高中数学新人教B版必修12.4.1《函数的零点》测试
2020高中数学 2.4.1函数的零点同步测试 新人教B版必修1
第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C ．4．(2014·湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．6．函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个． 二、填空题7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－17或x ＝1.∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－17，1.(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2， 令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32.∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－32.10．已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－ba ＝4.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10，∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.一、选择题1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点， 又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f (－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca，∴ba ＝－3，c a＝2，于是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c ax 2＋b ax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1、12，故选C ．3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A ．4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0]D ．[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时，x ＝－32<0成立，排除选项A 、B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可得当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24，∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2＋6)2， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36， ∴m ＋a2＝－3. 又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2，∴c ＝9.三、解答题7．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98.综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝98}．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6，∴m 的取值范围为m ≤－59.(2)若函数有两个不同零点x 1，x 2， 则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．。
高中数学 2.4.1 函数的零点活页练习 新人教B版必修1
【创新设计】-高中数学 2.4.1 函数的零点活页练习 新人教B 版必修1双基达标限时20分钟 1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( )．A ．－12，－1B.12，1C.12，－1 D ．－12，1解析 方程2x 2－3x ＋1＝0的根为x 1＝1，x 2＝12.答案 B2．函数f (x )＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 令f (x )＝0即x 3－2x 2＋2x ＝0，得x (x 2－2x ＋2)＝0 ∵x 2－2x ＋2＝0无解， ∴x ＝0，零点为0. 答案 B3．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为 ( )．A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在解析 由Δ＝b 2－4＝0得b ＝±2. 答案 C4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 解析 2和－4是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴a ＝2，b ＝－8. 答案 2 －85．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析 由题意知f (－2)＝0，∴f (2)＝0， 又f (x )是奇函数，∴f (0)＝0. 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴零点有三个分别为－2,0,2.答案 3 06．已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1. (1)m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点； (2)如果函数的一个零点在原点，求m 的值． 解 (1)函数图象与x 轴有两个交点，则：⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0Δ＝4m2－4×2m －12m －1>0，解得：m >13且m ≠1.(2)0是函数的一个零点，∴f (0)＝0， ∴2m －1＝0，∴m ＝12.综合提高限时25分钟7．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．0D ．不能确定解析 f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ， ∴a >0，c <0， ∴Δ＝b 2－4ac >0， 即函数的零点有2个． 答案 B8．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )．A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－12解析 由f (2)＝0，即2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ， ∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， 令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.答案 A9．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________．解析 由于二次函数图象开口向上，则只需f (1)<0. 即－a <0，∴a >0. 答案 (0，＋∞)10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋x 2，x >0的零点为________．解析 令x 2＋2x －3＝0，得：x 1＝1，x 2＝－3， 又x ≤0，∴x ＝－3是函数的一个零点，由－2＋x 2＝0得x ＝± 2.又x >0，∴x ＝2为函数的零点． 答案 －3， 211．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解 (1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点； 当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，m ≤－59.(2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有x 1＋x 2＝－2m －1m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2m －1m ＋1＝－4，解得m ＝－3.且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m 的值为－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 3－4x ，(1)求函数的零点并画出函数的草图； (2)解不等式xf (x )<0.解 (1)因为x 3－4x ＝x (x －2)(x ＋2)， 所以所给函数的零点为0，－2,2， 3个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，由于f (－3)＝－15，f (－1)＝3，f (1)＝－3，f (3)＝15.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的草图如图所示．(2)不等式xf (x )<0同解于⎩⎪⎨⎪⎧x >0f x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0f x >0，结合函数图象得不等式的解集为(0,2)∪(－2,0)．。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修1(1)
