2014年春高2015级联合考试文科数学试题
2014,2015上海春考附加题选编
2014年上海春考数学12．已知函数与的图像相交于、两点.若动点满足，则的轨迹方程为 ．的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物）2()1x f x x -=-()1g x mx m =+-A B P 2PA PB +=P EB i ......2A i121附加题30．（本题满分8分）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为，如图，过AC 边的n 等分点作AC 边的垂线，过BC 边的n 等分点和顶点A 作直线，记与的交点为．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数，点都在这条曲线上？说明理由．31．（本题满分8分）某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131º和147º，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。
假设地球赤道是一个半径为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01º）．,b a i A i d i B i l i d i l (1,2,,1)i P i n =- 2n ≥(1,2,,1)i P i n =-32．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. 如果存在非零常数c ，对于函数定义域R 上的任意x ，都有成立，那么称函数为“Z 函数”.（1）求证：若是单调函数，则它是“Z 函数”； （2）若函数时“Z 函数”，求实数满足的条件．2015年上海春考数学12. 已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为 ；24. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b R ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集()y f x =()()f x c f x +>()()y f x x R =∈32()g x ax bx =+,a b29. 已知函数2()|22|x f x -=-(R)x ∈； （1）解不等式()2f x <；（2）数列{}n a 满足()n a f n =*(N )n ∈，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式12n n S ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠ ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0}- B. [4,0]- C. (,0]-∞ D. (,4][0,)-∞-+∞3. 已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+()n N *∈，那么（ ） A. {}n a 是等差数列 B. 21{}n a -是等差数列 C. 2{}n a 是等差数列 D. 3{}n a 是等差数列 二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++= ，则||BC =；6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形 折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数 的解析式可以为 ； 三. 解答题（本大题12分）7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”.（1）已知()sin f x x =，()cos g x x =，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由；（2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,)+∞，当[,1)x n n ∈+()n *∈N 时，()f x =12sin1n xn--，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x =的解；参考答案2015春考数学12. 221y x =-； 24. A ； 29. （1）4x <； （2）2514k ≤； 附加题1. C ；2. B ；3. D ；4.5.6. ,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩；7.（1）不存在，定义域不为R ； （2）2x π=；2014春考数学12、 24、D 29、（1）；（2）（2）由题意，则2211np n n x n a a +-=，所以n p x =双曲线的渐近线:n OQ l y =，所以n Q x =lim 11lim 22nn n n a S →∞=⨯=，所以1lim lim )2n n n S n →∞→∞=12n =12n =1)1()1(22=-+-y x ).(2,2212,12*N k kn n k n n a n ∈⎩⎨⎧=--=-=lim 12nn a =⨯12=； 所以=． 附加题30、解：以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，过A 作AC 的垂线为y 轴建立直角坐标系；∴ 存在满足条件的圆锥曲线（抛物线x b ay 2=）31、解：如图，建立赤道截面平面图，其中O 为球心，B A 、分别为甲、乙监测点，C 为卫星所在位置，D 为卫星在地赤道上的投影（由于题目中未说明C 的位置，且AC BC >，故有以下三种情况）．易得6378OA OB OD ===，016=∠AOB ，45.1537=AC ，64.887=BC在AOB ∆中，1775.292AB AC BC =≈>>；∴在ABC ∆中，ACB ∠最大，即BAC ∠、030=∠BAC 都是锐角，所以选择第三张图；∴222c o s2AB AC BCBAC AB AC+-∠=≈30.000BAC ⇒∠≈112.000O A C ⇒∠≈；lim n n S →∞21∴在AOC ∆中，7098.543OC =≈；∴720.543h OC OD =-≈，即卫星高度为； 又 在BOC ∆中， 4.415BOC ⇒∠≈ ；∴147 4.415142.5-≈∴即卫星位于赤道上东经142.58 ． 32、解：（1）[证明]① 当函数)(x f y =是单调递增函数时，则)()1(x f x f >+对任意x 恒成立；∴存在非零常数1=c ，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立；∴)(x f y =是“Z 函数”； ② 当函数)(x f y =是单调递减函数时，则(1)()f x f x ->对任意x 恒成立；∴存在非零常数1c =-，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立；∴)(x f y =是“Z 函数”；（2）由题意，若函数是“Z 函数”，则存在非零常数c ，对于定义域R 上的任意x ，都有)()(x g c x g >+恒成立，即2323)()(bx ax c x b c x a +>+++；化简后，得22323(32)()0acx ac bc x ac bc ++++>恒成立；则223230(32)43()0ac ac bc ac ac bc >⎧⎨∆=+-⋅+<⎩化简后，得003a b c a >⎧⎪⎨>⋅≥⎪⎩或003a b c a <⎧⎪⎨<-⋅≤⎪⎩∴只需满足条件0a b R ≠⎧⎨∈⎩．km 54.720997.02cos 222≈-+=∠OCOB BCOC OB BOC 32()g x ax bx =+。
数学上学期期中试题-五校教学联合体2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案(文)
福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题（满分：150分 时间：120分钟）注意事项：1. 答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2. 每小题选出答案后，填入答案卷中。
3. 考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知实数m 是1和5的等差中项，则m 等于A B ． C ．3 D ．3± 2. 点(1,2)在不等式0x y a +->表示的平面区域内，则a 的取值范围是 A ．(,3)-∞ B ．(,3)-∞- C ．(3,)+∞ D.(3,)-+∞ 3．在△ABC 中，若4AB =，3AC =，030A =，则ABC S ∆＝A ．3B ．6 C. D.4. 已知等差数列{}n a 中，246a a +=，则前5项和5S 为A.5B.6C.15D.305．已知,,a b c R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．33a b > D ．22ac bc >6. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足::3:5:7a b c =，则ABC ∆中的最大内角为 A.060 B.090 C.0120 D.01507. 已知等比数列{}n a 中，234122,8,a a a a a +==+则6a = A.31 B.32 C.63 D.648. 已知正实数,a b 满足211a b+=,x a b =+，则实数x 的取值范围是A.[6,)+∞B.)+∞C.)+∞D.[3)++∞ 9. 若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是 A.[2,2]- B.(,2][2,)-∞-+∞ C.(2,2)- D.(,2)(2,)-∞-+∞10. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则19a a +等于 A.19 B.20 C.21 D.22 11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋39412．对于正项数列{}n a ，定义nna a a a G nn ++++=32132为数列{}n a 的“匀称”值.