2014年上海市长宁区初三数学一模卷及答案修改版

初三数学2考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列说法中，结论错误的是（ ） A.直径相等的两个圆是等圆； B.长度相等的两条弧是等弧； C.圆中最长的弦是直径；D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧.2.已知非零向量,，，下列条件中，不能．．判定//的是（ ）； B. b a -=； C. //,//； D. 4,2==. 3.抛物线()312++-=x y 的顶点坐标是（ ）A.（-1，-3）；B. （1，-3）；C.（-1，3）；D. （1，3）.4.抛物线142++=x x y 可以通过平移得到2x y =，则下列平移过程正确的是（ ） A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位； B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位； C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位； D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位.5.在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，下列各组边的比不能．．表示sin B 的（ ） A. ABAC ； B. ACDC ； C. BC DC ； D. ACAD .6.如图，P 是平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M 、N . 则线段BM 、DN 的大小关系是( )． A.BM ＞DN ； B. BM ＜DN ； C. BM=DN ； D. 无法确定.DCBA第5题图第6题图二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知两个相似三角形的面积比是4:1，则这两个三角形的周长比是 ▲ .8.如图，直线a//b//c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，已知AC =4，CE =6，BD =3，则BF 等于 ▲ .9.将二次函数x x y 422-=配方成()k m x a y ++=2的形式，配方后的解析式为 ▲ .10.如图，王大伯屋后有一块长12米，宽8米的矩形空地ABCD ，他在以较长边BC 为直径的半圆形内种菜，他家养的羊平时拴在A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，栓羊的绳长应小于 ▲ .11.已知抛物线()242-m m x x m y ++=经过坐标原点，则实数m 的值是 ▲ . 12.已知抛物线c bx x y ++=22经过点A （0，3）、B （4，3），则此抛物线的对称轴是 ▲ . 13.已知⊙A 的半径为5，圆心A （3,4），坐标原点O 与⊙A 的位置关系是 ▲ 14.印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x ，12月印书数量y 万册，写出y 关于x 的函数解析式 ▲ . 15.在Rt △ABC 中，∠C =90°，中线AF 和中线BE 交于点G ，若AB =3，则CG = ▲ . 16.某一山坡，坡长200米，山坡的高度100米，则此山坡的坡度是 ▲ .17.已知点A （0，y 1）、B （1，y 2）、C （3，y 3）在抛物线122+-=ax x a y （a ＜0）上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ▲ .（用“＜”联结）18.如图，△ABC 是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积是 ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算:()130cot 60cos 45tan 2013-︒+︒-︒-第18题图FEDCBA第10题第8题图n mFD B ECA cb a20．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ,AD =2，BC =3,EF 是梯形的中位线，EF 与BD 交于点M .设a AD =，试用表示向量BC 和FM .21．（本题满分10分）已知⊙O 的半径为12 cm ，弦AB =212cm. （1）求圆心O 到弦AB 的距离．（2）若弦AB 恰好是△OCD 的中位线，以CD 中点E 为圆心，R 为半径作⊙E ，当⊙O 和⊙E 相切时，求R 的值。

22．（本题满分10分）为了开发利用海洋资源，需要测量某岛屿两端A 、B 的距离.如图，勘测飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得点A 的俯角为60°，然后沿着平行于AB 的方向飞行了500米至D 处，在D 处测得点B 的俯角为45°.求岛屿两端A 、B 的距离.（结果精确到0.1米）说明：①A 、B 、C 、D 在与海平面垂直的同一平面上；②参考数据：414.12732.13≈≈，.MFE DCBA 第20题图D第21题图BA第22题图23．（本题满分12分）如图，△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上一点，)0,(>=n m n m AF BF ，D 是CF 中点，联结AD 并延长交BC 于E . （1）求ECBE 的值；（2）若BE =2EC ，求证：CF ⊥AB .24．（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在x 轴上（A 点在B 点左侧），点C 在y 轴正半轴上，若A （-1,0），OB =3OA ，且tan ∠CAO =2. （1）求点B 、C 的坐标；（2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设Q 是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Q 点的坐标.FDECBA第23题图25．