++++，即1n k =+时结论也成立．由①②可知，当4n ≥时，24(1)32n n n n >-+成立．综上所述，当1n =时，2(2)32n n S n n >-+；当2n =或3时，2(2)32n nS n n>-+；当4n ≥时，2(2)32n n S n n >-+．。

2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷

2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．(★)已知集合A={-1，0，a}，B={0，}．若B⊆A，则实数a的值为．2．(★)已知复数z= ，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．3．(★)已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500．为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取名学生．4．(★)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．(★)某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为．6．(★★★)若实数x，y满足，则2x-y的最大值为．7．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，则点F到双曲线- =1的渐近线的距离为．8．(★★)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a 2=1，a 8=a 6+6a 4，则a 3的值为．9．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，将函数y=sin（2x+ ）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为．10．(★★)若曲线y=xlnx在x=1与x=t处的切线互相垂直，则正数t的值为．11．(★★★)如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9 cm 2．若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为cm．（不计损耗）12．(★★★)如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，AD=1．点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则•的最小值为．13．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-4，0），B（0，4），从直线AB上一点P向圆x 2+y 2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D．设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为．14．(★★★)已知函数f（x）= ，g（x）=x 2+1-2a．若函数y=f（g （x））有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(★★★)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥PC，CA=CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，点D是BN的中点．求证：（1）MD∥平面PAC；（2）平面ABN⊥平面PMC．16．(★★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a 2=b 2+c 2-bc，a=b．（1）求sinB的值；（2）求cos（C+ ）的值．17．(★★★)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4 ．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x 2+y 2= 上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．18．(★★★)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O．规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F．（道路宽度忽略不计）（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离；（2）设∠POD=θ，θ∈（0，）．①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．19．(★★★)已知函数g（x）=x 3+ax 2+bx（a，b∈R）有极值，且函数f（x）=（x+a）e x的极值点是g（x）的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式；（2）当a＞0时，若函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值为M（a），证明：M（a）＜- ．20．(★★★)若数列{a n}同时满足：①对于任意的正整数n，a n+1≥a n恒成立；②对于给定的正整数k，a n-k+a n+k=2a n对于任意的正整数n（n＞k）恒成立，则称数列{a n}是“R（k）数列”．（1）已知a n= ，判断数列{a n}是否为“R（2）数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n}是“R（3）数列”，且存在整数p（p＞1），使得b 3p-3，b 3p-1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n}是等差数列．一、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．(★★★)如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T．点P为⊙O 1上一点，PM与⊙O 2切于点M．若PM= ，求PT的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．(★★★★)已知x∈R，向量是矩阵A= 的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A -1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．(★★★★★)已知a＞1，b＞1，求+ 的最小值．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．(★★★★)如图，四棱锥P-ABCD中，AP、AB、AD两两垂直，DE∥BC，且AP=AB=AD=4，BC=2．（1）求二面角P-CD-A的余弦值；（2）已知点H为线段PC上异于C的点，且DC=DH，求的值．26．(★★★★)（1）用数学归纳法证明：当n∈N *时，cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx= - （x∈R，且x≠2kπ，k∈Z）；（2）求sin +2sin +3sin +4sin +…+2018sin 的值．。