已知数列{}n a 的“匀称”值为2+=n G n ，则该数列中的10a 等于A.23B. 54C. 1D.1021第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．不等式(1)0x x ->的解集是 . 14. 一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处 看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶4h 后，船到 达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与 灯塔的距离BC 为 km ． 15. 已知数列{}n a 中，1812,58,,n n a a a a cn +===+（c 为常数），则c 的值是 .16. 在ABC ∆中，内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，有下列结论： ① 若A B >，则sin sin A B >；② 若222c a b <+，则ABC ∆为锐角三角形；③ 若a ，b ，c 成等差，则sin sin 2sin()A C A C +=+； ④ 若a ，b ，c 成等比，则cos B 的最小值为12. 其中结论正确的是______ ___.（填上全部正确的结论）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）公差不为0的等差数列中，13a =，57a =. （Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若数列中，22n a n b -=，求数列前n 项的和.18．（本小题满分12分）C已知a ，b ，c 分别为锐角．．△ABC 三个内角A ，B ，C的对边，2sin b C = (Ⅰ) 求角B 的大小；(Ⅱ) 若2b =，ABC ∆a ，c 的值. 19．（本小题满分12分）红旗化肥厂生产A 、B 两种化肥.某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元.且销售店老板购买化肥资金不超过30万元.（Ⅰ）若化肥销售店购买A 、B 化肥的数量分别是x (吨)、y (吨)，写出x 、y 满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）.（Ⅱ）假设该销售店购买的A 、B 这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为0.3万元、0.2万元，问销售店购买A 、B 两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？20．（本小题满分12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB =6AC =，045ACB ∠=。
重庆市2014—2015学年高三上期期末文科数学试题(三)(含答案)
高三上期数学期末巩固训练（三）命题人 蒋红伟 一、选择题（5×10=50分）1．函数xx x f 1log )(2-=的一个零点落在下列哪个区间（ ）A ．（0，1）4B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4） 2．已知265:,21:x x q x p ≤->+，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知32sin =α,则=-)2cos(απ ( ) A ．－53 B ．53 C ． 19 D ．－194．已知函数=)(x f 267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩则 =-+)1()0(f f （ ）A ．9B ．7110C ． 3D ．11105．直线l 把圆0422=-+y y x 的面积平分，则它被这个圆截得的弦长为( )A ． 8 B． C ．2 D ．4 6．向量n m --==若),3,2(),2,1(与2+共线（其中nmn R n m 则且)0,≠∈等于（ ）A ．21- B ．21C ．－2D ．27．已知椭圆的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，M 是椭圆上一点，若021=⋅MF MF，8=，则该椭圆的方程是（ ）A ．12722=+y xB ．17222=+y xC ．14922=+y xD ．19422=+y x 8．若8loglog22=+y x ，则y x 23+的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．64D ．68 9．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A ．]3,0[πB ．]65,3[ππC ．]127,12[ππD ．],65[ππ10．方程2)1(11--=-x y 表示的曲线是( )A ．抛物线B ．一个圆C ．两个半圆D ．两个圆二、填空题（5×5=25分）11．如图所示，在平面直角坐标系xOy ，角α的终边与单位圆交 于点A ，已知点A 的纵坐标为45，则cos α= 12．不等式x x28332-->的解为13．已知双曲线的中心在原点,若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是14．已知数列{}n a 的通项公式263-=n a n ，前n 项和为n S ，则当n S 最小时，=n15．已知O 为坐标原点，点(1,2)M -，点(),N x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥034121y x y x x ，则OM ON ⋅的最大值为_________三、解答题（75分）16．已知1,6a b ==.（1）若()2a b a ⋅-=，求向量a 与b 的夹角； （2）若a 与b 的夹角为3π，求a b -的值17．已知ABC ∆的角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，设向量m =),(b a , n =)sin ,(sin A B ,p =)2,2(--a b（1）若m ∥n ，求证：ABC ∆为等腰三角形 （2）若m ⊥p ，边长2=c ，角=C 3π，求ABC ∆的面积18．数列{}n a 满足23,211-==+n n a a a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的公式19．已知函数()f x kx b =+的图象与y x 、轴分别相交于点B A 、，22AB i j =+（i 、 j 分别是与y x 、轴正半轴同方向的单位向量）, 函数2()6g x x x =--（1） 求b k 、的值（2） 当x 满足()()f x g x >时，求函数()1()g x f x +的最小值。
2014-2015年河南省周口市高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案
2014-2015学年河南省周口市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=，B={y|y=，则A∩B=（）A．{1}B．R C．{﹣∞，1}D．[0.1]2．（5分）已知为纯虚数（i是虚数单位），则实数a=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．（5分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为（）A．B．±C．﹣D．﹣4．（5分）在△ABC中，=2，=2，则=（）A．﹣﹣B．﹣C．﹣D．﹣+ 5．（5分）某大学生在22门考试中，所得分数如茎叶图所示，则此学生考试分数的极差与中位数之和为（）A．117B．118C．118.5D．119.56．（5分）已知正方形ABCD，其中顶点A、C坐标分别是（2，0）、（2，4），点P（x，y）在正方形内部（包括边界）上运动，则z=2x+y的最大值是（）A．10B．8C．12D．67．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8D．8．（5分）函数f（x）在定义域R上不是常函数，且f（x）满足条件，对任何x ∈R，都有f（x+2）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为（）A．1B．C．D．211．（5分）过圆O的直径的三等分点A，B作与直径垂直的直线分别与圆周交E，F，M，N，如果以A，B为焦点的双曲线恰好过E，F，M，N，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=与g（x）=x3+t，若f（x）与g（x）的交点在直线y=x的两侧，则实数t的取值范围是（）A．（﹣6，0]B．（﹣6，6）C．（4，+∞）D．（﹣4，4）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为．14．（5分）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一人得了满分，当他们被问到谁得了满分时，丙说：甲得了满分；乙说：我得了满分；甲说：丙说的真话．事实证明：这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）给出如下四个命题：①若“P∨q”为真命题，则p，q均为假命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定为“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题序号为．16．（5分）已知F1、F2为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的渐近线方程为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n+1+n﹣2，（n∈N*），且a1=2．（1）证明：数列{a n﹣1}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*）的前n项和为T n，证明T n＜6．18．（12分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：若广告费支出x与销售额y回归直线方程为y=6.5x+a（a∈R）．（I）试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？（Ⅱ）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面EBD；（2）若PA=AB=AC=2，求三棱锥P﹣EBD的高．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率为，焦点F1（0，﹣c），F2（0，c），过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆方程；（2）与y轴不重合的直线l与y轴交与点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B，且=λ，若+λ=4，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx．（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（2）设，对任意x∈（0，1），g（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．请在22,23,24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。
