与圆有关的问题
与圆相关的最值问题
最值问题
点与圆在位置关系
1，基础图形与应用
已知，圆O的半径是2，OE的长是5，点F在圆O上运动，则EF的取值范围是（），
应用
1，已知，线段AB=3，线段MN垂直平分AB，垂足为N，，点C与M在AB的两侧，∠ACB=30°线段MC的取值范围是（）
2，如图，在○O中，弦AD等于半径，B为弧AD上的一动点，等腰三角形ABC的底边BC所在直线经过点D，若圆O的半径等于2，则OC的取取值范围是（）。
经典
1.已知如图，三角形ABC中，角ACB=45°，AM∥BC,P点是AM上一动点，连接BP交过点A,P,C的三点圆于点D，则AD的最小值。
第1题图第2题图
2.已知如图，边长为4厘米的正方形ABCD中，E是直线AD上的一个动点，DF 垂直CE，连接AF、BF，则△ABF的面积的取值范围是平方厘米.
练习
3.四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=3
2,BC=4，AD=2，点M是CD的中点，E是AD上一个动点，点N在线段BE，∠ANE=60°，线段MN的取值范围是的.
变式：四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=3,BC=4，AD=1，E是AD上一个动点，点P是点A关于直线BE的对称点，则△PCD的面积的取值范围是 .。
与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆(解析版)
专题08与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆题型一与圆有关的定点问题1．已知直角坐标系xOy 中，圆22:16O x y +=．①过点(4,2)P 作圆O 的切线m ，求m 的方程；②直线:l y kx b =+与圆O 交于点M ，N 两点，已知(8,0)T ，若x 轴平分MTN ∠，证明：不论k 取何值，直线l 与x 轴的交点为定点，并求出此定点坐标．【解答】解：①当切线的斜率不存在时，则切线方程为4x =，显然与圆O 相切，当切线的斜率存在时，设方程为：(4)2y k x =-+，即420kx y k --+=，2|42|41k =+，解得34k =-，所以可得这时切线的方程为：34200x y ++=，所以切线m 的方程为：4x =或34200x y ++=；②设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立2216y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222(1)2160k x kbx b +++-=，则△222244(1)(16)0k b k b =-+->，可得221616b k <+，且12221kb x x k -+=+，2122161b x x k -=+，因为x 轴平分MTN ∠，所以可得0MT NT k k +=，即1212088y y x x +=--，即1221()(8)()(8)0kx b x kx b x +-++-=，所以12122(8)()160kx x b k x x b +-+-=，222(16)(8)(2)16(1)0k b b k kb b k -+---+=，解得2b k =-，所以直线的方程为：(2)y k x =-，所以直线恒过(2,0)【点睛】本题考查直线与圆相切的性质及角平分线的性质，属于中档题．2．已知圆22:120C x y Dx Ey +++-=过点(7)P -，圆心C 在直线:220l x y --=上．（1）求圆C 的一般方程．（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=- ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．【解答】解：（1）由题意可得圆心C 的坐标为(,)22D E --，则2(2022D E --⨯--=，①因为圆C 经过点(7)P -，所以177120D +-+-=，②，联立①②，解得4D =-，0E =．故圆C 的一般方程是224120x y x +--=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立224120x y x y kx m⎧+--=⎨=+⎩，整理得222(1)2(2)120k x km x m ++-+-=，则1222(2)1km x x k -+=-+，2122121m x x k -=+．因为12OA OB ⋅=- ，所以121212x x y y +=-，由1212()()y y kx m kx m =++得，222(2)212121km km m k ---=-+，整理得(2)0m m k +=．因为0m ≠，所以2m k =-，所以直线l 的方程为2(2)y kx k k x =-=-．故直线l 过定点(2,0)．当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x m =，则(,)A m y ，(,)B m y -，从而2241212OA OB m m ⋅=--=- ，解得2m =，0m =（舍去）．故直线l 过点(2,0)．综上，直线l 过定点(2,0)．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．3．已知直线360l x y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,0)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心(,0)a ，直线360l x y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方所以36|32a d +==，解得0a =，或3a =-（舍)，圆的方程为229x y +=；（2）当直线AB ⊥轴时，x 轴平分NAB ∠，此时N 为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，(0)k ≠，(,0)N t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立229(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(1)4490k x k x k +-+-=，则212241k x x k +=+，2122491k x x k -=+，由题意得，0AN BN k k +=，即1212(2)(2)0k x k x x t x t--+=--，整理得12122(2)()40x x t x x t -+++=，即22222(49)4(2)4011k k t t k k -+-+=++，解得92t =，即9(,0)2N ．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，点到直线的距离公式，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算能力，属于中档题．4．已知P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆22:(1)5C x y ++=作两切线，切点分别为A 、B ．（1）求四边形ACBP 面积的最小值及此时点P 的坐标；（2）直线AB 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）CA PA ⊥ ，PAC PBC ∆≅∆，2ACPB ACP S S AC AP ∆∴==⋅，∴5AC r ==∴2555ACPB S AP PC ==-，要使四边形ACBP 面积最小，则PC 最小，当PC l ⊥时，PC 的长最小，过点(1,0)C -且与l 垂直的直线为01y x -=+，即1y x =+，将其与4y x =-联立，解得此时点P 的坐标为35(,)22，∴223552||(1)()222min PC =++=，∴2556()5522ACBP min S =-=；（2）设0(P x ，04)x -，则以PC 为直径的圆为00(1)()(4)0x x x y y x +-+⋅-+=，化简可得22000(1)(4)0x y x x x y x ++++--=， 2PAC PAB π∠=∠=，∴这个圆也是四边形ACBP 的外接圆，它与圆C 方程相减，得公共弦AB 方程为0000(1)(4)40(1)440x x x y x x x y x y ++-+-=⇒-+++-=，令1004401x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，AB ∴恒过定点(0,1)．