2014北京石景山区初三数学一模试卷word版,最便宜
2014年石景山区初三数学二模试题(附答案)
2014年石景山区初三数学二模试题（附答案）北京市石景山区2014年初三第二次统一练习数学试卷考生须知1．本试卷共10页．全卷共五道大题，25道小题．2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．请用黑色签字笔答题．题号一二三四五总分分数第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．1．的倒数是（）．A．5B．C．D．2．某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为（）．A．28017×102B．2.8017×106C．28.017×105D．0.28017×1073．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）．A.B.C.D.14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）．A．B．C．D．或5．如图，已知△ABC中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）．A.130°B.230°C.270°D.310°6．如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）m．A．6B．C．D．7．下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176180184180170176172164186180该组数据的众数、中位数、平均数分别为（）．A．180，180，178B．180，178，178C．180，178，176.8D．178，180，176.88．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图1所示，点的坐标为，点的坐标为,点D的坐标为．矩形以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动时间为（0≤x≤3）秒，第一象限内的图形面积为y，则下列图象中表示y与x的函数关系的图象大致是()．第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：.10．已知二次函数的图象的顶点在轴右侧，则的一个值可为___________（只需写出符合条件的一个的值）.11．已知与是反比例函数图象上的两个点．则的值=.12．如图，已知直线l：y=x，过点A1（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2A3，…；则点A5的坐标为，点Cn的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：解：14．解不等式组．解：15．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．证明：16．已知当时，的值为，求当时，的值．解：17．已知关于的方程．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．解：18．北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价.小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人？解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．20．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京市年生产总值统计图的一部分．请你根据以上信息解答下列问题：（1）根据北京市2009--2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是_________（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低于2009年的2倍，至少要到_________年．（填写年份）（3）在（1）的条件下，2009--2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元?解：21．如图，在△中，，以为直径的⊙交于点，是的中点．（1）求证：直线与⊙相切；（2）连结并延长交⊙于点、交的延长线于点，连结,若=，,求的长.解：22．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M是边长为a的正方形ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分.小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目.如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将以点O为顶点的直角绕点O任意旋转,且直角两边与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值.可以类比此问题解决.(1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为________;参考小明同学的想法，解答问题:(2)请你在图3中，解决原问题（3）如图4.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b>a，那么在边BC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹.解：五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23.关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；（2）若函数与x轴有且只有一个交点，求的值；（3）在（2）的条件下，将函数的图象沿直线翻折，得到新的函数图象．在轴上分别有点(t，0)，(0，2t)，其中，当线段与函数图象只有一个公共点时，求的值．解：24．将△绕点顺时针旋转得到△，的延长线与相交于点，连接．（1）如图1，若==，，请直接写出与的数量关系；（2）如图2，若＜=，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若＜，（为常数），请直接写出的值（用含、的式子表示）．解：25．在平面直角坐标系xoy中，射线l:.点A是第一象限内一定点，，射线OA与射线l的夹角为30°.射线l上有一动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O 出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒. （1）用含t的代数式表示PQ的长.（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值.（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”.若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值.解：（1）。
2019年北京市石景山区初三数学一模试题和答案(Word版,可编辑)
WORD格式-专业学习资料-可编辑--石景山区2019 年初三统一练习暨毕业考试数学试卷考 1 ．本试卷共 8 页，共三道大题， 28 道小题．满分 100 分，考试时间120 分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．生3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，须选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．知 4 ．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题 16 分，每小题 2共分）第 1 - 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．在北京筹办 2022 年冬奥会期间，原首钢西十筒130000 平方米的区域仓一片被改建为北京冬奥组委办公130000 区．将（ B ）用科学记数法表示应为（ A ） 1310 5（ C ） 0.13（ D ） 1.3 10 710 4 1.3 10 62．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ A ）三棱柱（ B ）三棱锥（C）长方体（ D ）正方体3．实数 a ， b ， c 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是a b c–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4（ B ） b 1 c 0 （ D ） abc（ A） a2 （ C ） a 0WORD格式-专业学习资料-可编辑4．下列图案中，是中心对称图形的为（ A ）（ B ）（C）（ D ）--WORD格式-专业学习资料-可编辑--初三数学试卷第 1 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--5．如图，直线 AB ∥ CD ，直线 EF 分别与 AB ， CD 交于点 E ， F ， EG 平分∠ BEF ，交 CD 于点 G，若 1 70 ，则 2 的度数是（ B ）（ A ） 60 55（ D ）（ C ） 50 45A EB 12C DF G6．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、 y 轴的正方向，表示点 A 的坐标为1, 1 ，表示点B 的坐标为 3 ，2 ，则表示其他位置的点的坐标正确的是北（ A ）C 1 ，0BD（ B ）D 3 ，1C（ C ） E 2 ， 5 E （ D ） F 5 ，2 AF7．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．2012018 年年末全国农村2014 2018 年年末全国农村贫4 贫困人口统计图困发生率统计图人数 / 贫困发生率1000万人/%0 10WORD格式-专业学习资料-可编辑8000 7017 86000 5575 6 7.25.4335 304 74000 6 4 4.51660 3.1 2000 2 1.7--WORD格式-专业学习资料-可编辑--0 2017201年0 20142012016201720182014 20152016 8 5份年份（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断的不合理是（ A ）与 2017 年相比，．．．年年末全国农村贫困人口减少1386 万人2018 了（B ） 2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降（C） 2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000 万（ D ） 2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4 个百分点初三数学试卷第 2 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ AOB 可yA以看作是3 由△ OCD 经过两次图形的变化（平移、轴对称、 2旋转）1得到的，这个变化过程不可能是B．．．（ A ）先平移，再轴对称–3–2 –1 O 1 2 3x–1–2–3 （ B ）先轴对称，再旋转D C（ C）先旋转，再平移（ D ）先轴对称，再平移二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）A 9．写出一个大于 2 且小于3 的无理数：.P10 ．右图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA的距离为 m ，点 P 到射线 OB 的距离为 n ，则 m n ．O B （填“ > ”，“ =”或“ < ”）11 ．一个不透明盒子中装 3 个红球、 5 个黄 2 个白球，这些球除了颜色外无有球和其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的.概率为12.若正多边形的一个内 135 ，则该正多边形的边数角是为.A13 ．如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， DE ∥ BC ．若 6 ，，AE EC 3 DE 8 ，D EWORD格式-专业学习资料-可编辑则 BC ．B C14 ．如果m 3 0 ，那么代数m 2式．m 1 m 1 的值是m2m15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，--WORD格式-专业学习资料-可编辑--就比竿短 5 尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长 y 尺，可列方程组为 .P16 ．如图， AB 是⊙ O 的一条弦， P 是⊙ O 上一动点（不与点A，B 重D 合）， C ，D 分别是 AB ， BP 的中点．O 若 AB = 4 ，∠ APB = 45 °，则 CD 长的最大值为．初三数学试卷第 3 页（共 14 页）A CBWORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--三、解答题（本题共68 分，第 17 - 22 题，每小题 5 分，第 23 - 26 题，每小题 6 分，第 27 ， 28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线 l 及直线 lA外一点 A ．求作：直线 AD ，使得 AD ∥ l ．l图1作法：如图 2 ，①在直线 l 上任取一点 B ，连接 AB ；②以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧， A交直线 l 于点 C ；③分别以点 A ， C 为圆心， AB 长为lC半径B画弧，两弧交于点 D （不与点 B重合）；图 2④作直线 AD ．AD 就是所求作的直线．所以直线根据小立设计的尺规作图过程，（1 ）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2 ）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD ．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形 ABCD ）WORD格式-专业学习资料-可编辑是（．∴ AD ∥l （）．18 ．计算：2cos30 ．12 2 3x 1 3 x 3，19．解不等式组：≥x 5 .x2--WORD格式-专业学习资料-可编辑20 ．关于 x 的一元二次-- 2方程x m 3 x m 2 0 ．（1 ）求证：方程总有两个实数根；（2 ）若方程的两个实数根都是正整数，求 m 的最小值．初三数学试卷第 4 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--21 ．如图，在△ ABC ACB， D 为 AB 边上一点，CD ， E 为 CD 中90中，连接点，连接 BE 并延长至点 F ，使得 EF ＝EB ，连接 DF 交 AC 于点 G ，连接 CF ．（ 1 ）求证：四边形DBCF 是平行四边形；F C（ 2 ）若 A 30 ，BC 4 ， CF 6 ，求 CD 的长 . EGAD B22．如图，AB是⊙O的直径，O 上一点 C 作⊙ O 的切线 CD ，过点 B 作 BE⊥CD过⊙于点 E ，延长 EB 交⊙ O 于点F，连接 AC ， AF ．D E C（ 1 ）求1CE AF ；证：2 B（ 2 ）连接 BC ，若⊙ O 的半径为5 ， tan CAF 2，求 BC 的长．OF A23 ．如图，在平面直角xOy 中，函k x 0 的图象经过点坐标系数y A 1，6 ，直线 y 2 与 x 轴交于点x10 ，．mx B（ 1 ）求 k ， m 的值；（ 2 ）过第二象限P n ，作平行于x 轴的直线，交直线y 2 于点 C ，的点2n mx 交WORD格式-专业学习资料-可编辑函数 y k x 0 的图象于点 D.x①当 1 时，判断线段PD 与 PC 的数量关系，并说明n 理由；②若 PD ≥2 PC ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．y7A6--WORD格式-专业学习资料-可编辑--54321BO 1 2x–2–7–16 –5 –4 –3 ––1–2–3初三数学试卷第 5 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--24 ．如图， Q 是 AB 上一定点， P 是弦 AB 上一动点， C 为 AP 中点，连接CQ ，过点 P 作 PD ∥ CQ 交 AB 于点 D ，连接 AD ， CD ．已知 AB 8 cm ，设 A ， P 两点间的距离为x cm ， C ， D 两点间的距离为y cm ．（当点 P 与点 A 重合时，令 y 的值为 1.30 ）DQA C P B小荣根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（ 1 ）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，得到了y 与 x 的几组对应值：x /cm 0 1 2 3 4 5 678y /cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39 （2 ）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；WORD格式-专业学习资料-可编辑（ 3 ）结合函数图象，解决问题：当DA ⊥DP 时，AP 的长度约为cm ．--WORD格式-专业学习资料-可编辑--初三数学试卷第 6 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--25．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40 名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分，并对数据（成绩）进制）行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下：（成绩 x70 ≤ x ＜90 ≤ x≤50 ≤ x<60 60 ≤ x<70 80 80 ≤ x ＜ 90 100说学校明甲 4 11 13 10 2：乙 6 3 15 14 2成绩 80 分及以上为优秀，70 ~ 79 分为良好， 60 ~ 69 分为合格， 60 分以下为不合格）b ．甲校成绩在70 ≤ x ＜ 80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2 n85乙73.5 7684根据以上信息，回答下列问题：（ 1 ）写出表中n 的值；（ 2 ）在此次测试中，某学生的成绩是74 分，在他所属学校排在前20 名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（ 3 ）假设乙校800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．WORD格式-专业学习资料-可编辑26 ．在平面直角坐xOy1 (k经过点 A(2,3) ，与 y 轴交于点中，直线 y标系kx 0) B ，与抛物线 y bx aC(m, 的对称轴交ax 2于点2). （1 ）求 m 的值；（2 ）求抛物线的顶点坐标；--WORD格式-专业学习资料-可编辑--（ 3） N , y 1 ) 是线段 AB 上一动N 作垂直y 轴的直线与抛物线交于( x1点，过点于点P( x , y2 ) , Q( x3, y3 ) （点 P 在点 Q 的左x1 x3 恒成立，结合2 侧）．若 x2 函数的图象，求 a 的取值范围．初三数学试卷第 7 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--27 ．如图，在等边△ABC 中， D 为边 AC 的延长线上AC ) ，平移线段一点 ( CD BC ，使点 C 移动到点 D ，得到线段ED ， M 为 ED 的M 作 ED 的垂线，交中点，过点BC于点 F ，交 AC 于点 G ．（ 1 ）依题意补全图形；A （ 2 ）求证： AG = CD ；（ 3 ）连接DF 并延长交AB 于点 H ，用等式表示线段 AH 与 CG 的数量关系，并证明．B CE M D28 ．在平面直角坐标系，C (0, 1) xOy 中，正方形 ABCD 的顶点分别为A(0,1) ，B( 1,0) ，D(1,0) ．对于图形 M ，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为正方形ABCD边上任意一点，如果P， Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形 M 的“正方距”，记作d(M ) ．（ 1 ）已知点 E(0,4) ，①直接写出 d ( 点 E) 的值；②直线 y kx 4 (k 0) 与 x 轴交于点 F ，当 d 线段 EF 取最小值时，求 k 的取值范围；（ 2 ）⊙ T 的圆心为T (t ,3) ，半径为1．若 d ( T ) 6 ，直接写出 t 的取值范围．WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--初三数学试卷第 8 页（共 14 页）WORD格式-专业学习资料-可编辑--WORD格式-专业学习资料-可编辑--石景山区2019 年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
