最新刚体动力学物理竞赛讲义

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第七章刚体动力学(讲义)

MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运动变量）。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系），于是刚体的运动就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector）：只有大小和方向，它可以平行自由移动。作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点，若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定位矢量（bound vector）。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例子。还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector），它可在包含该矢量的一直线上自由移动。例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论）。

高中物理竞赛讲义(超级完整版)

最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况 (5)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (13)第二部分牛顿运动定律 (15)第一讲牛顿三定律 (16)第二讲牛顿定律的应用 (16)第二讲配套例题选讲 (24)第三部分运动学 (24)第一讲基本知识介绍 (24)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (26)第四部分曲线运动万有引力 (28)第一讲基本知识介绍 (28)第二讲重要模型与专题 (30)第三讲典型例题解析 (38)第五部分动量和能量 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (53)第六部分振动和波 (53)第一讲基本知识介绍 (53)第二讲重要模型与专题 (57)第三讲典型例题解析 (66)第七部分热学 (66)一、分子动理论 (66)二、热现象和基本热力学定律 (68)三、理想气体 (70)四、相变 (77)五、固体和液体 (80)第八部分静电场 (81)第一讲基本知识介绍 (81)第二讲重要模型与专题 (84)第九部分稳恒电流 (95)第一讲基本知识介绍 (95)第二讲重要模型和专题 (98)第十部分磁场 (107)第一讲基本知识介绍 (107)第二讲典型例题解析 (111)第十一部分电磁感应 (117)第一讲、基本定律 (117)第二讲感生电动势 (120)第三讲自感、互感及其它 (124)第十二部分量子论 (127)第一节黑体辐射 (127)第二节光电效应 (130)第三节波粒二象性 (136)第四节测不准关系 (139)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称Ipoh）① 1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。

