2015-2016学年3.2.2《复数的乘除运算》课件
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《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
z2 · z1 z1· z2＝________ z1 ( z2 · z3 ) (z 1 · z2)· z3＝________
1 z2 ＋ z1 z3 z1(z2＋z3)＝z ________
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：(1) (2＋i)i＝__________________； (2)(1－2i)(3＋i)＝________________.
解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
3 3 3 1 (2)原式＝－ － ＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 ＝－ ＋ i(1＋i) 2 2 3 1 1 3 ＝－ － ＋ － i 2 2 2 2
栏 目 链 接
1＋ 3 1－ 3 ＝－ ＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝ ＝ ＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝ ＝ 7－3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝ ＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
2 2 2 2
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：i＋2 的共轭复数是( A．2＋i C．－2＋i
答案：B
)
B．2－i D．－2－i
栏 目 链 接
＋ 2
4 ． i
4n ＋ 1
4n i － 1 － i 1 ＝ ______________ ， i
＝
i －1 －i 1 ， ____________
i －1 －i 1， i4n ＋ 3 ＝ ____________
3.2.2复数代数形式的乘除运算
设复数 z 12i (m∈R)在复平面内 mi
对应的点为Z，若点Z位于第一象限，求实
数m的取值范围.
课堂小结
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结 果中把i2 换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.共轭复数的相关概念. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 5.体会类比的方法.
1.理解复数代数形式的乘除运算法则. 2.会进行复数代数形式的乘除运算. 3.了解互为共轭复数的概念.
类比(a+b)×(c+d)
=ac+ad+bc+bd
计算：(1+3i)(2-3i)
=1×2+1×(-3i)+2×3i+3i×(-3i) =2-3i+6i-9i2 =11+3i
合作探究
探究1： 复数代数形式的乘法运算 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们 乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
探究2：复数的乘法是否满足交换律，结 合律以及乘法对加法的分配律？
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例2 计算: (1)(1+i)2; (2)(3+4i)(3-4i)；
这与作根式除法时的处理是很类似的.
对应的点为Z，若点Z位于第一象限，求实
数m的取值范围.
课堂小结
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结 果中把i2 换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.共轭复数的相关概念. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 5.体会类比的方法.
1.理解复数代数形式的乘除运算法则. 2.会进行复数代数形式的乘除运算. 3.了解互为共轭复数的概念.
类比(a+b)×(c+d)
=ac+ad+bc+bd
计算：(1+3i)(2-3i)
=1×2+1×(-3i)+2×3i+3i×(-3i) =2-3i+6i-9i2 =11+3i
合作探究
探究1： 复数代数形式的乘法运算 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们 乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
探究2：复数的乘法是否满足交换律，结 合律以及乘法对加法的分配律？
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例2 计算: (1)(1+i)2; (2)(3+4i)(3-4i)；
这与作根式除法时的处理是很类似的.
复数代数形式的乘法运算 课件
复数代数形式的乘除运算
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2
(上课)复数的乘除运算完整版课件
得 a1,b 3
z1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
1 9
作业
作业本3.2.2
1 0
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
= (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2
= | z1 | ∙ | z2 |
z
abi
abi4a(a2bb2)i aa24 ab2(ba24 bb2)i
1
7
z 4R
z
b(1a2 4b2)0
b0或 a2b24 ①
|z 2 | 2 得 |a b 2 i| 2
(a2)2b2 2 ②
1 8
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2b2 4代入② (a2)24a24,得 a 1
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =（11-2i)(-2+i) =-20+15i . 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
即 z ∙z=|z|2=|z|2 .