2015-2016学年北京市石景山区初三一模数学试卷(WORD版含答案)讲解
石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷学校 __________________ 姓名 _______________ 准考证号_ -、选择题（本题共 30分，每小题3分） 1 .据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销 售额超过28 000 000元.将28 000 000用科学记数法表示应为 8 A . 0.28 10 2. 如图，数轴上有 A .点A C .点C 8 7 B . 2.8 X 0 C . 2.8 X 0 A , B , C , D 四个点，其中绝对值小于 B .点B D .点DA B4 ---------- 1__L -2 -1 03. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于 的是 A C 5. 6. 7. 6 D . 28 X10 2的数对应的点是C D■J ------- * -----------；__1 2 3 中心对称图形 D第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7 则本组数据的众数与中位数分别为 4.某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：A . 5, 4B . 6, 5C . 7, 6D . 5, 5 脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征•在 F 列八张脸谱图片中，随机抽取一张为 1 A .- 3 如图，直线 的度数为 A . 140 ° 在娱乐节目 丿的概率是 5 3 3 B . C . D . 8 5 8m // n ,A ABC 的顶点 B , C 分别在直线 n , m 上，且/ ACB= 90°若/ 1= 40 ° 则/ 2 B . 130 ° C . 120 ° D . 110 ° “墙来了！ ”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人 选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙 物造型的空洞. 推入水池.类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势” 过这两个空洞，则该几何体为 分别穿 CD&如图，四边形 ABCD 是O O 的内接四边形，/ B=135 °则/ AOC 的度数为A . 45 °B . 90 °C . 100 °D . 135 °9.王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满.下表记录了该车相邻两 次加油时的相关数据：A . 7 升B . 8 升C . 9 升D . 10 升10 .为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野 挑战赛.路线图如图 1所示，点E为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形 ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 P 从 点B 出发，沿着B-E-D 的路线匀速行进，到达点 D .设运动员P 的运动时间 为t ，到监测点的距离为 y .现有y 与t 的函数关系的图象大致如图 则这一信息的来源是A .监测点A 二、填空题（本题共 11 .分解因式：12 .如图，方格纸中有一四边形ABCD （A , B , C , D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 ___________________ .13 .反比例函数 y =6的图象上有两个点 A （—2$ ）, B （1,y 2），则 y, —（用“ >”，“<”或“=”加油时间 油箱加油量（升） 加油时的累计里程（公里） 2016年3月31日 30 870062016年4月3日 48876062所示,B .监测点B18分，每小题3分）-4an 2=2am A的平均耗油量大约是 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里 Dx第14题图15 .某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估 年该市春节期间烟花爆竹销售量约为 ___________ 万箱，你的预估理由是 ___________________ 16 .阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题： 已知：在厶ABC 中，/ A=90° .求作：O P ,使得点P 在边AC 上，且O P 与AB , BC 都相切2016石景山一模连接）. 14 .如图，AD=AE ,请你添加一个条件2017，使得△ ADC ◎△ AEB .小轩的主要作法如下: 如图，(1) 作/ ABC 的平分线BF ，与AC 交于点P ; (2) 以点P 为圆心，AP 长为半径作O P . 老师说：所以小轩的作法所求.”请回答：O P 与BC 相切的依据是 ___________________________________________ .解答题(本题共 72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7 分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.计算：1 — J 3 +(江—3.14)—2sin 60°+ — I .' 丿 12丿18.已知,求丄的值.\m n 丿 mn3(x 1) x -1, 19•求不等式组2的整数解.x 3_2. ...320.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 是AB 边上的中线，DE 丄AB 于点D ,交AC 于点E .求证：/ AED= / DCB .21.已知关于x 的一元二次方程 x 2 -3x • 1 - k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若k 为负整数，求此时方程的根. 22.某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”•每种文化衫的17.C成本和售价如下表：白色文化衫黑色文化衫成本(元) 68售价(元) 2025假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件?23. 如图，在△ ABC中，/ ABC=90 °过点B作AC的平行线交/ CAB的平分线于点D，过点D作AB 的平行线交AC于点E,交BC于点F，连接BE，交AD于点G.(1)求证：四边形ABDE是菱形；(2)若BD=14, cos/ GBH = 7，求GH 的长.8D24. 阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为人类规模最大的周期性迁徙”.2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2% ;全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%;水路客运量4260万人次，同比下降0.6% ;民航客运量5140万人次，同比增长4.7% .今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次.2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4% .全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次.2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12% .其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次.根据以上材料解答下列冋题：(1) 2016年春运40天全国民航客运量比2014年多万人次：(2)请你选择统计表或统计图，将2014〜2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来.25. 如图，在△ ABC中，AB=AC,以AC为直径作O O交BC于点D，过点D作O O的切线，交AB于点E,交CA的延长线于点F . ( 1)求证：EF丄AB;(2)若/ C=30° EF =J6，求EB 的长.B26. 阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式2 _ _x -2x-1-a 9恒成立，求a的取值范围.小捷的思路是：原不等式等价于X2-2X-1 a ,设函数y^i = x2-2x-1 ,y2二a ,画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y i的图象在y 的图象上方时a的取值范围.请结合小捷的思路回答：对于任意实数X，关于X的不等式x2-2x-1-a・0恒成立，则a的取值范围是 ___________ .参考小捷思考问题的方法，解决问题：a _3关于X的方程X -4 在0 ：：：x ：：：4范围内有两个解，求a 的取227.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C: y = mx 4x 1.(1)当抛物线C经过点A -5,6时，求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)当直线y = -x • 1与直线x 3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；(3)若抛物线C：^mx2 4x 1 (m . 0)与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间(不包括-1和0)，结合函数的图象，求m的取值范围.y*28.在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1)请你在图1画出△ BEM，使得△ BEM与厶BEC关于直线BE对称；(2)若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究/ ABF与 / CBE的数量关系并证明；(3)在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE，请写出求cos/ FED的思路.(可以不写出计算结果 ).备用图29.在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P(x1, y1)，Q(x2,y2)是图形W上的任意两点•若洛-x2的最大值为m，贝U图形W在x轴上的投影长度J = m ；若％ _ y2的最大值为n ,则图形W在y轴上的投影长度l y= n •如右图，图形W在x轴上的投影长度1=3 —1=2 ；在y轴上的投影长度| y = 4 — 0 = 4.(1)已知点A(3,3), B(4,1).如图1所示，若图形WOAB，则|x二____ , l y二(2)已知点C(4,0)，点D在直线y- -2x 6上，若图形W为△ OCD •当l x = ly时，求点D的坐标.(3)若图形W为函数y=x2( a^x^b)的图象，其中0 _ a ：：： b .当该图形满足l x = l y乞1时，请直接写出a的取值范围.石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试、选择题（本题共 30分，每小题3 分）题号 1 23 4 5 67 8 9 10 答案C B A DDBCBBC二、填空题（本题共 18分，每小题3分）11. a m 2n m -2n ； 12. 12 ； 13. yi ：： y2; 14.如 一C = B 或 AC 二 AB 等；15•预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据•如： 8万，预估理由是下降趋势变缓. 16•角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线.三、 解答题（本题共 72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）即：9-4 1 -k 0 . 解得 k ...................................................................................................... 2分4（2）若k 为负整数，贝y k _ -1, ........................................... 3分原方程为x 2 -3x ■ 2 = 0 , 解得 ％ =1,X 2 =2 . ••…2016 石景山一模17.解：原式=-1 • 1 -2 4218. 1 111解：原式=()mn =mnmn = n-m . m nm n(或原式=-—m mn = n-m ....... .....................mn分）19.20.解：解不等式3x1・x-1，得x • -2 ............. .............................2 3解不等式 x ，3_2，得x .............................. ..............................................................-2-2 ：： x _ 3 ...........................2•原不等式组的整数解为-1, 0, 1. ..........................证明：••• Rt A ABC 中，.ACB =90 , CD 是AB 边上的中线,•••原不等式组的解集为• CD —二 AB —DB (2).......... 1分• Z B _NDCB ..... .................................... 2 ............... 分 ••• DE 丄AB 于点D ,• Z A+NAED=90®.…… (3)................. 分••• N A+NB=90 °,• N B =NAED .. ................... . (4)............... 分 • N AED — ZDCB . ............. ................... 5 ................. 分21.22.解: 设购进白色文化衫 x 件，黑色文化衫y 件. ....................... 1 分根据题意，得x y 200, x=120,i……分解得彳......... 4分14x 17y =3040. y =80. 答: 购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件. (5)分23. (1)证明：T AC //BD , AB //ED ,•••四边形ABDE 是平行四边形. (1)分•/ AD 平分乙CAB , •••乙 CADZBAD .15 •- GH = AH - AG =——24. （ 1）733 (1)分（2）例如：统计表如下：2014〜2016年春运40天全国铁路、公路 客运量统计表（单位：亿人次）公共交通 客运量 年份铁路 公路2014 年 2.66 32.6 2015 年 2.95 24.22 2016 年3.2524.955分25. (1)证明：连接 OD , AD ,•/ AC 为O O 的直径，• / ADC=90° .又••• AB=AC ,•/ AC // BD ，•乙CADZADB .••• E BAD ZADB••• AB =BD .(2)解:•••四边形ABDE 是菱形.••• cos GBH =8，AB AG AH AB•••四边形 ABDE 是菱形，BD =14, /. AB = BD =14 • AH =16,AG 』42 分•.•乙ABC =90 ,• E GBH ZABGB •CD = DB.又CO=AO ,OEA••• OD // AB. ........................... 1 分•/ FD是O O的切线，• OD 丄DF . • FE丄AB. ........ 2 分(2)解：T " =30 £AOD =60在Rt^ODF 中，.ODF =90 , • . F = 30 .• OA=OD=1oF 在Rt A AEF 中，.AEF =90 ,•/ OD // AB, OA =OC = AF • OD =2AE =2 一◎AB =2OD =4,2 . • EB =3、2 . ...... 