2．4.1 函数的零点1．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型](1)函数y ＝1＋x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12(1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二 令f (x )＝0，即x 2－1x＝0.∵x ≠0，∴x 3－1＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0. ∴x ＝1或x 2＋x ＋1＝0.∵方程x 2＋x ＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．∴函数f (x )只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n 次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决． 2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决． 4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y ＝x 3－3x 2－2x ＋6的零点个数． 【解】 y ＝x 3－3x 2－2x ＋6 ＝x 2(x －3)－2(x －3) ＝(x 2－2)(x －3)，令y ＝0，则x ＝±2或x ＝3， 显然有三个零点．[探究共研型]探究1 设F (g (x )有何关系？ 【提示】 F (x )的零点是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标． 探究2 若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是什么？【提示】 若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则方程x 2－2x ＋a ＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a ≥0，故a ≤1.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 【精彩点拨】 把问题转化为方程|2x －2|＝b 有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x－2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －a ＋＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －a ＋＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法练习(含解析)新人教B版必修1
2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课时过关·能力提升1用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为()A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.的零点是()2函数f(x)=2x√x+2A.0和-3B.0C.-3D.0,-3和-2f(x)=0得x=0或-3,但当x=-3时,f(x)无意义,故f(x)只有一个零点0.3已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数是() A.至多有一个 B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有f(x)在(1,2)上有且只有一个零点.4已知函数f(x)=mx2+8mx+21,当f(x)<0时,-7<x<-1,则实数m的值为()A.1B.2C.3D.4,-1和-7分别是函数f(x)=mx2+8mx+21的两个零点,因此由根与系数的关系有21x=(-1)×(-7)=7,解得m=3.5如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出的下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是()A.[-2.1,-1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1][1.9,2.3]上.6若关于x的方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.[0,1)f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,则有f(0)·f(1)=-1×(2a-2)<0,故a>1.7若f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是()A.(-12,14) B.(-14,12)C.(14,12) D.[14,12],得{x (-1)·x (0)<0,x (1)·x (2)<0,解得14<m<12.8已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )-g (x )=-x-3,根据所给数表,判断f (x )的一个零点所在的区间为( )x -A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)f (x )=g (x )-x-3,且f (-1)=g (-1)+1-3<0,f (0)=g (0)-3=-2<0, f (1)=g (1)-1-3<0, f (2)=g (2)-2-3>0, f (3)>0.由f (1)·f (2)<0,故零点在区间(1,2)内.9函数f (x )=x-4x 的零点是 .f (x )=0,即x-4x =0,解得x=2或x=-2.-210若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根,则a 的取值范围是 .,两根之积x 1·x 2=1x <0,故a<0.-∞,0)11设函数f (x )={2x -1,x 2-4,x ∈[0,+∞),x ∈(-∞,0),又g (x )=f (x )-1,则函数g (x )的零点是.x ≥0时,g (x )=f (x )-1=2x-2,令g (x )=0,得x=1;当x<0时,g (x )=x 2-4-1=x 2-5,令g (x )=0,得x=±√5(正值舍去),则x=-√5. 故g (x )的零点为1和-√5. -√512二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:---则不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .f (-2)=f (3)=0,且当x ∈(-2,3)时,y<0,故当x ∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax 2+bx+c>0. x|x<-2或x>3} ★13在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km 长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? .如图所示,他首先从中点C 查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC 段正常,断定故障在BC 段,再到BC 段中点D 查,这次发现BD 段正常,可见故障在CD 段,再到CD 中点E 来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m ~100m 之间,即一二根电线杆附近.14已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b 是常数,且a ≠0)满足条件f (2)=0,方程f (x )=x 有两个相等的实根.(1)求f (x )的解析式.(2)是否存在实数m ,n ,使得f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[2m ,2n ]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.由f (2)=0,得4a+2b=0.由方程f (x )=x ,得ax 2+(b-1)x=0.因为方程f (x )=x 有两个相等的实根,所以Δ=(b-1)2=0.解方程组{4x +2x =0,(x -1)2=0,得{x =-12,x =1,故f (x )=-12x 2+x.(2)由(1)知,f (x )=-12x 2+x=-12(x-1)2+12≤12,即2n ≤12,解得n ≤14.故函数f (x )在[m ,n ]上是增函数.由{x (x )=-12x 2+x =2x ,x (x )=-12x 2+x =2x ,解得m=-2或m=0,n=-2或n=0.因为m<n ,且n ≤14,所以存在满足条件的实数m ,n ,且m=-2,n=0.。
