与三角函数有关的数列求和
数列和三角函数
试题解析:解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①
∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1，由上式知，若Sn－1≠0，则Sn≠0.
4．（1）详见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）由 ，及 ，可得 ，根据正弦函数的性质结合三角形内角和定理，即可证明 成立；（2）由 ，根据余弦定理得 ，由此可得 或 ，再根据正弦、余弦函数的性质，可求得 .
试题解析：(1)∵a＝2bcosB，且 ，∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B，
即cosA＝ ＝ ＝ ，A∈(0，π)，∴A＝ ；
(Ⅱ)由余弦定理知4＝b2＋c2－bc，
∴4≥2 2－ 2＝ 2，∴b＋c≤4，
又∵b＋c>a，∴b＋c>2，
综上，b＋c的取值范围为 .
3．(1) (2)
【解析】试题分析：(1)由3a2＋ab－2b2＝0，3a＝2b，即3sinA＝2sinB，又B＝ ，从而求出sinC的值；(2)设a＝2t，b＝3t，又sinA＋3sinC＝3sinB，从而可得c＝ t，利用余弦定理先求cosC，进而得到sinC的值．
9．（1）见解析（2）4
【解析】(1)acos2 ＋ccos2 ＝a· ＋c· ＝ b，
即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.由正弦定理得：
sinA＋sinAcosC＋sinC＋cosAsinC＝3sinB，
即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB.
三角函数常用公式
半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）= sinαcos（2kπ+α）= cosαtan（2kπ+α）= tanαcot（2kπ+α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公式一sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα公式二sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα公式三sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinα公式四sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα公式五sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosα公式六tanA= sinA/cosAtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)其它公式(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2幂级数展开式sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
高中数学数列倒序相加法归纳总结1(含答案)
高中数学数列倒序相加法归纳总结1（含答案）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.在进行1+2+3+⋯…+100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列a n=n2m+4034，则a1+a2+⋯…+a m+2016=()A. m2+504 B. m4+504 C. m+504 D. 2m+504【答案】B【解析】解：依题意a n=n2m+4034，记S=a1+a2+⋯…+a m+2016，则S=12m+4034+22m+4034+⋯+m+20152m+4034+m+20162m+4034，又S=m+20162m+4034+m+20152m+4034+⋯+22m+4034+12m+4034，两式相加可得2S=m+20172m+4034+m+20172m+4034+⋯+m+20172m+4034+m+20172m+4034=m+20162，则S=m+20164=m4+504．故选：B．可设S=12m+4034+22m+4034+⋯+m+20152m+4034+m+20162m+4034，又S=m+20162m+4034+m+20152m+4034+⋯+22m+4034+12m+4034，两式相加，计算可得所求和．本题考查数列的求和方法：倒序相加法，考查运算能力，属于基础题．2.已知函数f(x)=ln exe−x ，若f(e2021)+f(2e2021)+⋯+f(2020e2021)=1010(a+b)，则a2+b2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的对称性，倒序相加法求，利用基本不等式求最值，属中档题．由题意得到f(x)+f(e−x)=2，进而求出a+b=2，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：f (x)=ln exe−x ，则f (x)+f (e −x)=ln exe−x +ln e(e−x)e−(e−x )=lne²=2，设S =f (e2 021)+f (2e2 021)+⋯+f (2 020e2 021)， 则S =f (2 020e2 021)+f (2019e2021)+⋯…+f (e2 021)， 故2S =2×2020，S =2020， ∴1 010(a +b)=2 020， ∴a +b =2． ∴a 2+b 2≥(a+b)22=2，当且仅当a =b =1时取等号． 故选B ．3. 设函数f(x)=22x +1，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)的值为( )A. 9B. 11C. 92D. 112【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f(x)+f(−x)=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．由题意求得f(x)+f(−x)=2，设s =f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)， 则s =f(5)+f(4)+⋯+f(0)+⋯+f(−4)+f(−5)，两式相加，计算可得所求和． 【解答】解：函数f(x)=22x +1， 可得f(−x)=22−x +1=2⋅2x 1+2x ，则f(x)+f(−x)=2(1+2x )1+2x=2，设s=f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)，则s=f(5)+f(4)+⋯+f(0)+⋯+f(−4)+f(−5)，相加可得2s=[f(−5)+f(5)]+[f(−4)+f(4)]+⋯+2f(0)+⋯+[f(4)+f(−4)]+[f(5)+f(−5)]=2×11，可得s=11．故选：B．4.设n为满足不等式C n0+C n1+2C n2+⋅⋅⋅+nC n n<2008的最大正整数，则n的值为()．A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】D【解析】【分析】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前n项和的问题，属于中档题．利用倒序相加法可求得C n0+C n1+2C n2+⋅⋅⋅+nC n n=n⋅2n−1+1，进而解不等式求得最大正整数n．【解答】解：设S=C n0+C n1+2C n2+⋅⋅⋅+nC n n，则S=nC n n+(n−1)C n n−1+(n−2)C n n−2+⋅⋅⋅+C n0，又C n r=C n n−r，∴2S=nC n0+nC n1+nC n2+⋯+nC n n−1+nC n n+2C n0=n⋅2n+2，∴S=n⋅2n−1+1，由S<2008得：n⋅2n−1<2007，∵27=128，28=256，∴8×27=1024<2007，9×28=2304>2007，∴n的值为8．故选：D．.设5.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=an2+bn，(a,b均为常数)，且a7=π2函数f(x)=sin 2x+2cos2 x，记y n=f(a n)，则数列{y n}的前13项和为()2B. 7πC. 7D. 13A. 13π2【答案】D本题主要考查等差数列的定义、性质及三角函数基本性质在数列求和中的应用，属于中档题．先由题设可得数列{a n }是公差为2a 的等差数列，再由等差数列的性质和a 7=π2，即a 1+a 13=π，进而有y 1+y 13=2，即可求得结果． 