【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆的切线方程的应用以及两圆公共弦方程的求解，直线恒过定点问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．5．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈．（1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点．【解答】解：（1）圆221:4C x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径为12， 直线:1l y kx =-与圆C 相交，∴2|1|121k <+，解得3k <3k >即k 的取值范围是(-∞，3)(3⋃，)+∞；证明：（2）当1k =时，直线l 为1y x =-，设0(P x ，0)y ，则以PC 为直径的圆的方程为222200001()(()224x y x y x y -+-=+，即22000x y x x y y +--=，与2214x y +=联立，消去二次项，可得MN 所在直线方程为：00104x x y y +-=，又001y x =-，∴001(1)04x x x y +--=，即01()04x x y y +--=，可得直线过定点11(,44-．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了过圆的两个切点的直线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．6．已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA 3P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2222||(02)(2)||||2MP b b AM AP =++-+，解得0b =或45b =，所以点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P -．（2）设(2,)P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为222224(2)()(24b b b x b y ++-++-=，即22(22)(2)0x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N 过定点(0,2)，42(,)55-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7．已知圆M 经过两点3)A ，(2,2)B 且圆心M 在直线2y x =-上．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设E ，F 是圆M 上异于原点O 的两点，直线OE ，OF 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k ⋅=，求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设圆M 的方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意得，222222(3)3)(2)(2)2a b r a b r b a ⎧-+=⎪-+-=⎨⎪=-⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴圆M 的方程：22(2)4x y -+=；证明：（Ⅱ）由题意，EF 所在直线的斜率存在，设直线:EF y kx b =+，由22(2)4x y y kx b⎧-+=⎨=+⎩，得222(1)(24)0k x kb x b ++-+=．△22222(24)4(1)4(44)044kb k b kb b kb b =--+=-->⇒+<，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则122(24)1kb x x k --+=+，21221b x x k =+，∴221212121212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b k k x x x x x x +++++=⋅==22222222222242(24)(1)41121b kb k kb b k b kb kb b k k b k k b b bk -⋅+⋅+-⋅-+⋅++++====+，4k b ∴=，代入y kx b =+得(4)y k x =+，∴直线EF 必过定点(4,0)-．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．8．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线:74l y x =+上，(7,3)B ，以线段AB 为直径的圆(C C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点A 不在第一象限内，圆C 与x 轴的正半轴的交点为P ，过点P 作两条直线分别交圆于M ，N 两点，且两直线的斜率之积为5-，试判断直线MN 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）BD AD ⊥ ，∴17BD k =-，设(,74)D a a +，得743177a a +-=--，得0a =．(0,4)D ∴，在ABD ∆中，AB CD ⊥，C 为AB 的中点，||||AD BD ∴=，设(,74)A b b +2222(0)(744)(70)(34)b b -++--+-解得1b =或1b =-．①当1b =时，(1,11)A ，22|10R AD =，圆心为(4,7)，此时圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=；②当1b =时，(1,3)A --，22||10R AD =，圆心为(3,0)，此时圆的标准方程为22(3)25x y -+=．∴圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=或22(3)25x y -+=；（2）由题意知，圆的标准方程为22(3)25x y -+=．设直线MP 的方程为(8)y k x =-，联立22(8)(3)25y k x x y =-⎧⎨-+=⎩，得2222(1)(116)64160k x k x k +-++-=．∴2264161M P k x x k -=+ ，得22821M k x k -=+，则2282(1k M k -+，2101k k -+， 两直线的斜率之积为5-，∴用5k -代替k ，可得222002(25k N k -+，250)25k k +．当直线MN 的斜率存在，即25k ≠时，3222242225010603006251200282102505251MN k k k k k k k k k k k k k k ++++===---+-+-++．∴直线MN 的方程为222210682()151k k k y x k k k ---=-+-+，整理得：2619(53k y x k =--，可得直线MN 过定点19(,0)3；当直线MN 的斜率不存在时，即25k =时，直线MN 的方程为193x =，过定点19(,0)3．综上可得，直线MN 恒过定点19(,0)3．【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题．9．已知三点(2,0)A -、(2,0)B 、3)C 在圆M 上．P 为直线6x =上的动点，PA 与圆M 的另一个交点为E ，PB 与圆M 的另一个交点为F ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线PC 与圆M 相交所得弦长为23，求点P 的坐标；（3）证明：直线EF 过定点．【解答】解：（1）由于3),(3)AC BC ==- ，得330AC BC =-+= ，∴点C 在以线段AB 为直径的圆上，即圆M 的标准方程为224x y +=；（2）圆M 的半径为2，直线PC 截圆M 所得弦长为3，则圆心(0,0)到直线PC 的距离为1．设直线PC 的方程为(1)3y k x =-+30kx y k -+=．