高中数学第三章三角恒等变换..两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教版必修

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【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第三章 三角恒等变换
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）课时作业 新人教版
必修4
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )

A.－32 B.－12 C.12 D.32
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.
答案 B
2.已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝()

A.0 B.0或2425
C.2425 D.0或－2425
解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，
∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0.
∵π2<β<π，∴sin β＝2425.
答案 C
3.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsinβ的值为()
A.－1 B.0 C.1 D.±1
解析 cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.

∴α＋β＝kπ＋π2，k∈Z，
∴sin αcos β＋cos αsinβ＝sin(α＋β)＝±1.
答案 D

4.已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝________.
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解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010，
∴cos α＝55，sinβ＝31010.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝55×1010－255×31010＝－22.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.
答案 3π4
5.化简sinπ6＋α＋cosπ3＋α的结果是________.
解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝
cosα.
答案 cos α
6.求下列各式的值.
(1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15°；

(2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°；
解 (1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15°
＝cos(90°＋15°)cos15°－sin(90°－15°)sin 15°
＝－sin 15°cos 15°－cos 15°sin 15°
＝－(sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°)
＝－sin(15°＋15°)

＝－sin 30°＝－12.
(2)∵sin 15°＝sin(45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°

＝6－24，

cos 15°＝6＋24，∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝2262＝33.
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7.已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.
(1)求f5π4的值；
(2)设α、β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值.
解 (1)f5π4＝2sin13×5π4－π6＝2sin π4＝2；
(2)由f3α＋π2＝1013得2sin α＝1013，
即sin α＝513，由f(3β＋2π)＝65得
2sinβ＋π2＝65，从而cos β＝35，
又∵α、β∈0，π2，
∴cos α＝1－5132＝1213，sin β＝1－352＝45，
∴cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.
8.已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β
⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sinα
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α
⇒tan(α＋β)＝2tan α.

能力提升
9.若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x，0≤x<π2，则f(x)的最大值为()
A.1 B.2
C.1＋3 D.2＋3
解析 f(x)＝(1＋3tan x)cos x＝cos x＋3sin x

＝2(12cos x＋32sin x)＝2sin(x＋π6)，
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∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3.∴f(x)max＝2.
答案 B
10.在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是
()
A.直角三角形 B.正三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0.
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
答案 C

11.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.

解析 原式＝sin（15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos（15°－8°）－sin 15°sin 8°
＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin（45°－30°）cos（45°－30°）＝2－3.
答案 2－3
12.已知α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β＝________.

解析 因α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，
所以cos α＝255，sin β＝31010，
所以sin(α－β)＝sinαcos β－cos αsin β
＝55×1010－255×31010＝－22.
因为α，β∈0，π2，所以－π2<α－β<π2，
所以α－β＝－π4.
答案 －π4
13.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝41313.
(1)求cos(α－β)的值；
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(2)若0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，求sin α的值.
解 (1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，

∴1613＝2－2cos(α－β)，

∴cos(α－β)＝513.
(2)∵0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，
∴cos β＝35且0<α－β<π.
又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)·cosβ＋cos(α－β)·sin β

＝1213×35＋513×－45＝1665.
探 究 创 新
14.证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋
sin 80°·sin 40°的值.
证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cosαsin β)(sin αcos β－cos αsin β)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β
＝sin2α－sin2β＝右边.
∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.
∴sin220°＋sin 80°·sin 40°
＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)

＝sin220°＋sin260°－sin220°＝sin260°＝34.