2018年江苏省盐城市、南京市高考高三数学一模试卷及解析

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是.8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是.10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为.二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝{1} .【试题解答】解：∵集合A＝{x|x(x﹣4)＜0}＝{x|0＜x＜4},B＝{0,1,5},∴A∩B＝{1}.故答案为：{1}.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为1.【试题解答】解：∵z＝a＋i,∴(1＋i)•z＝(1＋i)(a＋i)＝a﹣1＋(a＋1)i,又(1＋i)•z为为纯虚数,∴a﹣1＝0即a＝1.故答案为：1.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为1200.【试题解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的频率为：1﹣(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3,∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为：4000×0.3＝1200.故答案为：1200.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为1.【试题解答】解：根据题意知,执行程序后,输出函数y＝,当x＝0时,y＝e0＝1.故答案为：1.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.【试题解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n＝＝6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p＝.故答案为：.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为6.【试题解答】解：∵双曲线的方程,∴a2＝4,b2＝5,可得c＝＝3,因此双曲线的右焦点为F(3,0),∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线的右焦点重合,∴＝3,解之得p＝6.故答案为：6.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是(﹣∞,2] .【试题解答】解：函数y＝e x﹣a的值域为A∵e x＝2,∴值域为A＝[2﹣a,＋∞).又∵A⊆[0,＋∞),∴2﹣a≥0,即a≤2.故答案为：(﹣∞,2].8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.【试题解答】解：∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,可得：tanα＋tanβ＋1＝tanαtanβ,∴tan(α＋β)＝═﹣1,∵锐角α,β,可得：α＋β∈(0,π),∴α＋β＝.故答案为：.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是(0,] .【试题解答】解：由函数y＝sinωx,图象过原点,可得ω＞0在区间[0,2π]上单调递增,∴,即.故答案为：(0,]10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为4034.【试题解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和,且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,所以S＝a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009×(a1＋a2017)×＝1009×a1009＝2018,得奇a1009＝2.＝a2＋a4＋a6＋…＋a2016＝1008×(a2＋a2016)×＝1008×a1009＝1008×2＝则S偶2016则S2017＝S奇＋S偶＝2018＋2016＝4034.故答案为：4034.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是[1,).【试题解答】解：由0≤x≤3可得f(x)∈[0,],x＞3时,f(x)∈(0,1).画出函数y＝f(x)与y＝m的图象,如图所示,∵函数y＝f(x)﹣m有四个不同的零点,∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有4个交点,由图象可得m的取值范围为[1,),故答案为：[1,).12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为﹣.【试题解答】解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)；则y1＝k(x1﹣3)①,＋(y2﹣1)2＝1②；由＝3,得,即,代入②得＋＝9；此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离为d≤r；即≤3,解得﹣≤k≤0.∴实数k的最小值为﹣.故答案为：﹣.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为24.【试题解答】解：建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0),那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣,),D2(﹣,0),D3(﹣,),此时＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣5),＝(﹣,﹣),则•＝21,•＝24,•＝22.5,则的最大值为24,故答案为：24.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为100.【试题解答】解：∵ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC,由正弦定理可得：kb2＋ac＞19bc,∴k＞,只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c＞b时,表达式才能取得最大值,又∵c﹣b＜a＜b＋c,∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c,∴＜19＋()＝20﹣()2＝100﹣(﹣10)2,当＝10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102＝100.∴k≥100,即实数k的最小值为100.故答案为：100二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.【试题解答】证明：(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB＝A1B1,又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB＝A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC；(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA＝CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC＝M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.【试题解答】解：(1)因为c＝,则由正弦定理,得sinC＝sinB. …(2分)又C＝2B,所以sin2B＝sinB,即2sinBcosB＝sinB. …(4分)又B是△ABC的内角,所以sinB＞0,故cosB＝. …(6分) (2)因为＝,所以cbcosA＝bacosC,则由余弦定理,得b2＋c2﹣a2＝b2＋a2﹣c2,得a＝c. …(10分)从而cosB＝＝,…(12分)又0＜B＜π,所以sinB＝＝.从而cos(B＋)＝cosBcos﹣sinBsin＝. …(14分)17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？【试题解答】解：(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R,在Rt△OET中,因为∠EOT＝∠EOF＝60°,所以OT＝,则MT＝0M﹣OT＝.从而BE＝MT＝,即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF ﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝﹣,又所得柱体的高EG＝4,所以V＝S×EG＝﹣4.答：当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米.(2)设BE＝x,则R＝2x,所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝(﹣)x2,又所得柱体的高EG＝6﹣2x,所以V＝S×EG＝(﹣2)(﹣x3＋3x2),其中0＜x＜3.令f(x)＝﹣x3＋3x2,0＜x＜3,则由f′(x)＝﹣3x2＋6x＝﹣3x(x﹣2)＝0,解得x＝2.列表如下：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0﹣f(x)增极大值减所以当x＝2时,f(x)取得最大值.答：当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.【试题解答】解：(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y＝x﹣,令x＝0,得点B的坐标为(0,﹣).所以椭圆的方程为＋＝1.将点N的坐标(,)代入,得＋＝1,解得a2＝4.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)：设直线BM的斜率为k(k＞0),则直线BM的方程为y＝x﹣.在y＝kx﹣中,令y＝0,得x P＝,而点Q是线段OP的中点,所以x Q＝.所以直线BN的斜率k BN＝k BQ＝＝2k.联立,消去y,得(3＋4k2)x2﹣8kx＝0,解得x M＝.用2k代k,得x N＝.又＝2,所以x N＝2(x M﹣x N),得2x M＝3x N,故2×＝＝3×,又k＞0,解得k＝.所以直线BM的方程为y＝x﹣19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.【试题解答】解：(1)由题意,可得a＝(a n＋d)(a n﹣d)＋λd2,化简得(λ﹣1)d2＝0,又d≠0,所以λ＝1.(2)将a1＝1,a2＝2,a3＝4,代入条件,可得4＝1×4＋λ,解得λ＝0,所以a＝a na n﹣1,所以数列{a n}是首项为1,公比q＝2的等比数列,＋1所以a n＝2n﹣1.欲存在r∈[3,7],使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立,则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立.令b n＝,则b n＋1﹣b n＝﹣＝,所以当n＞8时,b n＋1＜b n；当n＝8时,b9＝b8；当n＜8时,b n＋1＞b n.所以b n的最大值为b9＝b8＝,所以m的最小值为；(3)因为数列{a n}不是常数列,所以T≥2,①若T＝2,则a n＋2＝a n恒成立,从而a3＝a1,a4＝a2,所以,所以λ(a2﹣a1)2＝0,又λ≠0,所以a2＝a1,可得{a n}是常数列,矛盾.所以T＝2不合题意.②若T＝3,取a n＝(*),满足a n＋3＝a n恒成立.由a22＝a1a3＋λ(a2﹣a1)2,得λ＝7.则条件式变为a n2＝a n＋1a n﹣1＋7.由22＝1×(﹣3)＋7,知a3k﹣12＝a3k﹣2a3k＋λ(a2﹣a1)2；由(﹣3)2＝2×1＋7,知a3k2＝a3k﹣1a3k＋1＋λ(a2﹣a1)2；由12＝2×(﹣3)＋7,知a3k＋12＝a3k a3k＋2＋λ(a2﹣a1)2；所以,数列(*)适合题意.所以T的最小值为3.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.【试题解答】解：(1)由f(x)＝lnx,得f(1)＝0,又f′(x)＝,所以f′(1)＝1,当c＝0时,g(x)＝ax＋,所以g′(x)＝a﹣,所以g′(1)＝a﹣b,因为函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,所以,即,解得a＝,b＝﹣；(2)当x0＞1时,则f(x0)＞0,又b＝3﹣a,设t＝f(x0),则题意可转化为方程ax＋﹣c＝t(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2. 即关于x的方程ax2﹣(c＋t)x＋(3﹣a)＝0(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2.所以,得,所以c＞2﹣t对t∈(0,＋∞),a∈(0,3)恒成立.因为0＜a＜3,所以2≥2•＝3(当且仅当a＝时取等号),又﹣t＜0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3.故c的最小值为3.(3)当a＝1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点,所以,两式相减,得b＝x1x2(1﹣),要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1,即证x1x2﹣x2＜x1x2(1﹣)＜x1x2﹣x1,即证＜＜,即证1﹣＜ln＜﹣1令＝t,则t＞1,此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1.令φ(t)＝lnt＋﹣1,所以φ′(t)＝﹣＝＞0,所以当t＞1时,函数φ(t)单调递增.又φ(1)＝0,所以φ(t)＝lnt＋﹣1＞0,即1﹣＜lnt成立；再令m(t)＝lnt﹣t＋1,所以m′(t)＝﹣1＝＜0,所以当t＞1时,函数m(t)单调递减,又m(1)＝0,所以m(t)＝lnt﹣t＋1＜0,即lnt＜t﹣1也成立.综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.【试题解答】解：如图,连接AE,OE,因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE,又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE＝∠OEA,①在⊙O中,OE＝OA,所以∠OEA＝∠OAE,②…(5分)由①②得∠DAE＝∠OAE,即∠DAE＝∠FAE,又∠ADE＝∠AFE,AE＝AE,所以△ADE≌△AFE,所以DE＝FE,又DE＝4,所以FE＝4,即E到直径AB的距离为4.…(10分)[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.【试题解答】解：设P(x0,y0)是圆x2＋y2＝1上任意一点,则＝1,设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则＝,即,解得,…(5分)代入＝1,得＝1,∴圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为＝1.…(10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.【试题解答】解：直线ρcos(θ＋)＝1,转化为：,曲线ρ＝r(r＞0)转化为：x2＋y2＝r2,由于直线和圆相切,则：圆心到直线的距离d＝.所以r＝1.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.【试题解答】解：由柯西不等式,得[x2＋()2][12＋()2]≥(x•1＋)2,即≥(x＋y)2.而x2＋3y2＝1,所以(x＋y)2,所以﹣,…(5分)由,得,所以当且仅当x＝,y＝时,(x＋y)max＝.所以当x＋y取最大值时x值为.…(10分)25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.【试题解答】解：(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2).＝(﹣2,0,4),＝(01,﹣1,2),cos＜,＞＝＝＝.故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分)(2)＝(﹣2,1,0),＝(﹣1,﹣1,2).设平面ABM的一个法向量为＝(x,y,z),则,令x＝2,得＝(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为＝(0,1,0),∴cos＜＞＝＝＝.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分)26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.【试题解答】解：(1)由条件,nf(n)＝C C C C①,在①中令n＝1,得f(1)＝1.在①中令n＝2,得2f(2)＝6,得f(2)＝3.在①中令n＝3,得3f(3)＝30,故f(3)＝10.(2)猜想f(n)＝.要证猜想成立,只要证等式n＝•＋2•＋…＋n•成立.由(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋x n①,两边同时对x求导数,可得n(1＋x)n﹣1＝＋2x＋3x2＋n x n﹣1②,把等式①和②相乘,可得n(1＋x)2n﹣1＝(＋x＋x2＋…＋x n)•(＋2x＋3x2＋n x n﹣1 ) ③.等式左边x n的系数为n,等式右边x n的系数为•＋•2＋•3＋…＋n•n＝•＋2•＋3•＋…＋n•＝C C C C,根据等式③恒成立,可得n＝C C C C.故f(n)＝成立.。

江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试

江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试2018届高三年级第一次模拟考试(二)数学满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.若集合A={-2,1}，B={x|x^2>1}，则集合A∩B={1}．2.命题“∃x∈[0,1]，x^2-1≥0”是真命题．3.若复数z满足z·2i=|z|^2+1(其中i为虚数单位)，则|z|=2．4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为2．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6.函数f(x)=lnx的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为1/2．7.已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为3．8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4=a2+a3+a4，则a3的最小值为3．9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x+y+1=0与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,√2)．10.已知实数x，y满足2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，则x+y的取值范围是[2,∞)．11.已知函数f(x)=bx+lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y=f(x)相切，则k-b的值为1/e．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA+OC=2OB，则φ=π/3．13.在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP=4BA+λBC(λ∈R)，则BA·BP的取值范围为[25/4,35/4]．二、解答题：共计90分．14.已知函数f(x)=sinx+cosx，x∈[0,π/2]，则f(x)的最小值是√2-1．15.已知函数f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]，则f(x)在[-2,2]上的最大值是4．16.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且满足BE=CF=AD.若BE=CF=AD=1，AB=2，AC=√5，则三角形AEF的面积为(√5-1)/2．17.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则g(x)在[-2,2]上的最小值是-5．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，E(2,0)，F(0,2)，G(-2,0)，H(0,-2).若点P(x,y)满足PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=PE^2+PF^2+PG^2+PH^2，则点P的坐标为(0,0)．19.已知函数f(x)=ln(1+2x)-ax，其中a为常数，f(x)在[0,1]上取得最大值，且f(1/2)=0，则a=1/2．20.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则当g(x)在[1,3]上单调递增时，x的取值范围是[1,3]．已知在三角形ABC中，AB=AC=3，存在点P在三角形ABC所在平面内，使得PB²+PC²=3PA²=3，则三角形ABC的面积最大值为______。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)含答案