∴2|3|11k k -=+，解得33k =则直线PC 的方程为31)33y x =-+，当6x =时，得点P 的坐标为83；（3）①当直线EF 斜率不存在时，设其方程为x m =．取22(4(,4)E m m F m m --，由直线AE 与BF 交点的横坐标为6，可得23m =，即此时直线EF 的方程为23x =；②当直线EF 斜率存在时，设EF 的方程为y kx m =+．由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(1)240k x kmx m +++-=．由△222244(1)(4)0k m k m =-+->，得2244k m >-．设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则212122224,11km m x x x x k k -+=-=++．且222212121224()1m k y y k x x km x x m k -=+++=+．直线AE 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--，代入点P 的横坐标6x =，得1212222y y x x =+-．由于22224x y +=，故222222y x x y +=--．从而1212222y x x y +=-+，即1212122()240x x x x y y ++++=．即222222444240111m km m k k k k ---++=+++ ，整理得224430k km m +-=，解得223k m korm ==-．当2m k =时，直线EF 为(2)y k x =+，过点(2,0)A -，不符合题意；当23k m =-时，直线EF 为2()3y k x =-，过定点2(,0)3．综上，直线EF 过定点2(,0)3．另解：设(6,)P m ，,84AE BF m m k k ==，由224(2)8x y m y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，得222128232(,)6464m m E m m -++，由224(2)4x y m y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得22223216(,)1616m m F m m --++，∴222222223216126416(32)1282232326416EF m m m m m k m m m m m m +++==≠----++，故直线EF 的方程为222232121282()643264m m m y x m m m --=-+-+，整理得24(32)32m y x m =--，过定点2(,0)3．当232m =时，代入点E 、F 的横坐标，得23E F x x ==，直线EF 的方程为23x =，过定点2(,0)3．综上，直线EF 过定点2(,0)3．【点睛】本题考查圆的方程和性质，主要考查圆的方程和直线方程的运用，直线恒过定点的求法，属于中档题．10．已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上．（1）求C 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B ．①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；②证明直线AB 恒过定点．【解答】解：（1）由题意已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上，所以有圆心(2D C -，)2E -在直线240x y +-=上，即：402D E ---=，又因为圆心C 在y 轴上，所以：02D -=，由以上两式得：0D =，4E =-，所以：224120x y y +--=．故C 的标准方程为：22(2)16x y +-=．（2）①如图，C 的圆心为(0,2)，半径4r =，因为MA 、MB 是C 的两条切线，所以CA MA ⊥，CB MB ⊥，故222||||||||16MA MB MC r MC ==-=-；又因为：224||4||16ACM S S MA MC ∆===-根据平面几何知识，要使S 最小，只要||MC 最小即可．易知，当点M 坐标为(0,10)时，||8min MC =，此时46416163min S =-=．②设点M 的坐标为(,10)a ，因为90MAC MBC ∠=∠=︒，所以M 、A 、C 、B 四点共圆．其圆心为线段MC 的中点(2a C '，6)，2||64MC a =+设MACB 所在的圆为C ' ，所以C ' 的方程为：222()(6)1624a a x y -+-=+，化简得：2212200x y ax y +--+=，因为AB 是C 和C ' 的公共弦，所以：2222412012200x y y x y ax y ⎧+--=⎨+--+=⎩，两式相减得8320ax y +-=，故AB 方程为：8320ax y +-=，当0x =时，4y =，所以直线AB 恒过定点(0,4)．【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题．11．已知圆22:()4(0)M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意一点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B ．（1）若||23AB =，求||MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为222时，证明：直线AB 过定点．【解答】（1）解：连接MQ 交AB 于点P ，则MQ AB ⊥，所以点P 为AB 的中点，又||23AB =||3AP =，又||2MA =，所以||431PM =-=，因为QA 相切圆M 于点A ，故QA AM ⊥，所以2||||||AM PM MQ =⋅，即41||MQ =⋅，所以||4MQ =．（2）证明：当点Q 到圆M 的距离最小值为222时，圆心(0,)M a 到直线40x y ++=的距离为22由点到直线的距离公式可得222a +=，解得0a =或8a =-，由于0a <，故8a =-，由于MA AQ ⊥，MB BQ ⊥，故A ，B 在以MQ 为直径的圆上，又(0,8)M -，设(,4)Q m m --，则以MQ 为直径的圆的圆心为(2m ，122m +-，故圆的方程为222212(4)((224m m m m x y ++--++=，即22(12)3280x y mx m y m +-++++=，因为A ，B 在以MQ 为直径的圆上，故AB 是圆M 与圆22(12)3280x y mx m y m +-++++=的公共弦，两式相减可得AB 的方程为(4)(288)0mx m y m +-+-=，即(7)(8)0y m x y +--=，由7080y x y +=⎧⎨--=⎩，可得17x y =⎧⎨=-⎩，所以直线AB 恒过定点(1,7)-．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，两圆公共弦的求法，考查运算求解能力，属于中档题．12．已知圆221:16C x y +=，圆222:12320C x y x +-+=．（1）求过点(4,4)M 且与圆2C 相切的直线的方程；（2）若与x 轴不垂直的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于R ，S 两点，且||2||PQ RS =，求证：直线l 过定点．【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线方程为4x =，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为4(4)y k x -=-，即(44)0kx y k -+-=， 直线与圆2C 相切，∴221k =+，解得34k =-，切线方程为374y x =-+．故所求切线方程为4x =或374y x =-+；证明：（2）设直线l 的方程为y kx m =+，则圆心1C ，2C 到直线l 的距离分别为12||1h k=+22|6|1h k=+，由垂径定理可得22||2161m PQ k =-+22(6)||241k m RS k +=-+由||2||PQ RS =，得22222216||14(6)||41m PQ k k m RS k -+==+-+，整理得224(6)m k m =+，故2(6)m k m =±+，即120k m +=或40k m +=，∴直线l 的方程为12y kx k =-或4y kx k =-．则直线l 过定点(12,0)或(4,0)．