高中数学零点试题及答案
高中数学零点试题及答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上有零点，则下列说法正确的是（）。
A. 函数f(x)在区间[1,3]上单调递增B. 函数f(x)在区间[1,3]上单调递减C. 函数f(x)在区间[1,3]上先减后增D. 函数f(x)在区间[1,3]上先增后减2. 函数y=x^3-3x+1的零点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题3. 函数f(x)=x^2-2x-3的零点是_______。
4. 若函数f(x)=x^2-6x+8在区间[2,4]上恰好有一个零点，则该零点为_______。
三、解答题5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4，求证：函数在区间[1,2]上存在零点。
6. 已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-1，其中a为实数，求证：当a>1时，函数在区间(-∞,a)上不存在零点。
答案：一、选择题1. C2. B二、填空题3. 3或-14. 3三、解答题5. 证明：首先求出函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
在区间[1,2]上，f'(x)>0，说明函数f(x)在该区间上单调递增。
又因为f(1)=2>0，f(2)=-1<0，所以根据零点存在定理，函数在区间[1,2]上存在零点。
6. 证明：首先求出函数f(x)的导数f'(x)=2x-2a。
令f'(x)=0，解得x=a。
在区间(-∞,a)上，f'(x)<0，说明函数f(x)在该区间上单调递减。
又因为f(a)=a^2-1>0，所以函数在区间(-∞,a)上不存在零点。
2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必
2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1; 只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。
2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必
2.4.1 函数的零点【选题明细表】知识点、方法题号求函数零点及零点个数1,2,6,10零点的分布8,11零点的应用3,4,5,7,9,121.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一 x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二 画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞)(B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-)(B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一 令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二 设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为 .解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解.即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学业分层测评 新人教B版必修1(2021年最新整理)
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函数的零点（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．下列函数没有零点的是( )A．f（x)＝0 B．f(x)＝2C．f（x）＝x2－1 D．f(x)＝x－错误!【解析】函数f（x)＝2，不能满足方程f（x）＝0，因此没有零点．【答案】B2．已知f(x）是定义域为R的奇函数,且在（0，＋∞）内的零点有1 003个,则f(x)的零点个数为（)A．1 003 B．1 004C．2 006 D．2 007【解析】因为f（x)是奇函数，则f（0）＝0，且在（0,＋∞）内的零点有1 003个，所以f(x)在（－∞,0）内的零点有1 003个．因此f（x）的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007（个)．【答案】D3．函数y＝x3－16x的零点个数是（)A．0 B．1C．2 D．3【解析】令x3－16x＝0，易解得x＝－4，0，4，由函数零点的定义知，函数y＝x3－16x 的零点有3个．【答案】D4．若二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a〉b>c,则该函数的零点个数为( ）A．1 B．2C．0 D．不能确定【解析】由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c〈0，∴Δ＝b2－4ac>0。
数学人教B版必修1层级训练：2-4-1函数的零点 含解析
2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点知识点一：函数零点的概念1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是A ．2,3B ．－2，－3C ．1,6D ．－1，－6 2．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y ＝f i (x)(i ＝1,2,3,4)有零点的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．②④ 3．函数f(x)＝x ＋4x的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为__________．5．若函数f(x)＝ax －b 有一个零点是3，那么g(x)＝bx 2＋3ax 的零点是__________． 知识点二：函数零点的性质6．函数f(x)＝x 3－9x的零点所在的大致区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0,1)D ．(5,6)7．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点 A ．有两个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有8．对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a ，b)内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点9．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．010．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x∈[0，＋，x 2－4，－∞，，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．11．若函数f(x)＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．能力点一：求函数的零点12．函数f(x)＝－2x 2＋22x －1的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是A ．a<1B ．a>1C ．a≤1D ．a≥114．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，5是它的一个零点，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和为__________．15．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．16.判断函数f(x)＝32x －2×3x＋1是否存在零点，若存在，则求出零点．能力点二：函数零点的综合应用17．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法正确的为A ．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B ．函数f(x)在(1,2)内有零点C ．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D ．函数f(x)在区间(0,4)内有零点18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是A ．1B ．2C ．0D ．