【解答】解：∵S n =an 2+bn ，∴当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=2an +b −a ， 又当n =1时，有S 1=a 1=a +b 也适合上式， ∴a n =2an +b −a ， 又a n+1−a n =2a 为常数，∴数列{a n }是公差为2a 的等差数列， 又∵a 7=π2，∴a 1+a 13=2a 7=π，∵f(x)=sin2x +2cos 2x2=sin2x +cosx +1，则y 1+y 13=f(a 1)+f(a 13)=sin2a 1+cosa 1+1+sin2a 13+cosa 13+1 =sin2a 1+cosa 1+1+sin(2π−2a 1)+cos(π−a 1)+1=2， 同理可得y 2+y 12=y 3+y 11=⋯=2y 7=2， 则数列{y n }的前13项和为f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a 13)， 记M =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a 13)， 则M =f(a 13)+f(a 12)+⋯+f(a 1)， 所以2M =13[f(a 1)+f(a 13)]=26， 因此M =13． 故选D ．6. 已知g(x)=f(x +12)−1是R 上的奇函数，a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，n ∈N ∗，则数列{a n }的一个通项公式为( )A. a n =n +1B. a n =3n +1C. a n =3n +3D. a n =n 2−2n +3【答案】A本题考查了数列通项公式和倒序相加法求通项公式，是一般题．由g(x)=f(x +12)−1在R 上为奇函数，知f(12−x)+f(12+x)=2，令t =12−x ，则12+x =1−t ，得到f(t)+f(1−t)=2.由此能够求出数列{a n }的通项公式． 【解答】解：由题已知g(x)=f(x +12)−1是R 上的奇函数， 故g (−x )=−g (x )，代入得：f(12−x)+f(12+x)=2(x ∈R)， ∴函数f(x)关于点(12,1)对称， 令t =12−x ， 则12+x =1−t ， 得到f(t)+f(1−t)=2，∵a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，a n =f(1)+f(n−1n)+⋯+f(1n)+f(0)，倒序相加可得2a n =2(n +1)， 即a n =n +1， 故选：A ．7.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)=13x3−1 2x2+3x−512，则g(12015)+g(22015)+⋯+g(20142015)=()A. 2014B. 2013C. 20152D. 1007【答案】A【解析】【分析】本题主要考查新定义函数的理解，考查了函数导数的求法，考查零点问题，考查数列求和中的倒序相加求和法，考查了函数的对称性，属于中档题．由于题目给定了新定义，理解新定义的内涵是本题的关系，新定义的拐点即原函数二阶导数的零点，求得零点也即求得函数的对城中心，由此利用倒序相加求和法求得原式的和．【解答】解：由g(x)=13x3−12x2+3x−512可得g′(x)=x2−x+3，所以，令g′′(x)=2x−1=0得x=12，因为g(12)=1，所以函数g(x)的对称中心为(12,1)．综上可得g(x)+g(1−x)=2，所以g(12015)+g(22015)+⋯+g(20142015)=[g(12015)+g(20142015)]+[g(22015)+g(20132015)]+⋯+[g(10072015)+g(10082015)]=2×1007=2014．故选A．8.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(d≠0)，给出定义：设f’(x)是函数y=f(x)的导数，f’’(x)是y=f’(x)的导数，若方程f’’(x)=0有实数解x，则称点(x,f(x))为函数f(x)的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g (x )=2x 3−3x 2+12，则g (1100)+g (2100)+⋯+g (99100)=( )A. 100B. 50C. 992D. 0【答案】D 【解析】 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(12,0)对称，即f(x)+f(1−x)=0，由此可得到结论．本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键，属于中档题． 【解答】解：∵g(x)=2x 3−3x 2+12，∴g′(x)=6x 2−6x ，g′′(x)=12x −6， 由g′′(x)=0，得x =12，又g(12)=2×(12)3−3×(12)2+12=0， ∴故函数g(x)关于点(12,0)对称， ∴g(x)+g(1−x)=0，∴g(1100)+g(2100)+⋯+g(99100) =49×0+g(50100)=g(12)=0．故选：D ．二、单空题（本大题共1小题，共5.0分）9. f (x )对任意x ∈R 都有f (x )+f (1−x )=12.数列{a n }满足：a n =f (0)+f (1n )+f (2n )+⋯+f (n−1n)+f(1)，则a n =__________．【答案】n+14【解析】【分析】本题考查了数列的通项公式和倒序相加法，结合f(x)+f(1−x)=12，采用倒序相加可得a n ． 【解答】解：由题意得，f(0)+f(1)=12， f(1n )+(n−1n)=12，f(2n)+(n−2n)=12，⋯，∵a n =(0)+f(1n )+f(2n )+⋯f(n−1n)+f(1)，a n =f(1)+f(n−1n)+f(n−2n)+⋯+f(1n )+f(0)， ∴2a n =n+12，解得a n =n+14．故答案为n+14．三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）10. 已知函数f(x)=2x 2x−1，数列{a n }的通项公式为a n =f (n2019)(n ∈N +)，则a 2019= ；此数列前2019项的和为 ． 【答案】2 2020 【解析】 【分析】本题考查了数列的通项公式，倒序相加法求数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．由函数f(x)的解析式，求出数列{a n }的通项公式，将n =2019代入即可得到a 2019的值，再利用倒序相加法即可求出此数列前2019项的和． 【解答】解：依题意，f(x)=2x2x−1，数列{a n }的通项公式为a n =f(n2019)(n ∈N ∗)， 所以a n =2n2n−2019，所以a 2019=2019×22019×2−2019=2；∵a n +a 2019−n =2n2n−2019+2×(2019−n)2×(2019−n)−2019=2n2n−2019−4038−2n2n−2019=4n−40382n−2019=2， 设此数列前2019项的和S 2019，则有： S 2019=a 1+a 2+a 3+⋯…+a 2018+2，S 2019=a 2018+a 2017+a 2016+⋯…+a 1+2， 所以2S 2019=2×2018+4，即S 2019=2020． 故答案为：2；2020．11. 对于三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)，定义：设f′′(x )是函数y =f (x )的导数y =f′(x )的导数，若方程f′′(x )=0有实数解x 0，则称点(x 0,f (x 0))为函数y =f (x )的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数f (x )=x 3−32x 2+3x −14，则f (x )的对称中心为 ；计算f (12021)+f (22021)+f (32021)+⋯+f (20202021)= ． 【答案】(12,1) 2020 【解析】 【分析】本题结合新定义考查导数的运算，属于中档题． 求导得到f′(x)=3x 2−3x +3，故f′′(x)=6x −3=0得到对称中心，故f(1−x)+f(x)=2，计算得到答案． 【解答】解：f(x)=x 3−32x 2+3x −14，则f ′(x)=3x 2−3x +3，f′′(x)=6x −3=0，则x =12．f(12)=1，故f(x)的对称中心为(12,1)． 故f(1−x)+f(x)=2，则f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021) =[f(12021)++f(20202021)]+...+[f(22021)+f(20192021)]=2020． 故答案为：(12,1)；2020．四、解答题（本大题共9小题，共108.0分）12. 已知函数f(x)=(1+x)n ,n ∈N ∗．(1)当n =8时，求展开式中系数的最大项；(2)化简C n 02n−1+C n 12n−2+C n 22n−3+⋯+C n n 2−1；(3)定义：，化简：．【答案】解：(1)f(x)=(1+x)8 ∴系数最大的项即为二项式系数最大的项，T 5=C 84x 4=70x 4．(2)f(x)=(1+x)n =C n 0x 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ， ∴原式=12(C n 02n +C n 12n−1+C n 22n−2+⋯+C n n 20)=12(1+2)n =3n 2．