南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)考前须知：1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷总分值160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否那么不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh，其中S为底面积,h为高.一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上〕．集合Ax|x(x4)0，B0,1,5，那么AI B▲．i(aR,i(1i)z为虚数单位〕，假设为纯虚数，那么a的值为▲．．设复数3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如下图，那么估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．频率组距Read xIf x0ThenlnxElsey e xEndIfPrint y 50607089100时间(单位:分钟)第3题图第4题图4．执行如下图的伪代码，假设x0，那么输出的y的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，假设从袋中一次随机摸出2个球，那么摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．高三数学试题第1页〔共4页〕6．假设抛物线y22px的焦点与双曲线x2y21的右焦点重合，那么实数p的值为▲145e的值域为，假设[0,)，那么实数a的取值范围是▲．设函数ex8．锐角,满足tan1tan2，那么的值为▲．9．假设函数ysinx在区间[0,2]上单调递增，那么实数的取值范围是▲．10．设S n为等差数列a n的前n项和，假设an的前2021项中的奇数项和为2021，那么S2021的值为▲．x(3x),0x3,11．设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=31,x>3，假设函数yf(x)mx有四个不同的零点，那么实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，假设直线yk(x3)上存在一点P，圆x2(y1)21上uuuruuur存在一点Q，满足OP 3OQ，那么实数k的最小值为▲．A13．如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点〞．假设A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点〞处，且A,B的位置所图所示，那么ABCD的最大值为▲．14．假设不等式ksin2BsinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，B那么实数k的最小值为▲．第13题图二、解答题〔本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕15．(本小题总分值14分)如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，点M,N分别是AB,A1B1的中点.〔1〕求证：BN∥平面A1MC；C1〔2〕假设A1M AB1，求证：AB1A1C.A1B1AM16．(本小题总分值14分)B 第15题图在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c 5b .〔1〕假设C2B，求cosB的值；2u uuruuur uuuruuur)的值．〔2〕假设ABACCACB，求cos(B4高三数学试题第2页〔共4页〕17．(本小题总分值14分)有一矩形硬纸板材料〔厚度忽略不计〕，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD〔如图甲所示〕，再剪去图中阴影局部，用剩下的局部恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒〔如图乙所示，重叠局部忽略不计〕，其中OEMF是以O 为圆心、EOF120??的扇形，且弧EF,GH分别与边BC,AD相切于点M,N．〔1〕当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；〔2〕当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？B MNC MEFE F OGH NAN D第17题-图甲第17题-图乙18.(本小题总分值16分)xOy 中，椭圆x2y2B，点如图，在平面直角坐标系C:221(ab0)的下顶点为B的动点，直线M,N是椭圆上异于点BM,BN分别与x轴交于点P,Q，且点Q 是线段OP的中点．当点N运动到点(3,3)处时，点Q的坐标为(23,0)．23〔1〕求椭圆C的标准方程；uuuruu uur〔2〕设直线MN交y轴于点D，当点M,N均在y轴右侧，且DN2NM时，求直线BM的方程．yDNQMO P xB第18题图高三数学试题第3页〔共4页〕19．(本小题总分值1 6分)设数列a满足an2a n1a n1(a2a1)2，其中n⋯2，且n N，为常数.〔1〕假设a n是等差数列，且公差d，求的值；〔2〕假设a11,a22,a34，且存在r[3,7]，使得ma n卪nr对任意的nN*都成立，求m的最小值；〔3〕假设0，且数列a n不是常数列，如果存在正整数T，使得a nTa n对任意的nN*均成立.求所有满足条件的数列a中T的最小值.n20．(本小题总分值16分)设函数f(x)lnx，g(x)axbR〕.c〔a,b,cx〔1〕当c0时，假设函数f(x)与g(x)的图象在x1处有相同的切线，求a,b的值；〔2〕当b3a时，假设对任意x0(1,)和任意a(0,3)，总存在不相等的正实数x1,x2，使得g(x1)g(x2)f(x0)，求c的最小值；〔3〕当a1时，设函数yf(x)与y g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点．求证：x bxx1.x1x221x2南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学附加题局部〔本局部分40分，考30分〕21．[选做题]〔在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，计20分．请把答案高三数学试题第4页〔共4页〕写在答题纸的指定区域内〕A.〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D.假设DE4，求切点E到直径AB的距离EF．ED·A FO B第21(A)图B.〔选修4-2：矩阵与变换〕矩阵M20，求圆x2y21在矩阵M的变换下所得的曲线方程.01C．〔选修4-4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中，直线 cos( ) 1与曲线r(r 0)相切，求r的值.3D．(选修4-5：不等式选讲〕实数x,y满足x23y21，求当x y取最大值时x的值.[必做题]〔第22、23题，每题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内〕22．〔本小题总分值10分〕如图，四棱锥P A BCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP 底面ABCD，点M为PC中点，AC 4,BD 2,OP 4.1〕求直线AP与BM所成角的余弦值；2〕求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．高三数学试题第5页〔共4页〕PMD COA B第22题图23．〔本小题总分值10分〕n N，nf n C n0C n12C1n C n2rC n r1C n r nC n n1C n n．1〕求f1,f2,f3的值；2〕试猜测fn的表达式〔用一个组合数表示〕，并证明你的猜测．南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每题5分，计70分.1．12．13．12004．126．65．7．(,2]339110．912313．248．．(0,]403411．[1,)．44414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：〔1〕因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AB//A1B1，且AB A1B1，高三数学试题第6页〔共4页〕又点M,N分是AB,A1B1的中点，所以MB A1N，且MB//A1N．所以四形A1NBM是平行四形，从而A1M//BN．⋯⋯⋯⋯⋯4分又BN平面A1MC，A1M平面A1MC，所以BN∥面A1MC．⋯⋯⋯⋯⋯6分〔2〕因ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1底面ABC，而AA1面ABB1A1，所以面ABB1A1底面ABC．又CA CB，且M是AB的中点，所以CMAB．由面ABB1A1底面ABC，面ABB1A1I底面ABCAB，C MAB，且CM面ABC，得CM面ABB1A1．⋯⋯⋯⋯⋯8分又AB1面ABB1A1，所以A B1CM．⋯⋯⋯⋯⋯10分又AB1A1M，A1M,MC平面A1MC，且A1MIMCM ，所以AB1平面A1MC．⋯⋯⋯⋯⋯12分又AC1平A1MC，所以A B1A1C．⋯⋯⋯⋯⋯14分16．解：〔1〕因c5b，由正弦定理，得2s inC5sinB．⋯⋯⋯⋯⋯2分2C2Bsin2B5又，以sinB，即24sinBco sB5sinB．⋯⋯⋯⋯⋯4分又B是ABC的内角，所sinB0，故c osB5⋯⋯⋯⋯⋯6分4uuuruuuruuuruuurbacosC，由余弦定理，〔2〕因ABAC CACB，所以cbcosA得b2c2a2b2a2c2，得ac．⋯⋯⋯⋯⋯10分从而22c c(2c)222c osB53⋯⋯⋯⋯⋯12 2ac2c2，5高三数学试题第7页〔共4页〕分又0B，所以sinBcos2B．从而cos(B)cosBcos sinBsin 32422⋯⋯⋯⋯⋯14 5252．441 0分17．解：〔1〕在甲中，接MO交EF于点T．OEOF OM R，RtOET中，因EOT1EOF6，所以R，2OTR2M TOMOT2BE，即MTR 2BE22.⋯⋯⋯⋯⋯2分故所得柱体的底面S S扇形OEFSOEFM N1R1R2sin143B220 .⋯⋯⋯⋯⋯4分T32E G 43EF又所得柱体的高，O所以V SEG164.3答：当BE1分米，折卷成的包装盒的容GH1643立方分米.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3A〔2〕BE x ，R2x ，所以所得柱体的底面S 扇形OEF S OEF1R 21R 2sin120(43)x 2.323又所得柱体的高 E G 62x ，以S EG(823)( 33x 2)，其中0x3.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分令f(x) x 33x 2,x (0,3)，由f (x)3x 26x3x (x2) 0，得x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.分列表如下：x(0,2)2(2,3)f(x)＋0－高三数学试题第8页〔共4页〕f(x)增极大减所以当x2，f(x)取得最大.答：当BE的2分米，折卷成的包装盒的容最大.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分18．解：〔1〕由N(3,3),Q(23,0)，得直NQ的方程3 x 2y3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2令x0，得点B的坐(0,3 )．所以的方程x 2y21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分a23将点N的坐(3, 3) 2所以x 2y21．43(3)(3)2代入，得21，解得a4．a23C的准方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分〔2〕方法一：直BM的斜率k(k0)，直BM的方程ykx3．在y kx中，令y0，得x P3是段OP的中点，所以xQ3，而点QkBN2k所以直的斜率k BN(3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分k BQ32k．2kkx34k2)x283k 立2y2，消去y，得(383kx0，解得x M2．3134k2k用代，得x N163k2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分316k uuuruuuur又DN2NM，所以xN2(x M x N)，得2 x M3x N．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分故3132，0，解得62k6k又k k34k 3．316kBM所以直的方高三数学试题第9页〔共4页〕y 6x3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分2方法二：点M,N的坐分(x1,y1),(x2,y2 )．