重庆市2014—2015学年高三上期期末文科数学试题(二)(含答案)
高三上期数学期末巩固训练（二）命题人 蒋红伟 一、选择题（5×10=50分）1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =（ ）A ．{11}x x -<<B ．{1}x x >C ．{11}x x -≤<D ．{1}x x ≥-2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．323．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的什么条件（ ） A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos 2αα+=（ ） A ．145-B ．75- C ．2- D ．455．圆0222=++x y x 和0422=-+y y x 的公共弦所在直线方程为（ ） A ．02=-y x B ．02=+y x C ．02=-y x D ．02=+y x 6. 已知函数()22xf x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）7．函数()sin2f x x x =-的单调减区间为（ ）A ．2[,]63k k ππππ++，k Z ∈ B ．7[,]1212k k ππππ--，k Z ∈ C ．7[2,2]1212k k ππππ--，k Z ∈ D ．5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈ 8．设11321log 2,log 3,()2a b c ===0.3，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．在复平面内，复数211)i (i-+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．21 B ．61 C ． 121 D ． 181二、填空题（5×5=25分）11．向量b a ,的夹角为120°，|5|,3||,1||-==则= 12．不等式0)1)(3(1<+--x x x 的解集为13．已知圆C 的圆心是直线01=+-y x 与x 轴的交点，且圆C 与直线03=++y x 相切．则圆C 的方程为14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______ 15．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____． 三、解答题（75分）16．设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |1＜4x ＋3} （1）求集合B A（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值17．已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）求函数x x x f sin 22cos )(+=的值域18． 将一颗均匀的四面分别标有1，2，3，4点的正四面体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y在区域Ω：0020x y x y >⎧⎪>⎨⎪-->⎩内的概率．19．已知数列{}n a 的前n 项和为22n n nS +=, （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列1{}n n a x -的前n 项和（其中0x >）20．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D AA AB ,3,21==为B C 1的中点，P 为AB 边上的动点. （1）当点P 为AB 边上的中点，证明DP //平面11A ACC （2）若,3PB AP =求三棱锥CDP B -的体积．21．若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b b y x 的离心率等于23，抛物线2C ：)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。
2015东北三省三校一联文科数学考试试题
2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． １．已知集合2{0,},{30,},A bB x x x x Z ==-<∈若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2 ２．复=（ ）Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．)i Ｄ．1i + ３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“c o s2c o s2A B <”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．向量a ,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ）Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ） Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ） A ．3 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．2７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（） Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｏ为球心，AB 过点Ｏ，C A C B =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A B C D -的体积为（ ）正视图侧视图俯视图A ．6 Ｂ3ＣＤ９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 12．函数()l g (1)s i n2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦 点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号） ①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.（3/g m μ）DCBAFE三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）中的信息求出,x y 的（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若AE =ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积. 21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求a 值； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <．①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ． 请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
湖北省普通高中联考2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理2．（5分）已知a是实数，是实数，则z=（2+i）（a﹣i）的共轭复数是（）A．﹣3﹣i B．3+i C．1﹣3i D．﹣1+3i3．（5分）如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）A．1 B．7 C．8 D．04．（5分）要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，325．（5分）下面的程序运行的功能是（）A．求1+++…+的值B．求1+++…+的值C．求1+1+++…+的值D．求1+1+++…+的值6．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：环数 4 5 6 7 8频数 1 1 1 1 1乙表：环数 5 6 9频数 3 1 1A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差7．（5分）记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则a的值为（）A．±B．C．±D．8．（5分）在区间[3，5]上任取一个数m，则“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是．12．（5分）若复数z=，则|z|=．13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.514．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为15．