(3)∑ni=1(i +1)C n i =2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ①， ∑ni=1(i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1 ②， 在①、②添加C n 0，则得1+∑ni=1 (i +1)C n i =C n 0+2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ③，1+∑ni=1 (i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1+1C n 0 ④，③+④得：2(1+∑ni=1 (i +1)C n i )=(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1+C n n )=(n +2)2n ，∴ ∑ni=1(i +1)C n i=(n +2)2n−1−1． 【解析】本题主要考查二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题． (1)根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，n =8，中间项为第5项，其系数最大;(2)根据f(x)=(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ，根据二项式定理即可求值;(3)原式添加C n 0，利用倒序相加，化简即可．13. 已知f(n)=a 1+a 2C n1+⋯+a r C n r−1+⋯+a n+1C n n(n ∈N ∗)．(1)若a n=n−1，求f(n)；(2)若a n=3n−1，求f(20)除以5的余数．【答案】解：(1)因为f(n)=0⋅C n0+1⋅C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC n n．所以f(n)=nC n n+(n−1)C n n−1+(n−2)C n n−2+⋯+1−C n1+0⋅C n0．因为C n m=C n n−m，所以两式相加可得2f(n)=nC n0+nC n1+nC n2+⋯+1−C n n=n(C n0+C n1+C n2+⋯+C n n)=n⋅2n，所以f(n)=n⋅2n−1．(2)因为f(n)=30C n0+3C1C n1+32C n2+⋯+3n C n n=(1+3)n=4n，所以f(20)=420=(5−1)20=C200520−C201519+C202518−⋯+C201852−C201852−C201951+C202050除以5余数为1.所以f(20)除以5的余数为1【解析】本题主要考查二项式定理的应用，组合数公式计算，倒序相加法求和，考查学生计算能力，属于难题．(1)将a n=n−1，代入F(n)中，利用倒序相加法以及组合数运算求得2f(n)=nC n0+ nC n1+nC n2+⋯+1−C n n=n(C n0+C n1+C n2+⋯+C n n)=n⋅2n，即可得到F(n)；(2)由二项式定理的性质得f(20)=420=(5−1)20=C200520−C201519+C202518−⋯+ C201852−C201852−C201951+C202050，即可得到F(20)除以5的余数为1．14.已知f(n)=a1+a2C n1+⋯+a r C n r−1+⋯+a n+1C n n(n∈N∗)．(1)若a n=n−1，求f(n)；(2)若a n=3n−1，求f(20)除以5的余数．【答案】解：(1)因为f(n)=0⋅C n0+1⋅C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC n n．所以f(n)=nC n n+(n−1)C n n−1+(n−2)C n n−2+⋯+1−C n1+0⋅C n0．因为C n m=C n n−m，所以两式相加可得2f(n)=nC n0+nC n1+nC n2+⋯+1−C n n=n(C n0+C n1+C n2+⋯+C n n)=n⋅2n，所以f(n)=n⋅2n−1．(2)因为f(n)=30C n0+3C1C n1+32C n2+⋯+3n C n n=(1+3)n=4n，所以f(20)=420=(5−1)20=C200520−C201519+C202518−⋯+C201852−C201852−C 201951+C 202050除以5余数为1.所以f(20)除以5的余数为1【解析】本题主要考查二项式定理的应用，组合数公式计算，倒序相加法求和，考查学生计算能力，属于难题．(1)将a n =n −1，代入F (n )中，利用倒序相加法以及组合数运算求得2f(n)=nC n 0+nC n 1+nC n 2+⋯+1−C n n =n(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n )=n ⋅2n ，即可得到F(n)； (2)由二项式定理的性质得f(20)=420=(5−1)20=C 200520−C 201519+C 202518−⋯+C 201852−C 201852−C 201951+C 202050，即可得到F(20)除以5的余数为1．15. 已知数列{a n }的首项为1，设f (n )=a 1C n 1+a 2C n 2+⋯+a k C n k +⋯+a n C n n (n ∈N ∗)．(1)若{a n }为常数列，求f(4)的值；(2)若{a n }为公比为2的等比数列，求f(n)的解析式；(3)数列{a n }能否成等差数列，使得f (n )−1=2n ⋅(n −1)对一切n ∈N ∗都成立？若能，求出数列{a n }的通项公式；若不能，试说明理由． 【答案】解：(1)∵{a n }为常数列，∴a n =1(n ∈N ∗).∴f(4)=C 41+C 42+C 43+C 44=15．(2)∵{a n }为公比为2的等比数列，∴a n =2n−1(n ∈N ∗).∴f(n)=C n 1+2C n 2+4C n 3+⋯+2n−1C n n ，∴1+2f(n)=1+2C n 1+22C n 2+23C n 3+⋯+2n C n n =(1+2)n =3n ，故f(n)=3n −12．(3)假设数列{a n }能为等差数列，使得f(n)−1=(n −1)2n 对一切n ∈N ∗都成立，设公差为d ，则f(n)=a 1C n 1+a 2C n 2+⋯+a k C n k +⋯+a n C n n ， 且f(n)=a n C n n +⋯+a k C n k +⋯+a 2C n 2+a 1C n1， 相加得2f(n)=2a n +(a 1+a n−1)(C n 1+C n 2+...+C n k +...+C n n−1)， ∴f(n)=a n +a 1+a n−12(C n 1+C n 2+...+C n k +...+C n n−1)=a n +a 1+a n−12(2n−2) =1+(n −1)d +[2+(n −2)d](2n−1−1)．∴f(n)−1=(d −2)+[2+(n −2)d]2n−1=(n −1)2n 对n ∈N ∗恒成立， 即(d −2)+(d −2)(n −2)2n−1=0对n ∈N ∗恒成立，∴d =2．故{a n }能为等差数列，使得f(n)−1=(n −1)2n 对一切n ∈N ∗都成立， 它的通项公式为a n =2n −1．【解析】本题重点考查二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求f(n)，难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．(1){a n }为常数列，a 1=1，可求a n =1，代入f(n)=a 1C n 1+a 2C n 2+⋯+a k C n k +⋯+a n C n n(n ∈N ∗)可求f(4)的值；(2)根据题意可求a n =2n−1(n ∈N ∗)，f(n)=C n 1+2C n 2+4C n 3+⋯+2n−1C n n ，两端同时2倍，配凑二项式(1+2)n ，问题即可解决；(3)假设数列{a n }能为等差数列，使得f(n)−1=(n −1)2n 对一切n ∈N ∗都成立，利用倒序相加法求得f(n)=a n +a 1+a n−12(2n −2)，最终转化为(d −2)+(d −2)(n −2)2n−1=0对n ∈N ∗恒成立，从而求得d =2，问题解决．16. 已知函数f(x)=(1+x)n ，n ∈N ∗．(1)当n =8时，求展开式中系数的最大的项；(2)化简C n 02n−1+C n 12n−2+C n 22n−3+⋯+C n n 2−1；(3)定义：∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ，化简：∑(i +1)C n i n i=1．【答案】解：(1)f(x)=(1+x)8 ∴系数最大的项即为二项式系数最大的项，T 5=C 84x 4=70x 4．(2)f(x)=(1+x)n =C n 0x 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ， ∴原式=12(C n 02n +C n 12n−1+C n 22n−2+⋯+C n n 20)=12(1+2)n =3n 2．(3)∑ni=1(i +1)C n i =2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ①， ∑ni=1(i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1 ②， 在①、②添加C n 0，则得1+∑ni=1 (i +1)C n i =C n 0+2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ③，1+∑ni=1 (i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1+1C n 0 ④，③+④得：2(1+∑ni=1 (i +1)C n i )=(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1+C n n)=(n +2)2n ，∴ ∑ni=1(i +1)C n i=(n +2)2n−1−1． 