数值计算办法试题集及参考答案

《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为

A ⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦。

答案：

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501

4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为，拉格朗日插值多项

式为。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字；

5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是()；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

=+

6、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0)；

7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；

8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为(1

2+-n a b )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为；

11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、 为了使计算

32)1(6

)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为

11

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为

199920012

+。

13、 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1,进

行两步后根的所在区间为，。

14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为⎪

⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()

1(1)1(2)(2)1(1

k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ=121

。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为

)1(716)(2-+=x x x x N 。

16、 求积公式

⎰∑=≈b

a k n

k k x f A x x f )(d )(0

的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代

数精度。

21、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

22、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =(3

)，b =（3 ），c =（ 1）。

23、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

)((1)，∑==

n

k k j

k x l

x 0

)((j x )，当2≥n 时=

++∑=)()3(20

4

x l x x

k k n

k k (32

4++x x )。

24、

25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数f x x x ()=+-1(x >

>1)的形式，使计算结果较精确()x x x f ++=

11

。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要

对分10次。

28、写出求解方程组⎩⎨

⎧=+-=+24.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式

()()

()()Λ,1,0,4.026.111112211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛收敛。

31、设

A =⎛⎝ ⎫⎭⎪

5443,则=∞A 9。

32、设矩阵482257136A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦的A LU =，则

U =4820161002U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。 33、若

4

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f =3。 34、线性方程组1

210151121

03x ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小二乘解为11⎛⎫ ⎪⎝⎭。

36、设矩阵

321204135A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦分解为A LU =，则U =32141003321002⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

二、单项选择题：

1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（C ）。 A ．A 的各阶顺序主子式不为零B ．1)(

2、设

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为(C)． A ．2B ．5 C ．7D ．3

4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是(B)。 A ．对称阵B ．正定矩阵

C ．任意阵

D ．各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A)产生的误差。

A. 只取有限位数B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ．观察与测量D ．数学模型准确值与实际值 6、是π的有(B)位有效数字的近似值。 A ．6B ．5 C ．4D ．7

7、用1+x 近似表示e x 所产生的误差是(C)误差。 A ．模型B ．观测C ．截断D ．舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。 A ．控制舍入误差B ．减小方法误差