函数导数不等式

函数导数不等式

一、考试范围与要求

1. 了解导数概念的实际背景.

2. 通过函数图像直观理解导数的几何意义. 要点通解：

鲜见单独以1为知识背景的试题. 以2为知识背景的题仅限于选择题、填空题或解答题的某个环节，主要形式为求过某点的切线的方程.

3. 能根据导数的定义求函数x y x y x y x

y x y C C y ======,,,1

,,(32为常数）

的导数. 4. 能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如y=f (ax+b ) 的复合函数）的导数. ·常见的基本初等函数的导数公式： ·常用的导数运算法则：

)()()(0)(1+-∈='='N n nx x C C n n ；为常数；

).

10(log 1

)(log 1)(ln )10(ln )()(sin )(cos cos )(sin ≠='='≠='='-='='a a e x

x x x a a a a a e e x x x x a a x x x x ，且＞；；

，且＞；；

； 要点通解：

鲜见单独以3或4为知识背景的试题. 但在用导数研究函数的过程中首要的步骤就是求函数的导数，因而对4理解和掌握十分重要. 5. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）.

6. 了解函数在某点去取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）. 要点通解：

此处历年常考，且常和其他知识有机整合. 此题属于压轴题，解题过程中往往首先构造函数，再运用导数法探究函数的单调性、极值或最值，常有较大难度. 7. 会用导数解决实际问题. 要点通解：

尚没有考及，但应关注.

8. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 9. 了解微积分基本定理的含义. 要点通解：

基本命题形式为计算定积分，题型为选择题或填空题. 考向预测：

选择题、填空题、解答题皆有出现，但以解答题为主，作为必考的最后一题，有较大的难度，主要考查利用导数求曲线在（过）某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值与最

).0)(()()()()()()()(3).

()()()(])()([2).()(])()([12

≠'-'='

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'+'=''±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u ：法则：法则：法则

值，函数的零点，恒成立以及导数与其他知识的综合等问题.

二、导数的综合应用

1. 利用导数研究函数的单调性与极值（最值）问题.

2. 利用导数研究曲线的切线问题.

3. 利用导数研究不等式证明问题.

4. 利用导数研究函数的恒成立及范围问题.

1.利用导数研究函数的单调性与极值（最值）问题 例1. 求函数的单调区间5ln 2)1(2)(2+++-=x a x a x x f .

①求定义域；②求导数；③求导函数的根；④求)(x f '分子部分的图像；⑤求出)(x f '的符号；⑥求出)(x f 的单调性.

x

a x x x f )

)(1(2)(--=

'

x ＞0 两个讨论点：1. 根与区间的位置关系；2. 两根的大小关系 例2. 设函数.)(.022

ln )(2

的单调区间试求函数，x f a x ax x a x f ≥-+= 0＞x x

a

x ax x f +-='2)(2

讨论点：方程的类型、判别式的符号 (1) a = 0

(2) a ＞0 ①0＜a ＜1 ②a = 1 ③a ＞1

2. 利用导数研究曲线的切线问题. ① 切点在切线上 ② 切点在曲线上

③ 切点处的导数就是切线的斜率

例1. 已知函数的取值范围相切，求条直线与曲线存在若过t )(3)t ,1(.32)(3x f y P x x x f =-=. 切点),(00y x

⎪⎩⎪⎨⎧===+-⇒-'=--=')(0364)1)((36)(0

3

03000020x f y t x x x x f t y x x f o 问题转化为：

已知函数取值范围个零点，求中含有t 336423++-=t x x y

例2. 设l 为曲线处的切线在点)0,1(ln :x

x

y C =

. (I) 求l 的方程；

(II)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方.

1:-=x y l 1)(-=x x y ）

极值（图像的变化界限＜势）单调性（图像的变化走“二次求导”

手段规避超越方程可以考虑“去分母”等求导以后出现超越方程不等式恒成立曲线的位置关系 01

2)( ln 1)( ln x -1(x)n l 0)(n l 1ln )ln( 01ln 0)()( )()(22max x

x x m x x x m x

x x x x

x x x x

x

x g x f x g x f --='--=-='≤'+-=≤+-⇑

⇑≤-⇑

≤ 在平面直角坐标系线的图像上的动点，该曲是函数中，已知点x x x x f xoy -=ln )(P 在点P 处的切线l 交y 轴与点M

N

N M y y y l y M ，则轴于点的垂线交作，过点),0(N y P ),0(的取值范围是),3[]1,(+∞⋃--∞

000020

00200000

000

00000

000000ln 1

1ln ln 1ln ln )

1ln (ln ln )(11

ln )(:ln ln ),( ln )(x x x x x y y m x x x x x x y y x x m x y y m x k x y x x x y y l x k x x x y y x P x x f M N N M l -+-=-+-=+-=

+=--=--

=-=⋅-=-=-=='

3

1ln 1ln 1011)ln 1(ln 1ln 1ln 0ln 10

000

00000≥+---≤++-=+-

-x x x x x x x x x 时，＜＜当＞，＞当

3.利用导数研究不等式证明问题.

利用导数证明不等式的基本步骤：