第2讲动能定理及其应用讲义
第2讲 动能定理及其应用
3-1 如图所示,质量m=1 kg的木块静止在高h=1.2 m的平台上,木块与平 台间的动摩擦因数μ=0.2,用水平推力F=20 N,使木块产生位移l1=3 m时 撤去,木块又滑行l2=1 m后飞出平台,求木块落地时速度的大小。
答案 11.3 m/s
解析 解法一 取木块为研究对象。其运动分三个过程,先匀加速前进
F1=μmg ①
根据动能定理,对物块由A到B整个过程,初末状态速度均为0;因此初末 状态的动能均为0
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Fx1-F1x=0 ② 代入数据,解得 x1=16 m③ (2)设刚撤去力F时物块的速度为v,此后物块的加速度为a,滑动的位移为 x2,则 x2=x-x1 ④ 由牛顿第二定律得
F1 a= ⑤ m
栏目索引
答案 见解析 解析 (1)物块恰好能到达M点,则
2 vM mg=m R
vM= gR = 10 m/s
(2)物块从B点运动到M点的过程中,由动能定理得:
栏目索引
2 2 -mgR(1+cos 37°)= mv mv M - B
1 2
1 2
vB= 46 m/s
(3)由乙图可知,物体在斜面上运动时,加速度大小为 a=10 m/s2,方向沿斜面向下,所以有 mg sin 37°+μmg cos 37°=ma 则μ=0.5
l1,后匀减速前进l2,再做平抛运动,对每一过程,分别列动能定理得:
1 m Fl1-μmgl1= v12 2
栏目索引
2 2 v2 -μmgl2= m - mv 1 2 2 mgh= mv mv 3 - 2
1 2
1 2
1 2
1 2
解得:v3=11.3 m/s 解法二 对全过程由动能定理得 Fl1-μmg(l1+l2)+mgh= mv2-0 代入数据解得v=11.3 m/s
第五章第2讲动能定理及其应用-2025年高考物理一轮复习PPT课件
高考一轮总复习•物理
第7页
3.物理意义： 合力 的功是物体动能变化的量度． 4．适用条件 (1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动 ． (2)既适用于恒力做功，也适用于 变力 做功． (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以 分阶段
作用．
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第8页
1．思维辨析 (1) 一 定 质 量 的 物 体 动 能 变 化 时 ， 速 度 一 定 变 化 ， 但 速 度 变 化 时 ， 动 能 不 一 定 变 化．( √ ) (2)处于平衡状态的物体动能一定保持不变．( √ ) (3)做自由落体运动的物体，动能与下落时间的二次方成正比．( √ ) (4)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化．( ) (5)物体的动能不变，所受的合外力必定为零．( )
答案
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第19页
解析：因为频闪照片时间间隔相同，对比图甲和乙可知图甲中滑块加速度大，是上滑阶 段；根据牛顿第二定律可知图甲中滑块受到的合力较大，故 A 错误．从图甲中的 A 点到图乙 中的 A 点，先上升后下降，重力做功为 0，摩擦力做负功；根据动能定理可知图甲经过 A 点 的动能较大，故 B 错误．对比图甲、乙可知，图甲中在 A、B 之间的运动时间较短，故 C 正 确．由于无论上滑还是下滑，受到的滑动摩擦力大小相等，故图甲和图乙在 A、B 之间克服 摩擦力做的功相等，故 D 错误．
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第9页
2．运动员把质量是 500 g 的足球踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的
最大高度是 10 m，在最高点的速度为 20 m/s.估算出运动员踢球时对足球做的功为( )
A．50 J
B．100 J
C．150 J
第六章 第2讲 动能定理及其应用
第2讲 动能定理及其应用 目标要求 1.理解动能定理，会用动能定理解决一些基本问题.2.掌握解决动能定理与图象结合的问题的方法．考点一 动能定理的理解和基本应用 基础回扣1．动能(1)定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能．(2)公式：E k ＝12m v 2，单位：焦耳(J).1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2. (3)动能是标量、状态量．2．动能定理(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．(2)表达式：W ＝ΔE k ＝E k2－E k1＝12m v 22－12m v 12. (3)物理意义：合力做的功是物体动能变化的量度．技巧点拨1．适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．2．解题步骤3．注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．(2)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理求解．(3)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能．例1 (2019·辽宁大连市高三月考)如图1所示，一名滑雪爱好者从离地h ＝40 m 高的山坡上A 点由静止沿两段坡度不同的直雪道AD 、DC 滑下，滑到坡底C 时的速度大小v ＝20 m/s.