新课标版《高考状元纠错笔记》理科数学01
备战高考数学 纠错笔记系列 专题02 函数 理
专题02 函数易错点1 换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式. 【错解】令1x t -=，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象“ 1x -”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知()1f x x -＝，求()f x ．【解析】令(11)x t t -≥-＝，则x =（t +1）2，所以f （t ）＝（t ＋1）2，故f （x ）＝（x ＋1）2（x ≥－1）．易错点2 分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A. 2[,1]3B ．[0,1] C. 2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122af a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝， 方程恒成立，故选D.【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数2,[1,1](),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩，若()()2f f x ＝，则x 的取值范围是________.【解析】设f （x ）＝t ，∴f （t ）＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f （t ）＝2，此时－1≤f （x ）≤1，无解，当t ＝2时，满足f （t ）＝2，此时f （x ）＝2,即－1≤x ≤1或x ＝2. 【答案】{2}∪[－1,1]易错点3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________. 【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈（－2，＋∞）时是增函数，当x ∈（－∞，－2）时是减函数，则f （1）等于 A ．－3B ．13C ．7D ．由m 决定的常数【解析】由f （x ）＝2x 2－mx ＋3，得对称轴x ＝m 4，∴m4＝－2，即m ＝－8，代入f （x ）＝2x 2－mx ＋3，有f （x ）＝2x 2＋8x ＋3.将x ＝1代入f （x ）＝2x 2＋8x ＋3，得f （1）＝13. 【答案】B易错点4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1. ∵2()()()1f f x x x ---==，∴f （x ）为偶函数．（2） 221()1(2)||2x x f x x ------＝＝， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ）， ∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性．∵221(())1()x x f x f x ---=--＝，∴f （x ）为奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋b 是定义在区间[－2b,3b －1]上的偶函数，则函数f （x ）的值域为_________．【答案】[1,5]易错点5 因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ] 12 ＝________. 【错解】 （1－a ）[（a －1）－2·（－a ）12 ]12＝（1－a ）（a －1）－1·（－a ）14 ＝－（－a ）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a ）12 ，即相当于告知－a ≥0，故a ≤0，这样，[（a －1）－2]12 ≠（a －1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a ）12 知－a ≥0，故a －1<0.∴（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ]12＝（1－a ）（1－a ）－1·（－a ）14 ＝（－a ）14 .在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a -，则必须有－a ≥0，即a ≤0.5．化简2431(1)(1)a a -⋅-＝A ．－4a －1 B ．4a －1 C ．（a －1）4D ．14a －1【答案】B易错点6 忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log （a －2）（5－a ）＝b 中，实数a 的取值范围是 A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A.【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．使对数log a （－2a ＋1）有意义的a 的取值范围为A ．a ＞12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12【解析】由对数概念知使对log a （－2a ＋1）有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ≠1－2a ＋1>0解得0＜a ＜12，故选B.【答案】B易错点7 复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y＝log2（x2－x－a）值域为R的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f（x）＝x2－x－a的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y＝log2（x2－x－a）的值域才为R.而当Δ<0时，f（x）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R）．1．求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y＝f（u），u＝φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.函数单调性y＝f（μ）增函数增函数减函数减函数μ＝g（x）增函数减函数增函数减函数y＝f[g（x）] 增函数减函数减函数增函数7．已知函数y＝lg（ax2＋2x＋1）的定义域为R，求实数a的取值范围．【解析】由已知，知u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0.解得a ＞1，故a 的取值范围是a ＞1.注意y ＝lg （ax 2＋2x ＋1）的值域为R 与u ＝ax 2＋2x ＋1恒为正不一样．前者要求函数u ＝ax 2＋2x ＋1能取遍一切正实数，后者只要求u ＝ax 2＋2x ＋1取正时，对应的x ∈R 即可．易错点8 函数与方程函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B.【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭与3y x =图象的交点坐标为（00,x y ），则0x 所在的大致区间为A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4()1,2，故选B.【答案】B一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A →非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度. ②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点． （2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．[2017新课标I 卷理]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 2．[2017新课标I 卷理]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3．[2017北京卷理]已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.4．[2017北京卷理]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 【答案】D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 5．[2017天津卷理]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 6．[2017山东卷理]设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（−2,1）D ．[−2,1） 【答案】D【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 7．[2017山东卷理]已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(])0,123,⎡+∞⎣U B ．(][)0,13,+∞UC ．()223,⎡+∞⎣U D ．([)23,+∞U【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =单调递增，且[,1]y x m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．已知函数2log ,0()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f = A ．19 B ．9 C ．19-D ．9-【答案】A 【解析】211()log 244f ==-,所以211[()](2)349f f f -=-==，故选A ．9．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【答案】A【名师点睛】不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键. 10．若函数ln ()e (0)ax xf x a a=->存在零点，则a 的取值范围是 A ．1(0,]e B ．21(0,]eC ．211[,]e eD ．1[,)e+∞【答案】A【解析】本题可转化为ln e ,ax xy y a==两函数图象存在交点，因为这两个函数互为反函数，图象关于直线x y =对称，本题又可转化为e axy =的图象与直线x y =存在公共点.当e axy =的图象与直线x y =有一个公共点时，满足(e )1ax'=，11ln x a a ∴=，1y a ∴=，y x =Q ，111ln a a a ∴=，1ea ∴=；当e ax y =的图象与直线x y =有两个公共点时，满足1e a <，故a 的取值范围为10ea <≤，所以选A.11．[2016上海卷理]设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是 A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 【答案】D12．若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是_________.【答案】1【解析】由幂函数的定义及幂函数的图象不过原点，可得2233=120m m m m ⎧-+⎪⎨--<⎪⎩，解得1m =.13．[2017新课标III 卷理]设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()()12g x f x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，当0x ≤时，()()13222g x f x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭；函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增， 且)01111,201,222142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 14．[2017浙江卷]已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．15．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝_______. 【答案】14________________________________________________________________________________________ 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备战高考数学纠错笔记系列专题11统计理(new)