高中物理奥林匹克竞赛专题：质点、刚体运动学及动力学

矢量矢量的合成分解矢量的基本运算标量,矢量(表示,模),张量:矢量的加法(及逆运算)、数乘、矢量的正交分解、标积和矢积及其性质:()()()()()()()()()()();,,;,;cos ,;)(,,;,C B C A C B A B A B A B A A B B A C B C A C B A A B B A k j i A B A B A A A A A A C B A C B A A B B A ⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯-=⨯⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=++=+=++=+=++=+++=+λλλAAαA A A λλλμλμλλμμλi i z y x在直角坐标系中,设),,,(),,,(z y x z y x z y x z y x b b b b b b a a a a a a =++==++=z j i b z j i a则zyxz y xz y x b b b a a a θab θab a a a a k j ie b a b a a a a ==⨯=⋅++=⋅==sin ,cos 222矢量函数及导数设随时间t (物理中的矢量可能随时间、空间变化即),,,(t z y x A )变化的矢量)(t A ,定义导数tt t t t t t t t t t ∆-∆+=∆∆≡=→∆→∆)()(lim lim d )(d )(d d 00A ΑΑA A ,性质如下.d d d d )(d d ,d d d d )(d d ,d d d d )(d d ,d dd d )(d d tt t t t t tf t f f t t t t A A B A B A A A B A B A A A A B ΑB A ⨯+⨯=⨯⋅+⋅=⋅+=+=+在不随时间t 变化的坐标系中,设矢量随时间变化k j i A )()()()(t A t A t A t z y x ++=,则()()()k j i k j i A tAt A t A A t A t A t t z y x z y x d d d d d d d d d d d d d d ++=++=. 在直角坐标系中,设随位置变化的的标量为),,(z y x f 、矢量k j i A ),,(),,(),,(),,(121z y x A z y x A z y x A z y x ++=,定义算子⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇z y x ,,使得321321,,A A A z y x z Ay A x A z f y f x f f ∂∂∂∂∂∂=⨯∇∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇k j i A A （旋度）（散度），（梯度）质点的运动学与动力学§1质点的运动学与动力学参考系(惯性系,非惯性系),坐标系(直角坐标系、自然坐标系、球坐标系、柱坐标系、平面极坐标系等,建立在参考系上.):质点:位置矢量(运动学方程)(t r r =,轨迹(轨迹方程),路程,位移),速度,加速度:直角坐标表示r ,t d d r v =,22d d d d t t rv a ==. 1. 直线运动:① 简谐振动动力学方程、运动学方程(振幅，周期、频率、圆频率，相位(初相位)):⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==-=-=ωπT f φt ωA x tx m x ωm kx F 21),(cos d d 0222)(e ,Re )(0复数描述φt ωi r z z x +==旋转矢量描述机械能守恒:设简谐振动平衡位置为零势能点则22222021)(2121)](sin [21kA ωA m x ωm φt ωωA m E E p k ==++-=+② 两个同方向同频率简谐振动的合成:两个同方向不同频率简谐运动的合成(拍现象):③ 固有振动(固有频率):阻尼振动:受迫振动(共振)及其动力学方程:()220d d d d cos txm kx t x γt ωF =--()mF f m k ωm γβt ωf x ωt x βt x 002002022,,2,cos d d 2d d ====++其中④ 单摆及其动力学方程(一般当θθθ≈<sin ,5o):0sin d d d d sin 22222=+⇔=-θlgt θt θml θmgl 2. 圆周运动:角坐标(角位移),角速度,角加速度:(以圆心为坐标原点O )()θd θ,t d d θω=,22d d d d tt θωα==, r ωv ⨯=.3. 平面曲线运动：在曲线轨迹上取任意三点，这三点决定一圆,若两侧的点无限接近中间的A 点,则它们所决定的圆将无限接近一极限圆,这个极限圆叫做A 点的曲率圆,其半径称为A 点的曲率半径.tn y x t t t v ρv t v t v t v ts t y t x t e e j i v a e e j i r v d d d d d d d d d d d d d d d d 2+=+====+==4. 空间曲线运动(已知曲线方程求曲率半径):伽利略变换:t t t '∆=∆+'=⇔+'='',r r r u r r ,,o ,o o 1o 1牛顿三定律:.d d ,;0F F pF C v F '-====,t （质点动力学方程）质点及质点系的动量定理(动量守恒定律),动能定理,功能原理(机械能守恒定理),角动量定理（角动量守恒定律）:.0;d d d d d d d 1212212121）即质点系动量守恒定律（质点系动量定理，（质点动量定理）=-=-=⇔=⇔=∑∑⎰⎰⎰I p p I v v F p F pF m m t t t t t t t t t t t().0,,;2121d d d d d d d nc 12nc 12c 122122212121即机械能守恒定律）（质点系功能原理（质点系动能定理）（质点动能定理）=-=--=⇔-=-=⋅⇔⋅=⋅⇒=∑∑⎰⎰⎰W E E W E E W E E W m m t ,t p p k k t t t t v v r F r p r F p F r r 能量守恒定理:().,,,0,d d ;,0,d d d d d d 1221和为诸质点动量矩的矢量为诸外力矩的矢量和其中守恒）即动量矩微分形式（质点系动量矩定理的守恒）即动量矩分和积分形式（质点动量矩定理的微J M J M JM J M J J M p r M p r F r p F ===-=⇔⨯=⇔⨯=⨯⇒=⎰ttt ,t t t§2在保守力学体系下的质点系可以构造系统的作用量I :质点系统随时间演化的各种可能过程,真实演化的I 值具有稳定值(极值),即对于真实演化来讲,I 的变分等于零,即0d 21==⎰L δt I δt t ,在保守力系下的L (称为拉氏量)可表示为()322211312112,,,,,,21N ji j x x x x x x V x m V T L -=-=, 由此可导出牛顿三定理.刚体运动学和动力学§1刚体运动学和动力学刚体、质心:∑=ii i C m r r1 平动:2 定轴转动:（1）角坐标（运动学方程)(t θθ=，角位移）、角速度、角加速度:(坐标原点O 在转轴上,见上图)θ,t d d θω=,22d d d d t t θωα==.r ωv ⨯=(刚体内一点的速度)（2）动力学方程:).,,0(d d d d 对非刚体也成立即角动量守恒==⇔=M M J M ωtt I.,2F r M ⨯==∑ii i m ρI 其中①若干密度均匀形状规则物体的转动惯量:②平行轴定理:2md I I C +=3 平面平行运动:刚体中任意一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动. 例圆柱的滚动:4 定点转动（欧拉角描述,欧拉运动学方程）:5 一般运动:()()r r ωωr ωa r ωωr ωa a r ωv v 2'-'⋅+⨯+='⨯⨯+'⨯+='⨯+=ωt t A A A d d d d力系的简化:任意力系总可简化为通过某指定点P 的一个单力F 及一力偶矩为M 的力偶,P 称为简化中心,F 称为主矢,M 称为对简化中心的主矩.刚体运动微分方程(刚体平衡方程00==M F ，):动坐标系z y x o '''-'的原点在质心C 上,并随着C 相对xyz o -平动(若动坐标系z y x o '''-'相对xyz o -平动,则相对o '的主矩M '需加上(),C o r r '⨯'m 其中的加速度相对为o o ''o r ,C r '为刚体的质心相对于o '的位矢)；'()⎪⎩⎪⎨⎧'='=⇔⎪⎩⎪⎨⎧'⨯+'='=⇔⎪⎩⎪⎨⎧=='M J F r r r M J F r M JF r C o t m m t m t m d d d d d d C C C。