已知滑雪爱好者的质量m ＝60 kg ，滑雪板与雪道间的动摩擦因数μ＝0.25，BC 间的距离L ＝100 m ，重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略在D 点损失的机械能，则下滑过程中滑雪爱好者做的功为( )图1A ．3 000 JB ．4 000 JC ．5 000 JD ．6 000 J答案 A解析 根据动能定理有W －μmgL AD cos α－μmgL CD cos β＋mgh ＝12m v 2，即：W －μmgL ＋mgh ＝12m v 2，求得W ＝3 000 J ，故选A. 例2 (多选)(2020·贵州安顺市网上调研)如图2所示，半圆形光滑轨道BC 与水平光滑轨道AB 平滑连接．小物体在水平恒力F 作用下，从水平轨道上的P 点，由静止开始运动，运动到B 点撤去外力F ，小物体由C 点离开半圆轨道后落在P 点右侧区域．已知PB ＝3R ，重力加速度为g ，F 的大小可能为( )图2A.12mgB.5mg 6 C ．mg D.7mg 6答案 BC解析 小球能通过C 点应满足m v C 2R≥mg ， 且由C 点离开半圆轨道后落在P 点右侧区域，则有2R ＝12gt 2，v C t <3R ， 对小球从P 点到C 点由动能定理得F ·3R －2mgR ＝12m v C 2， 联立解得5mg 6≤F ＜25mg 24，故B 、C 正确，A 、D 错误．1．(动能定理的理解)(2018·天津卷·2)滑雪运动深受人民群众喜爱．如图3所示，某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB ，从滑道的A 点滑行到最低点B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB 下滑过程中( )图3A ．所受合外力始终为零B ．所受摩擦力大小不变C ．合外力做功一定为零D ．机械能始终保持不变答案 C解析 运动员从A 点滑到B 点的过程中速率不变，则运动员做匀速圆周运动，其所受合外力指向圆心，A 错误；如图所示，运动员受到的沿圆弧切线方向的合力为零，即F f ＝mg sin α，下滑过程中α减小，sin α变小，故摩擦力F f 变小，B 错误；由动能定理知，运动员匀速率下滑动能不变，合外力做功为零，C 正确；运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，D 错误．2．(动能定理的应用)(多选)(2019·宁夏银川市质检)如图4所示为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h ，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，载人滑草车与草地之间的动摩擦因数均为μ.质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计载人滑草车在两段滑道交接处的能量损失，重力加速度大小为g ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则( )图4A ．动摩擦因数μ＝67B ．载人滑草车最大速度为2gh 7。
第五章 第2讲 动能定理及其应用
C．对物体，动能定理的表达式为 WN－mgH＝12mv22－12mv12
D．对电梯，其所受合力做功为12Mv22－12Mv12
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2．[动能定理的简单应用] (2018·高考全国卷Ⅱ)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静
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2．动能定理公式中体现的“三个关系” (1)数量关系：即合力所做的功与物体动能的变化具有等量替代关系．可以通 过计算物体动能的变化，求合力做的功，进而求得某一力做的功． (2)单位关系：等式两边物理量的国际单位都是焦耳． (3)因果关系：合力的功是引起物体动能变化的原因．
解得 h′＝1－Rcμocso3t73°7°＝0.48 m. 答案：0.48 m
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[拓展延伸2] 若在[典例]中斜面轨道光滑，滑块从 A 点释放后滑到 C 点，对轨 道的压力是重力的多少倍？(原 AB 高度差 h＝1.38 m 不变) 解析：由 A→C 应用动能定理，设 C 点时的速度为 vC. mgh－mg(R＋Rcos θ)＝12mv2C① NC＋mg＝mRv2C② 由①②得 NC＝2.3mg，故是重力的 2.3 倍． 答案：2.3
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
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3．A 球[动向能右定运理动求0解.1变m力时做，功vA]＝3(2m01/s9，·吉O林A′长＝春0模.4拟m)，如O图B所′示＝，0.3竖m直，平设面此内时放∠一B直′角A′杆O＝
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、什么是动能定理在开始探讨动能定理的应用之前，咱们得先搞清楚动能定理到底是啥。
动能定理简单来说就是：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
用数学表达式写出来就是：W 合＝ΔEk ，其中 W 合表示合外力做的功，ΔEk 表示动能的变化量。
动能 Ek ＝ 1/2 mv²，m 是物体的质量，v 是物体的速度。
那为什么要有动能定理呢？其实它就是为了让我们更方便地研究物体在力的作用下运动状态的变化。
二、动能定理的推导咱们来简单推导一下动能定理。
假设一个物体在恒力 F 的作用下，沿着直线运动，发生的位移是 s ，力 F 与位移 s 的夹角是θ 。
根据功的定义，力 F 做的功 W ＝Fscosθ 。