无法确定19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2,3，若x∈(－2,3)时，f(x)<0且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为__________．20．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x∈R )的部分对应值如下表：则使ax 2＋bx ＋c>0成立的自变量x 的取值范围是__________．21．函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 的两个零点都在x 轴上点(2,0)的右方，求m 的取值范围．22．对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x 0)＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)，当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点．23．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a>b>c ，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f(x 1)≠f(x 2)，若方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．答案与解析基础巩固1．A 2.B 3.A4．－72 ∵x＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的根，∴4＋2a ＋3＝0.∴a＝－72.5．0，－1 由题意，知f(3)＝3a －b ＝0，∴b＝3a.∴g(x)＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx(x ＋1)． 令g(x)＝0，得x ＝0或－1.6．A ∵f(1)＝－8<0，f(2)＝23－92>0，∴选A.7．C 8.C9．D 偶函数图象关于y 轴对称，故4个交点形成的零点之和为0.10．1，－ 5 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x －2，令g(x)＝0，得x ＝1；当x<0时，g(x)＝x 2－4－1＝x 2－5，令g(x)＝0，得x ＝±5(正值舍去)， ∴g(x)的零点为1和－ 5.11．解：(1)若a ＝0，则f(x)＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时，函数仅有一个零点．能力提升12．B13．B f(x)没有零点， ∴方程f(x)＝0无实根． 故Δ＝4－4a<0.∴a>1.14．3 0 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.又∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(5)＝f(－5)＝0. ∴f(－5)＝0.∴－5也是函数的零点．∴函数有3个零点：5，－5,0，其和为0.15．解：∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2，2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表：在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．16．解：∵f(x)＝32x－2×3x＋1＝(3x－1)2， ∴令f(x)＝0，得3x－1＝0，解得x ＝0. ∴f(x)有零点，零点为x ＝0. 17．D ∵f(1)·f(2)·f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)三者中两正一负． 但具体哪个正，哪个负并不能确定． 又∵函数连续且f(0)>0，∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点．18．B 令y ＝0，得ax 2＋bx ＋c ＝0， ∵ac<0，∴方程的判别式b 2－4ac>0. ∴函数有两个零点．19．f(x)＝x 2－x －620．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 21．解：如下图所示，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－2－－，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－4或m>4m<－2m>－5－5<m<－4. ∴－5<m<－4.22．解：当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－x －3.由题意可知，f(x)的不动点满足x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3. 故当a ＝1，b ＝－2时，f(x)的两个不动点为－1,3.拓展探究23．证明：(1)∵f(1)＝0， ∴a＋b ＋c ＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0， 即ac<0.又∵Δ＝b 2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根． ∴f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 1)－f(x 2)]，g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 2)－f(x 1)]．∵g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2，且f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0.∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于区间(x 1，x 2).。
高中数学 第二章 函数 第20课时 函数的零点练习 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题
第20课时函数的零点课时目标1.理解函数零点的定义，会判断函数零点的存在及零点的个数．2．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．3．了解零点与方程根的关系．识记强化1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．一般地，函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根的个数相等．3．函数f(x)的图象与x轴有公共点叫这个函数有零点，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．4．如果函数f(x)在给定区间[a，b]上是连续不间断的，且在两个端点处的函数值f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间(a，b)上至少有一个零点．5．如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案：A解析：由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无公共点，故选A.2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则函数的零点个数是( )A．1 B．2C．0 D．无法确定答案：B解析：∵Δ＝b2－4ac，ac＜0，∴Δ＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，∴函数f(x)有两个零点．3．函数f(x)＝x2－3x＋1的零点之和为( )A．1 B．2C．3 D．4答案：C4．已知偶函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )A．一个 B．两个C．至少两个 D．无法判断答案：B解析：由函数f(x)的性质，易知f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知函数f (x )有两个零点．5．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和 3 答案：B解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02x ＞0，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：根据f (－4)＝0，f (－2)＝－2，易求得，b ＝5，c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4x ≤02x ＞0，所以当x ≤0时，方程f (x )＝x 为x 2＋4x ＋4＝0，此方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－2，当x ＞0时，x ＝2也是方程f (x )＝x 的解，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________． 