固体总复习题

第一章 晶体结构 2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为： 晶格点阵＋基元＝实际晶体结构 3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？ 解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。 4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？

（a） （b） （c） （d） 图1.34 （a）“面心＋体心”立方；（b）“边心”立方；（c）“边心＋体心”立方；（d）面心四方 解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。 从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （b）“边心”立方不是布喇菲格子。 从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。 从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （d）“面心四方” 从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。 5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。 解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：

由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示： a1

a2

ab （a） （b） 从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。

7.为什么说晶面指数（321hhh）和Miller指数（hkl）都能反映一个平行晶面族的方向？

解：晶面指数（321hhh）是以固体物理学原胞的基矢1a、2a、3a为坐标轴来表示面指数的，而Miller指数（hkl）是以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。 8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。 解：体心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为： 体心立方（100）面 体心立方（110）面 体心立方（111）面 面心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：

面心立方（100）面 面心立方（110）面 面心立方（111）面 9.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图1.35）有哪些对称操作？ 解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。 晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性

的。 正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。 10.各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？ 解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示： 晶体结构 配位数 晶体结构 配位数 面心立方 六角密积 12 氯化钠型结构 6

体心立方 8 氯化铯型结构 8 简立方 6 金刚石型结构 4 11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为

（1）简单立方6；（2）体心立方83；（3）面心立方62

（4）六角密积62；（5）金刚石163。 解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra2，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

6)2(3413413333RRa

R

（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数3/4Ra，则体心立方的致密度为：

83)3/4(3423423333R

RaR

（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra22，则面心立方的致密度为：

62)22(3423443333R

RaR

（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra2，Rac)3/64()3/62(，则六角密积的致密度为：

62)3/64(4)2(363464363462323RRRca

R

（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra)3/8(，则金刚石的致密度为：

163)3/8(34834833333R

RaR

1.3 证明体心立方晶格的倒格子是面心立方; 面心立方晶格的倒格子是体心立方． 证明：对于体心立方原胞，基矢： (kjiaa21) kjiaa22 kjiaa23 代入倒格子基矢公式： )kj(aπV]aaπ[b22321 )ki(aπV]aaπ[b22132

)ji(aπV]aaπ[b22213 若设b=a4, 则)kj(bb21 )ki(bb22 )ji(bb23 与面心立方晶格的基矢形式相同。 晶格常数是a的体心立方晶格的倒格子是晶格常数是ab4的面心立方晶格．

同理：晶格常数是a的面心立方晶格的倒格子是晶格常数是ab4立方晶格． 故 体心立方与面心立方互为倒格子

1.4 证明倒格子原胞的体积为cV3)2(，其中cV为正格子原胞的体积． 证明：设正格子原胞基矢为：1a,2a,3a ][321aaacV

cV][2321aab， cV][2132aab，cV][2213aab 则 倒格子原胞的体积： ]}[]{[][)2(][3*211332321aaaaaabbbcVV

根据,)()(][CBABCACBA 则121131213211aaaaaaaaaaaaacV}]{[}]{[][][3

 132aaaccVVV][)2(

3*



cV3)2(

1.5证明倒格子矢量321bbbG321hhh垂直于密勒指数为()321hhh的晶面系． 证明：晶面系()321hhh中最靠近原点的晶面ABC在三个晶轴上的截距分别为

321,,hahah

a．只要证G垂直于晶面ABC即可。

在晶面ABC中：31aaOCOACA31haha（1a，2a，3a为基矢） 32aaOCOBCB31haha 又ij2jiba 所以 0)()(3133213121aabbbCAGhahahhh 0)()(33213321aabbbCBG21hahahhh

1.6对于简单立方晶格．证明密勒指数为（hkl）的晶面系，面间距d满足22222lkhad 证明：简单立方晶格原胞基矢iaa1 jaa2 kaa3 倒格子基矢： iaπb21 jaπb22 kaπb23

倒格矢： )kljki(haπblbkbhKhkl2321 则： 22)2(hklKd2222lkha．

1.7 写出体心立方和面心立方邻晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数．若立方边长为 a，写出最近邻和次近邻的原子间距．

解： 体心立方 面心立方 最近邻原子数 ８ １２ 次近邻原子数 ６ ６

最近邻原子间距 a23 a22 次近邻原子间距 a a

12.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为：







)(2)(2)(2321kjiakjiakjia

aa

a

根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：