3 例 2 计算
(1) (43i) (4 3i)(2)(1i)2
解 (1)( 3 4 i )( 3 4 i ) 32 (4i)2 9 ( 16 ) 25
z1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
1 9
作业
作业本3.2.2
1 0
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
= (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2
= | z1 | ∙ | z2 |
z
abi
abi4a(a2bb2)i aa24 ab2(ba24 bb2)i
1
7
z 4R
z
b(1a2 4b2)0
b0或 a2b24 ①
|z 2 | 2 得 |a b 2 i| 2
(a2)2b2 2 ②
1 8
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2b2 4代入② (a2)24a24,得 a 1
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =（11-2i)(-2+i) =-20+15i . 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
即 z ∙z=|z|2=|z|2 .
3 例 2 计算
(1) (43i) (4 3i)(2)(1i)2
解 (1)( 3 4 i )( 3 4 i ) 32 (4i)2 9 ( 16 ) 25
复数的代数运算乘除ppt课件
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
2bi
a2 b2
另外不难证明:
引例：化简 1 2 (1 2)(2 3) 2 3 (2 3)(2 3)
复数除法的法则:
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例3设 Z 1 2 3i, Z 2 3 2i, 计算：
（1）Z 1
•
Z
; ( 2)
2
2
Z1
练习．计算：
（1） (1 4i) (1 4i)
（2） (1 4i) (7 2i) (1 4i)
（3） (3 2i)2
共轭复数：两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数，当 b 0时
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例 2．计算：
（1） (1 4i)(7 2i)
（2）(7 2i)(1 4i)
（3）[(3 2i)(4 3i)](5 i) （4）(3 2i)[(4 3i)(5 i)]
(a+bi)÷(c+di)=
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2.共轭复数
两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数；两复数互为共轭 复数，则它们的乘积为实数。
四、正本作业：课本 68 页习题 1（3）（4）（5）（6）
1 i2 i
补充：（1）
i3
（2） i i2 i3 i4 i5
复数代数形式的乘除运算 课件
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1
复数乘除运算ppt课件
.
观察a+bi 与 a-bi 两复数的特点. 实部相等,虚部互为相反数，这样的两个复数叫做 互为共轭复数.（又叫互为实数化因式）
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即zabi
注: 虚部不为0的两个共轭复数也叫共轭虚数 实数的共轭复数是本身
.
规律技巧3
分别计算
1
1 i
1 i
i
1 i
1 i
结你果分是别能是1 i吗？
i 解:原式= 4 9 2 =4+9=13 更简便!
.
法则应用
2、计算 (a+bi )(a-bi ).
.
2、计算 ：(a+bi )(a-bi ).
解： 原式= a 2 ( bi ) 2 = a2 b2
特点：结果是实数
.
规律技巧1
计算 (1和i)2
(1i)2
1i6
1i 10
结你果分别能是 2-8ii 计 -2-3i2i算 吗？
------复数代数形式的乘除运算
.
探究复数乘法法则 试计算：(3-2i)(1+i)
5你+是i 怎么做的？
.
探究复数乘法法则
设 Z 1=a+bi, Z 2=c+di是任意两个复数，
试计算（a+bi)(c+di)
.
探究复数乘法法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,只须把所得的结果中的i2换成-1,并 且把实部与虚部分别合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
.
复数的乘法法则：
观察a+bi 与 a-bi 两复数的特点. 实部相等,虚部互为相反数，这样的两个复数叫做 互为共轭复数.（又叫互为实数化因式）
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即zabi
注: 虚部不为0的两个共轭复数也叫共轭虚数 实数的共轭复数是本身
.
规律技巧3
分别计算
1
1 i
1 i
i
1 i
1 i
结你果分是别能是1 i吗？
i 解:原式= 4 9 2 =4+9=13 更简便!
.
法则应用
2、计算 (a+bi )(a-bi ).
.
2、计算 ：(a+bi )(a-bi ).
解： 原式= a 2 ( bi ) 2 = a2 b2
特点：结果是实数
.
规律技巧1
计算 (1和i)2
(1i)2
1i6
1i 10
结你果分别能是 2-8ii 计 -2-3i2i算 吗？
------复数代数形式的乘除运算
.
探究复数乘法法则 试计算：(3-2i)(1+i)
5你+是i 怎么做的？
.
