数列的单调性

“
＇
７ ￡ ／
Ｊ ，
’ Ｅ Ｎ ， 若 对 任 意 的 Ｅ Ｎ 都 有
ａ ｎ ＜口 ＋ ， 则实 数 ａ的取值 范 围为
．
４ ．数 列 ／ ａ ） 满足 口 一
（ 其 中 为 实 常数 ） ， ｎ ＥＮ ， 且 ｓ 为 数列 ｛ 口 ｝ 的最 大项 ， ．
∈Ｎ ， 都有 ｂ ＋ ＞６ 成 立．
・ ２ ｎ （ 为非 零 整 数 ， ｎ ＥＮ ） ， 试 确定 的值 ， 使 得 对 任 意
（ 命 题人 ： 刘池 楼 ）
・ １ ９ ・
２ （ －１ ） ” （ ≥２ ） ， 一２ ａ ｎ － １ －了 ４（ 一１ ） ” 一百 ２（ 一１ ） ＝２ ｎ 一 ｌ ＋了 ４（ 一１ ） 一 １ 一 ２（ 一１ ） ” （ ７ ｚ ≥２ ） 所 以 ％ ＋
７ ．设 数 列 ｛ ） 的各 项都 是 正数 ， 且 对任 意 ｎ ＥＮ ， 都有 ｄ ： 一２ Ｓ －ａ ， 其中 Ｓ 为 数列 ． ｛ ａ ） 的前 ｎ项 和． （ １ ）求 数列 ｛ ａ ） 的通项 公 式 ；
０
（ ２ ）设 ｂ 一３ ４ － （ 一１ ）
２ ．提示 ： 设 一彻。 ＋ （ ｎ ， ６为常数） ， 利用 ￥ ３ 一 １
，
找 出 ａ ， ６ 关 系 ６ — ３ ｎ ， 把 ６ — ３ ｎ 代 人 一 斋 ．
３ ．提示 ： 设 Ｓ —ｎ ＋ （ 口 ， ｂ为常数） ， 利用 Ｓ ＝Ｓ 找到 ａ ， ｂ 关系 １ ９ ａ ＋ｂ ＝Ｏ ， 代人 Ｓ ＝Ｏ ． ４ ．提示 ： 设Ｓ ＝口 ｎ ＋ （ ａ ， ｂ为常数） ， 利用 Ｓ ７ ＝１ ２ ， ￥ １ ２ —７得到 １ ９ ａ ＋ｂ ＝一１ ， 代人 Ｓ １ ９ ＝一１ ９ ． ５ ．提示 ： 设 一鲫 ＋ｂ ｎ （ ａ ， ｂ 为常数 ） ， 利用恒等关 系可求得 口 ＝１ ， ｂ ＝０ ， 得ｓ ¨ 一 。 ， 进而得 ｎ 一２ ｎ －１
２ ｎ～ １ ．
专题 突破
１ ．（ 一１ ６ ， ＋。 。 ） ． ２ ． （ 一 ３， ＋。 。） ． ３ ． （ ２
数 列的 单调 性
， ＋∞） ．
４ ｎ － １ ７ ） ＋ Ａ ＋ ／ ￣ ． ｎ 。 ｎ ＝ ：一 — — 一 一 吉 专 ＋ ， 由 题 意 知 当 ＋ ＜ 号 ＜ 。 ｏ 时 ， 有 ÷ 专 ＜ 。 ＜ 。 ｎ ｚ ＜ … ＜ 。 ｎ 。 ｓ ， ａ ９ ＜
专题 突破
１ ． ｓ ｌ ０ 一Ｓ ５ ＋矿Ｓ ５ ＝５ ＋３ ２ ×５ ＝１ ６ ５ ．
得 Ｓ ｌ ８ —７ ．
，
等 比数 列的 一个 求和公 式
２ ・根据 为等 比数列 ｛ ｎ ） 的前 ７ ２ 项和， 有（ ｓ ｚ —ｓ ６ ） 。 ＝ （ ｓ 一ｓ ） 将 ８ ６ １ ，Ｓ ｌ ２ ３代入 ， 计算
一
．
ｌ （ ２
＜ … ＜ ＜ … ＜ ， 故Ａ ＜ 一 ， 所 以 实 数Ａ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ （ 一 。 。 ， 一 ） ．
５ ． 因为 ｛ ） 是单 调递 增数 列 ， 所 以 ＜ ＋ 】 ， 即： ｌ ｇ ｎ ， ｌ ＜口 ｌ ｇ ｎ 科 ， 所以ｎ ｌ ｇ ｎ ＜ｎ （ ｎ ＋１ ） ｌ ｇ口 ．
