中学物理竞赛讲义动能定理
高二物理竞赛动能定理机械能守恒定律课件
二、势能 势能曲线
1、保守力的功 重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
b
W mg dr
a b
Z
a (mg )k (dxi dyj dzk )
zb
za
mgdz
a•
dr
• •b
mg
mgza mgzb
O
Y
初态量 末态量
X
万有引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所在处
P F Fv
dt
瞬时功率等与力与物体速度的标积
作用力和反作用力做功之和
m1、m2组成一 个封闭 系
m1 r1
F1
dr1
m2 r2 F2 dr2
dr2
dr1 F1 F2 m1
m2
r12
r1
r2
dW F1 dr1 F2 dr2
F1 F2
o
dW F1 d r12
dW F1 (d r1 d r2 ) F1 d(r1 r2 )
1 外力做正功等于相应动能的增加；
b
1 1 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反
2
d ( mv ) mv mv 某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。
3、保守力和势能的关系：
a
2 2 2 质点所受保守力等于质点势能梯度的负值
2
2
b
a
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。
3、势能曲线有极值，
质点处于平衡位置。
Ep
•B
设系统机械能守恒， E
势垒
由此势能曲线可分析 系统状态的变化。
ra 势阱 rb •A
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、什么是动能定理在物理学中，动能定理是一个非常重要的概念。
动能定理表述为：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
动能是物体由于运动而具有的能量。
其表达式为$E_{k} ＝＼frac{1}｛2}mv^2$，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
那么动能定理具体怎么理解呢？我们可以想象一个物体在力的作用下运动。
力对物体做功，会使物体的速度发生变化，从而导致动能的改变。
而动能定理就是描述这个做功与动能变化之间的定量关系。
二、动能定理的表达式动能定理的表达式为：＄W_{合} ＝＼Delta E_{k}＄，其中$W_{合}＄表示合外力做的功，＄＼Delta E_{k}＄表示动能的变化量。
如果物体受到多个力的作用，那么合外力做的功就是这些力做功的代数和。
例如，一个物体受到力$F_1$、＄F_2$、＄F_3$……的作用，它们分别做的功为$W_1$、＄W_2$、＄W_3$……，则合外力做的功$W_{合} ＝ W_1 ＋ W_2 ＋ W_3 ＋＼cdots$。
动能的变化量$＼Delta E_{k} ＝ E_{k2} E_{k1}＄，其中$E_{k2}＄表示末动能，＄E_{k1}＄表示初动能。
三、动能定理的应用场景1、求变力做功在很多情况下，物体所受的力是变化的，直接求力做的功比较困难。
这时利用动能定理就可以通过计算动能的变化来间接求出变力做的功。
例如，一个小球在一根弹簧的作用下运动。
弹簧的弹力是一个变力，我们无法直接计算弹力做的功。
但是，我们可以通过测量小球的初末速度，计算出动能的变化，从而得出弹力做的功。
2、解决多过程问题当物体经历多个运动过程时，每个过程可能受力情况不同。
如果分别对每个过程用牛顿运动定律和运动学公式来求解，会非常复杂。
而动能定理可以将整个过程作为一个整体来考虑，大大简化了计算。
比如，一个物体先在粗糙水平面上匀加速运动一段距离，然后进入光滑斜面继续运动。
我们可以用动能定理直接求出整个过程中合外力做的功，从而得出物体动能的变化。
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、动能定理的基本概念在物理学中，动能定理描述了合外力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
动能是物体由于运动而具有的能量，其表达式为$E_{k} ＝＼frac{1}｛2}mv^2$，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