答案：0，－12解析：由f (x )＝ax ＋b 的零点为2，得2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，则g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax .令－2ax 2－ax ＝0，由题意，知a ≠0，则x ＝0或x ＝－12，则g (x )的零点为0和－12. 8．函数y ＝x 2－5x －14的零点为________． 答案：－2或7方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0的图象，如图所示．因为函数f (x )的图象与x 轴没有公共点，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0没有零点．11．(13分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x . (1)求f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的零点．解：(1)设x ∈(－∞，0)，则－x ＞0，由题意得f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ，∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝－x 2－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋xx ≥0，－x 2－x x ＜0.(2)由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＝0，x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＝0，x ＜0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，∴y ＝f (x )的零点分别为－1,0,1.能力提升12．(5分)若函数y ＝f (x )是偶函数，其定义域为{x |x ≠0}，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断 答案：B解析：由题意可知函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，根据y ＝f (x )是偶函数知该函数在(－∞，0)上也有一个零点，所以选B.13．(15分)如图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少cm ？(精确到0.1 cm)解：(1)盒子是一个底面边长是(15－2x )cm 、高为x cm 的长方体，则y ＝(15－2x )2·x ，这个函数的定义域为(0,7.5)．(2)令y ＝150，则(15－2x )2·x －150＝0，令f (x )＝(15－2x )2·x －150，f (0)＝－150，f (7.5)＝－150，f (4)＝46.①f (0)·f (4)＜0，∴零点x 1∈(0,4)，f (2)＝92，f (2)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,2)，f (1)＝19，f (1)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,1)，f (0.5)＝－52，f (0.5)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.5,1)，f (0.75)≈－13.313，f (0.75)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.75,1)，同理x 1∈(0.75，0.875)，x 1∈(0.812 5,0.875)，∵|0.875－0.812 5|＝0.062 5＜0.1，∴取x 1≈0.8(cm)．②f (4)·f (7.5)＜0，∴零点x 2∈(4,7.5)，f (4＋7.52)＝f (5.75)≈－79.563，f (5.75)·f (4)＜0，∴x 2∈(4，5.75)，f (4＋5.752)＝f (4.875)≈－15.633，f (4.875)·f (4)＜0，∴x 2∈(4,4.875)．同理x 2∈(4.4375,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.765 625)，x 2∈(4.656 25，4.710 937 5)，∵|4.656 25－4.710 937 5|＜0.1，∴取x 2≈4.7(cm)．由①②可知截去的小正方形边长约为0.8 cm 或4.7 cm.。
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【高中数学新人教B版必修1】2.4.1《函数的零点》测试
一、选择题
１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个
２．函数ｆ（ｘ）＝3222xxx的零点是（ ）
Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２
３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）
内仅有一个实数根，则发ｆ（０）•ｆ（４）的值（ ）
Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断
４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数
ｍ的值为（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
５．ｆ（ｘ）＝xx1，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ）
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５
6．设函数)f(x)= cbxx3在[-1,1]上为增函数,且0)21(f).21(f,则方程f(x)在
[-1,1]内
A .可能有3个实数根 B .可能有2个实数根
C. 有唯一的实数根 D .没有实数根
7．设f(x) = 12x5x-3，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是
（ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]
8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为
A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )
A.有且只有一个解 B.至少有一个解
C.至多有一个解 D.可能无解,可能有一个或多个解
二、填空题：
10．关于ｘ的方程２ｋ2x－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取
值范围 ．
11．若函数ｆ（ｘ）＝2x－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x－ａ
ｘ－１的零点 ．
三、解答题
12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x－４ｍｘ＋２ｍ－１
（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．
（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．
13．已知二次函数f（x）=a2x+bx（ａ，ｂ是常数且ａ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方
程有等根
（１）求f（x）的解析式；
（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，
２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．
参考答案：
一、选择题
1． Ｃ
２．Ｂ
３．Ｄ
４．Ｃ
５．Ｄ
6． C
7． A
8． C
9． C
二、填空题：
10．ｋ＞０或ｋ＜－４
12．31,21
三、解答题
13．解：（１）由条件知；Δ＝24m－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０ 即
ｍ＞31 所以函数与ｘ轴有两个交点
（２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，有２（ｍ－１）20－４ｍ
0
＋２ｍ－１＝０ｍ＝０．５
14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即ax2+（b－１）x
＝０．
有等根
Δ＝
)1(2b
＝０，
解方程组0024)1(2bba，得121ba，ｆ（ｘ）＝－x221＋ｘ
（２）ｆ（ｘ）＝－x221＋ｘ＝－212121)1(2x
２ｎ21 ， ｎ41
函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数
nnnfmmmfnm2221)(
,221)(
2
，解得ｍ＝２，ｎ＝０