【解析】本题主要考查二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题． (1)根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，n =8，中间项为第5项，其系数最大;(2)根据f(x)=(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ，根据二项式定理即可求值;(3)原式添加C n 0，利用倒序相加，化简即可．17. (1)已知函数f(x)=(1+x)n ,n ∈N ∗，当n =8时，求展开式中系数最大的项；(2)化简C n 02n−1+C n 12n−2+C n 22n−3+...+C n n 2−1；(3)定义：∑ni=1 a i =a 1+a 2+...+a n ，化简：∑(i +1)C n i n i=1．【答案】解：(1)f(x)=(1+x)8 ∴系数最大的项即为二项式系数最大的项，T 5=C 84x 4=70x 4．(2)f(x)=(1+x)n =C n 0x 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ， ∴原式=12(C n 02n +C n 12n−1+C n 22n−2+⋯+C n n 20)=12(1+2)n =3n 2．(3)∑ni=1(i +1)C n i =2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ①， ∑ni=1(i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1 ②， 在①、②添加C n 0，则得1+∑ni=1 (i +1)C n i =C n 0+2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ③，1+∑ni=1 (i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1+1C n 0 ④，③+④得：2(1+∑ni=1 (i +1)C n i )=(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1+C n n )=(n +2)2n ，∴ ∑ni=1(i +1)C n i=(n +2)2n−1−1． 【解析】本题主要考查二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题． (1)根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，n =8，中间项为第5项，其系数最大;(2)根据f(x)=(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ，根据二项式定理即可求值;(3)原式添加C n 0，利用倒序相加，化简即可．18. 已知函数f(x)=x 21+x 2．(1)求f(2)与f (12)，f(3)与f (13)；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f (1x )有什么关系？证明你的发现； (3)求f(2)+f (12)+f(3)+f (13)+⋯+f(2 021)+f (12 021)的值．【答案】解：(1)f(2)=221+22=45，f(12)=(12)21+(12)2=15； f(3)=321+32=910，f(13)=(13)21+(13)2=110．(2)由(1)可得：f(x)+f(1x )=1，证明如下： f(x)+f(1x )=x 21+x 2+(1x)21+(1x )2=x 21+x 2+11+x 2=x 2+11+x 2=1． (3)由(2)知f(x)+f (1x )=1， ∴f(2)+f (12)=1，f(3)+f (13)=1， f(4)+f (14)=1，…，f(2 020)+f (12 020)=1．∴f(2)+f (12)+f(3)+f (13)+⋯+f(2 021)+f (12 021)=2 020．【解析】本题考查了函数值的求法、探究发现规律即证明应用，属于中档题． (1)直接代入计算即可；(2)发现f(x)+f(1x )=1，代入化简即可证明； (3)利用(2)的结论即可得出．19. 已知函数f(x)=(1+x)n ，n ∈N ∗．(1)当n =8时，求展开式中系数的最大项；(2)化简C n 02n−1+C n 12n−2+C n 22n−3+⋯+C n n 2−1；(3)定义：∑a i n i=1=a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，化简：∑(i +1)n i=1C n i ．【答案】解：(1)n =8时，f(x)=(1+x)8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5=C 84x 4=70x 4; (2)f(x)=(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n−1x n−1+C n n x n ， 原式=12(C n 02n +C n 12n−1+C n 22n−2+⋯+C n n 20)=12(1+2)n =3n 2;(3)∑(n i=1i +1)C n i =2C n 1+3C n 2+⋯+nC n n−1+(n +1)C n n ，① ∑(n i=1i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯+3C n 2+2C n 1，② 在①、②添加C n 0，则得：1+∑(n i=1i +1)C n i =C n 0+2C n 1+3C n 2+⋯+nC n n−1+(n +1)C n n ，③ 1+∑(n i=1i +1)C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯+3C n 2+2C n 1+1C n 0，④ ③+④得：2(1+∑(n i=1i +1)C n i )=(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1+C n n)=(n +2)2n ，∴∑(n i=1i +1)C n i =(n +2)2n−1−1． 【解析】本题考查了二项式定理的应用及二项展开式的特定项与特定项的系数，倒序相加法，组合数的性质，属于较难题．(1)根据系数最大的项即为二项式系数最大的项即可求得；(2)由f(x)=(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n−1x n−1+C n n x n ，将C n 02n−1+C n 12n−2+C n 22n−3+⋯+C n n 2−1提出12后逆用二项式定理可得；(3)利用倒序相加后由二项式系数和即可求得．20. 设数列{a n }是等比数列，a 1=C 2m+33m A m−21，公比q 是(x +14x 2)4的展开式中的第二项． (1)求a 1；(2)用n ，x 表示数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；(3)若A n =C n 1S 1+C n 2S 2+⋅⋅⋅+C n n S n ，用n ，x 表示A n ．【答案】解：(1)∵a 1=C 2m+33m⋅A m−21，∴{2m +3≥3m m −2≥1⇔{m ≤3m ≥3，∴m =3．∴a 1=C 99⋅A 11=1，(2)由(x +14x 2)4知q =T 2=C 41x 3⋅14⋅x −2=x ， ∴a n =x n−1， ∴S n ={n(x =1)1−x n1−x(x ≠1)．(3)当x =1时，S n =n ．A n =C n 1+2C n 2+3C n 3+⋯+nC n n…①而A n =nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+(n −3)C n n−3+⋯+2C n 2+C n 1…② 又∵C n 0=C n n ，C n 1=C n n−1，C n 2=C n n−2，…①②相加得2A n =n(C n0+C n 1+C n 2+C n 3+⋯+C n n )=n ⋅2n ， ∴A n =n ⋅2n−1． 当x ≠1时，S n =1−x n 1−x，A n =11−x[(1−x)C n 1+(1−x 2)C n 2+(1−x 3)C n 3+⋯+(1−x n )C n n ]=11−x[(C n 0+C n 1+C n 2+C n 3+⋯+C n n )−C n 0−(xC n 1+x 2C n 2+⋯+x n C n n )] =11−x[(2n −1)−((1+x)n −1)] =11−x[2n −(1+x)n ]， ∴A n ={n ⋅2n−1(x =1)2n −(1+x)n1−x(x ≠1)． 【解析】本题考查二项式定理的应用，考查数列的求和，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．(1)依题意，a 1=C 2m+33m⋅A m−21，由排列数与组合数的意义可得到关于m 的不等式组，从而可求得m ；(2)利用二项展开式的通项公式可求得q =x ，从而可得数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n (需对x 分x =1与x ≠1分类讨论)；(3)当x =1时，S n =n ，A n =C n 1+2C n 2+3C n 3+⋯+nC n n ， 利用倒序相加法与C n 0+C n 1+C n 2+C n 3+⋯+C n n =2n 即可求得A n ；当x≠1时，S n=1−x n1−x ，A n=11−x[(1−x)C n1+(1−x2)C n2+(1−x3)C n3+⋯+(1−x n)C n n]，利用分组求和的方法即可求得A n．。