5 分26. ............................................................................................................. 解：a ：：: —2; 2分解决问题：将原方程转化为x2-4x • 3 = a •设函数y<j = x2 - 4x 3, y^ a , ................................................ 3 分记函数y1在0：：：x：：：4内的图象为G,于是原问题转化为y2=a与G有两个交点时/. 6 = 25m -20 1 • m =1 ...............• y = x2 +4x+1 • y = (x+2 2 _3•抛物线的顶点坐标是-2,-3 . .................................. 3分(2)•••直线y - -x • 1与直线、二*3相交于点-1,2•两直线的对称轴为直线x - -1 . ...................................... 4分T直线y = -x • 1与直线y = x • 3关于抛物线C : y = mx2 4x1的对称轴对称4 ’••…-1 • m = 2 . ........................................... 5 分2m a的取值范围，结合图象可知5分27.(3) 3 ：： m _4 . ................................................. 7 分28. (1)补全图形，如图1所示.(2) . ABF 与.CBE 的数量关系：.ABF • . CBE = 45 ......... 2 分证明：连接BF , EF ，延长DC 到G ，使得CG 二AF ，连接BG--3分 AB = BC , A - . BCD = . ABC = 90 ••• △BAF 心 BCG .BF = BG ，/ABF = . CBG .•/ AF CE =EF ,• EF -GE . .............. 4 分 ••• △BEF 也厶 BEG ../ABF ./CBE . ................................ 5 分AF 为 x ，贝U EF = x a ,b. 在 Rt △ EFD 中，由 EF 2 二 DF 2 DE 2 ,2 2 2 可得 x a 3a - x j 亠〔2a从而得到x 与a 的关系2x =3a ；c. ................................................................................................ 根据 cos / FED = DE =2a ，可求得结果. .................................... 7 分EF x+a29. ................................................................ 解：(1) 4, 3. 2 分(2)设点 D x, -2x 6 .①当 x 一 0 时，I = 4 一 x,l y - -2x 6 .•-〔x "y ,• 4 - x = -2x 6,•••四边形ABCD 为正方形,• . ABF . CBE =45 .(3)求解思路如下：a .设正方形的边长为 3a , DF = 3a - x ；•x =2 .0 (舍去).②当0 ：： x ：：： 4时，J =4,l y = _2x 6 .••• l^ l y ,4= -2x + 6 ,x =1 或x = 5 (舍去).••• D 1,4 .③当x_4时,l x=x,l y=2x—6 .••• l^ l y ,•x = 2x -6 ,•• x = 6 .• D 6, -6 .综上满足条件的D点的坐标为1,4或6,-6 .(3)1 八0 _ a . ...................... 8 分2。
2019年北京市石景山区初三数学一模试题和答案(Word版,可编辑)12977
石景山区2019 年初三统一练习暨毕业考试数学试卷1．本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题．满分100 分，考试时间120 分钟．考2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．生3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，须选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．知4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）第 1 - 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．在北京筹办2022 年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000 平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000 用科学记数法表示应为（A） 413 10 （B）51.310 （C）60.1310 （D）71.3102．如图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）三棱锥（C）长方体（D）正方体3．实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是ab c –4 01 2 3 4–3 –2 –1（A） a 2 （B）b 1 （C）a c 0 （D）abc 0 4．下列图案中，是中心对称图形的为（A ）（B）（C）（D）初三数学试卷第1 页（共14 页）5．如图，直线AB∥CD，直线EF 分别与 AB，CDE 交于点E，F，EG 平分∠ BEF，交 CD 于点 G，A B1若 1 70 ，则2的度数是（A） 60 （B）55 2C DF G（C）50 （D）456．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点 A 的坐标为1, 1 ，表示点 B 的坐标为3，2 ，则表示其他位置的点的坐标正确的是北（A） C 1，0BD （B） D 3，1C （C） E 2，5AE F（D） F 5，27．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．2014 2018年年末全国农村贫困人口统计图2014 2018年年末全国农村贫困发生率统计图人数/ 万人贫困发生率/%10000 108000 870176000 4000 557543353046641.40.141.41660 3.12000 21.70 02014 2015 2016 2017 2018 年份2014 2015 2016 2017 2018 年份（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（A）与 2017 年相比， 2018 年年末全国农村贫困人口减少了1386 万人（B）2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降（C）2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000 万（D）2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降 1.4 个百分点初三数学试卷第2 页（共14 页）8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是y3 A由△OCD 经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）2得到的，这个变化过程不可．能．．是（A）先平移，再轴对称1B–3 1 2 3 –2 –1 O–1–2x（B）先轴对称，再旋转–3D C（C）先旋转，再平移（D）先轴对称，再平移A二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）9．写出一个大于 2 且小于 3 的无理数：.P 10．右图所示的网格是正方形网格，点P到射线 OA 的距离为m，点P到射线 OB 的距离为n，则m n．O B （填“ >”，“=”或“ <”）11．一个不透明盒子中装有 3 个红球、 5 个黄球和 2 个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为.1.5若正多边形的一个内角是135 ，则该正多边形的边数为.A13．如图，在△ABC 中， D ，E 分别是AB ， AC 上的点，DE ∥ BC ．若 AE 6 ，EC 3 ， DE 8 ，D E则BC ．B C14．如果 2 3 0m m ，那么代数式m1 m 12m m的值是．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长 y 尺，可列方程组为.P16．如图， AB 是⊙O 的一条弦，P 是⊙O 上一动点（不与点A，B 重合），C，D 分别是AB，BP 的中点．D O若 AB = 4，∠APB = 45°，则CD 长的最大值为．A C B初三数学试卷第3 页（共14 页）三、解答题（本题共68 分，第17 - 22 题，每小题 5 分，第23 - 26 题，每小题 6 分，第27， 28 题，每小题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．A求作：直线AD，使得AD∥l．l图 1 作法：如图2，①在直线l 上任取一点B，连接A B；②以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，A交直线l 于点C；③分别以点A，C 为圆心，AB 长为半径lCB画弧，两弧交于点D（不与点 B 重合）；④作直线AD．图 2所以直线AD 就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（ 1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（ 2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接C D．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形A BCD 是（）．∴AD∥ l（）．18．计算：0 2cos30 12 2 3 ．x 1 3 x 3，19．解不等式组：x 5x≥.220．关于x 的一元二次方程 2x m 3 x m 20 ．（ 1）求证：方程总有两个实数根；（ 2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．14 页）初三数学试卷第 4 页（共21．如图，在△A BC 中，ACB 90 ，D为A B 边上一点，连接CD，E为C D 中点，连接BE 并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF 交AC 于点G，连接CF ．（ 1）求证：四边形DBCF 是平行四边形；F C（ 2）若 A 30 ，BC 4 ， CF 6 ，求CD 的长 . G EA DB 22．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD，过点 B 作BE⊥CD 于点E，延长EB 交⊙O 于点F，连接AC，AF．D E C（ 1）求证：1CE AF ；2B（ 2）连接BC，若⊙O的半径为5， tan CAF 2 ，求BC的长．OF Ak 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x 0x 的图象经过点 A 1，6 ，直线y mx 2 与x 轴交于点 B 1，0 ．（ 1）求k，m 的值；（ 2）过第二象限的点P n，2n 作平行于x 轴的直线，交直线y mx 2 于点C，交k函数y x 0x 的图象于点D.①当n 1 时，判断线段P D 与PC 的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．y7A654321BO–7 – 6 – 51 2– 4 – 3 – 2 – 1– 1x– 2– 314 页）初三数学试卷第 5 页（共24．如图，Q 是 AB 上一定点，P是弦AB上一动点， C 为AP中点，连接CQ ，过点P作PD∥CQ 交 AB 于点D ，连接AD ，CD ．已知AB 8 cm，设A，P两点间的距离为x cm，C ，D 两点间的距离为y cm．（当点P与点A重合时，令y的值为 1.30）DQA C P B小荣根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y 与x 的几组对应值：x /cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8y /cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm．初三数学试卷第6 页（共14 页）25．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各取40 名抽随机），并对数据（成绩）进行了学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40 名学生成绩的频数分布统计表如下：（成绩x50≤x<60 60≤x<70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 说学校明甲 4 11 13 10 2：乙 6 3 15 14 2成绩 80 分及以上为优秀，70 ~ 79 分为良好，60 ~ 69 分为合格，60 分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2 n 85乙73.5 76 84：根据以上信息，回答下列问题（ 1）写出表中n 的值；（ 2）在此次测试中，某学生的成绩是74 分，在他所属学校排在前20 名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（ 3）假设乙校800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．26．在平面直角坐标系x Oy 中，直线y kx 1 (k 0) 经过点A(2,3) ，与y 轴交于点B，与抛物线 2y ax bx a 的对称轴交于点 C(m,2) .（ 1）求m 的值；（ 2）求抛物线的顶点坐标；（ 3）N(x , y ) 是线段A B上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点1 1P( x ,y ) , Q( x3, y3 ) （点P在点Q 的左侧）．若x2 x1 x3 恒成立，结合函数的2 2图象，求 a 的取值范围．14 页）第7 页（共初三数学试卷27．如图，在等边△ABC 中，D 为边 AC 的延长线上一点(CD AC) ，平移线段BC，使点 C 移动到点D，得到线段ED，M 为 ED 的中点，过点M 作 ED 的垂线，交BC于点 F，交 AC 于点 G．（1）依题意补全图形；A （2）求证： AG = CD；（3）连接DF 并延长交AB 于点 H，用等式表示线段 AH 与 CG 的数量关系，并证明．CBE M D28．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为A(0,1) ，B( 1,0) ，C (0, 1) ，D (1,0) ．对于图形M，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d(M )．（1）已知点 E (0,4) ，①直接写出 d (点E) 的值；②直线y kx 4 (k 0) 与 x 轴交于点F，当d 线段EF 取最小值时，求 k 的取值范围；（2）⊙T 的圆心为T (t ,3) ，半径为1．若 d ( T ) 6 ，直接写出t 的取值范围．初三数学试卷第8 页（共14 页）石景山区2019 年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
北京市石景山区2014届高三一模理科数学试卷(带解析)
北京市石景山区2014届高三一模理科数学试卷（带解析）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x > D ．{}|12x x <<【答案】A【解析】因为集合),1[).20(∞+== B A 所以),1,(-∞=B C U ).1,0(=B C A U I 选C. 考点：集合的运算2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A. 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选B. lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数,所以选C,. 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选D.考点：函数奇偶性与单调性3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 【答案】B【解析】因为,)1()(31051)5(251r r r r r r r x C x x C T ---+-=-=所以令,1310=-r 得.3=r 因此x 的系数为.10)1(335-=-C 考点：二项式展开式通项公式4．已知Rt △ABC 中，o9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD的长为（ ）A ．4B ．95C ．125D ．165【答案】D【解析】由题意得：.3=AC 又由切割线定理得：.59,53,22=⨯=⋅=AD AD AB AD AC 因此.516595=-=-=AD AB BD 考点：切割线定理5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．8 C．4 【答案】D【解析】由抛物线定义得：.4,321==+p p所以焦点到准线的距离为.4=p考点：抛物线定义6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A． B． C． D．【解析】如图为所求几何体：底边等腰三角形的底长为2，底边上的高为1，底面面积为.11221=⨯⨯几何体的高为正三角形的高3，所以几何体的体积为.331331=⨯⨯考点：三视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．2-B ．12 C ．1- D ．2【答案】C【解析】第一次循环，,21,1==A i 第二次循环，,1,2-==A i 第三次循环，,2,3==A i 第四次循环，,21,4==A i L ，因此当267132015+⨯==i 时，.1-=A 考点：循环体流程图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A ．3 C ．125 D ．1【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3m i n =PM考点：圆的切线长，椭圆定义9．