高二物理竞赛刚体模型及其运动课件

d
dt
其也方就是向与与d增加方方向向一一致致
§3-2 力矩转动惯量定轴转动定律
一、对转轴的力矩
•力
改变质点的运动状态
质点获得加速度
？
•
改变刚体的转动状态
对转轴力矩的定义：
M Z r F
对于定轴转动，M的方向与转轴平行
刚体获得角加速度
M
z
F||
F
F
r
二、定轴转动定理
对任一质点m ：母鸡的理想不过是一把糠。
2 ω0
t
3 4
R
g
0
刚体运动时，各质点都在与同一直线（转轴）垂直的诸平面上作圆周运动，且圆心在该直线上。例3-7 一细绳跨过定滑轮，在绳的两端各悬质量为m1和m2的物体，其中m1>m2,求它们的加速度及绳两端的张力T1和T2(滑轮质量为m 半径为R)
例3-6 一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。
加速度。 §3-1 刚体模型及其运动
例3-4 计算钟摆的转动惯量。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。
与方向都沿转轴方向
对滑轮，据刚体的定轴转动定律
线速度与角速度之间的关系：
解： c 三、角速度角加速度矢量
2
J J m d A o 特点：任意两点的相对位置始终保持不变.
解：选质元dm如图所示
若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是
例3-1 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
R 4 （1）力矩的瞬时作用规律
R 1 3 求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。

高二物理竞赛刚体转动动能定理PPT(课件)

m3g
m1 a1
m1g
a2
T1 T2
讨论：当 m3
T2
T2
m2
a1
T1
a22am1m1m1ma1(22mgm1m2(2mmm12121121m2)gmm1mmm3232)3gg
m2mm12Tg12mm22g2mm1m1 2 gm2
0时
1 2
m2m3
1 2
m3
g
复习
一. 力矩
M rF
律。
已知：M0 I M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
M+
2）分析受力矩；
M0 I M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M0 M1 I
解：4）列方程：
M0 M1 I M0 M1 M0 a
M+ M0
M1=–a
d M0I a
dt
I
I
1 (ln M0 a ) t
分离变量：
a
M0
I
d dt M0 a I
0
d M0 a
t dt
0 I
M0
a
at
eI
M0
1 a
M0(1
at
eI
)
r 质量分别为m1，m2的物体通过轻绳挂在质量为
m3半径为的圆盘形滑轮上。求物体m1 m2运动
的加速度以及绳子张力
T1.T2 ,（绳子质
量不计）抵消已知：m .m .m .r 解(二)：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从 0 -
建立轴的正向：（以逆时针转动方向为正方向） 1）以刚体为研究对象；
0则 0

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体力学基础(共14张PPT)

四、角动量问题举例
例 3-5 设一质量为m的滑块在水平面(Oxy)内以初速度 u0 u0i
从原点O出发沿x轴滑动.假设滑块与水平面的摩擦力 f f i
恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O的角动量.
解
t=0时， u0 u0i 质点受力 f f i
滑块任意时刻t的速度
u
u0
ft m
Lrprm v
圆周运动的质点、定轴转动刚体的角动量
Lm2 rJ
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3-4 角动量角动量守恒定律第三章刚体力学基础
2 角动量定理(对定轴转动刚体)
t
L
t0M dtL 0dLLL 0JJ0
3 角动量守恒定律若系统所受合外力矩为零，则系统角动量保持不变.
3-4 角动量角动量守恒定律第三章刚体力学基础
第三章刚体力学基础
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3-4 角动量角动量守恒定律第三章刚体力学基础
一、角动量
1.
质点的角动量
质量为 m的质点以速度
v
z
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
L
点的角动量：
O
Lrprm v x r
解碰撞过程质点和刚体的系统动量、
O
能量皆不守恒。但是系统的对O轴合外
力矩为零，角动量守恒。有
mlu0mluJ
M
J 1 Ml2
3
u l
解以上三式，得 3m2u0
v0
(3m M )l
l mv
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3-4 角动量角动量守恒定律第三章刚体力学基础
质点以角速度作半径为 r的圆运动，

第十三讲刚体的运动和动力学问题

第十三讲刚体的运动学与动力学问题一竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。

二竞赛扩充的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。

刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。

2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。

3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动学的s 、v 、a 进行类比）。

且有：ω=t t ∆∆Φ→∆lim；β=t t ∆∆→∆ωlim 0。

当β为常量时，刚体做匀加速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2；ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。