探究复数乘法法则
设 Z 1=a+bi, Z 2=c+di是任意两个复数，
试计算（a+bi)(c+di)
.
探究复数乘法法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,只须把所得的结果中的i2换成-1,并 且把实部与虚部分别合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
.
复数的乘法法则：
3.2.2复数的乘除法运算 3.18
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
例4(1)i为虚数单位,i607的共轭复数为 ( B )
A.i
B.-i C.1
D.-1
解析：i607 i41513 i3 i
(2)计算i1+i2+i3+…+i2 018=___i-_1____. 法一:因为i1+i2+i3+i4=0, 所以in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N), 所以i1+i2+i3+…+i2 016+i2 017+i2 018 =i1+i2+（i3+i4+i5+i6）+（i7+i8+i9+i10）…+ （i2 015+i2 016+i2 017+i2 018）=i-1.
共轭复数在复平面内所对应的点关于实轴对称。
２) • 是一个怎样的数？
•
2
2
即：两个互为共轭的复数的乘积等于这个
复数（或其共轭复数）模的平方
(1)(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
(a2 b2 ) 2abi
(2)(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac bd) (bc ad)i c2 d2
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
分母实数化
例5.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
积累2
计算： 11
i
解:
1•i i•i
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
例4(1)i为虚数单位,i607的共轭复数为 ( B )
A.i
B.-i C.1
D.-1
解析：i607 i41513 i3 i
(2)计算i1+i2+i3+…+i2 018=___i-_1____. 法一:因为i1+i2+i3+i4=0, 所以in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N), 所以i1+i2+i3+…+i2 016+i2 017+i2 018 =i1+i2+（i3+i4+i5+i6）+（i7+i8+i9+i10）…+ （i2 015+i2 016+i2 017+i2 018）=i-1.
共轭复数在复平面内所对应的点关于实轴对称。
２) • 是一个怎样的数？
•
2
2
即：两个互为共轭的复数的乘积等于这个
复数（或其共轭复数）模的平方
(1)(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
(a2 b2 ) 2abi
(2)(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac bd) (bc ad)i c2 d2
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
分母实数化
例5.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
积累2
计算： 11
i
解:
1•i i•i
公开课课件：复数的乘除法运算
1
函数式
2
复数用上角标“z”表示，z=f(x)，其中
f(x)是一个定义在有序实数对上的函数。
3
代数式
复数表示成 a+bi 的形式，其中 a 代表 实部，b 代表虚部，i 代表 虚数单位 ， 满足 i 的平方等于 -1。
指数式
复数用 e 的复指数形式表示为 z=e^(a+bi)，其中，e 为自然对数的底。
示例
如要计算(3+7i)÷(2-5i)，则 (3 + 7i) ÷ (2 - 5i) (1 - 1i)
复数运算的实例
1
电路分析
在电路分析中，AC电路中电阻的虚拟部分可以通过复数的方法来解决。
2
科学计算
复数在科学计算中有广泛的应用，如信号处理、电子通信、图像处理等领域。
3
量子力学
量子力学中使用复数来描述波函数，复数的模平方表示粒子在空间中存在的概率。
复数的加减法运算
加法
实部和虚部分别相加。
减法
实部和虚部分别相减。
复数的乘法运算
公式
(a+bi)× (c+ di)= (ac-bd)+ (ad+ bc)i
图像解释
复数相乘的结果为两个复数模数相乘，辐角相加。
复数的除法运算
公式
(a+bi)÷ (c+ di)= [(ac+ bd )+ (bc-ad)i]/(c²+ d ²)
总结和应用举例
1 总结
复数是实部和虚部相加得到的一种二元组，常用于描述交流电、信号传输等。
2 应用举例
虽然复数理论看上去比较抽象，但是在实际应用中却发挥了重要的作用，如使用复数描 述振动，设计控制器或仿真器时都需要对复数有一定的理解。