（ ２ ）① 当 一 １时 ， Ｓ １ —１ ＋１ ＝２ —６ １ ； 当 一５时 ， Ｓ —Ｉ ＋３ —４ ＝ｂ ２ ； 当ｎ ＝１ ３时 ， Ｓ ｌ ３ ＝１ ＋５ —６ —６ ３ ． ② 因为 ２ ｎ －１ 是奇数 ， 一１ ＋、 ； ； 为 整数 ， 则、 ＝２ ｋ －１ ， 所以 ｎ ＝２ ｋ 。 －２ ｋ ＋１ ．
．
所 。 。 以 一 ｎ ｚ 一 ２ 一 ， 门 一 号 ９ ， ’ … ， ’ 告： ～１ ， ｋ … Ａ 上 （ 、 一
） 个 式 子 相 乘 得ａ ｎ ２ × 号× … × 一 ｎ （ ｎ ＞ １ ） ， 又 ｎ ＝ １ 也 符 合 ， 所 以 口 一 ｎ （ ∈ Ｎ ＊ ） ．
２ －ｎ ＋２ ） （ ＥＮ ）
．
５ ・由（ ＋１ ） ２ ｎ ＋ 一凇： 十＆ ｎ 口 ｎ ＋ ｌ 一０因式 分解得 （ ｎ ｌ ＋ａ ） ［ （ ＋１ ） ｄ ＋ ｌ — Ⅱ ］ ：０ ． 因为 ＆ ＞０ ， 所 以 。 ¨ｌ ＋ｎ ＞ｏ ， 故（ ｎ － ｔ － １ ） ｉ ￣ ｎ ＋ １ － 加ｎ —ｏ ， ， 累乘得 。 一 １
（ ∈ Ｎ ） ．
６ ． Ｓ ． ￣ － － ａ ｒ ｔ ２ ＋ （ 口 ， ６ 为 常 数 ） ， 所 以 由 一 等可 得
—
一 等， 所 以 ＝ 等， 所
以２ ａ ｎ ＋ （ ２ ａ ＋ ６ ） ＋ ６ — ２ ａ ｎ ＋ （ 口 ＋ ２ ６ ） ＋ ６ ， 所 以 ｎ ｂ ， 所 以 ａ ｎ ＋ ａ ｎ ・ 因 为Ｓ ｌ １ ， 所 以 口 专， 所 以
（ １ ）当 ｎ ＞１ 时， ｌ ｇ ｎ ＞ｏ ， 所以 口 ＞ ， ｎ ＥＮ ， 所以 ａ ＞１ ；
（ ２ ） 当 ｏ ＜ 口 ＜ １ 时 ， ｌ ｇ ＆ ＜ ｏ ， 所 以 ＞ 口 ， Ｃ ＝ Ｎ ， 所 以 ｏ ＜ 口 ＜ 专 ．
由 （ １ ） 和 （ ２ ） 得 实 数口 的 取 值 范 围 是 （ ｏ ， １ ） Ｕ （ １ ， ＋ ｃ × 。 ） ．
满足 ： ａ １ —３ ， ｂ １ —１ ， ｂ ２ ＋Ｓ ２ —１ ２ ， Ｓ ２ ＝ｂ ｚ ｑ ．
回 Ｄ ｝ Ｉ
（ １ ）求 ａ 与 ｂ ；
（ ２ ） 设ｆ ＝３ ｂ －Ａ・ ２ 号， （ ∈Ｒ ） ， 若数列｛ ｆ ） 是严格递增数列 ， 求 的取值范围．
（ ） ｂ ｎ ＋ １ ＞ 等 价于３ ＋（ 一 １ ） ・ ２ ＞ ３ ＋ （ 一 １ ） ＾ ・ ２ ， 化 简 得（ ～ １ ） ” ～ ＜（ 喜） ．
当 为 奇 数时， 可 得 ＜（ 了 ３ ｎ － ］ ， 即Ａ ＜ Ｉ ；
当 为 偶 数 时 ， 可 得 一 ＜ （ ＿ 昙 － ｎ １ ， 即 ＞ 一 喜，
，
． 詈 Ｉ （ ～ １ ） ＝ ２ ［ ａ 一 ＋ 詈 （ 一 １ ） ～ ］ （ ≥ ２ ） ． 故 数 列 ｛ 。 ＋ 号 （ 一 １ ） ｝ 是 以 ａ ｌ 一 ２ ＿ 一 １ 为 首 项 ， 公 比 为 ２ 的 等 比 数 列 ． 所 以 ｎ ＋ 吾 （ 一 １ ） ： Ｉ × ２ 一 ｌ ， 所 以 ａ ＝ ｛ × ２ ｌ 一 了 ２ × （ 一 １ ） 一 等一 ＿ 耋 － （ 一 １
１ ＋ ｛ ， 所 以 ｎ 一 ｍ