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 【答案】.0,≥∈∀x e R x【解析】因为命题p :.,q x ∃的否定为“.,q x ⌝∀”，所以p ⌝是.0,≥∈∀xe R x 考点：存在性命题的否定 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，(1)2n n +【解析】由题意得公比.222,2,81143n n n a q a a q =⋅====-因此.2)1(,+==n n S n b n n考点：等比数列通项公式，等差数列前n 项和11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．【答案】22+=4x y，k =【解析】由222=+=y x ρ得.422=+y x 因为直线:30l kx y ++=与圆C 相切，所以21|3|2=+k ，解得.25±=k考点：直线与圆相切12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________. 【答案】[95，6]【解析】可行域表示为三角形))29,25(),6.1(),31((C B A ABC ∆及其内部, x y表示为原点与可行域内的点连线的斜率, 所以取值范围是],,[OA OB k k 而,59,6==OC OB k k 因此取值范围是[59，6]考点：线性规划求范围13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 【答案】180【解析】分三类情况讨论，一是选甲不选乙，有,3325A C 二是选乙不选甲，有,3325A C 三是既不选甲也不选乙,有,3335A C 所以共有+3325A C +3325A C .1803335=A C考点：排列组合14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【解析】由题意得函数()f x 和函数()g x 的隔离直线为它们在交点)0,1(处的公切线.因为,)1(2)1(k g f ='=='所以切线过程为).1(2-=x y考点：利用导数求切线方程15．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．（1）求角B 的大小； （2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.【答案】（1）60B =，（2）3，.233【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.2sin b A =，由正弦定2sin sin A B A =，从而有sin B =，又因为大角对大边，而a b c <<，因此角B 为锐角，60B =.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯解得3c =或1c =-（舍），再由三角形面积公式得11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=.试题解析：解：（12sin b A =，2sin sin A B A =， 2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． 6分 （2）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. 10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． 13分考点：正余弦定理16．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： 罗非鱼的汞含量（ppm ）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （2）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 【答案】（1）4591，（2）.1=ξE【解析】试题分析：（1）古典概型求概率问题，需正确计数.从这15条鱼中，随机抽出3条，共有315C 种基本事件; 3条中恰有1条汞含量超标事件就是从5条汞含量超标中选出1条，且从10条汞含量不超标中选出2条，即包含21015C C 种基本事件,因此所求概率为1251031545()91C C P A C ==.（2）从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，可以看作3次独立重复试验，每次选出汞含量超标的概率按以此15条鱼的样本数据来估计，即为51()153P B ==，因此.1313),31,3(~=⨯=ξξE B试题解析：解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1235567889 1355671251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. 4分（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， 5分ξ可能取0，1，2，3 6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．10分12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 13分考点：古典概型求概率，概率分布，数学期望 17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点．（1）求证：1B C ∥平面1A BD ；（2）求二面角1A BD A --的大小；（3）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的A1A1B1CCDB长；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析，（2）3π，（3）AE =. 【解析】试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.利用三角形中位线性质找平行，取1A B的中点M ，则MD 是三角形1AB C 的中位线，即MD ∥1B C ．应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）利用空间向量求二面角的大小，关键求出平面的法向量.平面ABD 的一个法向量为 1AA ,而平面1A BD 的法向量则需列方程组解出.根据向量的数量积求出两向量夹角，再根据向量夹角与二面角的大小关系，求出结果.一般根据图像判定所求二面角是锐角还是钝角.（3）存在性问题，从假定存在出发，利用面面垂直列等量关系.在（2）中已求出平面1A BD 的法向量，因此只需用E 点坐标表示平面1A BD 的法向量即可.解题结果需注意E 点在线段上这一限制条件. 试题解析：（1）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点， 所以MD 是三角形1AB C 的中位线， 2分所以MD ∥1B C ． 3分MA1A1B1CBCD因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ． 4分（2）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A ， 5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量． 6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， 7分x所以121cos 2n AA <>==，． 8分所以二面角1A BD A --的大小为3π． 9分（3）设(10)E x，，，则1(1CE x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令1z =13x =，1y =，1(3n =， 12分又10n n⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B CE ⊥平面1A BD 且AE =． 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角18．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1.【答案】（1）减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，，（2）1-≤a ，（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：0>x ，二是求导数xx x x f )1)(12()(+-='，三是分析导数符号变化情况：11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数()f x 在区间(01]，上是减函数，所以0)(≤'x f 对任意(01]x ∈，恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即xx a 21-≤对任意(01]x ∈，恒成立. 因此.)21(m i n x x a -≤（3）求切点问题，从设切点(())M t f t ，出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：21ln 0t t -+=.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.试题解析：解: （1）1a =时,2()ln (0)f x x ax x x =+->， 1(21)(1)()21x x f x x x x -+'∴=+-＝， 1分 11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. 3分（2）1()2f x x a x '=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x +-≤对任意(01]x ∈，恒成立， 5分 12a xx ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x =-，min ()a g x ∴≤， 7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-.1a ∴≤-. 8分（3）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. 11分再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t t ϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. 13分 考点：利用导数求函数性质19．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程，并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出.,b a 因为短轴上的一个端点到F 的距离为a ，所以.3=a 而,2=c 所以.1=b 再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，由判别式为零得斜率1k =±,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究121k k =-是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点P 坐标在变化，所以由判别式为零得关于点P坐标的一个等式：2220000(3)210x t x y t y -++-=，即222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，而这等式对两条切线都适用，所以12l l ，的斜率为方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=两根，因此121k k =-.当12l l ，垂直时，线段MN 为准圆224x y +=的直径，为定值4.试题解析：解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=. 3分 （2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. 7分121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. 8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. 10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. 14分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）写出3S 的所有可能值；（2）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．【答案】（1）13578888，，，（2）132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）列举出数列{}n b 所有可能情况，共11224C C =种，分别计算和值为13578888，，，，本题目的初步感观生成数列{}n b （2）已知和项解析式，则可利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项. 当2n ≥时，3231318n n n nb b b --++=，而323133231311111(421)()22288n n n n n n n nb b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．所以132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合nS 的个数及其表示形式.首先集合n S 的个数最多有12n -种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为12n -种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合n S 的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由12322212n n n n n S ---±±±±=得分子必是奇数，奇数个数由范围12122n n n n S -≤≤确定.试题解析：解：（1）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ，∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． 3分（2）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， 5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．∴132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． 8分（3）2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形．23231111111122222222n n n S ----≤≤++++，即12122n n nnS -≤≤，又12322212n n n n n S ---±±±±=，分子必是奇数，满足条件121222n nn n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． 10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>，所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．12分∴2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n -，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． 13分注：若有其它解法，请酌情给分】考点：已知和项求通项，数列综合。
北京市石景山区2014届高三一模文科数学试卷(带解析)
北京市石景山区2014届高三一模文科数学试卷（带解析）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x << B ．{}|0x x < C ．{}|2x x > D ．{}|12x x <<【答案】A【解析】因为集合),1[).20(∞+== B A 所以),1,(-∞=B C U ).1,0(=B C A U I 选C. 考点：集合的运算2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A. 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选B. lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数,所以选C,. 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选D.考点：函数奇偶性与单调性3．直线:40l x -=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定【答案】B【解析】因为圆心到直线的距离为r==+231|4|，所以直线与圆相切.考点：直线与圆位置关系4．双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ） A ．5 B． C【答案】D【解析】因为双曲线渐近线为,x a b y ±=所以.5,5,,2===e a c ab考点：双曲线渐近线5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin()23x y π=+ B ．2sin(2)6y x π=- C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=- 【答案】B【解析】因为ωπ2=T ，所以选项A,B,C,D 的周期依次为.4,,,4ππππ又当3x π=时，选项A,B,C,D 的值依次为,1,1,2,2-所以只有选项A,B 关于直线3x π=对称，因此选B.考点：三角函数性质6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（ ）A ．4B ．12 C． D ．24【答案】B【解析】由左视图知：正三棱柱的高（侧棱长）为 2，底边上的高为3，所以底边边长为2，侧面积为.12223=⨯⨯考点：三视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．2-B ．12 C ．1- D ．2【答案】C【解析】第一次循环，,21,1==A i 第二次循环，,1,2-==A i 第三次循环，,2,3==A i 第四次循环，,21,4==A i L ，因此当267132015+⨯==i 时，.1-=A 考点：循环体流程图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A．3 C ．125 D ．1【答案】A【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3m i n =PM考点：圆的切线长，椭圆定义9．i 是虚数单位，计算41ii +=+_________.