（5分）△ABC中，A（1，1），B（5，﹣5），C（0，﹣1）．则AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为．16．（5分）从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，则（1）lga+lgb=1的概率为（2）b＞2a的概率为．17．（5分）已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排列如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则（1）A（4，5）=（2）A（m，n）=．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？共有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？19．（12分）已知圆C的圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．求直线y=x截圆M所得弦长．20．（13分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．21．（14分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥；证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而a12+a22≥．（1）已知a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若++=1，求x+y+z的最大值．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1（1）若过点（﹣2，0）的直线l与圆C1交于A，B两点，且•=，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长，圆C2的周长，①证明动圆圆心C在一条直线上运动；②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理考点：类比推理．专题：常规题型．分析：从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．解答：解：从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间．用的是类比推理．故选C点评：本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力．2．（5分）已知a是实数，是实数，则z=（2+i）（a﹣i）的共轭复数是（）A．﹣3﹣i B．3+i C．1﹣3i D．﹣1+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵a是实数，==是实数，则1+a=0，解得a=﹣1．∴z=（2+i）（a﹣i）=﹣（2+i）（1+i）=﹣（1+3i）=﹣1﹣3i的共轭复数是﹣1+3i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）A．1 B．7 C．8 D．0考点：流程图的作用．专题：综合题；概率与统计．分析：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0．解答：解：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0．故选：D．点评：本题考查流程图的作用，正确读图是关键．4．（5分）要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，则抽样间隔相同即可得到结论．解答：解：若采用系统抽样，则抽样间隔为50÷5=10，故只有B满足条件，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．5．（5分）下面的程序运行的功能是（）A．求1+++…+的值B．求1+++…+的值C．求1+1+++…+的值D．求1+1+++…+的值考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序语句可知程序的功能是计算并输出S的值，i≤2014，S=1+1+…．解答：解：模拟执行程序语句可得：i=1，S=1，控制循环的条件为i≤2014，按照算法最后得到的结果应该为计算并输出S的值．S=1+1+…．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确分析循环语句的功能是解题的关键，属于基础题．6．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：环数 4 5 6 7 8频数 1 1 1 1 1乙表：环数 5 6 9频数 3 1 1A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据表中数据，求出甲、乙的平均数，中位数，方差与极差，即可得出结论．解答：解：根据表中数据，得；甲的平均数是==6，乙的平均数是==6；甲的中位数是6，乙的中位数是5；甲的方差是=[（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]=2，乙的方差是=[3×（﹣1）2+02+32]=2.4；甲的极差是8﹣4=4，乙的极差是9﹣5=4；由以上数据分析，符合题意的选项是C．故选：C．点评：本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题，是基础题目．7．（5分）记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则a的值为（）A．±B．C．±D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出曲线的方程，利用直线过圆心确定直线的倾斜角即可得到结论．解答：解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而y=ax﹣a=a（x﹣1），过定点（1，0），即过圆心，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则直线的倾斜角为60°或120°，∴当a=tan60°或a=tan120°，即a=±时，直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线过圆心的性质是解决本题的关键．8．（5分）在区间[3，5]上任取一个数m，则“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：设g（x）=（x﹣2）2（﹣1≤x＜4），函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，可得y=g（x）的图象与直线y=m有两个交点，求出m的范围，即可得出概率．解答：解：f（x）=x2﹣4x﹣m+4=（x﹣2）2﹣m，设g（x）=（x﹣2）2（﹣1≤x＜4），∵函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，∴y=g（x）的图象与直线y=m有两个交点，∴m∈（0，4），∴在区间[3，5]上任取一个数m，“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是=．故选：B．点评：本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形得到结果．9．（5分）执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和，由裂项法即可求值．解答：解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和．S=+++…+=+++…+=（1﹣+…﹣）=．故选：A．点评：本题主要考察了循环结构和裂项法求数列的前n项和，属于基础题．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是10．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解答：解：设抽取的中型商店数为x，则，解得x=10，故答案为：10点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）若复数z=，则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：先将复数z进行化简，再求出z的模即可．解答：解：z===﹣1+2i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查了化简复数问题，考查了求复数的模，是一道基础题．13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=5.25．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5考点：线性回归方程．专题：计算题；应用题．分析：根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入，只有a一个变量，解方程得到结果．解答：解：∵=3.5∴=﹣=3.5+0.7×2.5=5.25．故答案为：5.25点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查线性回归方程系数的求法，是一个基础题，本题运算量不大，是这一部分的简单题目．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=2016时，不满足条件i＜2015，退出循环，输出S的值为﹣3．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=0，S=2满足条件i＜2015，i=2，S=满足条件i＜2015，i=4，S=﹣满足条件i＜2015，i=6，S=﹣3满足条件i＜2015，i=8，S=2满足条件i＜2015，i=10，S=…观察规律可知S的取值以4为周期，由2014=503*4+2满足条件i＜2015，i=2014，S=﹣满足条件i＜2015，i=2016，S=﹣3不满足条件i＜2015，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的i，s的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分）△ABC中，A（1，1），B（5，﹣5），C（0，﹣1）．则AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为（﹣9，2）．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为（3，﹣2），再利用点斜式可得AB边上的中线所在直线方程为y+1=．利用斜率计算公式可得k AC==2，即可得出AC边上的高所在直线的方程为，联立解出即可．解答：解：线段AB的中点为（3，﹣2），∴AB边上的中线所在直线方程为y+1=，化为x+3y+3=0．∵k AC==2，∴AC边上的高所在直线的方程为，化为x+2y+5=0．联立，解得．∴AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为（﹣9，2）．故答案为：（﹣9，2）．点评：本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，则（1）lga+lgb=1的概率为（2）b＞2a的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；对数的运算性质．专题：概率与统计．分析：所有的取法共有20种方法，用列举法求得其中，分别求出满足条件的取法，由此求得所求事件的概率．解答：解：从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，所有的基本事件为（1，2），（1，4），（1，5），（1，10），（2，1），（2.4），（2，5），（2，10），（4，1），（4，2），（4，5），（4，10），（5，1），（5，2），（5，4），（5，10），（10，1），（10，2），（10，4），（10，5），共20种，（1）∵lga+lgb=1，∴ab=10，∴满足lga+lgb=1的有（1，10），（10，1），（2，5），（5，2）共4种，∴lga+lgb=1的概率为=（2）b＞2a的基本事件有（1，4），（1，5），（1，10），（2，5），（2，10），（4，10），共6种，∴b＞2a的概率为=故答案为：，点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．17．（5分）已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排列如图的三角形状，记A（m，n）表示第m 行的第n个数，则（1）A（4，5）=（）14（2）A（m，n）=．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：通过观察给出图形的特点，得到图形中的每一行所占数列{a n}的项的个数构成以1为首项，以2为公差的等差数列，然后运用等差数列前n项和公式，则问题得到解决．解答：解：由三角形状图可知，图中的第一行、第二行、第三行、…分别占了数列{a n}的1项、3项、5项、…，每一行的项数构成了以1为首项，以2为公差的等差数列，设A（m，n）是数列{a n}的第k项，则（1）A（4，5）是数列{a n}的第1+3+5+5=14项，所以A（4，5）=（）14，（2）A（m，n）是数列{a n}的第1+3+5+…+（2m﹣3）+n=（m﹣1）2+n项，故A（m，n）=．故答案为：（）14，点评：本题考查了等差数列的定义及通项公式，考查了学生的读图能力，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是求解A（m，n）是数列{a n}的第1+3+5+…+（2m﹣3）+n=（m ﹣1）2+n项，此题是中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？共有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：（1）利用高之比等于频率之比，根据第三组的频率建立等量关系，求出样本容量即可．（2）矩形高最高的就是上交作品数最多的，根据第四组的频率建立等量关系，即可求得频数．（3）先求出第四组和第六组的作品数，再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率，比较大小即可．解答：解：（1）因为所以本次活动共有60件作品参加评比．（4分）（2）因为所以第四组上交的作品数量最多，共有18件．（8分）（3）因为所以，所以第六组获奖率高．点评：本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考查，根据数据特征分析得出实际问题的结论．19．（12分）已知圆C的圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．求直线y=x截圆M所得弦长．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；（2）根据圆与圆相切的条件，结合直线和圆心相交的弦长公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上，∴，解得，即圆C的方程为x2+y2﹣2x=0；（2）∵圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．∴圆心M坐标为（0，2），圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心C坐标为（1，0），半径R=1，当两圆外切时，|CM|=3=1+r，解得r=2，当两圆内切时，|CM|=3=r﹣1，解得r=4，∵M当直线y=x的距离d=，∴当r=2时，直线y=x截圆M所得弦长l=，∴当r=4时，直线y=x截圆M所得弦长l=．点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线弦长公式的应用，利用两圆相切的等价条件求出圆的半径是解决本题的关键．20．（13分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题．分析：由题意可得方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），代入几何概率的求解公式可求（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，分别求解区域的面积，可求解答：解：方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）满足条件，则．（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以，所求概率为．…（12分）点评：本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解，属于基本方法的简单应用21．（14分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥；证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而a12+a22≥．（1）已知a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若++=1，求x+y+z的最大值．考点：归纳推理；不等式的证明．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，则a12+a22+…+a n2≥；（2）观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明；（3）由（2）知，a 1+a2+a3=1，a12+a22+a32≥，令a1=+=，a2=，a3=，则1﹣x+2﹣y+3﹣z≥，即可求出x+y+z的最大值．解答：解：（1）若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…+a n2≥（2）证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣a n）2=nx2﹣2（a1+a2+…+a n）x+a12+a22+…+a n2=nx2﹣2x+a12+a22+…+a n2因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+a n2）≤0从而证得：a12+a22+…+a n2≥；（3）由（2）知，a1+a2+a3=1，a12+a22+a32≥，令a 1=，a2=，a3=，则1﹣x+2﹣y+3﹣z≥，∴x+y+z≤，当且仅当x=，y=，z=时，x+y+z的最大值为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1（1）若过点（﹣2，0）的直线l与圆C1交于A，B两点，且•=，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长，圆C2的周长，①证明动圆圆心C在一条直线上运动；②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）设出直线l的方程，代入圆C1的方程，得出A、B两点的坐标关系，计算•的值，从而求出l的方程；（2）①设出圆心C的坐标，由题意得CC1=CC2，列出方程，得出动圆圆心C的轨迹方程；②动圆C过定点，设出C（m，3﹣m），写出动圆C的方程，与直线C1C2的方程组成方程组，求出定点的坐标．解答：解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入（x+1）2+y2=1，得（1+k2）x2+（4k2+2）x+4k2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=；∵点（﹣2，0）在C1上，不妨设A（﹣2，0），则•=x1x2+y1y2=x1x2==；解得k2=2k=±；∴l的方程为y=±（x+2）；（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2；即=；化简得x+y﹣3=0；即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动；②圆C过定点，设C（m，3﹣m），则动圆C的半径为=，∴动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0；与直线C1C2的方程组成方程组，解得，或；∴定点的坐标为（1﹣，2﹣），（1+，2+）．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了直线与平面的综合应用问题，考查了求点的轨迹的应用问题，是综合性题目．。