动能定理指出：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，即$W ＝＼Delta E_{k}＄。
这里的$W$表示合外力做的功，＄＼DeltaE_{k}＄表示动能的变化量。
理解动能定理的关键在于认识到做功是能量转化的过程。
当合外力对物体做功时，其他形式的能量会转化为物体的动能；反之，当物体克服合外力做功时，物体的动能会转化为其他形式的能量。
二、动能定理的表达式动能定理的数学表达式为：＄W_{合} ＝ E_{k2} E_{k1}＄其中，＄W_{合}＄是合外力对物体所做的功，＄E_{k2}＄是物体末状态的动能，＄E_{k1}＄是物体初状态的动能。
如果合外力是恒力，可以直接用公式$W_{合} ＝ F ＼cdot s ＼cdot ＼cos\theta$来计算合外力做的功，其中$F$是合外力的大小，＄s$是物体在合外力方向上的位移，＄＼theta$是合外力与位移方向的夹角。
如果合外力是变力，我们通常需要通过积分或者分段计算的方法来确定合外力做的功。
三、动能定理的应用场景1、求解物体的速度当已知物体所受合外力做功以及物体的初速度或初动能时，可以利用动能定理求出物体的末速度。
例如，一个质量为$m$的物体，在水平方向受到一个恒力$F$的作用，经过位移$s$后，速度从$v_1$增加到$v_2$。
根据动能定理，＄Fs ＝＼frac{1}｛2}mv_2^2 ＼frac{1}｛2}mv_1^2$，通过这个式子可以求出$v_2$。
2、求解物体所受的合外力如果已知物体的运动情况以及动能的变化，就可以通过动能定理计算出合外力。
比如，一个物体从高处自由下落，下落高度为$h$，已知物体的质量$m$和落地时的速度$v$。
中学物理竞赛讲义-4.2动能定理
4.2动能定理一、单个质点的动能定理例1、设物体的质量为m ，在与运动方向相同的恒定外力F （F 未知）的作用下，在光滑水平面上发生一段位移l ，速度由v 1增加到v 2，如图所示。
试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力F 对物体做功的表达式（与速度的关系）。
22211122W mv mv =- 功是能量转化的量度，上式右边可以看成是能量的变化（末状态的能量减初状态的能量）。
由于和速度有关，将其定义为动能。
1、动能212K E mv = 2、动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化量。
22211122k W E mv mv =∆=-合 3、动能定理的优越性：(1)适用于恒力做功，也适用于变力做功。
(2)适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(3)适用于单一过程，也适用于全过程（复杂运动）。
*(4)机械能守恒定律是有适用条件的，而动能定理是普遍适用的。
例2、两个质量均为m 的小球．用长为2L 的轻绳连接起来，置于光滑水平面上，绳恰好处于伸直状态．如图所示．今用一个恒力F 作用在绳的中点，F 的方向水平且垂直于绳的初始长度方向．原为静止的两个小球因此运动．求：（1）在两个小球第一次相碰前的瞬间,小球在垂直于F 作用线方向上的分速度为多大?（2）若干次碰撞后，两球处于接触状态一起运动，求因碰撞损失的总能量。
二、质点系统的动能定理质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功的代数和。
k E W W ∆=+∑∑外内注意：系统牛顿第二定律：F =ma ，不需要考虑内力。
但是，系统动能定理，不仅需要考虑外力做功，还要考虑内力做功例3、速度为v 1的子弹射入静止在光滑桌面上的木块，子弹受到的阻力为f ，子弹未从木块中射出，子弹和木块以共同的速度v 2在桌面上运动。
子弹射入木块的深度为d ，求木块和子弹构成的系统动能的减少量。
三、非惯性系中的系统动能定理质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功以及惯性力做功的代数和。
高二物理竞赛课件：动能和动能定理
动能和动能定理
Kinetic Energy and Theorem of Kinetic Energy
力的两个效应 • 物体的运动状态发生变化 • 引起物体位移，做功 问题：做功------物体运动状态的变化