【答案】5322i - 【解析】41i i+=+.235)1)(1()1)(4(i i i i i -=-+-+ 考点：复数的运算 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，(1)2n n +【解析】由题意得公比.222,2,81143n n n a q a a q =⋅====-因此.2)1(,+==n n S n b n n考点：等比数列通项公式，等差数列前n 项和11．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 【答案】.0,≥∈∀xe R x 【解析】因为命题p :.,q x ∃的否定为“.,q x ⌝∀”，所以p ⌝是.0,≥∈∀xe R x 考点：存在性命题的否定12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________.【答案】13【解析】可行域表示为三角形))29,25(),6.1(),31((C B A ABC ∆及其内部, 因此直线2z x y =+过点)6,1( B 时取最大值：.13121=+=z考点：线性规划求范围13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 【答案】40【解析】设每小时的燃料费,2kv y =因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以.50310106=⨯=k 费用总和为,4896503210)96503(10)96503(102=⨯⨯≥+=+v v v v 当且仅当40,96503==v v v 时取等号.考点:基本不等式求最值14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【解析】由题意得函数()f x 和函数()g x 的隔离直线为它们在交点)0,1(处的公切线.因为,)1(2)1(k g f ='=='所以切线过程为).1(2-=x y考点：利用导数求切线方程15．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （1）求角B 的大小； （2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.【答案】（1）60B =，（2）3，.233【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.2sin b A =，由正弦定2sin sin A B A =，从而有sin B =，又因为大角对大边，而a b c <<，因此角B 为锐角，60B =.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯解得3c =或1c =-（舍），再由三角形面积公式得11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=.试题解析：解：（12sin b A =，2sin sin A B A =， 2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． 6分 （2）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. 10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=． 13分考点：正余弦定理16．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（1）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （2）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高； （3）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率． 【答案】（1）0.08,25,（2）3,0.012（3）0.7. 【解析】试题分析：（1）有频率分布直方图知，小长方形的面积等于对应频率,因此分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=，又频率等于频数除以总数，而分数在[5060)，之间的频数为2，因此全班人数为2250.08=.（2）因为分数在[8090)，之间的频数为25223-=，所以分数在[8090)，之间的频率为325，这代表[8090)，间矩形的面积，所以高为3100.01225÷=.（3）分数在[80100)，共有5人，任取两人共有10种基本事件（枚举法），挑出没有一份分数在[90100)，的事件有3种基本事件，所以至少有一份分数在[90100)，之间的事件有7种基本事件，所求概率为70.710=.试题解析：解：（1）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， 2分 由茎叶图知：分数在[5060)，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. 4分 （2）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.7分 （3）将[8090)，之间的3个分数编号为123a a a ，，, [90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， 8分在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， 10分其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90100)， 之间的概率是70.710=. 13分考点：频率分布直方图17．如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （3）求四棱锥A BCDE -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.本题利用平行四边形找平行，取AC 中点G ，则易得；1////,,2FG CD BE FG CD BE ==所以四边形BEFG 为平行四边形，即得//,FF BG 应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）证明面面垂直，关键证线面垂直.分析条件知，须证EF ⊥平面ADC ，由（1）知，只需证BG ⊥平面ADC .因为ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点 ，所以BG AC ⊥ ；又可由CD ⊥平面ABC 得DC BG ⊥，这样就可由线面垂直判定定理得到BG ⊥平面ADC .（3）求三棱锥体积，关键找出高线或平面的垂线.利用面面垂直可找出面的垂线.因为CD ⊥平面ABC ，所以面CDBE ⊥平面ABC ，过A 作两平面交线的垂线AH ，则有AH ⊥平面BCDE .因为ABC ∆为等边三角形，所以H 为BC 中点.试题解析：解：（1）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点，FG ∴∥CD ，且112FG DC ==.BE ∥CD ， 2分FG ∴与BE 平行且相等.∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . 3分又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . 4分（2）ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点，BG AC ∴⊥. 5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， 6分又ACDC C =，BG ∴⊥平面ADC . 7分DBAF EGEF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， 8分 EF ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . 10分（3）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC ==, AH BC ∴⊥.DC ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BCDC C =，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =， 12分11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形. 14分考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理18．已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->． （1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，；（3）0a <<【解析】试题分析：（1）求函数极值分四步，一是求函数定义域(0)+∞，，二是求函数导数2()()()x a x a f x x +-'=，三是根据导数为零将定义区间分割，讨论导数值正负()0x a ∈，，()0f x '<；()x a ∈+∞，，()0f x '>，，四是根据导数符号变化确定极值点1a =；（2）利用导数求函数单调性，也是四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变化情况，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为(0)a ，,增区间()a +∞，； （3）()f x 在[1]e ，上没有零点，即()0f x ≠在[1]e ，上恒成立,也就是min ()0f x >或max ()0f x <，又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >.以下有两个思路，一是求最小值，需分类讨论，当a e ≥时，m i n ()()f x f e =.当1a e <<时，m i n ()().f x f a =当01a <≤时，m i n ()(1).f x f =二是变量分离，222,((1,])ln x a x e x ≤∈，只需求函数2(),((1,])ln x h x x e x =∈的最小值.试题解析：解：（1）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. 1分 22()2a f x x x '=-2222x a x -=2()()x a x a x +-=. 2分 ()f x在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. 3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>，所以a 的值为1. 4分（2）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. 5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. 8分 （3）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >.（ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减，22min ()()20f x f e e a ==->，解得0a <<与a e ≥矛盾. 10分（ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<1a <<分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a的取值范围为0a <<分考点：利用导数求函数极值、单调区间、取值范围19．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出.,b a 因为短轴上的一个端点到F 的距离为a ，所以.3=a 而,2=c 所以.1=b 再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，由判别式为零得斜率1k =±,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究121k k =-是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点P 坐标在变化，所以由判别式为零得关于点P坐标的一个等式：2220000(3)210x t x y t y -++-=，即222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，而这等式对两条切线都适用，所以12l l ，的斜率为方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=两根，因此121k k =-.当12l l ，垂直时，线段MN 为准圆224x y +=的直径，为定值4.试题解析：解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=. 3分 （2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. 7分121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. 8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在，则1l ：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. 10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. 14分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）写出3S 的所有可能值；（2）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .【答案】（1）13578888，，，（2）*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，，【解析】试题分析：（1）列举出数列{}n b 所有可能情况，共11224C C =种，分别计算和值为13578888，，，，本题目的初步感观生成数列{}n b ，（2）分段函数求和，注意“间断的周期性”. 因为1312(1312nn n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，所以间断的周期为3，每3个作为一个“大元素”，所以先求3k S .再利用1nn n S S a -=+求31()n k k =+∈N 及32()n k k =+∈N 的n S .因为312345632313111111111()()()222222222k k k k S --=--+--++-- 14322531363*********()()()222222222k k k --=+++-+++-+++38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-11[1()]72n =-，所以当31()n k k =+∈N 时15(1)72n n S =+，当32()n k k =+∈N ，13(1).72n n S =+试题解析：解：（1）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ，∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，． 3分（2）∵1312(1312n n n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，.∴3()n k k *=∈N 时， 12345632313111111111()()()222222222n k k k S --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++ 32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=----- 38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-. 11[1()]72n n S ∴=-. 31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ； 32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ；*11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，， 13分注：若有其它解法，请酌情给分】考点：数列求和。
北京市石景山区初三数学一模试题(解析)