三角函数、数列专题文数
高考数学（文）二轮复习三角函数、数列专题1.（12分）记为等比数列的前项和，已知，，（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列。
2.已知是公差为的等差数列，数列满足，，。
（1）求的通项公式。
（2）求的前项和。
3. （本小题满分12分）已知，，分别为内角，，的对边，。
（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）设，且，求的面积。
4.（本小题13分）已知等差数列和等比数列满足，，。
（1）求的通项公式；（2）求和：。
5.（本小题13分）已知函数。
（1）求的最小正周期；（2）求证：当时，。
6.（本小题满分13分）在中，内角，，所对的边分别为，，。
已知，。
（1）求的值；（2）求的值。
7.已知是等差数列，是等比数列，且，，，。
（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和。
8.已知函数（）的最小正周期为。
（1）求的值。
（2）求的单调递增区间。
9.（本小题满分13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知。
（1）求；（2）若，求的值。
10.（本小题满分13分）已知函数。
（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值。
11.（本小题满分12分）已知等差数列满足，。
（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？12.（本小题满分13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，。
（1）求和的值；（2）求的值。
数列的求和方法
1111122(),1()(1)(1).22(1)(2).(1)(1)11(1)(3)()1232()12n n n n n n a a n n n S na d na q n S a a q a q q q q n n I n II +-==+=⎧⎪=--⎨≠⎪--⎩+++++=+第四讲、数列的求和方法主讲：叶导数列的求和是数列的重要内容之一也是考试的一个热点.一、知识要点、公式法等差数列前项和等比数列的前项和公式：或注意：公比的分类讨论三个基本公式：…；2222333312(1)(21)36(1)()123.42,,().3,()(1).()(2)(),n n n n n n n n n n III n n n a a n An B q q S A B q A B q An B q q +++++=+++++=+⨯+≠=++++++…；...、倒序相加法：这是推导等差数列前项和所用的方法就是讲一个数列倒过来排列再与原数列相加得到、错位相减法：这是推导等比数列前项和所用的方法这种方法适用于通项公式是等差等比的形式 (23123121121)2()(2)(),(1)()()(),(1)()(),1()[()(1)].(1)4,,,n n n n n n n n n n S A B q A B q An B q q S A B q A q q q An B q Aq Aq q S A B q An B q q A B q Bq A B Bq A q n q S q +++++=++++++-=+++++-+--=++-+-+-++-+-⋅=-…两式相减得…得、裂项相消法：将数列中的每项分解然后重新组合能消去中间的一些项留下少2,1111(1)()()().()(),2(12).1111()()(21)(21)4821211111()[].(1)(2)2(1)(1)(2)(I a b n a n b b a n a n bb a m m m n II n n n n III n n n n n n n I =-<++-++-===+--+-+=-+++++数几项最终达到求和的目的.裂项相消法一般有两种常见的形式：分式的形式：注意：这一类是最常见的形式.裂项相消后就保留项考题一般取或11122(1)11).(1)2(1)22(1)21(2)).,2(12).n n n n n n n V n n n n n n a b a b a b m m m +++++-==-+⋅+⋅⋅+⋅=>--==注意：裂项相消后就保留项考题一般取或2125,,,.6,,.8,88,888,8888,88888,11088(1101010)8(101).11098(101010)9n n nn nn a S n --=⨯++++=⨯=--=+++-=、分组求和法：数列比较复杂包括等差、等比或前面常见的类型可将数列适当分成几个等差、等比或常见数列然后分别求和再合并、拆项求和法：我们通过研究通项公式可将它拆成几个等差或等比数列的和然后再求和例如：数列求和………810(110)80(101)8[].91108197(sin ,cos ).sin(1)sin sin cos cos 2cos ().2sin 8(1),(1)(1).(2)n n n n x x n x nx xx x nx x k xn n n π---=--++-+++=≠-+、含有三角函数的数列分子分母通常同乘积化和差相消公式：…、求数列的和要注意的事项数列的项数不一定都是项有时候是项或项通项公式含有绝对值的或者是奇偶项不同的都要进行.(3),.分类讨论数列的末项未必都是数列的通项公式要仔细审题以免出错222221142536(1)(4).(3)3,1,2,3,, 1.142536(1)(4)[123(1)]3[123(1)](1)(2)[2(1)1]3[1(1)](1)62(1)(2)(23)3(1)(6k n n a k k k k k n n n n n n n n n n n n n n ⨯+⨯+⨯++++=+=+=+⨯+⨯+⨯++++=++++++++++++++++++=+++++=+二、例题分析例、求…的和解：设其中…所以………22)(1)(2)(6).23(1),.21,3,1,31,3,1,3,.12(1),(111)2[(1)(1)(1)]1(1).3{},10n n n n n n n n n n n n n n n n n S a S n a n S a S ++++=+----=+⋅-=++++-+-++-=-+-=>注意：这里求的是前项和而不是前项和例、求循环数列…的前项和解：可知该数列的通项公式所以……例、设数列前项和为通项则满足不等式的最小A 11 B 100 C 120 D 1211 1.10,110,120.121,.n n n n a S S n n D ===+++=>>>=整数的值为( )、、、、解：因为所以…由解得所以最小整数选2222(1)4{}.(2)(1)21111111(),(2)(2)2221111111111(1)2324351121111(35)(1).22124(1)(2),22,n n n n S n n n n n n n n n n n n n S n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+=+-++++=+-+-+-++-+--+++=++--=++++++-=例、求数列的前项和解：因为所以…注意：裂项相消法中分母差值则相消后保留1114,41215(),(0)()()()(1).42(1){},.1(2){}.442(1)(),(1),42422442()(1)4224x n x n n n n x x x x xx x x n f x a f f f f f n n n a n S a a f x f x f x f x +---==++++++=-==++++-=+=++项；若前面第一、三项保留则后面的倒数第一、三项也保留.例、设…判断数列是否为等差数列并证明你的结论求数列的前项和解：因为所以+1+111,1122(0)(1)()()()()1[(0)(1)](1)12,,22211,{}.221411(2)4(),(1)(2)121111111124()4()23341222n n n n n n n n n n f f f f f f n n n nf f n n n a a a a a a a n n n n S n n n +--+=+=+==++++===-===-++++=-+-++-=-=+++所以…所以可知所以所以数列是公差为的等差数列因为所以….2nn +212352211123123516{}1,{},,{}.2,(1)[(1)(1)1]1(1)221, 1..22(2)2,8,{} 4.{n n n nn nn n n n n a n S n n b a b a b a n T b n a S S n n n n n n n a S a n n a b a b a b q a b -=-+==≥=-=-+----+=⎧=-====⎨-≥⎩======例、已知数列的前项和正项等比数列满足求数列的前项和解：当时；当时所以可知所以等比数列的公比因为111123123123},2,222.1221,(1)()(2).2221111112()3()(1)(),222221111111()2()(2)()(1)().24222211111()()24222n n n n n n n n n n n n n n q b a a n n n b b T n T n n T ----==⋅=-===-⋅≥=+⋅+⋅+⋅++-⋅=+⋅+⋅++-⋅+-⋅=++++是正项等比数列所以所以所以且所以...