2014-2015上期高二文科数学试题(解析版)
2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）试卷 考试时间：120分钟 命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积( ) A ．9 B ．39 C ．18 D ．3183.已知数列,则 ）项.A. 19B. 20C. 21D. 22 4.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．105.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若693=+a a ，则=11S （ ） A ．12 B ．33 C ．66 D ．996.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ，则5cos a =（ ）A ．21-B ．21C ．±21D ．±237.若实数y x ,满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数y x z +=2的最大值是 （ ）A.-3B.23C.2D.38.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形9.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3212.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy ( )A ．有最大值eB ．有最小值e D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.当1->x 时,不等式a x x ≥-++111恒成立，则实数a 的最大值是14.在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-=，则角C 的大小为 ．15.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）． 16.已知正实数,x y 满足221x y xy ++=，则+x y 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分）17.（本题10分）数列{}n a 的通项公式是672+-=n n a n ． （1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （3）该数列从第几项开始各项都是正数？18.（本题12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b ，求A sin 的值；（2）若△ABC 的面积4=∆ABC S ，求c b ,的值.19. （本题12分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.20. （本题12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+-（1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．21. （本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T22. （本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）答案一、选择题1.A2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.C 10.A 11.D 12.C 二、填空题 13.0 14.34π15. ①②④16.3三、解答题17.【解析】（1）当4=n 时，6647424-=+⨯-=a ． 3分（2）令150=n a ，即150672=+-n n ，解得16=n 或9-=n （舍去），即150是这个数列的第16项．6分（3）令0672>+-=n n a n ，解得6>n 或1<n （舍）．所以从第7项起各项都是正数． 1018.【解析】(1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =， ∴524542sin sin =⨯==b B a A . 6分 (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=， ∴ 175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 12分 19.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 6分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立. 12分max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞20.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． 4分 ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 6分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 8分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 10分 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 21.【解析】（1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n nn T n n --=+=++ 12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AMθ︒-． 因为MN ＝2,所以AM ＝3sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)－3sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值 此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。
高三数学-2014-2015学年高三上学期期中数学试卷(文科)
2014-2015学年高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）只需直接写出结果．1．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．2．命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．3．设函数f（x）=log2（3﹣x2）的定义域为A，不等式≤﹣1的解集为B，则A∩B= ．4．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是．5．已知、为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•= ．6．以椭圆=1的左焦点为圆心，长轴长为半径的圆的标准方程是．（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．（5分）7．8．不等式组表示的平面区域的面积为．9．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．上面命题中，所有真命题的序号是．10．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则f（10x）＞0的解集为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为．12．函数y=（x﹣1）|x﹣a|（a＞1）在上是减函数，则实数a的取值范围是．13．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣4m=0交于点P，则|+|= ．14．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，则a的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．16．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB∥平面AEC．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径（1）求圆C的方程；（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．18．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：点（m，k）在直线y=2x﹣上．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且（a﹣1）S n=a（a n﹣1）（a＞0．n∈N*）（1）证明数列{a n}是等比数列，并求a n；（2）当a=时，设b n=S n+λn+，试确定实数λ的值，使数列{b n}为等差数列；（3）已知集合A={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N*，都有S n∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）只需直接写出结果．1．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= 1﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．解答：解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．2．命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．．考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是：．故答案为：．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．3．