专题11 统计易错点1 不能正确区分总体、样本、样本容量为了了解2016年参加市运动会的240名运动员的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量．下列说法正确的是A．总体是240名运动员B．个体是每一名运动员C．40名运动员的身高是一个个体D．样本容量是40【错解】选择A、B、C中的一个.【错因分析】对于选项A、B，对总体、个体、样本的概念把握不准，误将考察的对象当作运动员;对于选项C，把个体和样本混淆致误．【试题解析】选D．根据统计的相关概念并结合题意可得，此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是运动员的身高，而不是运动员，并且一个个体是指一名运动员的身高，选项A，B表达的对象都是运动员，选项C未将个体和样本理解透彻．在这个问题中，总体是240名运动员的身高，个体是每名运动员的身高，样本是40名运动员的身高,样本容量是40.因此选D．【参考答案】D．1．明确相关概念对总体、个体、样本、样本容量的概念要熟练把握，要明确总体与样本的包含关系及样本与样本容量的区别，如本例选项C，是对概念把握不准．2．注意考察对象解决考查总体、个体、样本、样本容量的概念问题时，关键是明确考察对象，根据相关的概念可知总体、个体与样本的考察对象是相同的,如本例中选项A,B表达的对象都是运动员的身高而不是运动员．1．为了了解中国好声音第二季的56名学员的年龄情况,从中抽取14名学员进行调查,则下列说法正确的是A．总体是56 B．个体是每一名学员C．样本是14名学员D．样本容量是14【答案】D易错点2 对随机抽样的概念理解不透彻对于下列抽样方法:①运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道；②从20个零件中一次性拿出3个来检验质量;③某班50名学生，指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛;④为了保证食品安全,从某厂提供的一批月饼中，拿出一个检查后放回,再拿一个检查，反复5次,拿了5个月饼进行检查.其中，属于简单随机抽样的是_______。
专题09 直线与圆的方程 -备战2020年高考数学(理)之纠错笔记系列(解析版)
姓名，年级：时间：专题09 直线与圆的方程易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A(m,3)，B(1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k=错误!=错误!.①当m>1时，k=错误!>0,所以直线的倾斜角α的取值范围是0°〈α〈90°；②当m〈1时，k=错误!<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°〈α<180°。
【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m>1,m<1三种情况进行讨论．【试题解析】当m=1时,直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°.当m≠1时，由斜率公式可得k=3－2m－1=错误!。
①当m〉1时，k=错误!>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α〈90°。
②当m〈1时，k=错误!<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°〈α〈180°。
【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y =tan x 的单调性求斜率k 的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x =的倾斜角为2π，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：1．直线10x y -+=的倾斜角为 A ．6πB ．4πC ．34πD ．56π【答案】B【解析】直线10x y -+=的斜率1k =，则tan 1k α==，所以直线10x y -+=的倾斜角=4απ。
专题04 三角函数 -备战2021年高考数学(理)之纠错笔记系列 Word版含解析
专题04 三角函数易错点1 不能正确理解三角函数的定义角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为A ．－55 B ．55 C ．255D ．±255【错解】选C.在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255，故选C ．【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误．【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)， 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，∴22(1)(2)5r OQ =-+-==∴sin α＝－25＝－255.故选D ． 【参考答案】D1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是A ．2B ．−2C ．12D ．12-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．【错解】①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角. θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. 综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角，tan t θθθ=⎨⎪-⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角. 【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1. 【试题解析】①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0； ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t ； 若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t. ③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在． ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角. 若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t； 若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t. ⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0.综上得：【参考答案】见试题解析.1．①利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化； ②利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=． 3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α=AB ．15C D 【答案】A【解析】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos ααα∴=，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴>，sin 0α>，2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，5sin α∴=， 故选A.【名师点睛】本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成符号错误．易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值．A ．0B ．1C ．6D ．6-【错解】选A. 原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 【试题解析】原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为263()=. 【参考答案】C1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.3．若角θ的终边经过点(1,2)-，则sin()cos()tan()2θθθπ+π+-++π+= A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】C【解析】由诱导公式可得sin()cos()tan()sin sin tan tan 2θθθθθθθπ+π+-++π+=-++=， 又角θ的终边经过点(1,2)-， 所以tan 2θ=-， 所以sin()cos()tan()tan 22θθθθπ+π+-++π+==-．故选C ．要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于n π＋α，若n 是偶数，则角n π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角n π＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B.y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．【参考答案】A函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 为偶函数C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k π=π+∈Z D ．函数()g x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z 【答案】D【解析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象. 可知3A =，由35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得=T π， 所以22===2T ωπππ， 代入点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭得533sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 解得23k ϕπ=π-，取0k =，得3ϕπ=- 可得()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度， 得()3sin 23sin 2333y g x x x ⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 由函数解析式可以验证只有()g x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z 正确. 故选D.【名师点睛】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即； ②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令ωx ＋φ＝0，x ＝)确定φ.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响已知函数()=2cos()32xf x π-. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值． 【错解】（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1， ∴[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝－2.【错因分析】（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响．【试题解析】（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )． （2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )max ＝2， 当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－ 3. 