式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。

对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。

例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。

例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。

例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。

高二物理竞赛刚体及其运动课件

12
z
设刚性薄板平面为 xOy面
J z
r 2dm
m
(x2 y2 )dm m
x
x2dm y2dm
m
m
dm Or
y
J y J x量为m的均匀圆环, 对于沿
直径转轴的转动惯量。
解：圆环的质量密度为 m
取质元dm，距转轴 r
2R
r dm
dm dl R d
（3）形状复杂—实验
10
zN
以质心C为坐标原点
Cz：质心轴 MN//Cz r' r d
O
d r
Or' 'd m
C
y
对MN轴的转动惯量为
J r'2 d m
(r
d)
2
d
x
m
m
m
r 2dm d 2dm
2r d dm
m
JC
md 2
m 2d
m rdm
m
M
11
1
rdm
r R cos
J r2 d m 2 2 R2 cos2 R d
m
2
d
R
R3 1 mR2
2
14
1
刚体及其运动
一、刚体模型
刚体：在外力作用下，大小和形状都不变的物体
二、刚体的运动
1.平动：刚体运动时，其内部任一直线的方向始终不变
特点：各点位移、速度、加速度均相同
刚体平动
质点运动 ——可视为质点
2
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动
3
2.转动：刚体上各质
点都绕同一直线(转
动轴)作圆周运动
定轴转动：转轴固定不动的转动

高二物理竞赛刚体课件

b
M J
1 2
mgLcosq
1 3
mL2
3g cosq
2L
b 3 g2cLosq 刚体定轴转动与质点一维运动的对比
xc
一根长为L、质量为m的均匀细直棒, 其一端
轴上的分量的大小均为：
dw dw dq d 对应的弧长为Rd 又： b 第5节滚动与进动 dt dq dt 弧度/秒(rad ·s-1 )
Mz
M
k
dL dt
k
d Lik
dt
dm iwri zikirikk
dt
d( m i ri2w)
dt
b
m
i ri2
令: J m i ri2 ——转动惯量
将Mz改写为M，则
M Jb ——定轴转动定律
w (Z轴)转轴
刚体
O
ni i
ri
A
Ri
O
Lz Li k m i ri2w Jw
将Lz改写为L，则 L Jw ——对定轴的角动量
JC
1 12
mL2
可见：同一物体绕不同的转轴的转动惯量不同！
（3）平行轴定理
JC
1 12
mL2
ห้องสมุดไป่ตู้
JA
1 mL2 3
A
C
B
L
JC是通过质心的轴的转动惯量， JA是通过棒端的轴的转动惯量
两轴平行，相距L/2。
J
A
JC
1 3
mL2
1 12
mL2
m(
L )2 2
J
A
=
JC
+
m(
L 2
)2
上述结论可以推广：
若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体对其转动惯量为J，则有：

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刚体动力学（一）
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1. 一根质量为m长为l的细长均匀棒绕端点轴转动惯量是否与绕着质心旋转的惯量相同？
已知波动方程如下，求波长、周期和波速。

2. 试将一根质量为m的均匀细长木棒两端用绳水平掉起来，在剪断一边绳子的一瞬间，另
一端绳子上拉力为多少?（转动惯量值请查讲义前面附录）
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3. 证明一个轮子在粗糙水平地面上做纯滚运动，理论上其永远不会停下。

4. 求一个质量为m，半径为R的球，沿着倾角为的斜面无滑动滚下的加速度，并讨论实
现上述现象的必要条件。

5. 一定滑轮的质量为m，半径为r，转动惯量为I，通过一轻绳两边系质量为1m和2m的
物体，绳不能伸长，绳与滑轮也无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。

6. 质量为m、长为l的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平固定轴自由转动，棒原来静止
在平衡位置上。现有一质量为M的小球以速度v在同一平面面内飞来，正好于棒下端
相碰，设碰撞为完全非弹性，求碰后瞬间角速度。
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7. 如图，两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱质量、半径分别为1M、
2M和1R、2R，开始时各自的角速度分别为1、2

，现将它们缓慢移近使之接触。求

两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。

8. 如图，质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动，设阻力可以忽略不
计。质量为m的人，站在台的边缘绕台奔跑一周。求相对与地面而言，人和转台各转了
多少角度？

9. 如图质量、半径相同的(a).圆柱，(b).薄球壳，(c).球体从相同光滑斜面的相同高度由静止
无相对滑动下滑。求质心所获得的速度。
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10. 如图，半径为R的乒乓球与水平桌面的摩擦系数为，开始时，用手按球的上左侧，使
球的质心以c0v的初速度向正x方向运动，并具有逆时针方向的初始角速度0，设

0032Rc
v
。试分析乒乓球以后的运动情况。

11.
12. 把一个刚体悬挂于天花板下，其相对于悬挂点的转动惯量为J，其重力为G，重心在悬
挂点下方h处，计算其做小幅振动时的周期。

13.
14. 质量分别为m和2m，半径分别为r和2r的两个匀质圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过
盘心且垂直于盘面的水平光滑转动，在大小盘边缘都绕有绳子，绳下端都挂一质量为m的重物，如图，求 (1)圆盘的转动惯量； (2)盘的角加速度。