根据牛顿第二定律 F ＝ ma ，而根据运动学公式 v² v₀²＝ 2as （其中 v 是末速度，v₀是初速度，a 是加速度），可以得到 s ＝（v² v₀²) ／ 2a 。
把 s 代入功的表达式，得到 W ＝ F ×（v² v₀²) ／ 2a 。
又因为 a ＝ F ／ m ，所以 W ＝ 1/2 mv² 1/2 mv₀²。
这就得到了动能定理的表达式 W 合＝ΔEk 。
三、动能定理的应用场景1、求变力做功在很多情况下，物体受到的力不是恒力，比如弹力、摩擦力等，这时候直接用功的定义来求力做的功就很困难。
但是用动能定理就可以很方便地解决。
比如说，一个小球从高处自由下落，落到一个竖直放置的弹簧上，压缩弹簧。
在这个过程中，弹簧对小球的弹力是不断变化的，但我们可以通过小球动能的变化来求出弹簧弹力做的功。
2、多过程问题当物体的运动过程比较复杂，包含多个阶段，每个阶段受力情况不同时，动能定理就大显身手了。
比如，一个物体先在粗糙水平面上匀减速运动，然后进入光滑斜面加速上升。
我们可以分别分析每个阶段合外力做的功，然后根据动能定理求出物体在整个过程中的末速度。
《动能定理的应用》 讲义
《动能定理的应用》讲义一、动能定理的基本概念在物理学中，动能定理描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。
动能定理的表达式为：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
动能，是物体由于运动而具有的能量。
其表达式为：＄E_{k} ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，其中$m$是物体的质量，＄v$是物体的速度。
当一个力作用在物体上，并且使物体在力的方向上发生了位移，这个力就对物体做了功。
功的表达式为：＄W ＝ Fs\cos\theta$，其中$F$是力的大小，＄s$是位移的大小，＄＼theta$是力与位移之间的夹角。
二、动能定理的推导假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿直线从位置$A$运动到位置$B$，位移为$s$，初速度为$v_{1}＄，末速度为$v_{2}＄。
根据牛顿第二定律$F ＝ ma$，其中$a$是加速度。
又因为运动学公式$v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2} ＝ 2as$，则$s ＝＼frac{v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2}｝｛2a}＄。
那么力$F$做的功$W ＝ Fs ＝ ma ＼times ＼frac{v_{2}＾｛2} v_{1}＾｛2}｝｛2a} ＝＼frac{1}｛2}mv_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}mv_{1}＾｛2}＄这就证明了合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，即动能定理。
三、动能定理的应用场景1、求物体的速度当已知物体所受的合力做功以及物体的初动能时，可以通过动能定理求出物体的末速度。
例如，一个质量为$2kg$的物体，在水平方向受到一个大小为$10N$的恒力作用，力的方向与物体运动方向相同，物体在力的作用下移动了$5m$，物体的初速度为$3m/s$，求物体的末速度。
首先计算合力做功：＄W ＝ Fs ＝ 10×5 ＝ 50J$根据动能定理：＄W ＝＼frac{1}｛2}mv_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}mv_{1}＾｛2}＄即$50 ＝＼frac{1}｛2}×2×v_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}×2×3^｛2}＄解得$v_{2} ＝ 7m/s$2、求物体所受的合力如果已知物体的质量、初末速度以及位移，可以通过动能定理求出合力。
第2讲动能定理及其应用
第2讲动能定理及其应用思维诊断(1)动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能．()(2)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化．()(3)动能不变的物体所受合外力一定为零．()(4)做自由落体运动的物体，动能与下落距离的平方成正比．()(5)物体做变速运动时动能一定变化．()考点突破2.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．3．合外力对物体做正功，物体的动能增加；合外力对物体做负功，物体的动能减少；合外力对物体不做功，物体的动能不变．4．高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系．5．适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做功、分段做功均可用动能定理．mv2变式训练1如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以一定的初速度一起滑行一段距离后停止．现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)，若其他条件不变，则木盒滑行的距离()A．不变B．变小C．变大D．变大变小均可能＝Mv＋.显然考点二动能定理的应用1.应用动能定理解题的步骤：2．注意事项：(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学研究方法要简便．(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理没有任何依据．(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解．