７ ．因为｛ 口 ） 为等差数列 ， 设 Ｓ Ｈ ＝ａ ｎ ＋锄（ ａ ， ｂ 为常数 ） ， 因为 一２ ， 所以 ２ ａ ＝２ ， 所以口 一１ ， 所以 Ｓ 一
＋ ． 因为 ｓ ｌ —Ｓ ・Ｓ ４ ， 所 以（ ４ ＋２ ｂ ） 。 一（ １ ＋６ ） （ １ ６ ＋４ ｂ ） ， 所以 ４ ｂ ＝０ ， 所以 ｂ ＝Ｏ ， 所 以 —ｎ 。 ， 所以 口 ＝
６ ．（ １ ）ａ ＝ ３ ｎ， 一３ －。 ．
（ ２ ）ｆ 一３ ｎ －２ ， ×２ ” ， 所 以 ＋ １ －ｃ ． ＞Ｏ ， 所以３ －２ ×２ ＞３ ” －， ｔ ×２ ， 所 以 ＜ ２ ， 所以２ ＜３ ．
・
７ 。
７ ． （ １ ）ａ ” 一 （ 过程 略 ） ．
则实 数 的取值 范 围 为 ．
．
— —
圆
赫
２ ．设 数 列 ｛ ｎ ） 的通 项公 式 为 ａ 一 ＋Ａ ｎ ， ＥＮ ， 且满足 ａ ＜口 ｚ ＜ …＜ 以 ＜口 ＋ ＜ …，
３ ． 设 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 为 ａ ｎ ＝ ＝ ＝ ｛ ｚ
又Ａ 为非零整数 ， 故 一一１ ．
专 题突破
１ 一厢
－
累加 法 、 累乘法
～ ＋１ ． （ 提示 ： ａ ， ￣ －ａ ｎ１ － 丽
１
一厢
’ 用 累 加 法 ）
２ ・ｄ ｎ 一— （ ２ — ｎ ＋ — １ ） （ — ２ ｎ ～ －１ ） ， 累 乘法 ．
３ ・ 口 ” 一 一 ２ ＋ 旁， 累 加 法 ．
口 。 为 数列 ｛ ｎ ） 的最小 项 ， 则实 数 的取 值 范 围为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
５ ．已知数 列 ｛ ｂ ｝ 的通项 公式 ｂ 一口 ｌ ｇ日 ” （ 以 ＞ Ｏ且 口 ≠１ ） ， 若数列 ６ ＜６ ＋ ， 则 实数 ａ的
取 值 范 围为 ． ６ ．已知 等差 数列 ｛ ｎ ） ， 其 前 项 和 为 Ｓ ， 等 比数 列 ｛ ｂ ） 的各 项 均 为 正数 ， 公 比是 ｑ ， 且
专题 突 破
做题前 ， 请参考本期文章
《 函数 与数 列 间的单调 性 火花》
勘｝
吕 》
数 列 的 单 调 性
１ ．已知 等差 数列 ｛ 口 ） 的前 项 和为 Ｓ （ ｎ ＥＮ ） ， 且ａ ＝２ ｎ ＋Ａ ， 若 数列 ｛ Ｓ ） 在 ≥ ７时 为严格 递 增数 列 ， 则 实 数 的取值 范 围 为
９ ．（ １ ）因 为 ｎ ＋ １ 一Ｓ ＋ ｌ —Ｓ ， 所以 （ Ｓ ＋ １ ～Ｓ ） （ ＋ １ ＋Ｓ 一２ ） 一２ ， 即 ＋ ｌ —ｓ ｌ 一２ （ Ｓ ＋ ｌ — ） 一２ ， 所
以（ Ｓ＋ 一１ ） ～（ Ｓ 一１ ） 。 一２ ， 且（ Ｓ 一１ ） 一１ ， 所 以（ （ Ｓ一１ ） ｝ 是 首项 为 １ ， 公 差 为 ２的等 差数 列 ， 所 以 Ｓ 一１ ＋ｖ ／ 丽 ． （ １ －ｖ ￣ ２ ｌ ＜０舍）
１， ３２ 。 。 成 等比数列 ， 所 以（ ３ ＋ｃ ） ＝３ （ ３ ￣３ ｆ ） ， 解得 ｆ ：ｏ或 ｃ 一３ 当 一。时 ， 口 ｌ — 啦 一 ： ａ ， ａ ３ ， 不符合题意舍去 ， 故ｃ ＝３ ．