2021年北京市石景山区中考数学一模试卷一、选择题（此题共32分，每题4分）1．的相反数是（）A．B．C．D．2．清明小长假本市150家景区接待游客约5245000人，数字5245000用科学记数法表示为（）A．×103B．×106C．×107D．5245×1033．正五边形的每一个内角等于（）A．72°B．108°C．54°D．36°4．为了解居民用水情形，晓娜在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨） 5 6 7 8 9 10户数 1 1 2 2 3 1那么这10户家庭的月用水量的平均数和众数别离是（）A．，9 B．，3 C．，9 D．，35．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33 6．如图，△ABC内接于⊙O，BA=BC，∠ACB=25°，AD为⊙O的直径，那么∠DAC的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°7．转盘上有六个全等的区域，颜色散布如图，假设指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，那么指针对准红色区域的概率是（）A．B．C．D．8．如图，边长为1的正方形ABCD中有两个动点P，Q，点P从点B动身沿BD作匀速运动，抵达点D后停止；同时点Q从点B动身，沿折线BC→CD作匀速运动，P，Q两个点的速度都为每秒1个单位，若是其中一点停止运动，那么另一点也停止运动．设P，Q两点的运动时刻为x秒，两点之间的距离为y，以下图象中，能表示y与xA．B．C．D．二、填空题（此题共16分，每题4分）9．分解因式：ax3﹣16ax=_________．10．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AB=3，假设BO：BD=1：3，那么CD等于_________．11．如图，小明同窗在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两头B点、C点的仰角别离为60°和30°，那么条幅的高度BC为_________米（结果能够保留根号）．12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=x，作A1（1，0）关于y=x的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位取得点A2；再作A2关于y=x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位取得点A3；…．请继续操作并探讨：点A3的坐标是_________，点B2021的坐标是_________．三、解答题（此题共30分，每题5分）13．﹣|﹣5|+3tan30°﹣．14．解方程：+1=．15．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE上．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）∠BDA=∠ADC．16．已知：=，求代数式的值．17．如图，一次函数y1=kx+2的图象与x轴交于点B（﹣2，0），与函数y2=（x＞0）的图象交于点A（1，a）．（1）求k和m的值；（2）将函数y2=（P）的图象沿x轴向下平移3个单位后交x轴于点C．假设点D是平移后函数图象上一点，且△BCD的面积是3，直接写出点D的坐标．18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价钱别离为1000元/台、2000元/台．（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）假设要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？四、解答题（此题共20分，每题5分）19．如图，在四边形ABCD中，AB=2，∠A=∠C=60°，DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长．20．为响应推动中小学生素养教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同窗们的选课情形，某班数学爱好小组从全校三个年级中各调查一个班级，依照有关数据，绘制如下统计图．（1）请依照以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；（2）假设初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？（3）假设该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，连结CO并延长交⊙O的切线AP于点P．（1）求证：∠APC=∠BCP；（2）假设sin∠APC=，BC=4，求AP的长．22．实验操作（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的极点的横、纵坐标都是整数，假设将△ABC以点P（1，﹣1）为旋转中心，按顺时针方向旋转90°取得△DEF，请在座标系中画出点P及△DEF；（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60°）中有一个等边△ABC，它的极点A，B，C都落在格点上，假设将△ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60°取得△A′B′C′，请在菱形网格图中画出△A′B′C′．其中，点A旋转到点A′所通过的线路长为_________．五、解答题（此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．已知关于x的方程mx2+2（m﹣1）x+m﹣1=0有两个实数根，且m为非负整数．（1）求m的值；（2）将抛物线C1：y=mx2+2（m﹣1）x+m﹣1向右平移a个单位，再向上平移b个单位取得抛物线C2，假设抛物线C2过点A（2，b）和点B（4，2b+1），求抛物线C2的表达式；（3）将抛物线C2绕点（n+1，n）旋转180°取得抛物线C3，假设抛物线C3与直线y=x+1有两个交点且交点在其对称轴双侧，求n的取值范围．24．在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．（1）假设FG=8，那么∠CFG=_________°；（2）当以F，G，C为极点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探讨：当GB为何值时，以F，H，E，C为极点的四边形是平行四边形．25．在平面直角坐标系xOy中，关于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下概念：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，那么“矩面积”S=ah．例如：三点坐标别离为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），那么“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．①假设A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．①假设E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．2021年北京市石景山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（此题共32分，每题4分）1．（4分）（2021•石景山区一模）的相反数是（）A．B．C．D．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：的相反数是，故选：D．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（4分）（2021•石景山区一模）清明小长假本市150家景区接待游客约5245000人，数字5245000用科学记数法表示为（）A．×103B．×106C．×107D．5245×103考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：数字5245000用科学记数法表示为×106，故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2021•石景山区一模）正五边形的每一个内角等于（）A．72°B．108°C．54°D．36°考点：多边形内角与外角．分析：先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．解答：解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°=540°，则每个内角是：540÷5=108°．故选B．．点评：本题主要考查多边形的内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点．4．（4分）（2021•石景山区一模）为了解居民用水情形，晓娜在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨） 5 6 7 8 9 10户数 1 1 2 2 3 1那么这10户家庭的月用水量的平均数和众数别离是（）考点：众数；加权平均数．分析：根据众数和平均数的概念求解．解答：解：由题意得，众数为：9，平均数为：=．故选A．点评：本题考查了众数和平均数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．5．（4分）（2021•石景山区一模）将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33考点：二次函数的三种形式．分析：利用配方法整理即可得解．解答：解：y=2x2﹣8x﹣1，=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，=2（x﹣2）2﹣9，即y=2（x﹣2）2﹣9．故选C．点评：本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．6．（4分）（2021•石景山区一模）如图，△ABC内接于⊙O，BA=BC，∠ACB=25°，AD为⊙O的直径，那么∠DAC 的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：先根据等腰三角形的性质由BA=BC得到∠BAC=∠ACB=25°，再根据圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠ACB=25°，于是可得到∠BAD=90°﹣∠D=65°，然后利用∠DAC=∠BAD﹣∠BAC进行计算即可．解答：解：∵BA=BC，∴∠BAC=∠ACB=25°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，而∠D=∠ACB=25°，∴∠BAD=90°﹣∠D=65°，∴∠DAC=∠BAD﹣∠BAC=65°﹣25°=40°．故选C．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．（4分）（2021•石景山区一模）转盘上有六个全等的区域，颜色散布如图，假设指针固定不动，转动转盘，当转A．B．C．D．考点：几何概率．分析：首先确定红色区域在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．解答：解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，在这6种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有2种可能结果，所以指针指到红色的概率是=．故选：B．点评：本题考查学生对简单几何概型的掌握情况，体现了数学学科的基础性．概率=所求情况数与总情况数之比．8．（4分）（2021•石景山区一模）如图，边长为1的正方形ABCD中有两个动点P，Q，点P从点B动身沿BD作匀速运动，抵达点D后停止；同时点Q从点B动身，沿折线BC→CD作匀速运动，P，Q两个点的速度都为每秒1个单位，若是其中一点停止运动，那么另一点也停止运动．设P，Q两点的运动时刻为x秒，两点之间的距离为y，以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①当x≤1时，作PM⊥BC，构造RT△PMQ，利用勾股定理求出y与x的函数关系．②当1＜x≤时，作PM⊥DC，构造RT△PMQ，利用勾股定理求出y与x的函数关系．然后与图象相对照选出A是正确的．解答：解：①如图1，当x≤1时，作PM⊥BC交BC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵BP=BQ=x，∴PM=BM=x，MQ=（1﹣）x，∴PQ===x，∴y=x是正比例函数图象．②如图2，当1＜x≤时，作PM⊥DC交DC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=45°，∵BP=x，QC=x﹣1，∴PM=（﹣x）=1﹣x，MQ=1﹣（﹣x）﹣（x﹣1）=（﹣1）x+1∴PQ===，∴y=，是类抛物线的一部分，故选：A．点评：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是求出y与x的函数关系式．二、填空题（此题共16分，每题4分）9．（4分）（2021•石景山区一模）分解因式：ax3﹣16ax=ax（x+4）•（x﹣4）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式ax，再利用平方差公式进行二次分解即可．解答：解：原式=ax（x2﹣16）=ax（x+4）•（x﹣4），故答案为：ax（x+4）•（x﹣4）．点评：此题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．（4分）（2021•石景山区一模）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AB=3，假设BO：BD=1：3，那么CD 等于6．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定证△ABO∞△CDO，推出==，代入求出即可．解答：解：∵BO：BD=1：3，∴=，∵AB∥CD，∴△ABO∞△CDO，∴==，∵AB=3，∴CD=6，故答案为：6．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．11．（4分）（2021•石景山区一模）如图，小明同窗在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两头B点、C点的仰角别离为60°和30°，那么条幅的高度BC为4米（结果能够保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：在Rt△ACD中，利用三角函数关系求出AC，再根据已知得出∠ABC=∠BAC=30°，从而求出BC的长度．解答：解：在Rt△ACD中，∵∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=60°﹣30°=30°，∴AD=AC•cos30°，∴AC===4．∵∠BAC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠BAC=30°，∴BC=AC=4．答：条幅的高度BC为4米．故答案为4．点评：本题考查了解直角三角形的应用，利用已知角度，发现隐含条件，这是本部分重点题型．12．（4分）（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=x，作A1（1，0）关于y=x的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位取得点A2；再作A2关于y=x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位取得点A3；…．请继续操作并探讨：点A3的坐标是（3，2），点B2021的坐标是（2021，2021）．考点：坐标与图形变化-对称；规律型：点的坐标；坐标与图形变化-平移．分析：根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．解答：解：如图所示：点A3的坐标是：（3，2），∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3），∴B点横坐标比纵坐标小1，∴点B2014的坐标是：（2013，2014）．故答案为：（3，2），（2013，2014）．点评：此题主要考查了点的变化规律，得出B点横纵坐标变化规律是解题关键．三、解答题（此题共30分，每题5分）13．（5分）（2021•石景山区一模）﹣|﹣5|+3tan30°﹣．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=2﹣5+3×﹣1=3﹣6．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（5分）（2021•石景山区一模）解方程：+1=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：方程两边同乘以（x﹣5），得x﹣3+（x﹣5）=﹣3，去括号得：x﹣3+x﹣5=3，解得：x=，经检验：x=是原分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．（5分）（2021•石景山区一模）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE 上．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）∠BDA=∠ADC．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据等式的性质，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS，可得两个三角形全等；（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得∠ADC=∠AEC，根据等量代换，可得证明结论．解答：证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC．∵AD=AE，∴∠ADC=∠AEC．∴∠BDA=∠ADC．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论．16．（5分）（2021•石景山区一模）已知：=，求代数式的值．考点：分式的化简求值．分析：将=变形为2x=3y，代入代数式即可求值．解答：解：由已知2x=3y，∴原式==．点评：本题考查了分式的化简求值，将含x的式子转化为含y的式子是解题的关键．17．（5分）（2021•石景山区一模）如图，一次函数y1=kx+2的图象与x轴交于点B（﹣2，0），与函数y2=（x＞0）的图象交于点A（1，a）．（1）求k和m的值；（2）将函数y2=（P）的图象沿x轴向下平移3个单位后交x轴于点C．假设点D是平移后函数图象上一点，且△BCD的面积是3，直接写出点D的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把B坐标代入一次函数解析式中求出k值，确定出反比例解析式，将A标代入反比例解析式求出a 值，确定出A标，将A坐标代入反比例析式求出m的值；（2）根据函数图象的变化规律可得变换后得到的图象对应的函数解析式为y=﹣3，设△BCD的底BC为n，高为h，则C点的坐标为（n﹣2，0），将C的坐标代入可得n的值3，根据△BCD的面积是3可求得h=2，从而求得D的坐标．解答：解：（1）根据题意，将点B（﹣2，0）代入y1=kx+2，∴0=﹣2k+2．∴k=1．∴A（1，3）．将其代入，可得：m=3．（2）点D的坐标是（）或（3，﹣2）．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法与数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．（10分）（2021•石景山区一模）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价钱别离为1000元/台、2000元/台．（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）假设要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？考点：一元一次不等式的应用．分析：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（x﹣50）台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可；（2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式x≤50﹣x与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可．解答：解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（x﹣50）台，由题意，得1000x+2000（50﹣x）≤77000解得：x≥23．∴该公司至少购进甲型显示器23台．（2）依题意可列不等式：x≤50﹣x，解得：x≤25．∴23≤x≤25．∵x为整数，∴x=23，24，25．∴购买方案有：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台．