【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )；（2）f (x )max ＝2，f (x )min ＝－ 3.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 （1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. 4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.5．对函数()21cos cos 2f x x x x =+-的表述错误的是 A ．最小正周期为πB ．函数sin2y x =向左平移12π个单位可得到()f x C ．()f x 在区间,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增D ．点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】D 【解析】因为()2131cos213sin cos cos sin 22226x f x x x x x x +⎛⎫=+-=+-=+ ⎝π⎪⎭, 所以最小正周期为22π=π， sin2y x =向左平移12π个单位可得到sin 2sin 2126y x x ⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以2,622x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，即()f x 单调递增，因为6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以点,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心，综上，选D.【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β）＝53，则β＝ A ．3πB ．23π C ．233ππ或 D ．34ππ或 【错解】选C. ∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α21431()7-=. 又∵sin （α＋β53，∴cos （α＋β253111().1414-- ∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α＝32.又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角．（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．【试题解析】因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=32αππ<<，又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π.由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114， 所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12. 又0<β<π，所以β＝3π. 【参考答案】A利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.6．（1）在中，，则这个三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形（2）若，且，则 A ．B ．C ．D ．【答案】（1）B ；（2）C. （1）【解析】在中， ， ，三角形是钝角三角形，故选B.【点睛】本题考查三角形的形状，两角和的余弦函数的应用，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. （2）【解析】两边平方得可得 ， 解得， . 则 则 故选C.易错点7 求函数sin()y A x ωϕ=+的性质时出错函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 . 【错解】41函数的最大值为52＋42＝41.【错因分析】形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．【试题解析】y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°) ＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°]＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30° ＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°) ＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)， ∴22max 3(23)21y =+=【参考答案】211．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式． （2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值． （4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．2．研究y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的性质时，一定要先利用诱导公式把ω化为正数后求解.7．已知)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 【答案】（1）对称轴为()212k x k ππ=+∈Z ，最小正周期T =π；（2）()[1,2]f x ∈-.【解析】（1）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令2()32x k k ππ+=π+∈Z ，则 ()f x 的对称轴为()212k x k ππ=+∈Z ，最小正周期T =π； （2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在2x π=取最大值，在76x π=取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-．【名师点睛】本题考查正弦函数图象的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再结合正弦函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的性质研究其相关性质．易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误在ABC △中，若3C B =，则cb的取值范围为 A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,3]D ．(1,3]【错解】选A. 由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,0 3.c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<，由可得【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒. 【试题解析】由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1,214cos 13,1 3.c C B B B B B B B B b B B B A B C C B B B c B b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<，即【参考答案】B1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. （3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.8．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且60b c C ===︒，则角B = A ．45︒B ．30C ．45︒或135︒D ．30或150︒【答案】A【解析】由正弦定理得sin sin b c B C=，得sin B =sinB = 又b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝45°， 故选：A ．【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.一、三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）分类⎧⎨⎩按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角. （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{,|60S k ββα==+︒ }k ∈Z ．终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）公式角α的弧度数公式lrα=（弧长用l 表示）角度与弧度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭弧长公式 弧长l r α=扇形面积公式21122S lr r α==3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． （2）三角函数值在各象限内的符号：（3）各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形（4）特殊角的三角函数值：4．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）商的关系：sin cos tan ααα=． 5．三角函数的诱导公式 二、三角函数的图象与性质1．正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质2．函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质（1）图象变换：由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图.（2）函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：①奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.②周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.③单调性：根据y =sin t和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. ④对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴.三、三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)k k k ααα≠+≠+∈Z 且)(1tan tan αtan tan tan()αβαβ--α；2cos α3．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形 1．正弦定理（1）内容：在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． （2）常见变形： ①sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== ②;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++③::sin :sin :sin ;a b c A B C = ④正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径.1．正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况2．余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，（2）从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===.21．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 5【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 2．