由B(0,3)，得直BN的方程yy13x3，令y0，得x Py13x1．x13同理，得x Q3x2．23而点Q是段OP的中点，所以x P2x Q，故3 x13x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1323uu uruuuur214x2)，得x20，从而3又DN2NM，所以x22(x1x13y2，3y13解得y 24y1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 33分2将23x1代入到C的方程中，得x12(4y13)21．y24y1392734(1y1(4y13)2y1)，所以31，即22y10，又x14(19273y1解得y13〔舍〕或y13．又x10，所以点M的坐3423M( , )．⋯⋯⋯⋯⋯14分故直BM的方程y 63．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分x2d2，19．解：〔1〕由意，可得n(a nd)(a nd)化得1)d20，又d0，所1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔2〕将a11,a22,a34代入条件，可得414，解得0，高三数学试题第10页〔共4页〕所以a n2a n1a n1，所以数列a n是首1，公比q2的等比数列，所以a n 2n1⋯⋯6分欲存在r[3,7]，使得m2n1⋯nr，即r⋯nm2n1任意nN*都成立，7⋯nm2，所以m⋯7任意nN*成n1立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分令b nn，b n1nn67n n12n1n，所以当n 8，b nb n；当n8，b9b8；当n8，b n1b n．所以b n的最大b9b8，所以m的最小1128.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1 28a n不是常数列，所以T⋯2．〔3〕因数列①假设T2，a na n恒成立，从而a3a1，a4a22a12(a2a1)2a2，所以a22(a2，a12a1)2所以(a2a1)2，又0，所以a21，可得a是常数列．矛盾．所以T不合意.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1 ,n3k2②假设T3，取a n2,n3k1(kN*)〔*〕，足a n3an恒成,n 3k立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分由a22a1a3(a2a1)2，得7．条件式nan1a n17．由221(3)7，知a3k2a3k2a3k1由(3)2217，知a3k2a3k1a3k1由12(3)27，知a3k2a3ka3k21所以，数列〔*〕适合意．所以T的.20．解：〔1〕由f(x) l nx，得f(1) 0，又f(a2a1)2；(a2a1)2；( a2a1)2．最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分(x)11，.，所以f(1)x当c0，g(x)axb所以g(x)ab，所，x2x高三数学试题第11页〔共4页〕g(1) ab.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因函数f(x)与g(x)的象在x1有相同的切，所以f(1)g(1)，即a b1解得f(1)g(1)a b，1a2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分1b2〔2〕当x01，f(x0)0，又b3a，t f(x0)，意可化方程axt(t0)在(0,)上有相异两根xx1,x2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分即关于x的方程ax2(ct)x(3a)(t0)在(0,)上有相异两根x1,x2．0a3( ct)24a(3a)003所x x t0，4a a以12a得(c)(3)，c t03ax1x20所以c2a(3a)t立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分t (0, ),a (0,3) 恒成因0a 3，所以2a(3a)?2(a(3a))23〔当且当a3取等号〕，22又t0，所以2a(3a)-t的取范是(,3)，所以c⋯3．故c的最小.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔3〕当a1，因函数f(x)与g(x)的象交于A,B两点，lnx1x1bc所以x1，两式减，得blnx2x2cx2x1 x2(1lnx2lnx1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分x2x1南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)含答案31 / 4231要明x 1x 2x 2bx 1x 2x 1，即x 1x 2x 2 x 1x 2(1 lnx 2 lnx1)x 1x2x 1，x2x 1高三数学试题第 12页〔共4页〕l nx2lnx11即x 2x2x1x11x1lnx2x2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分x21x1x2，t，此即11lnt1．x1t( t)lnt，所以(t)111，所以当t1(t)，函数tt2t2增．( 1)0，所以(t)lnt11，即11lnt成立；t t再令m(t)lnt1，所以m(t)1t，所以当，函数m(t)1t1t减，又0，所以l 10，即1也成32 / 4232m(1)m(t)nt lnt立．上述，数x1,x2足x 1x2x2bx1x2x1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分附加题答案21．〔A〕解：如，接AE，OE，因直DE与⊙O相切于点E，所以DEOE，DE又因AD垂直DE于D，所以AD//OE，所以DAEOEA ，①在⊙O 中OEOA，所以OEAOAE，②⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分A·由①②得DAEOAE，即DAEFAE，FO ADE AFE，AEAE，所以ADEAFE，所以DEFE，又DE4，所以FE4，第21(A)即E到直径AB的距离4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔B〕解：Px0,y0是x2y21上任意一点，02021，点Px0,y0在矩M的下所得的点Qx,yx00，，10y2，解得33 / 4233x0yx01x⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2，y0y代入x02y21，得x2y21，即所求的曲方4高三数学试题第13页〔共4页〕34 / 4234程.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔C〕解：以极点O原点，极Oxx建立平面直角坐系，由cos()1，得(coscossinsin)1，333得直的直角坐方程x3y20．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分曲r，即x2y2r2，0321．所以心到直的距离d1因直cos(1与曲〔r0〕相切，所以rd，即31.⋯⋯⋯⋯⋯10分〔D〕解：由柯西不等式，得[x2(3y)2][12(3)2](x13y3)2，即4(x233 3y2)(xy)2．34而x23y21，所以(xy)2，所以223y3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分35 / 423536 / 42363，33y31x2，所以当且当x3,y3，(x y)m ax23．由3，得3263x23y63所当xy 取最大x的3⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分x.BD ．又OP底面ABCD ，以O 原点，直22．解：〔1〕因ABCD 是菱形，所以ACOA,OB,OP分x ，y ，z ，建立如所示空直角坐系．A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(2,0,0),M(1,0,2)．u uuru uuur(1,uuuruuuur 所以AP(2,0,4)，BM1,2)，AP BM10，uu uruuuur6．|AP|25，|BM|uuuru uuur cosAP,BMz PMD C高三数学试题第14页〔共4页〕xOABy第2237 / 4237故直AP与BM所成角的余弦36.⋯⋯⋯5分u uuruuuur(2,1,0)(1,1,2)．〔2〕AB，BM平面ABM的一个法向量r(x,y,z)，nuuur2xy0AB，令x2，得y，zuuuur，得2z．nBM0得平面ABM的一个法向量r(2,4,3)．nuuur ruuur又平面PAC的一个法向量uuur(0,1,0)OB，所以nOB4，|n|29，|OB|1．uuuruuur44cosnOB29 n,OBuuur2929|n||OB38 / 4238|故平ABM与平面PAC所成二面角的余429.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分29Cn 0Cn12Cn1Cn2rC n r C n rnC n n1C n n23．解：〔1〕由条件，nf n①，在中令n1，得1C10C111．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分在①中令n2，得2f2C20C212C21C226，得23．⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分在①中令n3，得3f3C30C312C31C323C32C3330，得310．⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分〔2想fn=C2n n1〔或n= C2n n1〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分欲猜测成立，只要等式nC2n nC n0Cn12Cn1Cn2rC n r1CnrnC n n1C n n成立．方法一：当n1，等式然成立，当n⋯2，因rC n r=r〔n!〕=n!r)!nr(n1)!r)!nC n r11，r r(r1)!139 / 4239!(n)!(n)!(n故rC n r1C n r(rCnr)Cnr1nC n r11Cnr1．故只需明nC2n n1nC n01C n0nC n11C n1nC n r11Cnr1nC n n11Cnn1．即C2n n1Cn1C n0C n11C n1Cnr11Cnr1C n n11C n n1．而C n r1Cnnr1，故即C2n n1Cn1C n n n11Cnn1Cnr11Cn nr1Cnn11Cn1②．由等式(1x)2n1x)n1(1x)n可得，左x n的系数C2n n1．而右(1x)n1(1x)nCn1Cn11xC n21x2LC n n11x n1Cn0C n1xC n2x2LC n n x n，所以x n的系数C n01C n nCn11C n nCnr11CnnrCnn11Cn1．高三数学试题第15页〔共4页〕40 / 4240由(1x)2n1(1x)n1(1x)n恒成立可得②成立.上，fnC2n n1成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分方法二：构造一个合模型，一个袋中装有2n1个小球，其中n个是号1，2，⋯，n的白球，其余n－1个是号1，2，⋯，n－1的黑球，从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步数原理其中含有r个黑球〔nr个白球〕的n个小球的合的个数Cn r1C n nr，0r n1，由分数原理有从袋中任意摸出n个小球的合的数C n01C n nC n11Cnn1L C n n11C n1．另一方面，从袋中2n1个小球中任意摸出n个小球的合的个数C2n n1．故C nCnC1Cn1LC n1C1，即②成立.余下同方法2n11n1n n1n一.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 0分方法三：由二式定理，得1x)nCnCn1x Cn2x2LCnn x n③．两求，得n(1x)n1Cn12C n2x1L rC n r x r1nC n nx n1④．③×④，得n(1x)2n 1(C n0Cn1xC n2x2C n n x n)(Cn12C n2x1rC n rx r1LnC n n x n1)⑤．左x n的系数右x n的系数C1n C n02C n2C n1C n0C n12C1n C n2由⑤恒成立，可得故立.nC2n n1．Cn1Cnn2C n2Cnn1rCnr Cnnr1nC n n C n1rC n r C n r1nC n nC n n1rC r1C r nC n1C n．n n nnC2nn1Cn0Cn12C n1C n2rC nr1Cnr nC n n1C n n．n C2n n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分高三数学试题第16页〔共4页〕。