设函数f（x）=log2（3﹣x2）的定义域为A，不等式≤﹣1的解集为B，则A∩B= 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先标出已知不等式组表示的平面区域，根据围成此区域的多边形特征探求其面积．解答：解：如右图所示，在同一坐标系中分别作出直线l1：x+y=4，l2：x﹣y=2于是得到不等式组表示的平面区域，即四边形OABC（含边界），连结AC，则S四边形0ABC=S Rt△OAC+S△ABC，由A（0，4），C（2，0）知，直线AC的方程为2x+y﹣4=0，且|AC|=，由得B（3，1），从而点B到直线AC的距离d=，所以S△ABC=|AC|•d=，又S Rt△OAC=|OC|•|OA|=，所以S四边形OABC=4+3=7，即原不等式组表示的平面区域的面积为7．故答案为：7．点评： 1．本题主要考查了不等式组表示的平面区域的应用，平面内的距离公式等，考查了数形结合思想、化归思想，解决本题的关键有两个：一是正确作出不等式组表示的平面区域，二是善于将面积进行转化．2．对于面积的求解，首先应弄清区域的形状，若为三角形，一般根据“底×高”求解，底可以由两点间距离公式得到，高可以由点到直线的距离公式得到；若为四边形或四边以上的多边形，一般将其拆分为几个易求的三角形或四边形求解．9．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．上面命题中，所有真命题的序号是（2）（4）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：（1）用几何体模型来说明；（2）用垂直同一平面的两直线平行判断；（3）用几何体模型判断；（4）用垂直于同一直线的两平面平行判断．解答：解：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b或相交或异面，不正确；（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b，由垂直同一平面的两直线平行知正确；（3）若a∥α且a∥β，则α∥β或相交；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β，由垂直于同一直线的两平面平行．故填（2）（4）．点评：本题主要考查空间中线与线、线与面、面与面的位置关系，要注意常见结论和定理的应用．10．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则f（10x）＞0的解集为{x|x＜lg2} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，可得﹣1，2是一元二次方程f（x）=0的两个实数根．于是f（10x）＞0化为﹣1＜10x＜2，解得即可．解答：解：∵一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，∴﹣1，2是一元二次方程f（x）=0的两个实数根．∴f（10x）＞0化为﹣1＜10x＜2，解得x＜lg2．∴f（10x）＞0的解集为{x|x＜lg2}．故答案为：{x|x＜lg2}．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、对数的运算性质，属于中档题．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．解答：解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．12．函数y=（x﹣1）|x﹣a|（a＞1）在上是减函数，则实数a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；数形结合．分析：先对函数化简可得y=（x﹣1）|x﹣a|=，作出函数的图象，结合图象可求a的范围解答：解：y=（x﹣1）|x﹣a|==∵a＞1其图象如图所示∵函数y=（x﹣1）|x﹣a|（a＞1）在上是减函数∴∴3≤a≤4故答案为：点评：本题主要考查了函数单调性的应用，解题的关键是准确作出函数的图象，体现了数形结合思想的应用．13．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣4m=0交于点P，则|+|= 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知直线方程容易求出A（0，0），B（4，0），这两直线的方程联立得方程组，解方程组即得P点坐标，从而可求出向量的坐标，从而求出的坐标，根据向量长度的计算公式即可求得||．解答： 4β解：直线x+my=0过定点A（0，0）；由直线mx﹣y﹣4m=0得m（x﹣4）﹣y=0，∴该直线过定点B（4，0）；由得；∴；∴，；∴=．故答案为：4．点评：考查过定点的直线系方程，直线的交点坐标和两直线方程联立形成方程组解的关系，以及根据坐标求向量长度．14．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，则a的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=3∴b+c=﹣a，b2+c2=3﹣a2，∴bc=（2bc）==a2﹣，b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤2﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．点评：本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围二、解答题（本大题共6小题，满分90分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．16．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB∥平面AEC．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：（1）欲证AC⊥PB，可先证AC⊥面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面PAB内两相交直线垂直，根据PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB ⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，满足定理所需条件；（2）欲证PB∥面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与面AEC内一直线平行即可，连接BD交AC于点O，并连接EO，根据中位线可知EO∥PB，PB⊄面AEC，EO⊂面AEC满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PA⊥AC（2分）又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB∴AC⊥面PAB∴AC⊥PB（7分）（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形∴O为BD的中点又∵E为PD的中点∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC∴PB∥面AEC．（14分）点评：本题考查了空间两直线的位置关系，以及直线与平面平行的判定等有关知识，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径（1）求圆C的方程；（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用点斜式可得直线PA的方程，求出PA，点O到直线PA的距离，可求△POA的面积．解答：解：（1）设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则a=1，b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又OC的斜率为3，∴PA的斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴直线PA的方程为，即x+3y﹣8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点O到直线PA的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）OA=…..（12分）∴…（13分）∴△POA的面积=…（14分）点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的方程，考查三角形面积的计算，属于中档题．18．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．解答：解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元即200•πrh+160πr2=12000π∴h=（300﹣4r2）∴V（r）=πr2h=πr2•（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函数V（r）的定义域为（0，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，则r=5∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大点评：本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：点（m，k）在直线y=2x﹣上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得解得即可．（2）由（1）知：A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），可得直线AD的方程为，由题意直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且，联立可得点M的坐标．设P（x1，y1），由直线BP的方程与椭圆的方程联立可得点P的坐标．设N（x2，0），则由P，D，N三点共线得，k DP=k DN．即可证明．解答：（1）解：由解得，∴椭圆C 的方程为．（2）证明：由（1）知：A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），∴直线AD的方程为，由题意，直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且，由解得．