关系是怎样的？
2
质点在变力F 作用下由点P 运动到点Q ，
vQ
合力对质点所作的功为：
例:一物体以初速v0= 6.0 ms1沿倾角为 =30°的斜面向上运
动,如图, 物体沿斜面运行了s = 2.0 m后停止。若忽略空气阻
力, 试求:
(1) 斜面与物体之间的摩擦系数μ；
(2) 物体下滑到出发点的速率v。
Q
αP
解：⑴ 将物体、斜面和地球看作一个系统，系统没有 外力对它做功，但内部摩擦力是非保守力做功，机械能 不守恒。可用功能原理解决问题
A= E(Q)-E(P)
⑵ 物体下滑到出发点过程中,
根据功能原理得
A= E(C)-E(Q)
v
α
即有 解得
mgscos 1 mv 2 mgssin
2
例 ：求使物体脱离地球引力作用的最小速度。 解：根据机械能守恒定律有
例 ：求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离 太阳引力作用的最小速度。
解：根据机械能守恒定律有
Q Q
A
P
F
d
raPdmva,
d
r
d
r
v dt
dt
Q
F
dr
vP
P
A
பைடு நூலகம்
Qmdv vdt P dt
Q mv d v 1
P
2
Q P
mdv
v
=
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、动能定理的基本概念在物理学中，动能定理描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
动能定理的表达式为：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
动能是物体由于运动而具有的能量，其表达式为$E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
当一个力作用在物体上，并使物体在力的方向上发生了位移，我们就说这个力对物体做了功。
功的表达式为$W ＝ Fs\cos\theta$，其中$F$是力的大小，＄s$是位移的大小，＄＼theta$是力与位移之间的夹角。
二、动能定理的推导假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿直线从位置$A$运动到位置$B$，其位移为$s$，初速度为$v_1$，末速度为$v_2$。
根据牛顿第二定律$F ＝ ma$，其中$a$是加速度。
又因为运动学公式$v_2^2 v_1^2 ＝ 2as$，可得$a ＝＼frac{v_2^2 v_1^2}｛2s}＄。
将$a$代入$F ＝ ma$，得到$F ＝ m\frac{v_2^2 v_1^2}｛2s}＄。
力$F$所做的功$W ＝ Fs ＝ m\frac{v_2^2 v_1^2}｛2}＄。
而物体的初动能$E_{k1} ＝＼frac{1}｛2}mv_1^2$，末动能$E_{k2} ＝＼frac{1}｛2}mv_2^2$。
所以力$F$所做的功等于物体末动能减去初动能，即$W ＝ E_{k2}E_{k1}＄，这就是动能定理。
三、动能定理的应用场景1、单一物体的直线运动在这种情况下，我们可以直接分析物体所受的力，并计算每个力所做的功，然后根据动能定理求出物体的末速度或位移等物理量。
例如，一个质量为$2kg$的物体在水平面上受到一个水平向右的恒力$F ＝10N$，物体运动了$5m$，初速度为$2m/s$，求物体的末速度。
首先分析力做功，水平力$F$做功$W_F ＝ Fs ＝ 10×5 ＝ 50J$，摩擦力做功为$0$（假设水平面无摩擦）。
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、什么是动能定理动能定理是物理学中一个非常重要的定理，它描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
动能，简单来说，就是物体由于运动而具有的能量。
一个物体的动能大小等于其质量与速度平方乘积的一半，即$E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
而动能定理指出：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
用公式表示就是$W ＝＼Delta E_k$，其中$W$是合外力做的功，＄＼Delta E_k$是动能的变化量。