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得2sin cos ++x xx x()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确． 当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误． 当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x=；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αA．3B ．13 C ．13-D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos ==α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.9．设α为锐角，若cos （π+6α）＝45，则sin π(2+)3α的值为a b c 2a b =2b a =2a b =A ．B ．C ．2425- D ．1225-【答案】B【解析】因为α为锐角，且πcos()6+α＝45，所以π3sin()65+==α，所以ππππ3424sin(2)sin 2()2sin()cos()236665525+=+=++=⨯⨯=αααα，故选B.10．已知函数π()sin()6f x x =+ω(0)>ω的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，则()g x =A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +【答案】C【解析】由函数π()sin()(0)6f x x =+>ωω的相邻对称轴之间的距离为π2，得π22T =，即πT =，所以2ππ=ω，解得2=ω，将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位， 得到ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭的图象，故选C ． 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为25122425A ．π12B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由图象易知，2A =，(0)1f =，即2sin 1=ϕ，且π2<ϕ，即6π=ϕ， 由图可知，11π()0,12f =所以11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω，即122,11k k -=∈Z ω， 又由图可知，周期11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω，且0>ω， 所以由五点作图法可知2,2k ==ω， 所以函数π()2sin(2)6f x x =+，因为()()0f a x f a x +--=，所以函数()f x 关于x a =对称，即有ππ2π,62a k k +=+∈Z ，所以可得ππ,26k a k =+∈Z ， 所以a 的最小正值为π6.故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出,,A ϕω，可得函数()f x 的解析式，再由()()0f a x f a x +--=易知()f x 的图象关于x a =对称，即可求得a 的值.12．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin sin sin ,65b B c C a A ac b -==，B ．D ．10-【答案】D【解析】由正弦定理角化边可得：2222222,2b c a a c b -=∴+=，且2523ac b =， 结合余弦定理有：22222223cos 5253a cb b b B ac b +--===，则4sin 5B ==，本题选择D 选项. 13．已知，，则__________． 【答案】 【解析】因为，，所以()()()()2222111sin cos 1,1cos sin 1,sin ,cos 22ααββαβ-+-=-+-=∴==， 因此【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 14．已知π02αβ<<<，且1cos tan sin βαβ-=，则πsin 26βα⎡⎤⎛⎫-+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________．【答案】2-【解析】由题意有sin 1cos cos sin αβαβ-=，得()cos cos βαα-=， 由π02βα<-<，π02α<<，有βαα-=，得2βα=，则ππsin 2sin 632βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得2βα=，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得()cos cos βαα-=，进而可得2βα=，代入即可求解.15．已知函数()()sin (,,00)f x A x A A ωφωφω=+>>为常数，，的部分图象如下图所示，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x ，则()π,0,2y g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间为_________.【答案】π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由函数()y f x =的图象可得7ππ2,4π123A T ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴2π2πω==，∴()()2sin 2f x x φ=+， 又根据“五点法”可得π2π3φ⨯+=，∴π3φ=， ∴()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，。
专题07 不等式 -备战2021年高考数学(理)之纠错笔记系列(解析版)
专题07 不等式易错点1 忽视不等式隐含条件致误设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．【错解】由1(1)22(1)4f f ≤-≤⎧⎨≤≤⎩得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩①②，①＋②得：332a ≤≤， ②−①得：112b ≤≤. 由此得4≤(2)f -=4a −2b ≤11，所以(2)f -的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了(2)f -的范围扩大．【试题解析】解法一：设(2)f -=m (1)f -＋n (1)f (m 、n 为待定系数)，则4a −2b =m (a −b )＋n (a ＋b )，即4a −2b =(m ＋n )a ＋(n −m )b ，于是得42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩.∴(2)f -=3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法二：由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩，得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴(2)f -=4a −2b =3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法三：由题意，得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当(2)f -=4a −2b 过点31(,)22A 时，取得最小值3142522⨯-⨯=； 当(2)f -=4a −2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤(2)f -≤10. 【答案】[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是 A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】B【解析】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩, 则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤， 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题： ①若,0a b c <<,则c ca b<； ②若33ac bc -->，则a b >； ③若a b >且*k ∈N ,则k k a b >；④若0c a b >>>,则a bc a c b>--. 其中正确命题的序号是 . 【错解】①11a b a b <⇒>,又0c <,则c ca b<，故①正确；②当0c <时，a b <,故②不正确；③正确；④由0c a b >>>知0c a c b ->->,∴110c a c b<<--，故a a bc a c b c b<<---,故④不正确.故填①③. 【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确. 【试题解析】①当ab <0时，c ca b<不成立，故①不正确； ②当c <0时，a >b 不成立,故②不正确；③当a =1,b =−2,k =2时，命题不成立，故③不正确； ④由a >b >0⇒−a <−b <0⇒0<c −a <c −b ,两边同乘以1()()c a c b --,得110c b c a<<--,又0a b >>,∴a a bc a c b c b>>---,故④正确.故填④. 【答案】④不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b <c ⇒a <c .(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．(3)“a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n >1)”成立的条件是“n 为大于1的自然数，a >b >0”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取n ＝－1，a ＝3，b ＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b >0”这个条件，取a ＝3，b ＝－4，n ＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．2．若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是A ．1ab < B ．2b aa b+≥C ．2211ab a b<D ．22a a b b +<+【答案】C【解析】A,1a a b b b--=不一定小于0，所以该选项不一定成立； B,如果a ＜0，b ＜0时， 2b aa b+≥不成立，所以该选项不一定成立；C, 2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b<，所以该不等式成立； D, 22()()()()(1)a a b b a b a b a b a b a b +-=+-+-=-++-不一定小于0，所以该选项不一定成立. 故选：C【名师点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0恒成立，则m 的取值范围为______________．【错解】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立， 所以m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．故实数m 的取值范围为(－∞，0)．【错因分析】由于本题中x 2的系数含有参数，且当m ＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m 的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．【试题解析】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立，当m ＝0时，－1＜0恒成立；当m ≠0时，易知m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．综上，实数m 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】(－∞，0]解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．3．