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，考查直线系方程的应用，是中档题．13．已知圆C 经过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,2)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得0AN BN K K +=恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 直线AB 的斜率为1-，AB ∴的垂直平分线m 的斜率为1，AB 的中点坐标为75(,22，因此直线m 的方程为10x y --=，又圆心在直线l 上，∴圆心是直线m 与直线l 的交点．联立方程租278010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得圆心坐标为(3,2)C ，又半径13r =∴圆的方程为22(3)(2)13x y -+-=；（2）假设存在点(,2)N t 符合题意，设交点坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为2(1)y k x -=-，联立方程组22(1)2(3)(2)13y k x x y =-+⎧⎨-+-=⎩，消去y ，得到方程2222(1)(26)40k x k x k +-++-=．则由根与系数的关系得2122261k x x k ++=+，212241k x x k -=+．0AN BN K K += ，∴1212220y y x t x t --+=--，即1212(1)(1)0k x k x x t x t--+=--．12122(1)()20x x t x x t ∴-+++=，∴22222826(1)2011k k t t k k -+-++=++．解得72t =-，即N 点坐标为7(2-，2)；②当直线AB 斜率不存在时，点N 显然满足题意．综上，在直线2y =上存在定点7(2N -，2)，使得0AN BN K K +=恒成立．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．14．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设点3(1,)2M -，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；（3）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【解答】（1）解：设圆心(,0)C a ，(0)a >，则由直线和圆相切的条件：d r =，5169=+，解得2a =（负值舍去），即有圆C 的方程为22(2)25x y -+=；（2）解：若直线l 的斜率不存在，即:1l x =-，代入圆的方程可得，4y =±，即有||8AB =，成立；若直线l 的斜率存在，可设直线3:(1)2l y k x -=+，即为22320kx y k -++=，圆C 到直线l 的距离为224444d k k ==++，由8AB =，即有22258d -=，即有3d =2|63|344k k =+，解得34k =，则直线l 的方程为3490x y -+=；（3）证明：由于P 是直线60x y ++=上的点，设(,6)P m m --，由切线的性质可得AC PA ⊥，经过A ，P ，C ，的三点的圆，即为以PC 为直径的圆，则方程为(2)()(6)0x x m y y m --+++=，整理可得22(26)(2)0x y x y m y x +-++-+=，可令22260x y x y +-+=，且20y x -+=，解得2x =，0y =，或2x =-，4y =-．则有经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为(2,0)，(2,4)--．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查相交和相切的关系，同时考查点到直线的距离公式和弦长公式、切线的性质和圆恒过定点的问题，属于中档题．题型二阿波罗尼斯圆15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足||3||PA PB =22||||2PA PB +的最大值为()A ．33+B ．743+C ．843+D ．1683+【解答】解：以经过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)P x y ，则2222(1)3(1)x y x y ++=-+22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴点P 在以(2,0)32222||||2()2PA PB x y +=++，而22x y +表示圆上的点与原点距离的平方，易知2273x y ++ ，故222()21683x y +++ 故22||||8432PA PB ++ ．故选：C ．【点睛】本题考查圆轨迹方程的求法，考查两点间的距离，考查逻辑推理能力，属于中档题．16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P 与两定点M ，N 的距离之比为(0,1)x λλ>≠，则点P 的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点(2,0)M ，点P 为圆22:16O x y +=上的点，若存在x 轴上的定点(N t ，0)(4)t >和常数λ，对满足已知条件的点P 均有||||PM PN λ=，则(λ=)A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：根据题意，如图，A 、B 两点为圆与x 轴的两个交点，圆2216x y +=上任意一点P 都满足||||PM PN λ=，则A 、B 两点也满足该关系式，又由(4,0)A -，(4,0)B ，(2,0)M ，(,0)N t ，则有||||62||||44AM BM AN BN t t λ====+-，解可得8t =，12λ=；故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是理解题意中关于圆的轨迹的叙述，属于基础题．17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2，b =．【解答】解：设(,)M x y ，则||||MB MA λ= ，2222221()()2x b y x y λλ∴-+=++，由题意，取(1,0)、(1,0)-分别代入可得2221(1)(12b λ-=+，2221(1)(1)2b λ--=-+，由0λ>即12b ≠-，解得2b =-，2λ=．故答案为2，2-．【点睛】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2，MAB ∆面积的最大值为．【解答】解：设点(,)M x y ，由||||MB MA λ=，得222221()[()]2x b y x y λ-+=++，整理得2222222124011b b x y x λλλλ-++-+=--，所以222222011411b b λλλλ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得2λ=，2b =-如右图，当(0,1)M 或(0,1)M -时，3()4MAB max S ∆=．故答案为：2；34．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．19．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线:0l x y -=截得的弦长为27（1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点(7,6)B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ．①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T （异于原点)O ，使得对于Γ上任意一点P ，都有||||PO PT 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设圆心(,3)t t ，则由圆与x 轴正半轴相切，可得半径3||r t =． 圆心到直线的距离|3|22t t d t ==，由2272t r +=，解得1t =±．