2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷

2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合A ={−1, 0, a}，B ={0, √a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z =1+4i 1−i，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500．为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足{x ≥1y ≤3x −y −1≤0 ，则2x −y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2=8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216−y 29=1的渐近线的距离为________．8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y =xlnx 在x =1与x =t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．11. 如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm ，圆柱的底面积为9√3cm 2．若将该螺帽熔化后铸成一个高12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，AD =1．点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ =45∘，则AP →⋅AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−4, 0)，B(0, 4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2+y 2=4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ．设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．14. 已知函数f(x)={x 2−2ax −a +1,x ≥0ln(−x),x <0 ，g(x)=x 2+1−2a ．若函数y =f（g(x)）有4个零点，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥PC ，CA =CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点．求证：（1）MD // 平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC ．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2−bc ，a =√152b ．（1）求sinB 的值；（2）求cos(C+π12)的值．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O．规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F．（道路宽度忽略不计）（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离；（2）设∠POD=θ，θ∈(0, π2)．①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式；（2）当a>0时，若函数F(x)=f(x)−g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<−73．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n(n >k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．（1）已知a n ={2n −1,n 为奇数2n,n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p >1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．一、【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T ．点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M ．若PM =√3，求PT 的长．[选修4-2：矩阵与变换]已知x ∈R ，向量[01]是矩阵A =[1x02]的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A −1．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 与曲线{x =t −1y =t 2−1 （t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]已知a >1，b >1，求b 2a−1+a 2b−1的最小值．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，四棱锥P −ABCD 中，AP 、AB 、AD 两两垂直，DE // BC ，且AP =AB =AD =4，BC =2．（1）求二面角P −CD −A 的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC =DH ，求PHPC 的值．（1）用数学归纳法证明：当n∈N∗时，cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx= sin(n+12)x2sin12x−12(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；（2）求sinπ6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6的值．参考答案与试题解析2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【答案】1【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用子集定义直接求解，【解答】∵集合A={−1, 0, a}，B={0, √a}．B⊆A，∴√a=a，且a≠0．解得a=1，∴实数a的值为1．2.【答案】−3 2【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=1+4i1−i =(1+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+52i，∴复数z的实部为−32．3.【答案】25【考点】分层抽样方法【解析】根据题意求出抽样比例值，再计算应从高三年级抽取的学生数．【解答】根据题意，抽样比例为65400+400+500=120，∴应从高三年级抽取500×120=25（名）．4.【答案】10伪代码（算法语句）【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值．【解答】模拟程序的运行过程，得： S =1，i =1，满足条件i ≤5，执行循环S =1+1=2，i =3 满足条件i ≤5，执行循环S =2+3=5，i =5 满足条件i ≤5，执行循环S =5+5=10，i =7 此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出S =10． 5.【答案】 12【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n =C 42=6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m =C 11C31=3，由此能求出数学建模社团被选中的概率．【解答】解：某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，基本事件总数n =C 42=6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m =C 11C 31=3， ∴ 数学建模社团被选中的概率为p =m n=36=12．故答案为：12. 6.【答案】 5【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】画出不等式表示的平面区域：z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，由{y =3x −y −1=0 可得交点坐标为(4, 3)，根据图形可知在点(4, 3)处，z =2x −y 取得最大值，最大值为5 7.【答案】 65【考点】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，双曲线x216−y29=1的渐近线方程为y=±34x，即3x±4y=0．则F到双曲线的渐近线的距离为d=22=658.【答案】√3【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出结果．【解答】∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，a8=a6+6a4，∴{a1q=1a1q7=a1q5+6a1q3，且q>0．解得q2=3，∴q=√3，∴a3=a1q⋅q=q=√3．9.【答案】π6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的平移变换求出结果．【解答】将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度．得到：y=sin(2x−2φ+π3)，平移后得到的图象经过坐标原点，由于：0<φ<π2，则：−2φ+π3=0，解得：φ=π6．10.【答案】e−2【考点】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值．【解答】y =xlnx 的导数为y′=1+lnx ，可得在x =1与x =t 处的切线斜率分别为1和1+lnt ，由切线互相垂直，可得： 1+lnt =−1，解得t =e −2． 11.【答案】 2√10 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设该正三棱柱的底面边长为xcm ，利用棱柱、圆柱的体积公式列出方程，由此能求出该正三棱柱的底面边长．【解答】设该正三棱柱的底面边长为xcm ，则12∗x 2∗sin60∘∗6=6×(12×4×4×sin60∘)×4−9√3×4，解得x =2√10．(cm) 12.【答案】 4√2−4 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】设∠PAB =θ，则∠DAQ =45∘−θ，分别由解直角三角形可得AQ ，AP 的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．【解答】设∠PAB =θ，则∠DAQ =45∘−θ， AP →⋅AQ →=|AP →|⋅|AQ →|cos45∘， =2cosθ⋅1cos(45∘−θ)⋅√22， =cosθ∗(√22cosθ+√22sinθ)，=2cos 2θ+cosθsinθ， =21+cosθ2+sin2θ2，=√22sin(2θ+45)+12，当且仅当2θ+45∘=90∘，∴ θ=22.5∘时取“=”，当θ=22.5∘时，点P 恰在边BC 上，Q 恰边CD 上，满足条件，综上所述，AP →⋅AQ →的最小值为4√2−4， 13.【答案】 3√2【考点】圆的切线方程【解析】由题意可得AB 所在直线方程，设P(x 0, y 0)，则y 0=x 0+4，求出CD 所在直线方程为x 0x +y 0y =4，再求出直线OM 的方程x 0y −y 0x =0，联立消去x 0，y 0，可得M 的轨迹方程，数形结合即可求得线段AM 长的最大值．【解答】如图，直线AB 的方程为x −y +4=0，设P(x 0, y 0)，则y 0=x 0+4，① 以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2−x 0x −y 0y =0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−x 0x −y 0y =0 ，可得CD 所在直线方程为：x 0x +y 0y =4，② ∵ 线段CD 的中点为M ，则直线OM:x 0y −y 0x =0，③联立①②③消去x 0，y 0，可得M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，圆心坐标为(−12, 12)，半径r =√22，又A(−4, 0)，∴ |AM|max =√14+494+√22=3√2．14.【答案】(−1+√52, 1)∪(1, +∞) 【考点】函数零点的判定定理【解析】求出f(x)=0的解，讨论f(x)的零点与g(x)的最小值1−2a 的关系，得出a 的范围．【解答】当x ≥0时，令f(x)=0得x 2−2ax −a +1=0， △=4a 2−4(1−a)=4(a 2+a −1)，方程f(x)=0(x ≥0)无解，由f （g(x)）=0可得g(x)=−1，又g(x)为偶函数，故而f （g(x)）=0最多只有2解，不符合题意（1）（2）若△=0即a =−1−√52或a =−1+√52时，方程f(x)=0(x ≥0)的解为x =a =−1+√52，而g min (x)=1−2a =2−√5，此时g(x)=−1无解，g(x)=−1+√52只有2解，不符合题意（2）（3）若△>0即a <−1−√52或a >−1+√52时，方程f(x)=0(x ≥0)的解为x 1=a −√a 2+a −1，x 2=a +√a 2+a −1， ①若a <−1−√52，则x 1<0，x 2<0，且g min (x)=1−2a >0，此时f （g(x)）=0无解，不符合题意（3）②若−1+√52<a <1，则x 2>x 1>0，而−1<1−2a <2−√5<0，∴ g(x)=x 1和g(x)=x 2各有2解，故f （g(x)）=0有4解，符合题意（4）③若a =1，则x 1=0，x 2=2，g min (x)=1−2a =−1，此时g(x)=x 1有2解，g(x)=x 2有2解，g(x)=−1有1解，此时f （g(x)）=0有5解，不符合题意（5）④若a >1，则x 2>0，x 1<0，而g min (x)=1−2a <−1，∴ g(x)=x 2有2解，g(x)=−1有2解，故f （g(x)）=0有4解，符合题意．