二、动能定理的推导为了更好地理解动能定理，我们来简单推导一下。
假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿着直线从位置$x_1$运动到位置$x_2$，力的方向与位移方向相同，加速度为$a$。
根据牛顿第二定律$F ＝ ma$，又因为匀变速直线运动的位移公式$x ＝ v_0t ＋＼frac{1}｛2}at^2$，速度公式$v ＝ v_0 ＋ at$。
我们对位移公式进行变形可得：＄t ＝＼frac{v v_0}｛a}＄，将其代入位移公式可得：＄x ＝＼frac{v^2 v_0^2}｛2a}＄。
力$F$做的功$W ＝ Fx ＝ ma ＼times ＼frac{v^2 v_0^2}｛2a} ＝＼frac{1}｛2}mv^2 ＼frac{1}｛2}mv_0^2$。
这正好就是物体末动能与初动能的差值，也就是动能的变化量$＼Delta E_k$。
三、动能定理的应用场景1、求物体的速度当已知物体所受的合力做功以及物体的初动能时，可以通过动能定理求出物体的末速度。
例如，一个质量为$2kg$的物体，在水平方向受到一个大小为$10N$的恒力作用，力的方向与运动方向相同，物体在力的作用下移动了$5m$，初始速度为$2m/s$。
则合力做功$W ＝ Fs ＝ 10×5 ＝ 50J$，根据动能定理$W ＝＼Delta E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2 ＼frac{1}｛2}mv_0^2$，可得$50 ＝＼frac{1}｛2}×2×v^2 ＼frac{1}｛2}×2×2^2$，解得$v ＝ 6m/s$。
《动能和动能定理》 讲义
《动能和动能定理》讲义一、引入在我们的日常生活中，运动的物体随处可见。
比如飞驰的汽车、投掷出去的铅球、飞行中的子弹等等。
当这些物体运动时，它们似乎具有一种能够对外做功的能力。
那么，这种能力究竟是如何描述和衡量的呢？这就引出了我们今天要探讨的主题——动能和动能定理。
二、什么是动能简单来说，动能就是物体由于运动而具有的能量。
想象一下，一辆快速行驶的汽车和一辆缓慢行驶的汽车，哪一辆具有更大的“冲击力”或者说能够做更多的功呢？显然是快速行驶的那一辆。
这是因为它的运动速度更快，所以具有更大的动能。
动能的大小与物体的质量和速度有关。
其表达式为：＄E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$ ，其中＄E_k$ 表示动能，＄m$ 表示物体的质量，＄v$ 表示物体的速度。
从这个表达式中，我们可以看出以下几点：1、动能与物体的质量成正比。
质量越大的物体，在相同速度下具有的动能就越大。
比如一辆大卡车和一辆小汽车以相同的速度行驶，大卡车具有更大的动能。
2、动能与速度的平方成正比。
这意味着速度对动能的影响更为显著。
速度增加一倍，动能将增加到原来的四倍。
所以，即使物体的质量较小，但如果速度足够快，也能具有较大的动能。
例如，一颗子弹虽然质量很小，但由于其高速飞行，具有很大的动能，可以造成巨大的杀伤力。
三、动能定理有了对动能的理解，接下来我们来学习动能定理。
动能定理表述为：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
用数学表达式可以写成：＄W ＝＼Delta E_k$ ，其中＄W$ 表示合外力对物体做的功，＄＼Delta E_k$ 表示动能的变化量。
假如一个物体在初始时刻的动能为＄E_{k1}＄，经过一段时间，在外力的作用下，其动能变为＄E_{k2}＄，那么动能的变化量＄＼Delta E_k ＝ E_{k2} E_{k1}＄。
为了更好地理解动能定理，我们来看几个例子。
例 1：一个质量为＄m$ 的物体在光滑水平面上，受到一个水平恒力＄F$ 的作用，从静止开始运动，经过一段距离＄s$ 后，速度达到＄v$ 。
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4.2动能定理
一、单个质点的动能定理
例1、设物体的质量为m ，在与运动方向相同的恒定外力F （F 未知）的作用下，在光滑水平面上发生一段位移l ，速度由v 1增加到v 2，如图所示。
试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力F 对物体做功的表达式（与速度的关系）。