故圆心为(1,3)或(1,3)--，半径等于3． 圆与x 轴正半轴相切∴圆心只能为(1,3)故圆C 的方程为22(1)(3)9x y -+-=．（2）①设(,)M x y ，则：(A AM x x =- ，)A y y -，(7,6)MB x y =--，∴142122A A x x xy y y -=-⎧⎨-=-⎩，∴143123AA x xy y =-+⎧⎨=-+⎩， 点A 在圆C 上运动，22(3141)(3123)9x y ∴--+--=，即：22(315)(315)9x y ∴-+-=，22(5)(5)1x y ∴-+-=，所以点M 的轨迹方程为22(5)(5)1x y -+-=，它是一个以(5,5)为圆心，以1为半径的圆．②假设存在一点(,)D t t 满足条件，设(,)P x y 2222()()x y x t y t λ+=-+-，整理化简得：2222222(22)x y x tx t y ty t λ+=-++-+，P 在轨迹Γ上，22(5)(5)1x y ∴-+-=，化简得：22101049x y x y +=+-，2222222(10102)(10102)494920x t y t t λλλλλλ∴-++-+-+-=，∴2222210102049249t t λλλλ⎧-+=⎪⎨-⋅=⎪⎩，解得：4910t =，∴存在49(10D ，4910满足题目条件．【点睛】本题考查圆的方程，轨迹方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：221x y +=和点1(,0)2A -，点(1,1)B ，M 为圆O 上动点，则2||||MA MB +的最小值为10．【解答】解：如图，取点(2,0)K -，连接OM 、MK ．1OM = ，12OA =，2OK =，∴2OM OKOA OM==，MOK AOM ∠=∠ ，MOK AOM ∴∆∆∽，∴2MK OMMA OA==，2MK MA ∴=，||2||||||MB MA MB MK ∴+=+，在MBK ∆中，||||||MB MK BK + ，||2||||||MB MA MB MK ∴+=+的最小值为||BK 的长，(1,1)B ，(2,0)K -，22||(21)(01)10BK ∴=--+-10【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中档题．21．已知圆22:1C x y +=，直线:(1)(1)10()l m x m y m R ++--=∈．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆C 3，求实数m 的值；（3）若点B 的坐标为(2,0)-，在x 轴上存在点D （不同于点)B 满足，对于圆C 上任意一点P ，都有PBPD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标．【解答】解：（1）由直线:(1)(1)10l m x m y ++--=，得()(1)0m x y x y -++-=，联立010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y ==，∴直线l 所过定点A 的坐标为11(,22；（2） 直线l 被圆C 所截得的弦长为3∴圆心到直线l 的距离2311()22d =-=．22|1|12(1)(1)m m =++-，解得1m =±；（3）假设存在(D a ，0)(2)a ≠-满足题意，当取(1,0)P -时，||1|||1|PB PD a =+；当取(1,0)P 时，||3|||1|PB PD a =-．∴13|1||1|a a =+-，解得1(2)2a a =-≠-．可得||2||PB PD =，1(2D -，0)．设(,)P x y ，则22||(2)PB x y =++，22221||()()2PD x a y x y =-+=++，由||2||PB PD =2222(2)21()2x y x y ++=++，化为221x y +=．因此点P 在圆C 上，满足题意．因此在x 轴上存在点1(2D -，0)，使得对圆C 上的任意一点P ，||||PB PD 为同一常数．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了取特殊点探究一般性规律的方法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．22．已知圆22:80C x x y ++=，直线:20l mx y m ++=．（Ⅰ）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||14AB =，求直线l 的方程．（Ⅱ）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得||1||2PM PN =？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得圆心(4,0)C -，4r =，圆心C 到直线l 的距离22|42||2|11d m m ==++，因此22222244||2216214.211m m AB r d m m =-=-==++，解得1m =±，直线l 的方程为2y x =+或2y x =--，（Ⅱ）设(,)P x y ，1(M x ，0)，2(N x ，0)，由已知可得228x y x +=-，221222()12()x x y x x y -+=-+，化简得211222821824x x x x x x x x -+-=-+-．即2212212(412)(4)0x x x x x -++-=恒成立，所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩，所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为(6,0)M -，(12,0)N -或(2,0)M -，(4,0)N ．（此处只写出一组解扣2分）如从阿氏圆的结论出发，可做为本题的另一种解法，按步骤酌情给分．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23．已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比||||PA PM 为定值，并求1||||2PB PA +的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(,)C a b ，由题意可得，2111212245022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯-⨯-=⎪⎩，解得0a b ==．∴圆C 的方程为224x y +=；（Ⅱ）设点(M m ，0)(4)m ≠，0(P x ，0)y ，则22004x y +=．∴22000222000(4)820||||()24x y x PA PM x m y mx m -+-+==-+-++，||||PA PM 为定值，0820x ∴-+是2024mx m -++的倍数关系，且对任意的0[2x ∈-，2]成立，∴282024m m-=-+，解得1m =或4m =（舍去），(1,0)M ∴，此时||2||PA PM =为定值，1||||||||||2PB PA PB PM MB +=+ ，当且仅当B 、M 、P 三点共线时，1||||2PB PA +的最小值为22||(41)(40)5MB =-+-=．【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查两点间距离公式的应用，考查数学转化思想，是中档题．。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
2021新高考 数学通关秘籍 专题24 与圆相关的张角问题