综上，−1+√52<a <1或a >1．故答案为：(−1+√52, 1)∪(1, +∞)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】证明：（1）在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点，所以MD // AN ．又因为AN ⊂平面PAC ，MD 平面PAC ，所以MD // 平面PAC ．（2）在△ABC 中，CA =CB ，M 是AB 的中点，所以AB ⊥MC ．又因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC =C ，所以AB ⊥平面PMC ．又因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC ．【考点】平面与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】证明：（1）在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点．所以MD // AN．又因为AN⊂平面PAC，MD平面PAC，所以MD // 平面PAC．（2）在△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，所以AB⊥MC．又因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC=C，所以AB⊥平面PMC．又因为AB⊂平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC．【答案】在△ABC中，利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，所以：cosA=b2+c2−a22bc =12．由于：0<A<π，故：A=π3．在△ABC，由正弦定理asinA =bsinB得，sinB=b⋅sinAa =√55．因为a=√15b2>b，所以A，0<B<π3．又sinB=√55，所以cosB=√1−sin2B=2√55．在△ABC中，A+B+C=π．cos(C+π12)=−cos(B+π4)=−(2√55⋅√22−√55⋅√22)=−√1010．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理和正弦定理求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换求出结论．【解答】在△ABC中，利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，所以：cosA=b2+c2−a22bc =12．由于：0<A<π，故：A=π3．在△ABC，由正弦定理asinA =bsinB得，sinB=b⋅sinAa =√55．因为a=√15b2>b，所以A，0<B<π3．又sinB=√55，所以cosB=√1−sin2B=2√55．在△ABC中，A+B+C=π．cos(C+π12)=−cos(B+π4)=−(2√55⋅√22−√55⋅√22)=−√1010．【答案】设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca =√22，2a2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x24+y22=1．△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：x24+y22=1．∴A(−2, 0)．设M(x0, y0)，则B(2x0+2, 2y0)．由x02+y02=89，(2x0+2)24+(2y0)22=1，化为：9x02−18x0−16=0，−2√23≤x0≤2√23．解得：x0=−23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±12，因此，直线AB的方程为：y=±12(x+2)．【考点】椭圆的定义【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca =√22，2a2c=4√2，解出即可得出．(2)△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A(−2, 0)．设M(x 0, y 0)，利用中点坐标公式可得：B(2x 0+2, 2y 0)．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，联立解出，即可得出直线AB 的方程．【解答】设椭圆的焦距为2c ，由题意得，ca=√22，2a 2c=4√2，解得a =2，c =b =√2． ∴ 椭圆的方程为：x 24+y 22=1．△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴ AB =2AM ， ∴ 点M 为AB 的中点． ∵ 椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴ A(−2, 0)．设M(x 0, y 0)，则B(2x 0+2, 2y 0)．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，化为：9x 02−18x 0−16=0，−2√23≤x 0≤2√23．解得：x 0=−23．代入解得：y 0=±23， ∴ k AB =±12，因此，直线AB 的方程为：y =±12(x +2)．【答案】直线PB 的方程为y =2x ，半圆O 的方程为x 2+y 2=402(y ≥0)，由{y =2xx 2+y 2=402 ，得y =16√5． ∴ 点P 到AD 的距离为16√5m ． ①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)；直线PB 的方程为y +80=sinθ+2cosθ+1(x +40)，令y =0，得x E =80cosθ+80sinθ+2−40=80cosθ−40sinθsinθ+2．直线PC 的方程为y +80=sinθ−2cosθ−1(x −40)，令y =0，得x F =80cosθ−80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2．∴ EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为： S 1=12×(80−80sinθsinθ+2)×80=6400sinθ+2，区域Ⅱ的面积为： S 2=12×(80sinθsinθ+2)×40sinθ=1600sin 2θsinθ+2，∴ S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3， S 1+S 2=1600(t−2)2+6400t=1600(t +8t−4)≥1600(2√8−4)=6400(√2−1)．当且仅当t =2√2，即sinθ=2√2−2时“=”成立．∴ 休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1+S 2的最小值为6400(√2−1)m 2．答：当sinθ=2√2−2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）写出直线PB 的方程与半圆O 的方程，联立求得y 值，即可得到点P 到AD 的距离；（2）①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)．写出直线PB 的方程，求得E 的坐标，写出直线PC 的方程，求出F 的坐标，可得EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②求出区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和S 1 与区域Ⅱ的面积S 2，作和可得S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3，然后利用基本不等式求最值．【解答】直线PB 的方程为y =2x ，半圆O 的方程为x 2+y 2=402(y ≥0)，由{y =2xx 2+y 2=402 ，得y =16√5． ∴ 点P 到AD 的距离为16√5m ． ①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)；直线PB 的方程为y +80=sinθ+2cosθ+1(x +40)，令y =0，得x E =80cosθ+80sinθ+2−40=80cosθ−40sinθsinθ+2．直线PC 的方程为y +80=sinθ−2cosθ−1(x −40)，令y =0，得x F =80cosθ−80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2．∴ EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为： S 1=12×(80−80sinθsinθ+2)×80=6400sinθ+2，区域Ⅱ的面积为： S 2=12×(80sinθsinθ+2)×40sinθ=1600sin 2θsinθ+2，∴ S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3， S 1+S 2=1600(t−2)2+6400t=1600(t +8t −4)≥1600(2√8−4)=6400(√2−1)．当且仅当t =2√2，即sinθ=2√2−2时“=”成立．∴ 休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1+S 2的最小值为6400(√2−1)m 2．答：当sinθ=2√2−2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．【答案】∵ 函数f(x)=(x +a)e x ， ∴ f′(x)=e x (x +a +1)，令f′(x)=0，解得x =−a −1，∵ 函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a, b ∈R)， ∴ g′(x)=3x 2+2ax +b ，∵ 函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a, b ∈R)有极值，且函数f(x)=(x +a)e x 的极值点是g(x)的极值点，∴ g′(−a −1)=3(−a −1)2+2a(−a −1)+b =0，解得b =−a 2−4a −3．证明：F(x)=f(x)−g(x)=(x +a)e x −x 3−ax 2−bx =(x +a)e x −x 3−ax 2+(a 2+4a +3)x ，F′(x)=(x +a +1)e x −3x 2−2ax +a 2+4a +3 =(x +a +1)e x −(x +a +1)(3x −a −3) =(x +a +1)(e x −3x +a +3)，令ℎ(x)=e x −3x +a +3，则ℎ′(x)=e x −3，令ℎ′(x)=0，得x =ln3，ℎ(ln3)为ℎ(x)最小值，且ℎ(ln3)=6−3ln3+a，∵a>0，∴ℎ(ln3)>0，∴ℎ(x)>0，对于F′(x)=(x+a+1)ℎ(x)=0，有唯一解x=−a−1，当x∈(−∞, −a−1)时，F′(x)<0，当x∈(−a−1, +∞)时，F′(x)>0，∴F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，当a>0时，∴M(a)是减函数，M(a)<M(0)=−1e −2<−73，∴M(a)<−73．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）推导出f′(x)=e x(x+a+1)，令f′(x)=0，得x=−a−1，求出g′(x)=3x2+ 2ax+b，从而g′(−a−1)=3(−a−1)2+2a(−a−1)+b=0，由此能求出b关于a的函数关系式．（2）F(x)=f(x)−g(x)=(x+a)e x−x3−ax2+(a2+4a+3)x，推导出F′(x)= (x+a+1)e x−3x2−2ax+a2+4a+3=(x+a+1)(e x−3x+a+3)，令ℎ(x)= e x−3x+a+3，则ℎ′(x)=e x−3，令ℎ′(x)=0，得x=ln3，ℎ(ln3)=6−3ln3+a 为ℎ(x)最小值，推导出F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，由此能证明M(a)<−73．【解答】∵函数f(x)=(x+a)e x，∴f′(x)=e x(x+a+1)，令f′(x)=0，解得x=−a−1，∵函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)，∴g′(x)=3x2+2ax+b，∵函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，∴g′(−a−1)=3(−a−1)2+2a(−a−1)+b=0，解得b=−a2−4a−3．证明：F(x)=f(x)−g(x)=(x+a)e x−x3−ax2−bx=(x+a)e x−x3−ax2+(a2+4a+3)x，F′(x)=(x+a+1)e x−3x2−2ax+a2+4a+3=(x+a+1)e x−(x+a+1)(3x−a−3)=(x+a+1)(e x−3x+a+3)，令ℎ(x)=e x−3x+a+3，则ℎ′(x)=e x−3，令ℎ′(x)=0，得x=ln3，ℎ(ln3)为ℎ(x)最小值，且ℎ(ln3)=6−3ln3+a，∵a>0，∴ℎ(ln3)>0，∴ℎ(x)>0，对于F′(x)=(x+a+1)ℎ(x)=0，有唯一解x=−a−1，当x∈(−∞, −a−1)时，F′(x)<0，当x∈(−a−1, +∞)时，F′(x)>0，∴F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，当a>0时，∴M(a)是减函数，M(a)<M(0)=−1e −2<−73，∴M(a)<−73．