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<【答案】C【解析】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以0m ≠. 当m ≠0时，220(1)40m m m ∆>=--<且， 所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选C.【名师点睛】不等式20ax bx c >＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c >＝或当0a ≠时，00a ∆>⎧⎨<⎩；不等式20ax bx c <＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c <＝或当0a ≠时，00a ∆<⎧⎨<⎩．解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式(2)1()1a x a x ->∈-R ．【错解】原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-， 等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->，即21()(1)01a x x a --->-， 因为21111a aa a --=--，所以 当01a a >-，即1a >或0a <时，2111a a ->-； 当01a a =-，即0a =时，2111a a -=-； 当01a a <-，即01a <<时，2111a a -<-． 综上，当1a >或0a <时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-； 当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠；当01a <<时，原不等式的解集为21{|1a x x a -<-或1}x >． 【错因分析】显然当a ＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a －1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a －1＞0时的情况．【试题解析】显然当0a =时，原不等式是不成立的． 当a ≠0时原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-， 等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->(*)，当1a =时，(*)式可转化为(1)0x -->，即10x -<，即1x <．当1a >时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a --->-． 当1a <时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a ---<-． 又当1a ≠时，21111a aa a --=--， 所以当1a >或0a <时，2111a a ->-； 当01a <<时，2111a a -<-． 综上，当1a >时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-； 当1a =时，原不等式的解集为{|1}x x <； 当01a <<时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-； 当0a =时，原不等式的解集为∅； 当0a <时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-．在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．4．已知函数()()2,1ax bf x a b x -=∈-R . （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，求()0f x <解集； （2）若12a =，解不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析【解析】（1）()21ax bf x x -=-. ∵不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， ∴0a >，0a b =>，()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，∴()0f x <的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-， ①当1b >时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞；②当1b =时，不等式的解集为{}1x x ≠；③当1b <时时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞.易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z =3x −2y 的最小值为A ．−5B ．−4C ．−2D ．3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z =3x −2y 平移到过点(1,0)时取得最小值，即z min =3×1−2×0=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z ”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误．【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x −2y =z 平移到过点(0,2)时，z =3x −2y 的值最小，最小值为−4，故选B.形如z =Ax ＋By (B ≠0)，即A z y x B B =-+，zB为该直线在y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在y 轴上截距的B 倍，至于z 与截距能否同时取到最值，还要看B 的符号．5．若实数x ，y 满足2303301x y x y y +-≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y =-的最大值是A ．1-B ．0C ．3D ．4【答案】C【解析】作出不等式组2303301x y x y y +-≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z =x −y ，得y =x −z ，平移直线y =x −z ，由图象可知当直线y =x −z 经过点B(3,0)时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大．此时z 的最大值为z =3−0=3，故选C.易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误若x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11x y+的最小值为_______________．【错解】因为x ＞0，y ＞0，所以1＝x ＋2y ≥22xy 8xy ≤1，即xy ≤18，故1xy ≥8． 因为11x y +≥12xy11x y +≥2842=11x y +的最小值为42 【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x ＋2y ≥22xy 11x y +≥12xy但这两次取“＝”需满足x ＝2y 与x ＝y ，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．【试题解析】因为x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1111(2)()x y x y x y +=++＝233x yy x ++≥+当且仅当2x y y x =，即x =，即1,12x y ==-时取等号．故11x y+的最小值为3+．连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．6．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13 B ．38C ．37D ．1【答案】A【解析】因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得141y x+=.求3x y +的最大值，可先求333x y x y+=+的最小值.因为1413333x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4143333x y y x =+++1433≥+3≥，当且仅当433x yy x=时取等号. 所以3x y +的最大值为13. 故选A.【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式1．比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值.②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2．不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．3．求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.二、一元二次不等式及其解法1．解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．（2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.3．解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥);②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 4．已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解. 5．简单分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或; ()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 6．简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积； ②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集． 三、简单的线性规划问题1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线； 第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域； 第三步，用阴影表示出平面区域. 2．复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域. 3．求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域.（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标. （3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式. 4．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 5．解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 6．求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分=+的值，经比较后得出z的最大(小)值.别计算出各顶点处目标函数z ax by求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅰ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅰ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.四、基本不等式1．利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配.（1）拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件.（2）并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.（3）配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法. 2．