专题24 与圆相关的张角问题 【方法点拨】 1. 圆外一点与圆上两点的连线的夹角，以这两条直线为切线时最大； 2. 圆外一点与圆上一点及圆心连线的夹角，以这条直线为切线时最大. 【典型题示例】 例1 设点(),1M m ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，则m 的取值范围是（ ）A. 3,3⎡⎤-⎣⎦B. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []2,2-D. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由圆的性质可知：圆上一点T ，与,M O 所组成的角OMT ∠，当MT 与圆相切时，OMT ∠最大.所以若圆上存在点N ，使得30OMN ∠=，则30OMT ∠≥.由(),1M m 和221x y +=可知过M 且与圆相切的一条直线为1y =，切点()0,1T ，所以在直角三角形OMT 中，3tan 3OTOMT TM =≥，从而333TM m ≤⇒-≤≤ . 例2 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，动圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 【解析】由题意得圆心M (a ，a －4)在直线x －y －4＝0上运动，所以动圆M 是圆心在直线x －y －4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使∠APB ＝60°，所以OP ＝2，即点P 也在x 2＋y 2＝4上，于是2－1≤a 2＋a －42≤2＋1，即1≤a 2＋a －42≤3，解得2－22≤a ≤2＋22，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22. 【巩固训练】1.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.2.已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .3. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是 ．4. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ．5.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得P A ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于,M N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ．【答案或提示】 1.【答案】 2.【答案】 [1,5]3.【答案】4. 【答案】[－65，0] 5.【答案】14【解析】由P A ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB 才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，当∠APB ≥90°时， ∠MPN ≥90°，sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22，所以PC ≤2 2.另当过点P ，C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时，PC min ＝322，以C 为圆心，CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ，F 两点，这时的线段长即为线段EF 长度的最大值，所以EF max ＝22r(22－⎝⎛⎭⎫3222)＝14.6.【答案】 【错解】考虑若为直角,则动圆与以为直径的圆相外切，故两圆相离时，满足，解之得：.【错因】当动圆在左侧时，此时，圆与已知直线相交，圆上存在点与两点连线构成的角为零角，需排除.还需动圆与直线相离.[]1,1-[2,2]-(,4)(71,)-∞--+∞MPN ∠,M N 2(1)+122a +>7171a a ><-或2y x =+,M N 2y x =+。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
抓住2个考点
突破3个考向
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法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
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突破3个考向
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解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
与圆有关的综合问题
与圆有关的综合问题题型一：与圆有关的轨迹问题[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法[针对训练]1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.题型二：与圆有关的最值或范围问题[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝(5－1)2＋(t －4)2≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A 、B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C. [答案] C[例2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值． 因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[针对训练]1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|，则实数t 的取值范围是________． 解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→|， 两边平方，得OM ―→·ON ―→≤0， 所以圆心到直线的距离d ＝|t |2≤22×2＝1， 解得－2≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[－2， 2 ]． 答案：[－2， 2 ]2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－333．(2019·大庆诊断考试)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q |＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q |的最小值是________．解析：由题可知圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心N (3,4)．设点P 的坐标为(m ，n )，则|PN |2＝|P Q |2＋|N Q |2＝|P Q |2＋1，又|P Q |＝|PO |，所以|PN |2＝|PO |2＋1，即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1，化简得3m ＋4n ＝12，即点P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q |的最小值为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离，点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝125，故|P Q |的最小值是125.答案：125[课时跟踪检测]1．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，若A ，B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值是( ) A.2＋62B. 3 C ．2D.3＋1解析：选C 如图所示，连接OA ，OB 和OC . ∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC ＝OC ，∴△OAC ≌△OBC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°， 在△OAC 中，由正弦定理得OA sin 30°＝OCsin ∠OAC ，∴OC ＝2sin ∠OAC ≤2，故|OC |的最大值为2，故选C.2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.4．