22211122W mv mv =- 功是能量转化的量度，上式右边可以看成是能量的变化（末状态的能量减初状态的能量）。
由于和速度有关，将其定义为动能。
1、动能
212
K E mv = 2、动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化量。
22211122
k W E mv mv =∆=-合 3、动能定理的优越性：
(1)适用于恒力做功，也适用于变力做功。
(2)适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(3)适用于单一过程，也适用于全过程（复杂运动）。
*(4)机械能守恒定律是有适用条件的，而动能定理是普遍适用的。
例2、两个质量均为m 的小球．用长为2L 的轻绳连接起来，置于光滑水平面上，
绳恰好处于伸直状态．如图所示．今用一个恒力F 作用在绳的中点，F 的方向水平且垂直
于绳的初始长度方向．原为静止的两个小球因此运动．求：（1）在两个小球第一次相碰前
的瞬间,小球在垂直于F 作用线方向上的分速度为多大?（2）若干次碰撞后，两球处于接触
状态一起运
动，求因碰撞损失的总能量。
二、质点系统的动能定理
质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功的代数和。
k E W W ∆=+∑∑外内
注意：
系统牛顿第二定律：F =ma ，不需要考虑内力。
但是，系统动能定理，不仅需要考虑外力做功，还要考虑内力做功
例3、速度为v 1的子弹射入静止在光滑桌面上的木块，子弹受到的阻力为f ，子弹未从木块中射出，子弹和木块以共同的速度v 2在桌面上运动。
子弹射入木块的深度为d ，求木块和子弹构成的系统动能的减少量。
三、非惯性系中的系统动能定理
质点系的动能增量等于作用于质点系所有外力和内力做功以及惯性力做功的代数和。
k E W W W ∆=++∑∑∑外内惯
例4：水平地面上的小车以加速度a 行驶，车厢中有一物体，相对于车厢以匀速v 向前运动，验证非惯性参考系中的动能定理
例5、一质量为m 的小物体，放在半径为R 的光滑半球面顶端。
求下列情况下物体离开球面时，离半球面底面的距离h 。
（1）半球以10m/s 的速度匀速上升
（2）半球面以加速度a=g/2匀加速上升
（3）半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动
四、质心参考系中的动能（柯尼希定理）：
质点系相对某一参考系的动能，等于质心相对该参考系的动能，加上质点系的内动能
内动能：在质心参考系中各质点相对于质心的动能之和
例6：如图，C 为质心，v C 为质心速度，v ‘为两物体相对于质心的速度，验证柯尼希定理。
2、柯尼希定理的严格证明：
设n 个质点m 1， m 2， ……， m n ，构成的质点系 ，质心C 的速度为v C ，各质点相对于质心的速度为v 1‘， v 2‘， ……， v n ‘
3、柯尼希定理常用于两质点构成的系统：
设两质点m 1， m 2，原参考系中速度为v 1， v 2，质心参考系中速度为v 1‘， v 2‘
因此两质点间的相对速度为：1212''u v v v v =-=-
即：2112'm v u m m =
+，1212
'm v u m m =-+ 因此，2222112211112222C m v m v m v u μ+=+总，其中，1212m m m m μ=+称为约化质量。
例7：长为l 的轻质悬线，下端有一质量为M 的砂袋，初始静止。
质量为m 的子弹以v 0的初速度水平射入砂袋，并留在砂袋内，一起绕绳摆动，求最大摆动角
例8：光滑水平面上有一质量为M 的小车，车里有一平台，平台上有一质量为m 的光滑小球，一根轻质弹簧一端固定在车台壁板上， 弹簧被压缩并用线拖住，小球与弹簧自由端接触。
将小车固定，烧断线后，小球被弹出，飞出的水平距离S 1 ，若小车不固定，同样条件下烧断线后，小球弹出后在车内飞出的水平距离S 2为多大？
五、微元法在动能定理中的应用：
例9、如图所示，在容器中距水面深度为h 处开一个小孔，在不计水的粘滞阻力的条件下，求水从小孔流出的初速度。
例10、从一个容器里向外抽空气，直到压强为p 。
从一个容器里向外抽空气，直到压强为p 。
容器上有一小孔，用塞子塞着。
现把塞子拔掉， 有一小孔，用塞子塞着。
现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为p 0，大气密度为ρ。