有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}MN x x =-<<．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．设全集()(){}130U x x x =∈+-≤Z ，集合{}0,1,2A =，则UA ＝A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A【解析】由()()130x x +-≤，解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3UA =-，故选A.3．已知1a b >>，01c <<，下列不等式成立的是 A ．a b c c > B ．ac bc < C ．log log c c a b > D ．c c ba ab <【答案】D【解析】由题意，对于A 中，由1a b >>，01c <<知，a b c c < ，故本选项错误． 对于B 中，由1a b >>，01c <<知，ac bc >，故本选项错误．对于C 中，由1a b >>，01c <<知，log log c c a b <，故本选项错误．对于D 中，由1a b >>，01c <<知，-11c c a b -< ，则11c c ab a ab b --⋅<⋅，即c c ba ab ＜． 故本选项正确． 故选：D ．【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理准确推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．关于x 的不等式240ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】不等式240ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞， 即x ∀∈R ，240ax x a -+≥恒成立， 当0x =，0a ≥，当0x ≠时，14||||a x x ≥+， 因为1144||||x x ≤+，当且仅当2x =等号成立，所以1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 故选：D ．5．任意正数x ，不等式21ax x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为 A ．1BC ．2D．2【答案】C 【解析】0x >，211x a x x x+∴≤=+，又12x x +≥=（当且仅当11x x x =⇒=取到等号）， 2a ∴≤.【名师点睛】本题主要考查了含参数不等式恒成立时参数的取值范围，常用的方法有分离参数法，再结合基本不等式，转化成求最值的问题.6．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值. 由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．7．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 8．已知m,n ∈(0,+∞),若m =m n+2,则当m 22+2n 2−4m −2n 取得最小值时,m +n =A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】因为m =m n+2,所以mn =m +2n ,m 22+2n 2−4m −2n =m 22+2n 2−2,下面只需求解m 22+2n 2的最小值即可.因为mn =m +2n ≥2√2m n ,故mn ≥8,又m 22+2n 2≥mn =8,当且仅当m=2n =4时,等号成立,此时m+n =6.9．设实数x,y 满足{x −y −2≤0x +2y −4≥0x ≥0,则x 2+y 2的最小值为A ．4B ．165 C ．689D ．0【答案】B【解析】画出可行域如图所示,则目标函数x 2+y 2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以x 2+y 2的最小值为165,故选B ．10．若存在实数x,y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x −2y +m ≤0都成立,则实数m 的取值范围是A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3【答案】B【解析】由题意作出{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示,x −2y +m ≤0表示了直线上方的部分,故由{y =6−xx =y ,解得x =3,y =3,所以3-3×2+m ≤0,解得m ≤3. 故选B.11．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为 A ．B．32C ．D ．52【答案】B【解析】作出不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分）：由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点30A （，）时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．代入目标函数2z x y =+得236z =⨯=，即6m =．则141146()()6a b a b a b a b +=∴+=++，1413145662b a a b =+++≥+=（）（，当且仅当24a b ==，时取等号，故选B ．【名师点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．首先作出不等式组对应的平面区域，再利用目标函数的几何意义，求最大值m ，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．12．已知关于x 的不等式x 2−4ax ＋6a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是A ．√63B ．23√3C ．23√6D ．43√3【答案】C【解析】由题意可知,x 1,x 2是方程x 2−4ax ＋6a 2=0两个根,则x 1+x 2=4a,x 1x 2=6a 2,所以x 1＋x 2＋ax1x 2=4a +16a ≥23√6,当且仅当a =√612时,等号成立.13．若函数y =R ，则实数k 的取值范围是______．【答案】[)1,+∞【解析】∵函数y =R ，∴2210kx x -+≥对任意x ∈R 恒成立，当0k =时，不等式化为210x -+≥，对任意x ∈R 不恒成立；当0k ≠时，则0440k k >⎧⎨∆=-≤⎩，解得1k ≥，综上，实数k 的取值范围是[)1,+∞．故答案为[)1,+∞.【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．14．实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是__________． 【答案】（2，2）（答案不唯一）【解析】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x +y =4的直线方程如图．能说明“若z =x +y的最大值为4，则x =1，y =3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）（线段BC 上的点均符合题意）．故答案为：（2，2）（答案不唯一）．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．15．已知a 是任意实数,则关于x 的不等式(a 2−a +2017)x 2<(a 2−a +2017)2x+3的解集为 .【答案】{x|−1<x <3}【解析】∵a 2−a +2017=(a −12)2+2017−14>1,∴(a 2−a +2017)x 2<(a 2−a +2017)2x+3,即x 2<2x +3,解得−1<x <3. 16．【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=__________．【答案】方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>===≥当且仅当3xy =时等号成立，【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 17．已知m >0,n >0,若2m =1−2n ,则3m+27n的最小值为 .【答案】96【解析】因为2m +2n =1,m >0,n >0,所以3m +27n =(3m+27n)(2m +2n )=6(10+nm +9m n)≥6(10+2√n m ·9m n)=96,当且仅当n m =9m n,即m =18,n =38时,等号成立.18．已知实数x ,y 满足不等式组{x −y +2≥0,x +y −4≥0,2x −y −5≤0,则z =x 2+y 2-10y+25的最大值为 .【答案】65【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,因为z =x 2+y 2-10y+25=(x -0)2+(y -5)2的几何意义表示可行域中的点(x ,y )到定点M (0,5)的距离的平方.结合图象易知点C 到点M 的距离最大, 由{x −y +2=0,2x −y −5=0,得C (7,9),则z max =(7-0)2+(9-5)2=65.19．设实数x ,y 满足{x −y −2≤0,x +2y −5≥0,y −2≤0,则u =y 2−x 2xy的取值范围是 . 【答案】[-83,32]【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中A (3,1),B (1,2),C (4,2),yx 表示动点(x ,y )与原点连线的斜率,因为x ,y >0,所以当yx 取最大(小)值时,xy 取最小(大)值,由图可知。
专题11 直线与圆 -备战2021年新高考数学纠错笔记 (原卷版)
专题11 直线与圆 易错点 易错点1 忽略斜率不存在的特殊情形 【例1】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a−2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(−1，a−2)，若l1⊥l2，求a的值．
【错解】由l1⊥l2⇔12·1kk，又k1=3－aa－5，k2=a－5－3，所以3－aa－5·a－5－3=−1，解得a=0. 【错因】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔12·1kk，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑． 【正解】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论．
当20k时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直． 当20k时，由12·1kk，得a=0. 所以a的值为0或5. 【答案】0或5 【巩固练习1】过点P(2，4)引圆22111xy＋的切线，则切线方程为__________． 易错点2 忽视两条直线平行的条件
求解两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【例2】当a为何值时，直线1l：y=−x＋2a与直线2l：222yax平行？ 【错解】由题意，得22a=−1，∴a=±1. 【错因】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【正解】∵12ll∥，∴22a=−1且2a≠2，解得a=−1. 【答案】a=−1. 【巩固练习2】a取何值时，直线y＝(a2－2a)x＋2与直线y＝(2a－3)x＋a＋1平行．
易错点3 忽视截距为0的情形 (1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”． (2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距． 【例3】已知直线l过点P(2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【错解】由题意，设直线l的方程为xa＋ya=1，
∵直线l过点(2，−1)，∴2a＋－1a=1，
高考数学错题笔记
解充分、必要条件的判断问题时有 3 种常用解题方法: 1.定义法:将充分、必要条件的判断转化为两个命题:“若 p, 则 q”与“若 q,则 p”.根据两个命题是否正确,来确定 p 与 q 之间的 充要关系. 2.等价转化法:根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同, 要判断 p 是 q 的什么条件,可间接地转化为判断 q 是 p 的什 么条件.
【正确解答】画出函数 f(x)=
-
的图象如图
所示,由图象知函数 f(x)在(0,2)内不存在零点.