(2019·拉萨联考)已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0上运动，则点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.5＋1 D.5－1解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)，半径为1，圆心到直线l 的距离为|2－2－5|12＋22＝5，则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D. 5．(2019·赣州模拟)已知动点A (x A ，y A )在直线l ：y ＝6－x 上，动点B 在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上，若∠CAB ＝30°，则x A 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时，∠ACB 最大，此时|CA |＝4.点A 的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2＝16，与y ＝6－x 联立，解得x ＝5或x ＝1，∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C.6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝21＋m 2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.7．(2019·安徽皖西联考)已知P 是椭圆x 216＋y 27＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x －3)2＋y 2＝14和(x ＋3)2＋y 2＝14上的点，则|P Q |＋|PR |的最小值是________．解析：设两圆圆心分别为M ，N ，则M ，N 为椭圆的两个焦点， 因此|P Q |＋|PR |≥|PM |－12＋|PN |－12＝2a －1＝2×4－1＝7，即|P Q |＋|PR |的最小值是7. 答案：78．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是________．解析：设满足|MA |＝2|MO |的点的坐标为M (x ，y )，由题意得x 2＋(y ＋3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y －1)2＝4，即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x 2＋(y －1)2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1有交点，据此可得关于实数a 的不等式组⎩⎨⎧a 2＋(a －3)2≥1，a 2＋(a －3)2≤3，解得0≤a ≤3， 综上可得，实数a 的取值范围是[0,3]． 答案：[0,3]9．(2019·唐山调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|Q M |的最小值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2. 化简可得(x －5)2＋y 2＝16，故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线l 2与圆C 相切，连接C Q ，CM ， 则|Q M |＝|C Q |2－|CM |2＝|C Q |2－16，当C Q ⊥l 1时，|C Q |取得最小值，|Q M |取得最小值，此时|C Q |＝|5＋3|2＝42，故|Q M |的最小值为32－16＝4.10．(2019·广州一测)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k . 当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围． 解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2. 整理得，x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)＞0，得b 2＜2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2， 即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k ＜－33或k ＞33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为[－3，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1∪(1, 3 ]．。
圆的8种必考题型
圆的8种必考题型
圆的常见考题类型。
这些类型包括：
1. 圆的定义与性质：这类题目可能要求证明圆的某些性质，或者要求利用圆的性质解决一些问题。
2. 点与圆的位置关系：这类题目可能要求判断一个点是否在圆内、圆上或圆外，或者根据点与圆的位置关系求解一些问题。
3. 圆心角、弧长与弦长的关系：这类题目可能要求利用圆心角、弧长和弦长之间的关系求解一些问题，例如求圆心角或弦长等。
4. 切线与割线的性质：这类题目可能要求证明切线与割线的某些性质，或者利用这些性质求解一些问题。
5. 两圆的位置关系：这类题目可能要求判断两个圆的位置关系，如相离、相切或相交，或者根据两圆的位置关系求解一些问题。
6. 圆的方程：这类题目通常要求求解圆的方程，可能涉及到圆的标准方程或一般方程。
7. 直线与圆的位置关系：这类题目可能要求判断直线与圆的位置关系，如相离、相切或相交，并求解相关问题。
8. 圆的综合题：这类题目通常涉及圆的多个知识点，需要综合运用所学知识进行求解。
请注意，这些只是一些常见的关于圆的考题类型，并不代表特定的考题。
在备考时，建议结合具体的教材和考纲，对这些考点进行深入的学习和练习。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题
类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径
(x -3)2+y 2=1上任一点，Q 为圆C ：例1已知P 为直线y=x +1上任一点，则PQ
的最小值为
.【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．
变式1：由直线y=x +1上一点向圆C ：(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为
变式2：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C (x -3)2+y 2=1上任一点，则S ∆QAB 的最小值为.
类型二：利用所求式的几何意义求最值
例2：求实数x ,y 满足x +(y -1)=1,
求下列各式的最值：
y +2（）13x +4y （2）（3）x 2+y 2
x +122
练习.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=4,求y -x 的取值范围类型三.求参数的范围
+2有两个不同的实数解，求m 的取值范练习．若关于x 的方程x m =4-x 围.。
专题复习三(与圆有关的最值问题)
问题2：利用几何意义求与圆有关的最值
例：已知实数x, y满足方程x 2 y 2 4 x 1 0 求下列各式的最大值与 最小值： y (1) ； x (2) y x；
涉及与圆有关的最值问 题， 利用数形结合与几何意 义求解 y b 形如u 转化为直线斜率 xa 形如t ax by 转化为直线截距
专题复习三
与圆有关的最值问题
问题1：定点、定直线到圆的最大（小）距离
定点与圆上的点的距离 的最大值与最小值
y D P A
O
•
定直线与圆上点的距离 的最大值与最小值yCຫໍສະໝຸດ DC P BE
A
x
B
x
O
|AB|最短、|AC|最长
|AB|最短、|AC|最 长
问题1：练习题
1.直线y x 1上的点到圆x 2 y 2 4 x 2 y 4 0 的最近距离是__________ __ 变式：圆x 2 y 2 4 x 2 y 4 0上到直线y x 1 距离最近的点的坐标是 __________ __ 2.圆x 2 y 2 4 x 4 y 10 0上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离 的差是 __________ _ 3.点M在圆C1 : x 2 y 2 6 x 2 y 1 0上，点N 在圆C2 : x 2 y 2 2 x 4 y 1 0上，求 MN 的最大值.