(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．[例2]如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功W f；(2)小船经过B点时的速度大小v1；(3)小船经过B点时的加速度大小a.2m1－④点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为＋1－－2m1－＋1－－f m考点三用动能定理处理多过程问题优先考虑应用动能定理的问题(1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题．(3)变力做功的问题．(4)含有F、l、m、v、W、E k等物理量的力学问题．[例3]如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R＝2 m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数为μ＝0.5，加速阶段AB的长度l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用，在B点撤去拉力，取g＝10 m/s2.试问：(1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多少？(2)满足第(1)的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离？(3)要使小车不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围．[解析](1)设小车恰好通过最高点的速度为mg＝mv20R①变式训练3如图所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的小物块M从斜面顶端A处由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10 m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求：(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程．示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题．或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．A．2 m/sB．8 m/s类题拓展质量均为m的两物块A、B以一定的初速度在水平面上只受摩擦力而滑动，如图所示是它们滑动的最大位移x与初速度的平方v20的关系图象，已知v202＝2v201，下列描述中正确的是()A．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是对B做功的2倍B．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是v2H H⎛⎫11质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力2R，得v＝gR.对质点的下滑过程应用动能定理，，C正确．．甲车的刹车距离随刹车前的车速v变化快，甲车的刹车性能好乙车与地面间的动摩擦因数较大，乙车的刹车性能好．以相同的车速开始刹车，甲车先停下来，甲车的刹车性能好。
第2讲 动能定理及其应用
用，在 0～6 s 内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分
别如图所示。下列说法中正确的是(g 取 10 m/s2)
()
A．0～6 s 内拉力做的功为 140 J B．物体在 0～2 s 内所受的拉力为 4 N C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为 0.5 D．合外力在 0～6 s 内做的功与 0～2 s 内做的功相等
()
A．FL＝12Mv2
B．Fs＝12mv2
C．Fs＝12mv20－12(M＋m)v2
D．F(L＋s)＝12mv20－12mv2
解析：根据动能定理，对子弹，有－F(L＋s)＝12mv2－12mv20，选项 D 正确； 对木块，有 FL＝12Mv2，选项 A 正确；由以上二式可得 Fs＝12mv20－12(M ＋m)v2，选项 C 正确，只有选项 B 错误。 答案：ACD
联立解得：t＝
2L gsin θ－μ1cos θ
可见， t 与 m 无关，小华与小明下滑的时间相同。
[答案] (1)2.4 m (2)2 2 m/s (3)见解析
[规律方法] (1)在恒力作用下的直线运动问题可以应用牛顿运动定律与运动学公式结合求
解，也可以应用动能定理求解。 (2)在不涉及时间的问题中，可优先考虑应用动能定理。 (3)动能定理中的位移和速度均是相对于同一参考系的，一般以地面为参考系。
(2)冲上斜面的过程，由动能定理得 －mgLsin 30°＝0－12mv2A 解得冲上斜面 AB 的长度 L＝5 m。 [答案] (1)5 2 m/s (2)5 m
考法(四) 动能定理与 v-t、P-t 图像的合
[例 4] (多选)放在粗糙水平地面上质量为 0.8 kg 的物体受到水平拉力的作
(1)求滑梯的高度 h； (2)若小明裤料与滑板间的动摩擦因数 μ1＝13，求他从滑梯上由静止滑到底 端的瞬时速度大小； (3)若体重比小明重、穿相同裤料的小华，从滑梯上由静止滑到底端，有 人认为小华滑行的时间比小明长。这种说法是否正确？简要说明理由。
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第2讲动能定理及其应用微知识•对点练见学生用书P072 川识更温救材芬宜基础微知识1动能1.定义: 物体由于运动而具有的能量叫做动能。
2.公式：1 2 E k= ?m v。
c3.单位：焦耳(J), 1 J—1 N m- 1 kgm2/s2。