【答案】当n为奇数时，a n+1−a n=2(n+1)−(2n−1)=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=2(2n−1)=2a n．当n为偶数时，a n+1−a n=2(n+1)−2n=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R数列数列”．证明（1）由题意可得：b n−3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2−d1)≥b1−b2①，n(d2−d1)≥b1−b2+d1，②．若d2−d1<0，则当n>b1−b2d2−d1时，①不成立；若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，②不成立；若d2−d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=λ，则b3p−1−b3p−2=b3p−1−(n−p)d−(b3p+1−(n−p−1)d)=b3p−1−b3p+1+d= d−λ，同理可得：b3n−b3n−1=b3n+1−b3n=d−λ，所以b n+1−b n=d−λ．所以：{b n}是等差数列．【考点】数列递推式【解析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n−3+a n−2+a n−1+a n+1+a n+2+a n+3= (a n−3+a n+3)+(a n−2+a n+2)+(a n−1+a n+1)=2×3a n，根据“P(k)数列”的定义，可得数列{a n}是“P(3)数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．【解答】当n为奇数时，a n+1−a n=2(n+1)−(2n−1)=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=2(2n−1)=2a n．当n为偶数时，a n+1−a n=2(n+1)−2n=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R数列数列”．证明（1）由题意可得：b n−3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2−d1)≥b1−b2①，n(d2−d1)≥b1−b2+d1，②．若d2−d1<0，则当n>b1−b2d2−d1时，①不成立；若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，②不成立；若d2−d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=λ，则b3p−1−b3p−2=b3p−1−(n−p)d−(b3p+1−(n−p−1)d)=b3p−1−b3p+1+d= d−λ，同理可得：b3n−b3n−1=b3n+1−b3n=d−λ，所以b n+1−b n=d−λ．所以：{b n}是等差数列．一、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]【答案】延长PT，交⊙O2与点C，连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T，由切割线定理得：PM2=PC×PT=3．因为∠O1TP=∠O2TC，△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，所以△O1TP∽△O2TC，所以PT TC=PO1CO2=2，所以PTPC =23，即PC=32PT．因为PC×PT=32×PT×PT=3，解得PT=√2．【考点】与圆有关的比例线段【解析】延长PT，交⊙O2与点C，连结O1P，O2C，O1O2则O1O2过点T，由切割线定理得：PM2=PC×PT=3．推导出△O1TP∽△O2TC，从而PC=32PT．由此能求出PT．【解答】延长PT ，交⊙O 2与点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T ，由切割线定理得：PM 2=PC ×PT =3．因为∠O 1TP =∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT TC =PO1CO 2=2，所以PT PC =23，即PC =32PT ．因为PC ×PT =32×PT ×PT =3，解得PT =√2．[选修4-2：矩阵与变换] 【答案】由已知得[1x 02][01]=[x 2]=λ[01]，所以{λ=2x =0 ，所以A =[1002]．方法一：设A −1=[a bcd]，则AA −1=[1002][a b c d ]=[1001]，即[ab2c 2d]=[1001]，．所以a =1，b =c =0，d =12．所以λ=2，A −1=[10012]．方法二：由A =[1002]．则|A|=2，则A −1=[10012]．【考点】特征向量的意义【解析】根据矩阵的特征向量的定义，即可求得λ及矩阵A ，方法一：设逆矩阵，根据AA −1=E ，即可求得A −1．方法二：求得|A|=2，根据二阶矩阵逆矩阵的求法，即可求得|A|=2，【解答】由已知得[1x 02][01]=[x 2]=λ[01]，所以{λ=2x =0 ，所以A =[1002]．方法一：设A −1=[a bcd]，则AA −1=[1002][a b c d ]=[1001]，即[ab2c 2d]=[1001]，．所以a =1，b =c =0，d =12．所以λ=2，A−1=[10012]．方法二：由A =[1002]．则|A|=2，则A −1=[10012]． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线{x =t −1y =t 2−1 的普通方程为y =x 2+2x ，联立{y =x y =x 2+2x ，解得{x =0y =0 或{x =−1y =−1 ，所以A(0, 0)，B(−1, −1)，所以AB =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程，与直线方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出线段长度．【解答】曲线{x =t −1y =t 2−1 的普通方程为y =x 2+2x ，联立{y =x y =x 2+2x ，解得{x =0y =0 或{x =−1y =−1 ，所以A(0, 0)，B(−1, −1)，所以AB =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】∵ a >1，b >1；∴ a −1>0，b −1>0； ∴b 2a−1+4(a −1)≥4b ，a 2b−1+4(b −1)≥4a ；两式相加：b 2a−1+4(a −1)+a 2b−1+4(b −1)≥4b +4a ； ∴b 2a−1+a 2b−1≥8；当且仅当b 2a−1=4(a −1),a 2b−1=4(b −1)时“=”成立；即a =b =2时，b 2a−1+a 2b−1取得最小值8．【考点】基本不等式及其应用【解析】根据a >1，b >1即可得出b 2a−1+4(a −1)≥4b,a 2b−1+4(b −1)≥4a ，两式相加便可求出b 2a−1+a 2b−1的最小值．【解答】∵ a >1，b >1；∴ a −1>0，b −1>0； ∴b 2a−1+4(a −1)≥4b ，a 2b−1+4(b −1)≥4a ；两式相加：b 2a−1+4(a −1)+a 2b−1+4(b −1)≥4b +4a ；∴b 2a−1+a 2b−1≥8；当且仅当b 2a−1=4(a −1),a 2b−1=4(b −1)时“=”成立；即a =b =2时，b 2a−1+a 2b−1取得最小值8．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(4, 2, 0)，D(0, 4, 0)，P(0, 0, 4)， DP →=(0, −4, 4)，DC →=(4, −2, 0)．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DP →=−4y +4z =0n →∗DC →=4x −2y =0 ，令x =1，得n →=(1, 2, 2)．平面ACD 的法向量为m →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=23，∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为23．由题意可知，PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，∵ DC =DH ，∴ √(4λ)2+(2λ−4)2+(4−4λ)2=√20，化简得3λ2−4λ+1=0，解得λ=1或λ=13．又∵ 点H 异于点C ，∴ λ=13．故PHPC =13．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出二面角P −CD −A 的余弦值．（2），PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，由DC =DH ，能求出PHPC 的值．【解答】以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(4, 2, 0)，D(0, 4, 0)，P(0, 0, 4)， DP →=(0, −4, 4)，DC →=(4, −2, 0)．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DP →=−4y +4z =0n →∗DC →=4x −2y =0 ，令x =1，得n →=(1, 2, 2)．平面ACD 的法向量为m →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=23，∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为23．由题意可知，PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，∵ DC =DH ，∴ √(4λ)2+(2λ−4)2+(4−4λ)2=√20，化简得3λ2−4λ+1=0，解得λ=1或λ=13．又∵ 点H 异于点C ，∴ λ=13．故PHPC =13．【答案】①当n=1时，等式右边=sin 3x 22sin x2−12=sin(x+x2)−sin(x−x2)2sin x2=sinxcos x2+cosxsin x2−sinxcos x2+cosxsin x22sin x2=cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+...+coskx=sin(k+12)x2sin12x−12．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(k+12)x2sin12x−1+cos(k+1)x=sin(k+12)x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x−cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x−12=sin(k+1+12 )x2sin12x−12．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N∗，等式都成立．由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+...+cos2018x=sin(2018+12)x2sin12x−12，两边同时求导，得−sinx−2sin2x−3sin3x−...−2018sin2018x=(2018+12)cos[(2018+12)xbrack∗sin12x−12sin[(2018+12)xbrackcos12x2sin212x．令x=−π6可得：sin π6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6=(2018+12)cos[(2018+12)∗(−π6)brack∗sin(−π12)−12sin[(2018+12)∗(−π6)brackcos(−π12)2sin2(−π12)=√3−20152．【考点】数学归纳法【解析】（1）先验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，验证n=k+1结论是否成立即可；（2）对（1）的结论两边求导，再令x=−π6即可得出答案．【解答】①当n=1时，等式右边=sin 3x 22sin x2−12=sin(x+x2)−sin(x−x2)2sin x2=sinxcos x2+cosxsin x2−sinxcos x2+cosxsin x22sin x2=cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+...+coskx=sin(k+12)x2sin12x−12．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(k+12)x2sin12x−12+cos(k+1)x=sin(k+12)x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x−cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x−12=sin(k+1+12 )x2sin12x−12．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N∗，等式都成立．由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+...+cos2018x=sin(2018+12)x2sin12x−12，两边同时求导，得−sinx−2sin2x−3sin3x−...−2018sin2018x=(2018+12)cos[(2018+12)xbrack∗sin12x−12sin[(2018+12)xbrackcos12x2sin212x．令x=−π6可得：sin π6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6=(2018+12)cos[(2018+12)∗(−π6)brack∗sin(−π12)−12sin[(2018+12)∗(−π6)brackcos(−π12)2sin2(−π12)=√3−20152．。