(3) x 2 y 2； y 1 ( 4) ； x4 含有x 2与y 2的 转化为两点间距离 (5) x 2 10x y 2 14 y；
问题2：基础训练
1 1. 已知x, y满足( x 1) y , 分别求x 2 y 2、 4 y x y、 的最值. x 2.若x, y满足( x 1) 2 ( y 2) 2 4, 求S 2 x y的最大值与最小值 . y 1 2 2 3.实数x, y满足x y 4 x 2 y 0, 求 和x y的取值范围 . x 1 4.实数x, y满足x 2 y 2 4 x 6 y 12 0, 求下列式子的最值： y (1) ; (2) x 2 y 2 ; (3) x y; (4) x y. x
与圆有关的最值问题(1)
x2y24y10 y x
求: y
（1） 的取值范围；
x
（2）y－ 2 x的取值范围。
小 结：
最值问题常见的解法有两种:几何法 和 代数法。
若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结 合的方法;
已知圆的方程 x2 + y2 = 2及一点 P ( 2, 4 )，
设计问题：
问题 1：求圆上的动点与点P的连线的斜率的 最值? （参见例题）
问题 2：求圆上的点到点P 的距离的最大
值和最小值。
讨论问题 2：
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x－y－5 = 0，
试试看
根据以上条件，你能设计出与圆有关的 最值问题吗？
此最大值（O为坐标原点）。
与圆有关的最值问题
1、点与圆的位置关系及其充要条件(P ) 56
2、直线与圆的位置关系及其充要条件(P ) 56
3、圆与圆的位置关系及其充要条件(P ) 60
问题：
已知圆 x2 y2 8x 2 y 12 0 内
一点 A ( 3, 0 )，求经过点 A 的最长弦 和最短弦所在的直线方程.
例：(P )已知直线:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 62 圆C：（x-1)2 ( y 2)2 25
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x－y－5 = 0，
设计问题：
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x－y－5 = 0， 求圆上点到直线的距离的最大值和最小值。
练习：
1、从直线 y = 3 上任一点 向圆 (x + 2)2 + (y + 2)2 = 1 作切线, 问：所作切线中切线长最小值是多少?
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与圆有关的问题
以下各题中，如无特殊说明，圆周率π按3.14计算。
102 圆形餐桌的直径为2m，高为1m。铺在桌面上的正方形桌布的四
角恰好刚刚接触地面。求正方形桌布的面积。
103 右图是由直径分别为4cm，6cm和10cm的三个半圆所组成的图形，
求图中阴影部分的周长和面积。
104 已知一个半圆形的面积是18πcm2，求这个半圆形的周长。
105 右图是一个半径为5cm的半圆形，在它的圆弧上任意取一点，以
A，B及这点为顶点可以画出一个三角形，在所有这样的三角形中，面积
最大的是多少？
106 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm，圆周率按3
计算）：
107 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm，圆周率按3
计算）：
108 在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影
部分的面积差。
109 在左下图中，阴影部分的面积是5cm2，以OA为直径的半圆的面
积是多少？
110 右上图中甲比乙的面积大57cm2，求x。
111 左下图中，正方形的边长是5cm，图形的总面积是多少？
112 如右上图所示，平行四边形ABCD的面积是40cm2，求图中阴影部
分的面积。
113 左下图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积。
114 右上图中有半径分别为5cm，4cm，3cm的三个圆，图中A部分（即
两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？
115 在半径为1的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形（如右图），
求菱形的边长。
116 左下图中每个小圆的半径都是1cm，求阴影部分的周长。
117 求右上图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。
118 两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10cm2，两个圆的面积之
和是多少？
119 左下图中阴影部分的面积是200cm2，求两个圆之间的圆环面积。
120 右上图是一个400m的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长
是100m，中间是一个长方形，长为100m，求两个半圆的面积之和与跑道
所围成的面积之比。
121 一块边长为4m的正方形草地，两对角各有一棵树，树上各拴着
一只羊，拴羊的绳子长都是4m。问：两只羊都能吃到草的草地面积是多
少？
122 一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如
右图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积。
123 草场上有一个长20m，宽10m的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用
长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？
124 右图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针
方向旋转60°，此时B点移动到B′点，求阴影部分的面积。
125 在左下图所示的长方形ABCO中，△ABD的面积比△BCD的面积大
10cm2，求阴影部分的面积。
126 右上图中圆的半径是4cm，阴影部分的面积是14πcm2，求图中三
角形的面积。
127 左下两个图中，AB线段的长相等。问：哪个图中阴影部分的面积
最大？
128 有七根直径5cm的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒成一捆（如右
上图），此时橡皮筋的长度是多少？
129 右图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心。求阴影
部分的面积和。
130 一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ（左下
图）。它的对角线长恰好是5cm。让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°
后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置。求A点
走过的路程的长（圆周率按3计算）。
131 将边长为1的正三角形放在一条直线上（如右上图），让三角形
绕顶点C顺时针转动到达位置Ⅱ，再继续这样转动到达位置Ⅲ。求A点走
过的路程的长（取π＝3）。
132 右图中正方形的周长是圆环周长的3倍。当圆环绕正方形无滑动
地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？