设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴，∴．∴．设N（x2，0），则由P，D，N三点共线得，k DP=k DN．即，∴，∴．∴MN的斜率．∴，即点（m，k）在直线上．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得跟与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且（a﹣1）S n=a（a n﹣1）（a＞0．n∈N*）（1）证明数列{a n}是等比数列，并求a n；（2）当a=时，设b n=S n+λn+，试确定实数λ的值，使数列{b n}为等差数列；（3）已知集合A={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N*，都有S n∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”及其等比数列的定义及其通项公式即可得出．（2）当时，由（1）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，b n，要使{b n}为等差数列，可得b1+b3=2b2，解出λ即可．（3）对a分类讨论，a≥1时比较简单．若0＜a＜1，可得A=，利用等比数列的前n项和公式可得S n=．可得．要使S n∈A，必须，解得即可．解答：解：（1）当n=1时，（a﹣1）a1=a（a1﹣1）得a1=a＞0．∵（a﹣1）S n=a（a n﹣1），∴当n≥2时，（a﹣1）S n﹣1=a（a n﹣1﹣1），两式相减得（a﹣1）a n=a（a n﹣a n﹣1），化为a n=aa n﹣1．∴a n＞0恒成立，且，∴{a n}是等比数列．又{a n}的首项a1=a，公比为a，∴．（2）当时，由（1）得，∴，要使{b n}为等差数列，则b1+b3=2b2，即，解得λ=1，又当λ=1时，b n=n+1，∴{b n}为等差数列，综上所述：λ=1．（3）若a=1，则A={1}，S n=n，∴S2∉A，不合题意；若a＞1，则A=，，∴S2∉A，不合题意；若0＜a＜1，则A=，==．∴．要使S n∈A，则，解得，．综上所述，满足条件的正数a存在，a的取值范围为．点评：本题考查了利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”及其等比数列的定义及其通项公S n式、前n项和公式、集合的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
重庆市2014—2015学年高三上期期末文科数学试题(七)(含答案)
8．过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，若 AF 3 ,则 AOB 的面积为 （ ） A．
数
学（文科） 蒋红伟
命题人
2 2
B． 2
C．
3 2 2
D． 2 2
9． 已知函数 f ( x) 2 x 1 ，g ( x) 2sin x ， 则 y f ( x) 与 y g ( x) 图像在区间 [1,1] 内交点的个数为 （ ） 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。每小题只有一个选项符合题意） 1．若集合 A {x | 1 x 2}, B {x | 2 x 0} ，则集合 A B （ A． {x | 1 x 0} B． {x | 1 x 2} C． {x | 2 x 2} ( ) ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
）
x≥3
,则 f（log23）=_________
11．曲线 y f ( x) 在点 P(2,-3)处的切线方程为 x 2 y 4 0, 则f (2) _________ 12．某饮料店的日销售收入 y（单位：百元）与当天平均气温 x（单位：℃）之间有下列数据：
3．命题“ x R ， e x x 2 ”的否定是（ A．不存在 x R ，使 e x x 2 B． x R ，使 e x x 2 C． x R ，使 e x ≤ x 2 D． x R ，使 e x ≤ x 2 4．已知一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为（ A． 10 96 C． 8 96 ）
i=1, m=0,n=0
i<5? 是 i = i +1
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高2015级联合考试数学试题（文科）·第1页（共4页） 高2015级联合考试数学试题（文科）·第2页（共4页）
名校联盟2013—2014学年度下期中期考试
高2015级 数学试题
（文科）
（命题人：重庆市梁平中学 周进成 审题人：重庆市梁平中学 周厚毅）
本试卷分第I卷和第II卷两部分。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上。
2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．第II卷各题的答案，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡规定的地方。
4．考试结束，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
(选择题，共50分)
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 请把答案在答题卡的相应位置填涂.）
1．已知3()23fxx，则(1)f的值为（ ）
A．9 B．9 C．6 D．6
2．已知34zi，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．根据右侧给出的数塔猜测：1234567×9+8=（ ）
A．11 111 110 B．11 111 111
C．11 111 112 D．11 111 113
4．函数()23xfxx的零点所在的一个区间是（ ）
A．(2,1) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,2)
5．计算复数22(1)12iii等于（ ）
A．3i B．0 C．2 D．3i
6
．
设()fx是函数()fx的导函数，()yfx的图象如右图所示，则
()yfx
的图象最有可能是（ ）
7
．函数3211()(1)132fxxaxax在区间(1,5)上为减函数，在区间(6,)上为增函数，
则实数a的取值范围是（ ）
A．[4,5] B．[3,5] C．[5,6] D．[6,7]
8．某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如
下表所示：
x
16 17 18 19
y
50 34 41 31
由上表可得回归直线方程ybxa中的4b，据此模型预计零售价定为15元时，每天的
销售量为（ ）
A．48个 B．49个 C．50个 D．51个
9．已知函数()yfx的图象在点(1,(1))f处的切线方程是230xy，则(1)2(1)ff的值
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知数列1213214321{}:,,,,,,,,,,1121231234na…依它的前10
项的规律，则2014a的值
为（ ）
A．361 B．163 C．362 D．461
第Ⅱ卷
（非选择题，共100分）
二、填空题:（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答
案填写在答题卡相应的位置上）
11．已知复数2zi，则||z__________________．
12．执行如右图所示的程序框图，则输出的b的
值为__________．
13．曲线lnyx在(,1)e处的切线方程为______________．
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
……
高2015级联合考试数学试题（文科）·第3页（共4页） 高2015级联合考试数学试题（文科）·第4页（共4页）
14．甲、乙两个班级各7名同学数学竞赛成绩的茎叶图如图所示，其中甲班同学的平均分是85分，
乙班同学成绩的中位数是83，则xy值为_________________.
15．已知定义域为R的函数()fx满足：(1)4f，且对任意
xR
总有()2fx，则不等式()26fxx解集为
______________.
三、解答题：（本大题共6个小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（本小题满分13分）已知z是复数，2,2zzii均为实数（i为虚数单位），且复数2()zai在
复平面上对应的点在y轴的左侧.
（1）求复数z；
（2）求实数a的取值范围.
17．（本小题满分13分）已知31()3fxxx，
（1）求()fx的单调区间；
（2）若直线ym与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
18．（本小题满分13分）一家商场为了确定营销策略，进行了投入促销费用x和商场实际销售额
y
的试验，得到如下四组数据.
投入促销费用x（万元）
2 3 5 6
商场实际营销额y（万元）
100 200 300 400
算得：44211470074iiiiixyx
（1）求出,xy之间的回归直线方程ybxa；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？
（附：线性回归方程ybxa中，1221niiiniixynxybxnx，aybx，其中,xy为样本
平均值）
19．（本小题满分12分）现拟建一个无盖的长方体水池（不计厚度），底面长方形一边长为10米，
另一边长为x米，高为h米，体积为V立方米，假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建
造成本为100元/平方米，底面的建造成本为250元/平方米，该水池的总建造成本为31250元.
（1）将V表示成x的函数()Vx，并求该函数的定义域；
（2）当x和h为何值时该水池的容积最大.
20．（本小题满分12分）已知函数()fx21xx，
（1）求函数()fx在[0,5]上时的最值；
（2）设函数()()(1)xgxafxa，求证：()gx的图象与x轴的负半轴无交点.
21．（本小题满分12分）已知函数1()lnsinfxxx在区间[1,)上为增函数，且(0,).
（1）求的值；
（2）已知函数()3lngxxxm，若在(0,)上至少存在一个0x，使得
00
()()fxgx
成立，求实数m的取值范围.