MBA联考共享笔记数学重点习题

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MBA2002联考共享笔记——数学重点习题（6） 1、假设由自动线加工的某种零件内径ξ（单位：mm）服从正态N（μ，1）分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为

合格品，销售每件不合格品亏损，已经销售利润T（单位：元）与销售零件的内径ξ关系为：

T=





)12(5)1210(20)10(1



问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（答案：μ≈） 【思路】利润L=-1*φ(10-μ)+20*[φ(12-μ)- φ(10-μ)]-5*[1-φ(12-μ)]=25φ(12-μ)-21φ(10-μ)-5 =25∫1/(2π)^^^2) 从-∞到12-μ的积分 -21∫1/(2π)^^^2) 从∞到10-μ的积分 -5 对上式求导得 L’=1/(2π)^(21e^[(10-μ)^2]-25 e^[(12-μ)^2] 令L’=0即可以求得μ= 此时销售一个零件的平均利润最大.

2、设某种商品每周的需求量ξ是服从区间[0，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]的某一整数，商店每销售1单位的商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每单位仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。 （这道题绕老绕去，把我给整晕了，希望高手指点迷津！书上的答案是24） 【思路】设进货量为N,需求量X,则 N10≤X≤N时,利润Y=-100(N-X)+500X=600X-100N 已知X~区间[0，30]上的均匀分布 则E(Y)=∫Y*1/20 从10到30积分 =1/20∫(300X+200N)dx (从N到30积分)+1/20∫(600X-100N)dx (从10到N积分) =^2+350N+5250≥9280 得,62/3≤N≤26 所以N=21

3、设a, b是正整数，且x2+ax+2b=0和x2+2bx+a=0各有实根，则a+b的最小可能值是？ 【思路】1、两个方程的△都应大于等于0，得:a2≥8b（1）式； b2≥a（2）式。

2、由（2）式得：b≥a1/2，代入（1）得：a2≥8*a1/2，所以，a≥4，（等号成立时，b=2）

3、由（1）式得：a≥（8*b）1/2，代入（2）得：b1/2≥≥（8*b）1/2，所以，b≥2，（等号成立时，a=4）

4、由以上可知，当a取最小值4时，b取最小值2，所以a+b的最小值为6

4、设一年中第i季度某地段发生交通事故的次数Xi服从参数为λi的泊松分布。i=1，2，3，4，并且各季度发生交通事故的次数互不影响。求：、 （1）该地段上半年发生交通事故次数的分布； （2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数； （3）若记Z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算EZ与DZ。 【思路】（1）该地段上半年发生交通事故次数的分布； 设pi(i=0,1,2...)第季度某地段发生交通事故的次数X1=i服从参数为λ1的泊松分布； qj(j=0,1,2,...)第2季度某地段发生交通事故的次数X2=j服从参数为λ2的泊松分布; k=0,1,2...为上半年某地段发生交通事故Y的次数 已知pi=[(λ1^i)*e^(-λ1)]/i!;qj=[(λ2^j)*e^(-λ2)]/j!; P{y=k}=pi*pj(i+j=k的所有组合)＝西格阿｛[(λ1^i)*e^(-λ1)]/i!｝*{[(λ2^j)*e^(-λ2)]/j!}=[(λ1+λ2)^k*e^(-λ1-λ2)]/k! 该地段上半年发生交通事故次数的分布[(λ1+λ2)^k*e^(-λ1-λ2)]/k! (k=1,2,3....) （2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数； E(Y)=λ1+λ2 10年平均次数有独立性知为10＊E(Y)=10(λ1+λ2) (3)若记Z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算EZ与DZ。 上半年未发生交通事故概率为u=P{Y=0}=e^(-λ1-λ2) 上半年发生交通事故概率为v=1-P{Y=0}=e^(-λ1-λ2) 连续10年中该地段上半年未发生交通事故的年数服从二项分布（10,u） EZ=10*u DZ=10*u*v

5、设随机变量X1与X2相互独立同分布，X1的概率函数为P（X1=i）=1/3,i=1,2,3. 令X=max(X1,X2),Y=min(X1,X2) (1)求二维随机向量（X，Y）的联合分布； （2）求X与Y的协差阵。

6、先看四道题： 1 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成甲，乙两组（组不同，计次序），每组2个元素（平均分），有几种分法？ c(4,2)*c(2,2)=6 2 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成两堆（堆相同，不计次序），每堆2个元素（平均分），有几种分法？ c(4,2)*c(2,2)/2！=3 3 把6件不同的奖品分成三堆（堆相同，不计次序），一堆1件，一堆2件，一堆3件（不平均分），有几种分法？ c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)=60 4 把6件不同的奖品分给甲，乙，丙三个人（人不一样，计次序），一人1件，一人2件，一人3件（不平均分），有几种分法？ c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)*3!=360 【思路总结】 n个不同的元素，分成m个和n-m个两组（当然两组以上相同），有几种分法？ 公式一：计次序（即组不一样）；平均分（即m=n-m)

nmCmnmnC (也可以写成n!/m!*(n-m)!)