得...两式相减得 (11111)()(1)(),221111511()(1)(),(1)().242222n n n n n n n n T n T n ---+--⋅=+---⋅=-+⋅即得7,1,2,3,4,5,4,3,2,11,2,3,4,5,5,4,3,2,1.1,2,3,,1,,1,,3,2,1(2).(21),(1)(1)1,122121,(12k k k n n n n k S n n n k k k n S k n k n S --≥--+≤≤=+++=+≤≤-=+例、一个数列从左到右或从右到左排列的数字完全相同我们把它叫做回文数列.如：和求回文数列……的前项和解：可知该数列共有项可分为前项与后项讨论.当时…；当)(122)(1)(12)()(41)2(1).222(1)(1)2,.(41)2(1)(121)2k n n n n k n n n n k k n k n k n n k k k n k S k n k n n n k n +++-+-++-+-+----+-=+=+⎧≤≤⎪⎪=⎨--+-⎪+≤≤-⎪⎩……所以该数列的前项和444455543244443333222252244448123,(1)5101051(1).5(123)10(123)10(123)5(123),5(1)5(1)(21)5(1)5(123)232n n n n S n a n n n n n n n S n n n n n n n n n n n n n n n ++++==--=-+-+==++++-+++++++++-+++++=++++++++-+-+=例、求和：...解：设则也满足可知............即 (524444),(1)(21)(331)123.309cos ,cos3,,cos(21).(1)(21),.(2)2,.2sin [cos cos3cos(21)](3),2sin sin 2(sin 4sin 2)(sin 6sin 4)n n n n n n n n n n n x x n x n S x k S n x k S n x x x n x x k S xx x x x x πππ+++-++++=-=-=-==+++-≠=+-+-+=得…例、求数列…的前项和当时当时…当时22[sin 2sin 2(1)]2sin (1)()sin 2.,.sin 22sin ()2sin 22310{}.(41)2223123(21)(21)(41)2(21)(21)21111()22121(2k n n n n n n nnx n x xn x k nx n S nx x x k xn n S n n n n n n n n n n n ππ+--⎧-=⎪==⎨≠⎪⎩++-⋅+++=+-+-⋅-+⋅=-+-+…综上所述该数列的前项和例、求数列的前项和解：因为11131,1)2(21)2111111(1)2335212111111[1]6620(21)2(21)2111311(1)1.22121(21)2(21)2111,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,2013.1,2,n n n n n n n n S n n n n n n n n n a a ----⋅+⋅=-+-++--++-+-++--⋅+⋅+=-+-=-+++⋅+⋅==所以……例、求数列…的前项和解：可知(1)26(1)2201620152014201322222013201620163,,.63,63,62,61,60.(1)(1)123,13622(123)(123)21(1)(21)(1)(1)(2)[].2626(n n n n a a n n a a a a n n n n n S n n n n n n n n n n S S a a ++=======++++++==+++++++++++++=+++++=+==-+…当时所以因为…所以………所以20152014)636465(1362016)(636261)18643494.6a +⨯⨯=++++-++=-=…。
数列的求和方法----裂项法
用裂项相消法对数列求和（文科用）西安市第一中学：张平乐在数列求和的方法中，裂项相消法是一种重要的方法. 裂项相消法——化作同一个数列中的两项之差的形式,适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+1n n a a c 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+k n n a a c 其中{}n a 是各项不为0的等差数列，+∈N k ，c 为常数；部分无理数列等等. 裂项法的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如果，数列通项是分式，分母是几个因子连乘的形式，裂项往往是将分子变成分母中一些因子之差的形式进行裂项；如果是几个因子连乘的形式，则往往通过给它在乘以结果为1的两个式子之差的形式，裂项相消法通常从通项入手进行裂项.一、裂项法对数列求和的一些实例（教师出示数列的通项，学生试着裂项，展示依据和过程）：（1）)()1(n f n f a n-+=或)()(n f K n f a n -+= （2）111)1()1()1(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n （3）)211(21)2(2)2()2(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n 在对（1）、（2）、（3）的思考之后，由学生探索出（4）式. (4) )11(1)()()(1kn n k k n kn n k n k n n a n +-=+-+=+=. (5)).121121(21)12)(12(2)12()12()12)(12(1+--=+---+=+-=n n n n n n n n a n 在对（4）、（5）的思考之后，由学生探索出（6）、（7）、（8）、（9）式.（6）)121121(211)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+-=+-=n n n n n n n n a n （7）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(2)2()2)(1(1++-+=++-+=++=n n n n n n n n n n n n a n (8).2)1(12121)1()1(221)1(21n n n n n n n n n n n n n n a +-⋅=⋅+-+=⋅++=-(9)数列{}n a 为等差数列，0,0,)1(11≠≠-+=d a d n a a n . 则.1111111++++⋅-⋅=⋅-=⋅n n n n n n n n a d a d a da a a a a 对分母是积的形式，学生有了一个如何裂项的认识. (10)).1()1(31)2)(1(31)1(3)1()2()1(+--++=+⋅--+=+=n n n n n n n n n n n n a n ).1)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(4)1()3()2)(1()11(++--+++=++⋅+-+=++=n n n n n n n n n n n n n n n n a n 在对（10）、（11）的思考之后，由学生探索出（12）、（13）式.).()1()1(21)1()2)(1(21)()2)(1(2)1()1()()2)(1(12k n n n n k k n n n n k k n n n n k n k n k n n n n a n +⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅++⋅+--++=+⋅⋅⋅++=）（ (13)数列{}n a 为等差数列，0,0,)1(11≠≠-+=d a d n a a n ..3131311211121+-+++-++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⨯-=⋅n n n n n n n n n n n n a a a d a a a d a a d a a a a 则 (14)).1(),(11)1(1≠--=--=+q q q qa q q aq aq n n n n（不作要求， 看懂即可） (16)1tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+αααααn n n n . （不作要求，看懂即可） （由()[]αααn n -+=1tan tan 变形而得）[]n n n n n n n n tan )1tan()1cos(cos )1(sin )1cos(cos 1sin )15(-+=+-+=+对于三角函数的裂项，需要变角、变结构得来. (17)n n n n -+=++111. (18)n n nn lg )1lg(1lg -+=+. 关于其它形式的裂项，往往需要在学习中不断思考与探索，有些事变形的结果，有些可能是“妙手偶得之”的结果.如： (19)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=2)12(cos 2)12(cos 2sin 21sin θθθθn n n . （不作要求，看懂即可） (20) 2sin 2)1cos(cos 212sinαααα+-=⋅+n n n .