利用零点存在性定理判断函数是否存在零点时,要注意零点 存在性定理的使用条件:(1)其图象在区间[a ,b]上是连续不断的一 条曲线;(2)满足 f(a)· f(b)<0.两者缺一不可,典例 10 就是忽略了零 点存在性定理的使用条件(1). 易错点 11 导数的几何意义不明确 典例 11 已知函数 f(x)=x+ (t>0)和点 P(1,0),过点 P 作曲线 y=f(x)的两条切线 PM,PN,切点分别为 M(x1 ,y1),N(x2,y2 ).
(1,+∞)为增函数.
②当 a=2 时,f'(x)>0(x≠0,x≠1),故函数 f(x)在区间(-∞,1)∪
(1,+∞)仍为增函数.
③当 a>2 时,解 f'(x)=0 得 x=±
x f'(x) + f(x) ↗ ↘
-
, (1,+∞) + ↗ + ↗
所以函数 f(x)在区间 - 数, f(x)在区间 -
∴
g(t)=|MN|= (t>0).
易错点 2 混淆导数与单调性的关系
典例 12 已知函数 f(x)= -(4m-1)x2+(15m2-2 m-7)x+2 在 R 上是增函数,求实数 m 的取值范围. 【错因分析】研究函数的单调性与其导函数的关系时要注 意 f'(x)>0(x∈(a,b))是 f(x)在(a ,b)内单调递增的充分不必要条件, 实际上,可导函数 f(x)在(a,b)内为单调递增(减)函数的充要条件 为:对于任意 x∈(a,b),有 f'(x)≥0(f'(x)≤0)且 f'(x)在(a,b)的任意子 区间上都不恒为零,否则极易出错,使得 m 的取值范围为(2,4). 【正确解答】f'(x)=x2-2(4 m-1)x+15m2-2 m-7, 依题意,知 f'(x)在 R 上恒大于或等于 0,所以 Δ=4(m26m+8)≤0,解得 2 ≤m≤4. 易错点 13 导数与极值关系运用不当 典例 13 已知函数 g(x)=ax3 +bx2+cx+d (a≠0),其中 g (x)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,g(x)取得极值-2.求函数 g(x)的单调区间和 极大值. 【错因分析】f'(x0)=0 只是可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的 必要条件,即必须有这个条件,但只有这个条件还不够,还要考虑 是否满足 f'(x)在 x0 两侧异号.处理好导数与极值的关系是避免错 误的关键. 【正确解答】∵g(x)=ax3 +bx2+cx+d 是 R 上的奇函数,
(新课标)2017高考数学一轮复习第一章集合与常用罗辑用(精)
[答案] D
[解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D正确．
3．(选修 2－1P24 习题 1－3AT2(2)改编)“(x＋1)(y－2)＝ 0”是“x ＝－ 1 且 y ＝ 2”的 ________ 条件 . 导学号 25400046 ( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)由 q⇒¬ p 且¬ p⇒ / q 可得 p⇒¬q 且¬q⇒ / p，所以 p 是 ¬ q 的充分而不必要条件．
根据充要条件求参数的范围
设命题 p：|4x－3|≤1；命题 q：x2－(2a＋1)x ＋a(a＋1)≤0，若¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值 范围是________. 导学号 25400057
只有1个． [答案] (1)D (2)C
[ 规律总结] 词语 是
1.书写否命题和逆否命题的关注点 都是 都不是 至少一个是 等于 大于
(1)一些常见词语及其否定表示： 否定 不是 不都是 不等于 不大于
(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点： ①方法：首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键 词搞清楚． ②注意点：注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不 都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的 是其中有些不是．
[答案] D
[解析] 由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x)＝ ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴ 命题“ 若函数 f(x) ＝ex－mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上 是 增 函 数 ， 则 m≤1” 是 真 命 题 ， 所 以 其 逆 否 命 题 “ 若 m>1 ，则函数 f(x) ＝ ex － mx 在 (0 ，＋ ∞ ) 上不是增函数 ” 是真命
2020年高考数学(理)之纠错笔记专题10 圆锥曲线含答案
专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点0(1)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，求动点P 的轨迹．【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．（4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||PA d =（1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点(3,0)D ,求直线AM 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）(1)2y x =+.【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+，=， ∴2221(1)(2)2x y x ++=+， ∴2222x y +=，∴点P 的轨迹方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>， ∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -，， ∴B 为AD 中点，∵//AM BN ，∴1212,322x x y y +==， ∴1223x x =-，又221112x y +=，∴()222223412x y -+=， 又222212x y +=，∴2151,42x x ==-，∵0y >，∴14y =，∴1112AM y k x ==+， ∴直线AM的方程为(1)2y x =+. 【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C ：y＝x 2－2x ＋2和直线l ：y ＝kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.【错解】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝kx ，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有12212212121x x x k y y k y k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩，故线段AB 中点的轨迹方程为220x y x --=.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y 的允许范围，故应对x ，y 加以限制．【试题解析】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2y ＝kx，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝11－k 2， ③y ＝y 1＋y 22＝k1－k 2， ④又对②应满足222212221221044(2)(1)0201201k k k k k y y k k y y k ∆⎧-≠⎪=-⨯-⨯->⎪⎪⎨+=>-⎪⎪⎪=>-⎩，解得22<k <1.结合③④，则有x >2，y > 2.所以所求轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2)． 【参考答案】轨迹方程是x 2－y 2－x ＝0(x >2，y >2).1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ,y 的取值范围.2．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥【答案】B【解析】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ， 则由题意可得121,3MC r MC r =+=+，相减可得21122MC MC C C -=<，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22,3a c ==，所以b =，故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．【错解】由8060k k ->⎧⎨->⎩，可得68k <<，所以实数k 的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a ＞b ＞0这一限制条件，当a ＝b ＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k <<且7k ≠，所以实数k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D【解析】虽然动点M 到两个定点F 1，F 2的距离为常数8，但由于这个常数等于|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D ．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36x y k k+=>，并且焦距为8，则实数k 的值为_____________．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4．关于曲线C ：222214x y a a +=-性质的叙述，正确的是A ．一定是椭圆B ．可能为抛物线C ．离心率为定值D ．焦点为定点【答案】D【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误；因为24a -可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则()22244c a a =--=，∴2c =，2e a=，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点. 若曲线为双曲线，方程为222214x y a a-=-，则()22244c a a =+-=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-为定点，故选D.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率3e=，已知点3(0,)2P到椭圆的最远距离为7，求椭圆的标准方程．1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的范围就是方程中变量x ,y 的范围，由22221x y a b +=得222211x y a b =-≤，则||x a ≤；222211y x b a=-≤，则||y b ≤.故椭圆落在直线x =±a ，y =±b 围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x ，y 的取值范围.2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理；②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)B，且过点2P ． （1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时，求此时MON △的面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=，e =；（2）1. 