4. 动能是标量，只有正值，没有负值。
5. 动能是状态量，也具有相对性，因为v为瞬时速度，且与参考系的选择有关, 一般以地面为参考系。
微知识2动能定理1. 内容所有外力对物体做的总功（也叫合外力的功）等于物体动能的变化。
2. 表达式：W 总=E k2 —E ki°3. 对定理的理解当W总〉0时，E k2> E k i,物体的动能增大。
当W总V 0时，E k2< E k i,物体的动能减少。
当W总=0时，E k2= E k i，物体的动能不变。
■基础诊断思维卅析炖点概练一、思维辨析（判断正误，正确的画“/”，错误的画“X”。
）1. 一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化（V）2. 动能不变的物体一定处于平衡状态。
（X ）3. 物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化。
（X ）4. 运用动能定理可以求变力的功。
（V）5. 功和动能都是标量，所以动能定理没有分量式。
（V）二、对点微练1. （对动能的理解）（多选）关于动能的理解，下列说法正确的是（）A .动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能 B. 动能总为非负值C .一定质量的物体动能变化时，速度不一定变化，但速度变化时，动能一定变化D .动能不变的物体，一定处于平衡状态解析 由动能的定义和特点知，故 A 、B 项正确；动能是标量而速度是矢量，当动 能变化时，速度的大小一定变化；而速度的变化可能只是方向变了，大小未变， 则动能不变，且物体有加速度，处于非平衡状态，故 C 、D 项均错误。
答案 AB2. （对动能定理的理解）两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比 m ! : m 2 =1 : 2,速度之比v i : v 2 = 2 : 1,当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为 L i ,乙车滑行的最大距离为 L 2,设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力， 则（）A . L i : L 2= 1 : 2B . L i : L 2 = 1 : 1C.L i : L 2= 2 : 1 D . L i : L 2 = 4 : 11 i解析由动能定理，对两车分别列式—F i L i = 0 — Qm i v 2, — F 2L 2 = 0 — ^2v 2， F i=a mg , F 2 =由以上四式联立得L i : L 2 = 4 : 1, 故选项D 正确。
答案 D3. （动能定理的简单应用）在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为 v 0,它落到地面时速度为v ,用g 表示重力加 速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于 （）1 2 1 2B. mgh — ?m v + §m v o1 2 1 2C. — mgh — Qm v — §m v o 1 2 1 2D. mgh + ?m v — 'm v 。
答案 B©微考点•悟方法O2 V l2m2 O Vm 4- 2核心|微|讲1对动能定理的理解(1) 动能定理说明了合力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关 系，不可理解为功转变成了物体的动能。
(2) 动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地 面静止的物体为参考系。
⑶动能定理公式中等号的意义：表明合力的功是物体动能变化的原因，且合力所 做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。
2. 应用动能定理解题的基本思路运动分析确定研究牛顿运动定律应用动能定理的关键是写出各力做功的代数和，不要漏掉某个力的功，同时要注 意各力做功的正负。
【例1】 如图所示，质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬于0点，与0点处 于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉，已知 0P =L ，在A 点给小球一个水 平向左的初速度v °,发现小球恰能到达跟 P 点在同一竖直线上的最高点 B 。
求：(1) 小球到达B 点时的速率。
(2) 若不计空气阻力，则初速度 v °为多少。
见学生用书P072微考点 动能定理的理解和应用 明确初.分阶啟或 全过悝列对象和研究过程 曼力分析|冗个力厢另||片程求解还是变力“(3) 若初速度v 0= 3觅，则小球在从A 到B 的过程中克服空气阻力做了多少功? 【解题导思】(1) 小球恰好到达B 点的动力学条件是什么？答：小球恰好到达…B.点旳动力学条件是仅由重力提供.向心力 ..(2) 空气阻力对小球的作用力是恒力还是变力，其对小球做的功能用功的公式求解 吗？答：空气阻力对小球的作用力为变力.，…不能用功旳公式求功 .. 解析(1)小球恰能到达最高点B ,由牛顿第二定律得2 mg =m V L B ，解得 v B =2(2)若不计空气阻力，从A -B 由动能定理得r U 12 12—mgL + 2 尸 §m v B — 2m v o , 解得 v o =、^^。
⑶当v 0= 3 gL 时，由动能定理得h L — 2 1 2 —mg L + 空—W f =qm v B — Qm v o ,技巧点拨(1)应用动能定理应抓好“两个状态、一个过程”，“两个状态”即明确研究对象 的始、末状态的速度或动能情况， “一个过程”即明确研究过程，确定这一过程中研究对象的受力情况、位置变化或位移情况。
(2) 动能定理适用于恒力做功，也适用于变力做功；适用于直线运动，也适用于曲 线运动。