（不作要求，看懂即可） (21)2sin 2sin )1sin(212cos ααααn n n -+=⋅+. （不作要求，看懂即可） 没有一定的素材，很难得出裂项法的规律，以上是一些常见的裂项结果，通过对这些通项裂项的思考，我们可以获得更重要的裂项的方法，而这些方法在学习中非常有用.二、以下举例说明：例1：计算下列和式： （1）.2)13(341∑=-+=nk n k k S （2）.)1(12122∑=++=n k n k k k S 解：（1）因为[])23)(13(3)13()23(4)23)(13(42)13(34+---+=+-=-+k k k k k k k k 所以，).231131(342)13(34+--=-+k k k k 所以，.232)231131(342)13(341+=+--=-+=∑=n n n k k S nk n （2）.)1(11)1()1()1(1222222222+-=+-+=++k k k k k k k k k 所以，.)1()2()1(11)1(1221222++=+-=++=∑=n n n n k k k S nk n 例2：已知数列{}n a 的通项公式为.,)2)(2(21*+∈++=N n b b a n n n n b 为常数且0>b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .解：（1）因为.,2121)2)(2()2()2(111*+++∈+-+=+++-+=N n bb b b b b a n n n n n n n 所以，.,21211*+∈+-+=N n bb S n n 三、总结（揭示规律，不懂就问）1、对于用裂项法求数列的前n 项和的问题，从数列的通项如手进行裂项；2、数列通项是分式，分母是几个因子连乘的形式，裂项往往是将分子变成分母中一些因子之差的形式进行裂项；3、数列通项是几个因子连乘的形式，则往往通过给它再乘以结果为1的两个式子之差的形式来裂项；4、对于数列通项是三角函数的形式，往往通过变角、变结构、恒等变形得出裂项的方法.。
三角函数公式表
【数学】高中数学三角函数公式集角一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。
旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
角的单位制关系弧长公式扇形面积公式角度制?弧度制角的终边位置角的集合在x轴正半轴上在x轴负半轴上在x轴上在y轴上在第一象限内在第二象限内在第三象限内在第四象限内特殊角的三角函函数/角sina 0 1 0 -1 0cosa 1 0 -1 0 1tana 0 1不存在0 不存在0cota 不存在 1 0 不存在0 不存在数值三 角 函数 的 性 质函数定义域值域 奇偶性 周期性???? 单 调 性y=sinxR奇函数y=cosxR偶函数y=tanxR奇函数y=cotxR奇函数诱 导 公 式角/函数正弦 余弦 正切 余切-a -sina cosa -tana -cota 900a cosa sina cota tana 900+a cosa -sina -cota -tana 1800-a sina -cosa -tana -cota 1800+a -sina -cosa tana cota 2700-a -cosa -sina cota tana 2700+a -cosa sina -cota -tana 3600-a-sina cosa -tana -cotasina cosatanacota同角? 公式倒数关系商数关系平方关系和差角公式倍角公式万能公式半角公式积化和差公式和差化积公式补充：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(pi/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a)sin(pi/2+a)=cos(a)cos(pi/2+a)=-sin(a)sin(pi-a)=sin(a)cos(pi-a)=-cos(a)sin(pi+a)=-sin(a)cos(pi+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)双曲函数sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)反三角函数公式一.一若sinx=a (-1≤a≤1 -∏/2≤x≤∏/2)x=arcsina二①sin(arcsina)=a (-1≤a≤1)②arcsin(sina)=a (-∏/2≤a≤∏/2)二.一若cosx=a (-1≤a≤1 0≤x≤∏)x=arccosa二①cos(arccosa)=a (-1≤a≤1)②arccos(cosa)=a (0≤a≤∏)三.一若tanx=a (-∏/2<x<∏/2)x=arctana二①arctan(-a)=-arctana a∈R②arctan(tana)=a (-∏/2<a<∏/2)③tan(arctana)=a a∈R等比数列（1）等比数列：An+1/An=q, n为自然数。
三角函数公式大全关系
三角函数公式大全关系：倒数tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
三角函数记忆顺口溜 记忆的方法和技巧
三角函数记忆顺口溜记忆的方法和技巧三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
1 三角函数记忆口诀三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用;一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
1 三角函数万能公式怎幺记1）正弦：1 加切方除切倍。
要注意‘除’的含义。
2）余弦：阴阳相比是余弦。
解释：化学中‘阴’指‘-’‘阳’指‘+’3）正切：用正余弦之比即可1 三角函数公式大全倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin (α)+cos(α)=11+tan (α)=sec(α)1+cot (α)=csc(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin (α)+cos(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h 与水平高度l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i 表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那幺i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos (a)-Sin (a)2.Cos2a=1-2Sin (a)3.Cos2a=2Cos (a)-1即Cos2a=Cos (a)-Sin (a)=2Cos (a)-1=1-2Sin (a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan (A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a ·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)(60°-a)cos3a=4cos a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2) ]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下: sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan (α))cos2α=cos(α)- sin (α)=2cos(α)-1=1-2sin (α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
高中数学三角函数公式大全