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18届高三数学第一轮模拟试卷一（立几、解几、概率等）命题人：江阴市成化高级中学张龙伍一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．60种2、正三棱锥的侧面都是直角三角形，侧棱与底面所成的角为α，则α等于( )A ．36arcsinB ．33arccosC ．22arctanD ．6π 3、设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，( ) A ．乙是丙的充分而不必要条件 B ．乙是丙的必要而不充分条件C ．乙是丙的充分且必要条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 4、将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是（）A 、916 B 、2764 C 、38 D 、11325、等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是（）A ．正方体球S S >B ．正方体球S S <C ．正方体球S S =D ．正方体球S S 2=6、地球半径为R ，则南纬60°纬线圈的长为（）A ．R 3πB ．R 2πC ．R πD ．R7则样本在(10 , 50)上的频率为 ( ) (A)20. (B)4. (C)2. (D)107.8、若函数f (x )=32ax bx cx d +++的图象如图所示，则一定有（）A a <0 b >0 c >0 d <0B a <0 b <0 c >0 d <0C a <0 b >0 c <0 d <0D a <0 b <0 c <0 d <09、有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为 ( ) (A)7939. (B)801. (C) 21. (D)8141.10、设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

11、设n x x )5(3121-的展开式的各项系数之和为M ，且二项式系数之和为N ，M —N=992，则展开式中x 2项的系数为．12、已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是． 13、2女3男共5个小孩站成一排，其中2个女孩必须站在两端，则不同的排法共有种.14、一班级有学生50人，其中男生30人，女生20人。

为了了解50名学生与身体状况有关的某项指标，今决定采用分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则女生张某被抽中的概率是。

三、解答题：本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、排球比赛的规则是5局3胜制，A 、B 两队每局比赛获胜的概率分别为23和13．（Ⅰ）前2局中B 队以2:0领先，求最后A 、B 队各自获胜的概率；（Ⅱ）B 队以3:2获胜的概率．16、如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3．点E 在棱PA 上，且PE=2EA ．（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角；（Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角A —BE —D 的大小．17、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，a BB AB ==12.（1）求异面直线AB 1与C 1B 所成的角；（2）求点D 到平面ACC 1的距离；（3）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论.18、某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本3361200)(x x x C +=（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？19、A 袋中有1张10元1张5元的钱币，B 袋中有2张10元1张5元的钱币，从A 袋中任取一张钱币与B 袋任取一张钱币互换，这样的互换进行了一次. 求（1）A 袋中10元钱币恰是一张的概率；（2）A 袋中10元钱币至少是一张的概率. 20、[]49)43(2)1()(2-++--=a x a x x x f ，在区间]3,0[上的最大值与最小值，其中20<<a 。

18届高三数学第一轮模拟试卷一参考答案：1、B 2、C 3、C 4、C 5、B 6、C7、D8、A9、A10、C 11、—250 12、（1）（2）（4）13、12 14、2515、解：排球比赛过程可以看成一个n 次独立重复试验，（Ⅰ）设最后A 获胜的概率为1,P 设最后B 获胜的概率为2.P331328();327P C ∴== ………………………………………………………… 4分 2211212211919.(1)3333332727P P P =+⨯+⨯⨯==-=或 …………………… 6分（Ⅱ）设B 队以3:2获胜的概率为3.P 3P ∴=2324128()()3381C =．……………… 12分 16、⑴60°⑵略 ⑶6617、解：（1）取CB 的中点D ，则11,C CBB AD CB AD ⊥∴⊥.故AB 1在面CBB 1C 1上的射影为B 1D. 在矩形CBB 1C 1中，CB C BB BD BC C C 111,22∆∴==∽△DBB 1. 故.,21111BC DB DBC BDB ⊥∴=∠+∠π由三垂线定理知，1111,AB BC AB BC 与∴⊥所成角为.2π（4分）（2）取AC 的中点E ，则1ACC BE 面⊥. 取CE 的中点F ，则DF//BE. 于是DF ⊥面ACC 1，故DF 为D 到面ACC 1的距离..43232121a a BE DF =⋅==（8分）（3）设A 1C 与AC 1交于点G ，则G 是A 1C 的中点.又D 是BC 的中点，.//1B A GD ∴ .//,111D AC B A D AC GD 面面∴⊂ （12分） 18、解：设该厂生产x 件这种产品的利润为L （x ）元，则)(2500361300)361200(2500500)(2500500)(33N x x x x x x x C x x L ∈--=+--=--= （5分）令).(60,0121300)(2件得==-='x x x L （8分）又当)(60,0)(,60;0)(,600x L x x L x x L x 是所以时当时=<'>>'<≤得极大值点. 当x =60时，L(x )=9500元.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元.（12分）19、解：（1）A 中2张钱币取1张，有2种情况， B 中3张钱币取1张，有3种情况， ∴互换一次有2⨯3 = 6种情况，其中10元币恰是一张的情况有3种，∴A 袋中10元钱币恰是一张的概率为P 1 =21.答略（2）A 袋中恰有一张10元币的概率为P 1 =21； A 袋中恰有两张10元币的概率为P 2 = 31；∴ A 袋中10元钱币至少是一张的概率P = P 1 + P 2 =31+ 21 = 65. 另解：. A 袋中恰有0张10元币的概率为P 0 =61， ∴A 袋中10元钱币至少是一张的概率P = 1 – P 0 = 65.答略.20、解：))(2(6)('a x x x f --=2,0)('===x a x x f 和的点是（2'）又496)(,43)2(23+-+-=-=a a a a f a f ,4)3(,94)0(=-=f a f496()2()(23+-+-=-a a a f a f ) （6'） 4)3(,94)0(=-=f a ff a f -)(()4()496()223---+-+-=a a a a =)2(0)2(3<>-a a09)94(4)0()3( a a f f =--=- （8'）所以，最大值只可能是)3()(f a f 与再比较0)3()()3(2 a a a f f -⋅=- 最大值是4)3(=f最小值只能是)23(4)0()2(),0()2(-=-a f f f f 而与故当a 0)(),0()2(,32x f f f 于是时在[0，3]的最小值是43)2(-=a f 当231a ≤时，从而此时最小值是a f f f 94)0(),0()2(-= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+--232,49320,434]3,0[)( a a a a x f 最小值是最大值是上在（12'）。

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