题|组微练1. (多选)如图所示，一块长木板B 放在光滑的水平面上，在B 上放一物体A ,现以 恒定的外力拉B,由于A 、B 间摩擦力的作用，A 将在B 上滑动，以地面为参考系，解得W f = 答案⑴1111 ⑶ ”mgLA 、B 都向前移动一段距离。
在此过程中（ ）A I B~\\\\\\\\\\\\'A .外力F 做的功等于A 和B 动能的增量B. B 对A 的摩擦力所做的功，等于 A 的动能增量C. A 对B 的摩擦力所做的功，等于 B 对A 的摩擦力所做的功D .外力F 对B 做的功等于B 的动能的增量与B 克服摩擦力所做的功之和 解析 A 物体所受的合外力等于B 对A 的摩擦力，对A 物体运用动能定理，则有B 对A 的摩擦力所做的功等于 A 的动能的增量，即B 项对；A 对B 的摩擦力与B 对A 的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于 A 在B 上滑动，A 、B 对地的位移不等，故摩擦力对二者做功不等，C 项错；对B 应用动能定理，W F — W f = AEkB ，即 W F = AE kB + W f 就是外力F 对B 做的功，等于B 的动能增量与B 克服摩擦力所做 的功之和，D 项对；由前述讨论知B 克服摩擦力所做的功与 A 的动能增量（等于B 对A 的摩擦力所做的功）不等，故A 项错。
答案 BD2. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面 上的斜面。
设小球在斜面最低点 A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ,不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失，则弹簧被压缩至 CA . mgh — ^v 2 1 2C. mgh + ?mv解析 小球从A 点运动到C 点的过程中，重力和弹簧弹力对小球做负功，由于支持力与位移方向始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得点，弹簧对小球做的功为（B^mv 2 — mghD . mghW G + WF=0 —2m v2,重力做功为W G = -mgh,则弹簧弹力对小球做的功为W F = mgh— 2m v2, A项正确答案A微考点2应用动能定理解决多过程问题核心|微|讲物体在某个过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），物体在运动过程中运动性质发生变化，不同的运动过程其受力情况不同。
单纯从动力学的角度分析多过程问题往往相当复杂。
这时，动能定理的优势就明显地表现出来了。
此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑。
利用动能定理认识这样一个过程，并不需要从细节上了解。
分析力的作用是看其做功，也只需要把所有的功累加起来而已。
力是变力还是恒力，一个力是否一直在作用，这些显得不再重要。
典|例|微|探【例2］如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的5 底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态。
直轨道与一半径为6R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC= 7R, A、B、C、D均在同一竖直平面内。
质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出）。
随后P沿轨道1被弹回，最高到达F点，AF = 4R。
已知P与直轨道间的动摩擦因数尸4,重力加速度大小为g。
（取sin37（1）求P第一次运动到B点时速度的大小。
⑵求P运动到E点时弹簧的弹性势能。
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。
已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。
G点在C点左下方，与C点水平相距^R,竖直相距R。
求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【解题导思】(1) P从C到B的过程中有哪些力做功？答：重力和摩擦力做功。
….(2) 压缩弹簧从B到E克服弹力做功与弹簧伸长从E到B弹力做正功相等吗？答：相等。
…(3) 第(3)问中物体经过了几个阶段的运动？答:先是弹簧将物体弹开的过程……接着物体沿斜面上滑一,……再在光滑圆轨道中运动丄…… 最后做平抛运动。
….解析(1)根据题意知，B、C之间的距离为l= 7R—2R,①设P到达B点时的速度为v B，由动能定理得1 2 _mglsinB—卩mgCos0= qm v B,②式中0= 37°联立①②式并由题给条件得v B= 2\/gR。
③⑵设BE = X。
P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为E p。
P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有1mgxsin 0—卩mgxos0— E p= 0—Qm v B，④E、F之间的距离为l i = 4R—2R+x,⑤P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有E p—mghsin 0—口mgCosB= 0,⑥联立③④⑤⑥式并由题给条件得x= R,⑦12 —E p= ymgR o⑧(3)设改变后P的质量为m i °D点与G点的水平距离X!和竖直距离y i分别为捲=75 —R—6Rsin0,⑨5 5y-i = R+gR+ E R COS B,⑩式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为B的事实。