三角函数公式大全倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin2(α)+cos2(α)=11+tan2(α)=sec2(α)1+cot2(α)=csc2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式tanα *cotα=1一个特殊公式（sina+sinθ）（sina-sinθ）=sin（a+θ）sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] 2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin（a+θ）sin（a-θ）坡度公式：我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式：正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边半角公式：sin2(α/2)=(1-cosα)/2cos2(α/2)=(1+cosα)/2tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα)=0倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式推导过程中可得到一组降次公式，即万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B和差化积：sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)积化和差：sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）= sinαcos（2kπ+α）= cosαtan（2kπ+α）= tanαcot（2kπ+α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A2 +B2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式）(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA) 2;+(cosB) 2+(cosC) 2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA) 2+(sinB) 2+(sinC) 2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数：(1)tanA= sinA/cosA(2)csc(a) = 1/sin(a)(3)sec(a) = 1/cos(a)(4)sec2a +csc2α=sec 2α.csc2α二倍角公式：sin2A=2sinA·cosAcos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2Atan2A=（2tanA）/（1-tan2A）三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cos3α-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a =tan（α）(-3+tan2α）/(-1+3tan2α）=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3 sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4co s3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²6 0°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[ (60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2) 2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cos asin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)四倍角公式：sin4A=-4 (cosA.sinA(2sin2A-1))cos4A=1+(-8cos2A+8cos4A)tan4A=(4tanA-4tan3A)/(1-6tan2A+tan4A)五倍角公式：sin5A=16sin5A-20sin3A+5sinAcos5A=16cos5A-20cos3A+5cosAtan5A=tanA (5-10tan2A+tan4A)/(1-10tan2A+5tan4A)六倍角公式：sin6A=2(cosAsinA(2sinA+1)(2sinA-1)(-3+4sin2A)cos6A=(-1+2cos2A)16cos4A-16cos2A+1)tan6A=(-6tanA+20tan3A-6tan5A)/(-1+15tan2A-15tan4A+tan6A) 七倍角公式：sin7A=-sinA(56sin2A-112sin4A-7+64sin6A)cos7A=cosA(56cos2A-112cos4A+64cos6A-7)tan7A=tanA (-7+35tan2A-21tan4A+tan6A)/(-1+21tan2A-35tan4A+7tan6A) 八倍角公式：sin8A=-8(cosAsinA(2sin2A-1)(-8sin2A+8sin4A+1)cos8A=1+(160cos4A-256cos6A+128cos8A-32cos2A)tan8A=-8tanA (-1+7tan2A-7tan4A+tan6A)/(1-28tan2A+70tan4A-28tan6A+tan8A) 九倍角公式：sin9A=sinA(-3+4sin2A)(64sin6A-96sin4A+36sin2A-3);cos9A=(cosA(-3+4cos2A)(64cos6A-96cos4A+36cos2A-3);tan9A=tanA(9-84tan2A+126tan4A-36tan6A+tan8A)/(1-36tan2A+126tan4A-84tan6A+9tan8A) 十倍角公式：sin10A=2(cosAsinA(4sin2A+2sinA-1)(4sin2A-2sinA-1)(-20sin2A+5+16sin4A) cos10A=(-1+2cos2A)(256cos8A-512cos6A+304cos4A-48cos2A+1)tan10A=-2tanA(5-60tan2A+126tan4A-60tan6A+5tan8A)/(-1+45tan2A-210tan4A+210tan6A-45ta n8A+tan10A)N倍角公式:根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ) n = cos(nθ)+ i sin(nθ)为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+isin(nθ)=(c+is)n=C(n,0)c n+C(n,2)c(n-2)(is)2+C(n,4)c(n-4) (is)4+... +C(n,1)c(n-1)(is)1+(n,3)c(n-3)(is)3+C(n,5)c(n-5)(is)5+...=>比较两边的实部与虚部,实部：cos(nθ)=C(n,0)c n+C(n,2)c(n-2)(is)2+C(n,4)c(n-4)(is)4+...i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)c(n-1)(is)1+ C(n,3)c(n-3)(is)3+C(n,5) c(n-5)(is)5+...对所有的自然数n，1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与三角函数有关的数列求和
三角函数是数学中非常重要的概念，它们在数学和物理学中的应用广泛。
而与三角函数有关的数列求和则是一类特殊的数列求和问题，它们通常涉及到三角函数的性质和特点。
本文将介绍一些与三角函数有关的数列求和问题，并探讨它们的解法和应用。
一、正弦数列求和
正弦函数是三角函数中最常见的一种函数，它在数学和物理学中有着重要的应用。
正弦数列求和即是将一系列正弦函数的值相加，得到一个数列的和。
例如，求和数列sin(1)+sin(2)+sin(3)+...+sin(n)，其中n为正整数。
这个求和问题在数学和物理学中有着重要的应用，比如在波动问题、信号处理等领域。
正弦数列求和的解法有多种，其中一种常用的方法是利用正弦函数的周期性质进行化简。
由于正弦函数的周期为2π，可以将求和数列进行分组，每个分组内的正弦函数值相等。
例如，sin(1)+sin(2)+sin(3)+...+sin(n)可以分为n/2个分组，每个分组内的正弦函数值相等。
然后利用正弦函数的性质，将每个分组内的正弦函数值相加，得到最终的求和结果。
二、余弦数列求和
余弦函数是三角函数中另一个常见的函数，它也在数学和物理学中有着重要的应用。
余弦数列求和即是将一系列余弦函数的值相加，得到一个数列的和。
例如，求和数列cos(1)+cos(2)+cos(3)+...+cos(n)，其中n为正整数。
余弦数列求和同样在波动问题、信号处理等领域有着广泛的应用。
余弦数列求和的解法与正弦数列求和类似，同样可以利用余弦函数的周期性质进行化简。
由于余弦函数的周期为2π，可以将求和数列进行分组，每个分组内的余弦函数值相等。
然后利用余弦函数的性质，将每个分组内的余弦函数值相加，得到最终的求和结果。
三、正切数列求和
正切函数是三角函数中另一个重要的函数，它在数学和物理学中也有着广泛的应用。
正切数列求和即是将一系列正切函数的值相加，得到一个数列的和。
例如，求和数列tan(1)+tan(2)+tan(3)+...+tan(n)，其中n为正整数。
正切数列求和同样在波动问题、信号处理等领域有着重要的应用。
正切数列求和的解法相对较为复杂，一种常用的方法是利用正切函数的性质进行化简。
由于正切函数的周期为π，可以将求和数列进行分组，每个分组内的正切函数值相等。
然后利用正切函数的性质，将每个分组内的正切函数值相加，得到最终的求和结果。
四、其他三角函数数列求和
除了正弦、余弦和正切函数，还有其他的三角函数，比如反正弦、反余弦和反正切函数等。
这些函数在数学和物理学中同样有着重要的应用。
与这些函数相关的数列求和问题同样也可以通过化简和利用函数性质来求解。
总结：
与三角函数有关的数列求和是一类有着重要应用的数学问题。
通过对正弦、余弦、正切等三角函数的性质和特点的分析，可以化简求和问题，得到最终的结果。
这些数列求和问题在数学和物理学的研究中有着广泛的应用，比如在波动问题、信号处理、振动分析等领域。
对于解决这类求和问题，我们需要熟练掌握三角函数的性质和求和方法，并将其应用于实际问题中。
通过研究与三角函数有关的数列求和问题，我们可以更深入地理解三角函数的性质和应用，为数学和物理学的研究提供更多的思路和方法。