点评：本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键．四、解答题（此题共20分，每题5分）19．（5分）（2021•石景山区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=2，∠A=∠C=60°，DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长．考点：解直角三角形．分析：过点D作DE⊥BC于点E．先解直角△ABD，得出，再解等腰直角三角形DBE，得出，再解直角△CDE，得出，则根据BC=BE+CE即可求解．解答：解：过点D作DE⊥BC于点E．∵DB⊥AB，AB=2，∠A=60°，∴．∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴．∵∠C=∠A=60°，∠DEC=90°，∴，∴．点评：本题考查了解直角三角形，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（5分）（2021•石景山区一模）为响应推动中小学生素养教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同窗们的选课情形，某班数学爱好小组从全校三个年级中各调查一个班级，依照有关数据，绘制如下统计图．（1）请依照以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；（2）假设初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？（3）假设该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：数形结合．分析：（1）初二（5）班选篮球的有6人，用6除以20%得到全班人数为30，然后用30减去其他四类选修的人数得到选修管乐的人数为6，再用6除以30即可得到管乐所占的百分比；（2）用180乘以选修音乐史所占的百分比即可估计初一年级中选修音乐史的人数；（3）用540乘以三个班中选修篮球课所占的百分比．解答：解：（1）如图；（2）180×=48（人），所以初一年级有180人，估算初一年级中有48人选修音乐史；（3）540×=135（人），所以估算全校有135修篮球课．点评：本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．也考查了用样本估计总体和扇形统计图．21．（2021•石景山区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，连结CO并延长交⊙O的切线AP于点P．（1）求证：∠APC=∠BCP；（2）假设sin∠APC=，BC=4，求AP的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连结AO并延长交BC于D、于E，利用切线的性质和垂径定理即可证明AP∥BC，进而可证明：∠APC=∠BCP；（2）设OA=3k，OP=5k，则OC=OA=3k，因为BC∥AP，所以△PAO∽△CDO，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AP的长．解答：（1）证明：连结AO并延长交BC于D、于E，∵AP切⊙O于点A，∴AP⊥AE，∵AB=AC，∴，∴AE⊥BC，∴AP∥BC，∴∠APC=∠BCP，（2）解：∵AE⊥BC，∴，∵，∴设OA=3k，OP=5k，则OC=OA=3k，∵BC∥AP，∴△PAO∽△CDO，∴，∴，∴．点评：本题利用了垂径定理的推论、切线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数，题目的难度中等，是常见中考题型．22．（5分）（2021•石景山区一模）实验操作（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的极点的横、纵坐标都是整数，假设将△ABC以点P（1，﹣1）为旋转中心，按顺时针方向旋转90°取得△DEF，请在座标系中画出点P及△DEF；（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60°）中有一个等边△ABC，它的极点A，B，C都落在格点上，假设将△ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60°取得△A′B′C′，请在菱形网格图中画出△A′B′C′．其中，点A旋转到点A′所通过的线路长为π．考点：作图-旋转变换．分析：（1）先做出P点，然后找出点A、B、C绕点P顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点A、B、C绕点P顺时针旋转60°的位置，顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，然后根据弧长公式求出点A旋转到点A′所经过的路线长．解答：解：（1）（2）所作图形如下：；点A的运动路线==π．故答案为：π．点评：本题主要考查了利用旋转变换作图以及勾股定理的应用，根据网格结构找出对应点的位置是解题的关键．五、解答题（此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．（7分）（2021•石景山区一模）已知关于x的方程mx2+2（m﹣1）x+m﹣1=0有两个实数根，且m为非负整数．（1）求m的值；（2）将抛物线C1：y=mx2+2（m﹣1）x+m﹣1向右平移a个单位，再向上平移b个单位取得抛物线C2，假设抛物线C2过点A（2，b）和点B（4，2b+1），求抛物线C2的表达式；（3）将抛物线C2绕点（n+1，n）旋转180°取得抛物线C3，假设抛物线C3与直线y=x+1有两个交点且交点在其对称轴双侧，求n的取值范围．考点：二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．分析：（1）直接利用根的判别式求出m的取值范围，进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出平移后解析式，进而将A，B点代入求出即可；（3）将抛物线C2：y=（x﹣2）2+3绕点（n+1，n）旋转180°后得到的抛物线C3顶点为（2n，2n﹣3），进而将横坐标代入直线解析式求出n的取值范围即可．解答：解：（1）∵方程mx2+2（m﹣1）x+m﹣1=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，则有4（m﹣1）2﹣4m（m﹣1）≥0且m≠0∴m≤1且m≠0又∵m为非负整数，∴m=1．（2）抛物线C1：y=x2平移后，得到抛物线C2：y=（x﹣a）2+b，∵抛物线C2过点A（2，b），b=（2﹣a）2+b，可得a=2，同理：2b+1=（4﹣a）2+b，可得b=3，∴C2：y=（x﹣2）2+3（或y=x2﹣4x+7）．（3）将抛物线C2：y=（x﹣2）2+3绕点（n+1，n）旋转180°后得到的抛物线C3顶点为（2n，2n﹣3），把x=2n代入直线y=x+1得，，由题意得，2n﹣3＞n+1，即：n＞4．点评：此题主要考查了二次函数几何变换以及二次函数旋转和根的判别式等知识，得出旋转后顶点坐标是解题关键．24．（8分）（2021•石景山区一模）在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．（1）假设FG=8，那么∠CFG=90°；（2）当以F，G，C为极点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探讨：当GB为何值时，以F，H，E，C为极点的四边形是平行四边形．考点：四边形综合题．分析：（1）由矩形的性质得AD∥BC，∠D=90°，所以∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，进而求得∠FGC=∠FCG，得到FC的长，再利用三角函数求得∠DFC=45°，即可得∠CFG=90°；（2）先画出图形，由矩形与等边三角形的性质得到∠DFC=60°，利用三角函数求得FC的长，即为GC的长，再求BG即可；（3）过点F作FK⊥BC于点K，有矩形的性质推出∠KCF=∠KGF，FG=FC，所以GK=CK．因为四边形FHEC是平行四边形，所以FG=EG．可得△FGK≌△EGB．所以BG=GK=KC=．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D=90°．∴∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，∵∠AFE=∠DFC，∴∠FGC=∠FCG；∴FC=FG=∴在Rt△FCD中，sin∠DFC=，∴∠DFC=45°，∴∠CFG=180°﹣∠AFE﹣∠DFC=180°﹣45°﹣45°=90°；故答案为：90°；（2）图形如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°．∵△FGC是等边三角形，∴∠GFC=60°．∵∠DFC=∠AFE，∴∠DFC=60°．∵DC=8，∴．∵△FGC是等边三角形，∴GC=FC=．∵BC=AD=12，∴GB=12﹣；（3）过点F作FK⊥BC于点K∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC．∴∠DFC=∠KCF，∠AFG=∠KGF．∵∠DFC=∠AFG，∴∠KCF=∠KGF．∴FG=FC．∴GK=CK．∵四边形FHEC是平行四边形，∴FG=EG．∴在△FGK和△EGB中∴△FGK≌△EGB∴BG=GK=KC=．点评：本题主要考查了矩形与平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰与等边三角形的性质、锐角的三角函数值等，综合性较强．有一定难度．25．（7分）（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，关于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下概念：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，那么“矩面积”S=ah．例如：三点坐标别离为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），那么“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．①假设A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．①假设E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．考点：反比例函数综合题．分析：（1）①首先由题意：a=4，然后分别从①当t＞2时，h=t﹣1，当t＜1时，h=2﹣t，去分析求解即可求得答案；②首先根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值．（2）①由E，F，M三点的“矩面积”的最小值为8，可得a=4，h=2，即可得．继而求得m的取值范围；②分别从当n≤4时，a=4，h=，当4＜n＜8时，a=n，h=，当n≥8时，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）由题意：a=4．①当t＞2时，h=t﹣1，则4（t﹣1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；当t＜1时，h=2﹣t，则4（2﹣t）=12，可得t=﹣1，故点P 的坐标为（0，﹣1）；②∵根据题意得：h的最小值为：1，∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；（2）①∵E，F，M三点的“矩面积”的最小值为8，∴a=4，h=2，∴．∴0≤m≤．∵m＞0，∴0＜m≤；②∵当n≤4时，a=4，h=，此时S=ah=，∴当n=4时，取最小值，S=16；当4＜n＜8时，a=n，h=，此时S=ah=16；当n≥8时，a=n，h=2，此时S=ah=2n，∴当n=8时，取最小值，S=16；∴E，F，N三点的“矩面积”的最小值为16，此时n的取值范围为4≤n≤8．点评：此题考查了反比例函数的性质以及不等式组的解法．此题属于新定义题，难度较大，解题的关键是理解a 与h的含义，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．。
2014北京初三石景山二模数学
北京市石景山区2014年初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．5-的倒数是（ ）．A ．5B ．5C ．5-D ．55-2．某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为（ ）． A ．28017×102B ．2.8017×106C ．28.017×105D ．0.28017×1073．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（ ）． A.14 B. 12 C. 34D. 1 4．关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）． A ．0B ．8C．4D ．0或85．如图，已知△ABC 中，∠B =50°，若沿图中虚线剪去 ∠B ，则∠1+∠2 等于（ ）．A. 130°B. 230°C. 270°D. 310°6．如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约是26m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）m ． A ．6B ．24C ．33D ．237．下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（ ）． A ．180， 180， 178B ．180， 178， 178C ．180， 178， 176.8D ．178， 180， 176.88．在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的位置如图1所示，点A 的坐标为)0,2(-，点B 的坐标为)2,0(,点D 的坐标为(-3,1)．矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，设运动时间为x （0≤x ≤y 与x 的函数关系的图象大致是( )．第6题图第5题图2150°CBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：=-224ay ax .10．已知二次函数82++=bx x y 的图象的顶点在y 轴右侧，则b 的一个值可为___________（只需写出符合条件的一个b 的值）.11．已知(1)A m -，与)3,2(-m B 是反比例函数xky =图象上的两个点．则m 的值= . 12．如图，已知直线l ：y =x ，过点A 1（1，0） 作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，以A 1 B 1为 边作正方形A 1 B 1 C 1 A 2，过点A 2作x 轴的 垂线交直线l 于点B 2，以A 2 B 2为边作正方 形A 2 B 2 C 2 A 3，…；则点A 5的坐标为 ， 点C n 的坐标为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13)112sin 60()36-︒+-A B C DC 3C 2C 1y=xB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1O x y第12题图EDC BA14．解不等式组211841x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩．15．已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE =CD ，∠ACD =∠BCE , 求证：AE =BD ．16．已知当1=x 时，22ax bx +的值为2-，求当2x =时，2ax bx + 的值．17．已知关于x 的方程0)12()2(2=-++-k x k x ．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直 角三角形的周长．18．北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价.小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，BA =2．以OB 为边，向外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．B图1图220．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京市年生产总值统计图的一部分．请你根据以上信息解答下列问题：（1）根据北京市2009--2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是_________（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低．．于．2009年的2倍，至少要到_________年．（填写年份） （3）在（1）的条件下，2009--2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元?21．如图，在△ABC 中，︒=∠90BCA ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点．（1）求证：直线PQ 与⊙O 相切；（2）连结PO 并延长交⊙O 于点E 、 交AC 的延长ABQC北京市2009-2013年生产总值 统计图北京市2009-2013年 生产总值年增长率统计图线于点F ，连结PC , 若OC =5，21tan =∠OPC , 求EF 的长.22．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M 是边长为a 的正方形ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积分割成面积相等的四个部分.小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目.如图2，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将以点O 为顶点的直角绕点O 任意旋转, 且直角两边与BA ，CB 相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值.可以类比此问题解决.(1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为________; 参考小明同学的想法，解答问题: (2)请你在图3中，解决原问题OCDA B 图2BCDM图1 M图3PA图4（3）如图4.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且b >a ，那么在边BC 上存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0； （2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ． （1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值（用含α、m 的式子ADDADA表示）．