公式二：计次序（即组不一样）；不平均分 nmCmnmnC2！（2！是组数的阶乘）

公式三：不计次序（即组看成一样，无区别）；平均分 nmCmnmnC/2！

公式四：不计次序（即组看成一样，无区别）；不平均分 nmCmnmnC

这四个公式是这类问题的万能公式，关键在于搞清是不是平均分，计不次序，学会了这类问题就迎刃而解了，但是要活学活用，不能死套 例如：把9本书分甲2本，乙3本，丙4本，有几种分法？ 从题上看是不平均分，计次序，应该用公式二，但是次序已经固定了，甲2本，乙3本，丙4本，应该用公式四，c(9,2)*c(7,3)*c(4,4)=1260. 公式一与公式四的结果一样。

7、 假设当鱼塘中有X公斤鱼时,每公斤鱼的捕捞成本是2000/(10+X)元,已知鱼塘中现有鱼10000公斤,问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需要花费多少成本?答案:2000*ln(10010/4010) 【思路】所求成本=dxx400010000102000 = 2000*ln(10010/4010)

8、设某工厂生产某型号的车床,年产量为A台,分若干批进行生产,每批生产准备费为B元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半,设每年每台库存费为C元,问如何选择批量,使一年中库存费与生产准备费之和最小. 【思路】一年中库存费=XC/2 一年生产准备费=BA/X

所求的和= XC/2+ BA/X≥2XBAXC2 =ABC2

当XC/2=BA/X 即X=CAB2时取等号

9、设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定T=0)就售出,总收入为R0元,如果窖藏起来待来年按陈酒价格出售,T年末总收入R(T)= R0

5.4.oToe

元,假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少煎售出可以使总收入的现值最大. 答

案:T0=1/(25*r2)

【思路】复利意义：现在1元年利率2%，则一年后1*（1+）1；

二年后1*（1+）1 *(1+ 1=1*(1+ 2……第n年后有1*（1+）n元，现值也就是多少年后的1元钱相当于现在的多少元钱，即设第n年后的1元，则1=x*(1+ n其中的x就是第n年后1元的现值。

设T年末总收入的现值f(T)，则f(T)= R05.4.oToe/（（1+r) T)

10、在一大批元件中只有40%合用的,现一个个的随机从中取元件,取到5个合用的为止,记 X 是所取的元件总数,求 X 的期望和方差. 【思路】设第一次取到合用的为止共取x1个元件，从第一次取到合用到取到第二个为止取了x2个元件，从第二次取到合用到取到第三个为止取了x3个元件，从第三个取到合用到取到第四个为止取了x4个元件，从第四次取到合用到取到第五个为止取了x5个元件，这五个事件相互独立，且符合参数为的几何分布，故∑Xi=1/ 则X=X1+X2+X3+X4+X5 ∑X=∑X1+∑X2+∑X3+∑X4+∑X5=5/（其实你只是需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：

几何分布 EX=p1 EX2=)1(12pqp DX=2pq）

11、5张牌，分别是点，从中任意摸出3张，以X表示出3张牌中点数的最大值，求X的分布率。 【思路】P（X=4）=1/C（3，5）=。 P（X=5）=C(2,3)/C（3，5）=， P（X=6）= C(2,4)/C（3，5）=

12、某射手对同一目标进行射击，直到击中r次为止，记X为所用射击次数，已知他的命中率为p,求E（X），D（X）答案E（X）=r/p D(X)=r(1-p)/p^2 D（X） 【思路】把开始到第一次射中设为x1，一~二之间设为x2，依次类推直到Xr 则X=X1+X2+…+Xr，这r个事件两两独立，符合几何分布 E（Xi）= 1/p D（Xi）=q/（p^2） 则E（X）= E（X1）+ E（X2）+ E（X3）+…E（Xr）=r/p D（X）= D（X1）+ D（X2）+ D（X3）+…D（Xr）=r（1-p）/(p^2)