全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第1章 1.2 第二课时 含逻辑联结词的命题的真假判断

23第二课时　含逻辑联结词的命题的真假判断[对应学生用书P10]含逻辑联结词的命题的真假判断[例1]　分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．

q：不等式x2＋x＋2<0无解；

(3)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]　先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析]　(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．[一点通]　判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：

(1)确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；(2)判断其中简单命题p，q的真假； (3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．

1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；

(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；(3)p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}；(4)p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}．解：pqp或qp且q

(1)真假真假

(2)假真真假23(3)真真真真(4)真假真假

2.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假：(1)全等三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．解：(1)这个命题是p∨q的形式，其中p：全等三角形周长相等，q：全等三角形对应角相等，因为p真q真，所以p∨q为真．

(2)这个命题是綈p的形式，其中p：9的算术平方根是－3，因为p假，所以綈p为真．

(3)这个命题是p∧q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以p∧q为真.

含有逻辑联结词的命题的综合应用[例2]　已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数

y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

[思路点拨]　由p或q为真，p且q为假，可判断p和q一真一假，进而求m的范围．

[精解详析]　若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，解得

m2

m≥2，即p：m≥2；若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1因为p或q为真，p且q为假，所以p、q一真一假，当p真q假时，由Error!得m≥3，当p假q真时，由Error!得1综上可知，m的取值范围是{m|m≥3或1[一点通]　231．含有逻辑联结词的命题p∧q、p∨q的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p∧q、p∨q的真假也可以判断命题p、q的真假．2．解答这类问题的一般步骤：(1)先求出构成命题p∧q、p∨q的命题p、q成立时参数需满足的条件；(2)其次根据命题p∧q、p∨q的真假判定命题p、q的真假；(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．

3．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)

＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解：由Δ＝4a2－16<0，得－2

故命题p：－2由5－2a>1，得a<2，故命题q：a<2.若p或q为真，p且q为假，则①p真，q假．则由Error!得a∈∅.②p假，q真.Error!

∴a<－2.综上可知，符合条件的a的取值范围为(－∞，－2)4．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，函数

y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．

曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞12

.52

(1)若p为真且q为假，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线23y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于不同的两点，则a∈(0,1)∩，[12，52]

即a∈.[12，1)(2)若p为假且q为真，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，则a∈(1，＋∞)∩，即a∈((0，12)∪(52，＋∞))

.(52，＋∞)

综上可知，a的取值范围为∪.[12，1)(52，＋∞)

1．含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“p或q”为真，“p或q”为假，“p且q”为真，“p且q”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成p，q的真假，p，q 的真假有时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可．2．相关结论：使“p或q”为真的参数范围为使命题p，q分别为真的参数范围的并集，使“p且q”为真的参数范围为使命题p、q分别为真的参数范围的交集．

[对应课时跟踪训练(四)] 1．若p是真命题，q是假命题，则下列说法错误的是________．①p∧q是真命题　②p∨q是假命题　③綈p是真命题　④綈q是真命题解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．

答案：①②③2．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq成立的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面为真命题的是________．①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p∨(綈q)；④p∧q.解析：当a＝1.1，x＝2时，

ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，23此时，ax

命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．答案：②　3．已知命题p：不等式ax＋b>0的解集为Error!，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a________．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．

答案：非p4．已知命题p：所有自然数都是正数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p且q；②p或q；③綈p且綈q；④綈p或綈q.解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或綈q为真命题．答案：③④5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p)∨(綈q)；②p∨(綈q)；③(綈p)∧(綈q)；④p∨q.解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p)∨(綈q)．

答案：①6．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．23(1)p：是有理数，q：是整数；55(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，

q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．

解：(1)p或q：是有理数或是整数；55

p且q：是有理数且是整数；55非p：不是有理数．5

因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真．(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是

(3，＋∞)；非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真．7．命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，命题q：实数x满足Error!

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若q⇒綈p，求实数a的取值范围．解：(1)由于a＝1，则x2－4ax＋3a2<0⇔x2－4x＋3<0⇔1所以p：1解不等式组Error!得2所以q：2由于p∧q为真，所以p，q均是真命题，解不等式组Error!得2所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)綈p：x2－4ax＋3a2≥0，a>0，

x2－4ax＋3a2≥0⇔(x－a)(x－3a)≥0⇔

x≤a或x≥3a，