25．在平面直角坐标系xoy中，射线l:()30y x x=≥.点A是第一象限内．．．．．一定点，43OA=，射线OA与射线l的夹角为30°.射线l上有一动点P从点O出发，以每秒23个单位长度的速度沿射线l 匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒.（1）用含t的代数式表示PQ的长.（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值.（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”.若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值.备用图1 备用图2 备用图石景山区2014初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）9．(2)(2)a x y x y +-； 10． 0b <即可,答案不唯一； 11．2m =； 12．（16，0）；（12,2nn -）．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解： 原式1623233-+⨯+= ……………………………………………4分 534+= ………………………………………………………5分 14．解：21 1 84 1 x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩①②，解①得：2x ≥， ………………………………………2分 解②得：3x ≥． …………………………………………4分 则不等式组的解集是：3x ≥． …………………………………5分15．证明：∵点C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ， ………………………………………………………1分 ∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, …………………………………………2分 即∠ACE=∠BCD,在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩…………………………………3分∴△ACE ≌△BCD （SAS ）……………………………………………………4分 ∴AE=BD. ………………………………………………………5分 16．解：将1x =代人22ax bx +2-=中，得22-=+b a ……………………………………………2分 当2x =时，2ax bx +=42a b + ……………………………………… 3分2(2)a b =+ 4=- …………………………………………5分17. 解：（1）证明：∵)12(4)2(2--+=∆k k2(2)40k =-+>……………………………………… 2分∴方程恒有两个不相等的实数根. （2）解：根据题意得：0)12()2(1=-++-k k 解得：2=k则原方程为：0342=+-x x解得另一个根为3. ……………………………………… 3分① 当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长为：10， 该直角三角形的周长为4+10； …………………………… 4分 ② 当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形 的另一直角边为22，该直角三角形的周长为4+22 .…………… 5分18．解：设两家人有学生x 人，成人y 人 ……………………………………… 1分据题意：⎩⎨⎧=+=+420402012y x y x ……………………………………… 3分解之：⎩⎨⎧==93y x ……………………………………… 4分答：两家人的学生有3人，成人有9人. ……………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （1）证明：在R t △OAB 中， D 为OB 的中点∴DO =DA∴∠DAO =∠DOA =30°, ∠EOA =90° ∴∠AEO =60°又∵△OBC 为等边三角形 ∴∠BCO =∠AEO =60°∴BC ∥AE ……………….…………………………………………….1分 ∵∠BAO =∠COA =90° ∴OC ∥AB∴四边形ABCE 是平行四边形． ……….…………………………………2分 （2）解：在Rt △ABO 中∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，AB =2∴OA =AB ·tan60°=2.………………………………………..3分 在Rt △OAG 中，222OA OG AG +=，设OG =x ，由折叠可知：AG =GC =4x -，可得(()2224x x +=- …………………4分解得，12x = ∴OG =12……………………………………………….………………..5分 20．解:（1）163（数字1分，统计图1分） ……………………………………2分 （2）2015年 ………………………………………… 3分 （3）解：增长的生产总值的平均数：(195122)4-÷=18.25∴2009—2013这四年间，比上一年增长生产总值的平均18.25百亿元……4分 195+18.25=213.25预测2014年北京地区的生产总值213.25百亿元. …………………………5分 21．解：（1）证明：连结PO 、PC . 是BC ⊙O 的直径， ︒=∠∴90BPC . 则︒=∠90APC .AQ CQ = 又， .21CQ AC PQ ==∴.PCQ CPQ ∠=∠∴. OC OP = ,OCP OPC ∠=∠∴,︒=∠=∠+∠=∠+∠∴90BCA PCQ OCP CPQ OPC , ∴直线PQ 与⊙O 相切 …………………………………………………2分（2）解：连结.CEEP 是直径，.90︒=∠∴ECP .90︒=∠+∠OCP ECO 即 ,90︒=∠+∠ECF ECO 又ABQ CABQC.OPCOCPECF∠=∠=∠∴FF∠=∠且△EFC∽△.CFP.EF CFCF PF∴=1tan,2Rt ECP EPC∆∠=中，.21=∴CPCE1.2EF CFCF PF==则,2EFCF=∴EFCFPF42==∴EFPE3=∴.352=EF解得………………………………………………………………5分22．解：答案：21a………………………………………….1分………………………………………….3分时，PQ将四边形ABCD面积二等分.………………………………………….5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（1）证明：()()[]0231=+--mxx∴11=x，231+=mx……………………………………………1分∵011>=x∴无论m为何值时，方程总有一个根大于0；…………………………2分（2）解：∵若函数23)1(32+++-=mxmxy与x轴有且只有一个交点∴29(1)4(32)0m m∆=+-+=…………………………………………3分∴31-=m……………………………………………4分（3）解： 当31-=m 时，函数()22112-=+-=x x x y依题意，沿直线2=x 翻折后的解析式为:()96322+-=-=x x x y ，图象G 如图所示． 可得，()96322+-=-=x x x y 与x ，y 轴的交点分别为()0,3，()9,0．设直线PQ 的解析式为()0≠+=k b kx y ， 由()0,t P ，Q (0，2t )．∴直线PQ 的解析式为t x y 22+-=………5分①当线段PQ 与函数图象G 相切时， 96222+-=+-x x t x ()029416=--=∆t∴25=t②当线段PQ 经过点()9,0时，92=t∴29=t综上：当25=t 或29>t 时，线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点．……7分24. 解：（1）BF AF =; ……………1分 （2）解：猜想：BF AF 2=.证明：在DF 上截取BF DG =，连接AG （如图）. 由旋转得AB AD =， ADG ∠＝ABF ∠. ∴△ADG ≌△ABF .∴AF AG =，DAG ∠＝BAF ∠. ∴ GAF GAB BAF ∠=∠+∠ ∴60GAB DAG DAB =∠+∠=∠=︒. ∴△GAF 是等边三角形. 又∵BF DF 3=.∴BF BF DF DG DF GF AF 2=-=-==.…5分（3）BFAF 2sin21α-=m ． ……………7分 25. 解：（1）由射线l 解析式为()0y x =≥∴∠POQ =60°. …………………………1分 ∵P ，Q 运动速度相同 ∴OP OQ == ∴△OPQ 是等边三角形∴PQ = ……………………………2分GABC D E FHFE DCBAG（2）由题意：()6,23A ， ()3,3P t t ，()23,0Q t解法一：代数法()3,3Pt t ，()23,0Q t直线PQ 解析式为36y x t =-+ …………3分 由于 A ，P ，Q 三点共线，将()6,23A 代入得： 故 23366t =-⨯+ ∴433t =秒…………………………………4分 解法二：几何法 过点A 作AB ⊥x 轴于B 则23AB =在Rt △ABQ 中，∠ABQ =90°，∠AQB =60°， ∴23BQ == ……………………………3分 ∴OQ =OB +BQ =8 ∴43323t ==秒…………………………4分 (3)由抛物线的对称性知：抛物线经过P 、Q 、O 三点()3,3Pt t ，()23,0Q t ，()0,0O不妨设：抛物线M 的解析式为()23y ax x t =-将()3,3Pt t 代入可得1a t =-∴抛物线的解析式为：2123y x x t=-+ …………………………5分显然：△PQA 绕PQ 中点旋转180°后，三个对应顶点在抛物线上 ……………6分 设A 的对应点为A ’∴四边形PAQA ’是平行四边形 ∵()3,3Pt t ，()23,0Q t ，()6,23A∴)'336,323A t t --， ……………………………………………………7分将()'336,323A t t --代入抛物线2123y x x t=-+∴ 233t =或332t = ∴当经过233t =秒或332t =秒时，△PQA 绕PQ 中点旋转180°后，三个对应顶点在“M 抛物线”上. ……………………………………………………8分。
2024年北京石景山中考数学试题及答案(1)
2024年北京石景山中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）A ．34B ．12C ．13D ．146．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
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北京市石景山区2014年初三统一练习暨毕业考试
数 学 试 卷
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定
要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．
1．32的相反数是
A．23 B．23 C．32 D．32
2．清明小长假本市150家景区接待游客约5245000人，数字5245000用科学记数 法表示
为
A．3105.245 B．6105.245 C．7100.5245 D．3105245
3．正五边形的每个内角等于
A．72° B．108° C．54° D．36°
4．为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果 如下表：
则这10户家庭的月用水量的平均数和众数分别是
A．7.8，9 B．7.8，3 C．4.5，9 D．4.5，3
5．将二次函数1822xxy化成khxay2)(的形式，结果为
A．1)2(22xy B． 32)4(22xy
C．9)2(22xy D． 33)4(22xy
6．如图，△ABC内接于⊙O，BA=BC，∠ACB=25°，AD为⊙O的直径，则∠DAC的度数是
A．25° B．30° C．40° D．50°
月用水量（吨）
5 6 7 8 9 10
户数
1 1 2 2 3 1
第6题图 第7题图
红 黄 蓝 红 蓝
蓝
O
D
C
B
A
2
y O x 1 2 y
O
x
1
2
y
O
x
1
2
y
O
x
1
2
A B
C D
7．转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘，
当转盘停止后，则指针对准红色区域的概率是
A．21 B．31 C．41 D．61
8．如图，边长为1的正方形ABCD中有两个动点P，Q,点P从点B出发沿BD作匀速运动，
到达点D后 停止；同时点Q从点B出发，沿折线BC→CD作匀 速运动，P，Q两个点的
速度都为每秒1个单位，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设P，Q 两点的运
动时间为x秒，两点之间的距离为y,下列图 象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
第Ⅱ卷（共88分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 分解因式：axax163=_______________．
10． 如图，CDAB//，AC与BD相交于点O，3AB，若3:1:BDBO，
则CD等于_____．
11．如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端B点、
C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为 米（结果可
以保留根号）．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy，作1A（1，0）关于
xy
的对称点1B，将点1B向右水平平移2个单位得到点2A；再作2A关于
xy
的对称点2B，将点2B向右水平平移2个单位得到点3A；…．请
第8题图
Q
P
C
D
A
B
A
B
D
C
6米
第11题图
O
CD
BA
第10题图
3
x
y
A
BO
继续操作并探究：点3A的坐标是 ，点2014B的坐标是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．02014130tan3512）（．
14．解方程：xxx53153.
15．如图，在△ABC和△ADE中，ACAB，AEAD，DAEBAC，点C在DE上．
求证：（1）△ABD≌△ACE；
（2）ADCBDA．
16．已知：23yx，求代数式yxyx3294的值.
17．如图，一次函数21kxy的图象与x轴交于点B（0 2-，），与函数xmy2(0x)的图
象交于点A（a 1，）．
（1）求k和m的值；
（2）将函数xmy2（0x）的图象沿y轴向下平移3个单位后
交x轴于点C．若点D是平移后函数图象上一点，且△BCD的面
积是3，直接写出点D的坐标．
E
C
B
A
D
4
C
B
A
D
18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超
过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台.
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，2AB,60CA,DBAB于点B， 45DBC，求
BC
的长.
20．为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：
音乐史、管乐、篮球、健美操、油画.为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全
校三个年级中各调查一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图.
三个班级参加选修课的 初二(5)班参加各类选修课的
人数统计图 人数分布统计图
人数
音乐史 管乐 篮球 健美操 油画 课程
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，ACAB，连结CO并延长交⊙O的切线AP于点P．
（1）求证：BCPAPC；
（2）若53sinAPC，4BC，求AP的长．
22．实验操作
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△
ABC
以点1,1P为旋转中心，按顺时针方向旋转90得到△DEF，请在坐标系中画出点
P
及△DEF；
（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60）中有一个等
边△ABC，它的顶点C，，BA都落在格点上，若将△ABC以点P为旋转中心，按
顺时针方向旋转60得到△CBA，请在菱形网格图中画出△CBA.其中，点A旋
转到点A所经过的路线长为 .
B
P
C
O
A
°
P
C
A
C
B
图1 图2
x
y
–5–4–3–2–112345
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
C
B
A
O
6
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23. 已知关于x的方程01)1(22mxmmx有两个实数根，且m为非负整数.
（1）求m的值；
（2）将抛物线1C：1)1(22mxmmxy向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到
抛物线2C，若抛物线2C过点），（bA2和点），（12 4bB，求抛物线2C的表达式；
（3）将抛物线2C绕点(nn,1)旋转180得到抛物线3C，若抛物线3C与直线121xy有
两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围．
24．在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作
∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．
（1） 若82FG，则_____CFG；
（2） 当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；
（3）过点E作EH//CF交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F，H，E，C为
顶点的四边形是平行四边形．
DA
BC
备用图
GEDABC
F
7
25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平
底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面
积”Sah.例如：三点坐标分别为)2,1(A，)1,3(B，)2,2(C，则“水平底”5a，“铅垂
高”4h，“矩面积”20Sah．
（1）已知点)2,1(A，)1,3(B，),0(tP．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点)0,4(E，)2,0(F，)4,(mmM，)16,(nnN，其中0m，0n.
①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．