【解析】（1）由题意可得1b =．又)2P 在椭圆C21+=，解得2a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，所以c =C的离心率2c e a ==. （2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222418440k x kmx m +++-=， 所以22222(8)4(41)(44)6416160km k m k m ∆=-+-=-+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++． ()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===222222244841414441m kmk km m k k m k --⨯+⨯+++=-+222444m k m -=-， 由题意，OM ON k k 为定值，所以21444k -=-，即214k =，解得12k =±．此时MN==， 点O 到直线y kx m =+的距离|5m d =．11||225MON S MN d m ==△== 显然，当21m =（此时214k =，21m =满足226416160k m ∆=-+>），即1m =±时，S 取得最大值，最大值为1．易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．6．如图，在ABC △中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221(26x y x -=>．【解析】由题意可得(A -，B ．因为2sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得||||||22BC AB AC +=，故|||||12|||AC BC AB AB -=<=， 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为22221()x y x a a b-=>，因为a =c =2226b c a =-=，故所求轨迹方程为221(26x y x -=>．【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．易错点7 忽略双曲线中的隐含条件已知M 是双曲线2216436x y -=上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =_____________．1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件． 2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.3．由22221(0,0)x y a b a b-=>>,知x 2a2≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.7．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3PFQ π∠,则双曲线的离心率e 等于A 1BC 1D 2+【答案】B【解析】由双曲线的对称性可知，12PF F △是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，则122PF PF =， 由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F △中，212122tan 2PF a PF F F F c ∠===，c e a∴== B. 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题.易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是23y x =±，焦距为226，求双曲线的标准方程．1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.8．已知双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，且过点()12P ，--，则该双曲线的标准方程为__________． 【答案】22133y x -=【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=，可设双曲线方程为()220x y λλ-=≠，∵双曲线过点()12P ，--，∴14λ-=，即3λ=-．∴所求双曲线方程为22133y x -=，故答案为22133y x -=．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则k =___________．【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近1． 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． （2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴； ②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．9．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点． 【答案】见解析．【解析】由22416x y y kx -==⎧⎨⎩消去y 得22(4)160k x --= ①，当240k -=，即2k =±时，方程①无解； 当240k -≠时，2204(4)(16)64(4)k k ∆=---=-，当0∆>，即22k -<<时，方程①有两解； 当0∆<，即2k <-或2k >时，方程①无解； 当0∆=，且240k -≠时，这样的k 值不存在．综上所述，（1）当22k -<<时，直线与双曲线有两个公共点； （2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； （3）当2k ≤-或2k ≥时，直线与双曲线没有公共点．【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．【参考答案】2189y x =+.1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．10．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】220(0)y x x =>或)00(y x =<．【解析】设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ，∵动圆P 与y 轴相切，∴R x =，∵动圆与定圆C ：2252)5(x y -+=外切，∴5PC R =+，∴5PC x =+．当点P 在y 轴右侧，即x ＞0时，5PC x =+，点P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P 的轨迹方程为220(0)y x x =>；当点P 在y 轴左侧，即x ＜0时， 5PC x =-+，此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴，即方程)00(y x =<．故点P 的轨迹方程为220(0)y x x =>或)00(y x =<．【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行转化．易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m4＝－2，解得m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图 形标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点坐标(,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.11．顶点在原点，且过点(1,1)-的抛物线的标准方程是 A ．2y x =-B ．2x y =C ．2y x =-或2x y =D ．2y x =或2x y =-【答案】C【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2y ax =，将(1,1)-代入得1a =-，2y x ∴=-；当焦点在y 轴上时，设方程为2x ay =，将(1,1)-代入得1a =，2x y ∴=．故选C ．本题若只考虑焦点在x 轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在y 轴的正半轴上的情况，则会出现漏解．易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点(11)P -,，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线l 的方程．直线l y kx b =+：与抛物线22(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p bx y k ⎧⎨==+⎩的解的个数．（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．（2）若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A ．本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.一、曲线与方程 1．求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 2．两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.二、椭圆 1．椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.3．椭圆的几何性质标准方程22221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22221y x a b+=(a ＞b ＞0) 图形范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b三、双曲线 1． 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+.（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+． 3．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0) 图形范围 ||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0)下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e >在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；四、抛物线 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； （2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； （3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； （4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误.3．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦半径公式 0||2pPF x =+ 0||2pPF x =- 0||2pPF y =+ 0||2pPF y =- 5．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->。