（本题满分14分）在△ABC 中，∠BAC =90°，AB ＜AC ，M 是BC 边的中点，MN ⊥BC 交AC 于点N .动点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒3个长度单位运动，联结MP ，同时Q 从点N 出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ ⊥MP ，设运动时间为x 秒（x ＞0）. （1）求证：△BMP ∽△NMQ ；（2）若∠B =60°，AB =34，设△APQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式； （3）判断BP 、PQ 、CQ 之间的数量关系，并说明理由.第25题 图①NQPMCB A第25题 图②NMB AD2013学年第一学期初三数学质量检测试卷 参考答案一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、B ; 2、A ; 3、C ; 4、D ; 5、B ; 6、C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、2:1; 8、215; 9、()2122--=x y ； 10、4米；11、2；12、直线x =2；13、在圆上； 14、()215x y +=；15、1；16、1:3; 17、213y y y << 18、433- 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=()13211-2013-+- （6分）=1-3211-+- （2分）= 25-3 （2分）20．（本题满分10分）解：∵AD =2，BC =3, ∴ AD BC 23=∵AD//BC ∴a AD BC 2323== （4分）∵EF 是梯形的中位线 ∴EF//BC ∴FCDFBM DM =∵F 是DC 中点，即DF=FC ∴DM=MB ∴FM 是△DBC 的中位线∴4321-=-= （6分） 21．（本题满分10分）解:（1）过点O 作AB 的垂线交AB 于F ，交CD 于E . （1分）∵O 是圆心 且OF ⊥AB ∴AF =FB =AB 21（1分）∵AB =212 ∴AF =26Rt △ABC 中 OA =12，222OA OF AF =+ 2221226=+OF ）（∴OF =26 （2分）∴圆心O 到弦AB 的距离26 （1分） (2) ∵AB 是△OCD 的中位线 ∴AB//CD ,且21=CD AB ∴∠AFO=∠CEO∵OE ⊥AB 即∠AFO =90° ∴∠CEO =90°即OE ⊥CD ∵AB =212，OA=OB =12 ∴222OB OA AB += ∴∠AOB =90° ∴ODOBOC OA =∵OA=OB ∴OC=OD∴△OCD 是等腰直角三角形 ∵OE ⊥CD ∴E 是CD 中点∵AB//CD,且21=CD AB ∴21==CD AB OE OF ∵OF =26∴OE =212 （3分）外切 OE =212=OA +R =12+R R =212-12 （1分） 内切 OE =212=R-OA =R -12 R =212+12 （1分） 22．（本题满分10分）解：作AE ⊥CD 于E ，作BF ⊥CD 于F . （1分）据题意得 CD//AB,AE=BF =100米，CD =500米，∠ACD =60°，∠BDF =45°.Rt △CAE 中，cot ∠ACD =cot60°=AECECE =⨯33100≈57.73 Rt △BDF 中，tan ∠BDF =tan45°=DFBFDF=BF =100 （4分） EF=CD-CE+DF =500-57.73+100=542.27∵AE ⊥CD ∴∠AEC =90°同理∠BFD =90°∴∠BFD=∠AEC ∴AE//BF又∵EF//AB∴四边形ABFE 是平行四边形 ∴EF=AB∴AB =542.27≈542.3 （4分）∴岛屿两端A 、B 的距离约是542.3米. （1分） 23．（本题满分12分）（1）解：过点B 做CF 的平行线与AE 延长线交于点G. （1分）∵CF ∥BG ∴BG FD AB AF = ∵nm AFBF = ∴nm n ABAF += ∴nm n BGDF += （3分）∵D 是CF 中点 ∴DF=DC ∴nm n BGDC +=∵CF ∥BG ∴BEEC BGDC =∴nnm +=EC BE （3分） （2）∵BE =2EC ∴n nm +=2 则m=n （1分）∴1n==m AFBF 即BF=AF （2分）又∵AC=BC ∴CF ⊥AB （2分）24．（本题满分12分）解：（1）据题意OA =1，Rt △ACO 中，tan ∠CAO=OAOC=2 （1分）∴OC =2 ∴C （0,2） （1分）OB =3OA=3 ∴B （3,0） （1分）（2）设()0)3(1≠-+=a x x a y ）（ （1分） C （0,2）代入得2=-3a ∴32-a = （1分） ∴23432)3(1322++=-+=x x -x x -y ）（ （1分）（3）设Q （x,y ）∵234322++=x x -y ∴P （1，38） （1分）AB=OA+OB =4 3163842121=⨯⨯=⋅=∆p ABP y AB S∵△ABQ 与△ABP 的面积相等 ∴31621=⋅=∆y AB S ABQ ∴y=38± （2分）当y=38时 23432382++=x x - 解得121==x x∴Q （1，38） （1分）当y=38-时 -23432382++=x x - 解得22121±=，x∴Q )38221-±，（ （2分）25．（本题满分14分）（1）∵MN ⊥BC ∴∠NMB =90°=∠PMN+∠BMP∵MQ ⊥MP ∴∠PMQ =90°=∠PMN+∠NMQ ∴∠BMP=∠NMQ如图①和②∵∠BAC =90°∴∠B+∠C =90° ∵∠NMB =90°∴∠MNC+∠C =90°∴∠B=∠MNC在△BMP 和△NMQ 中∠BMP=∠NMQ 且∠B=∠MNC ∴△BMP ∽△NMQ ；（3分）如图③ ∠BMP =∠NMB +∠PMN =90°+∠PMN∠NMQ=∠PMQ +∠PMN =90°+∠PMN ∴∠BMP=∠NMQ 又∵∠B=∠MNC∴△BMP ∽△NMQ ；（1分）第25题 图①NQPMC B A（2）Rt △ABC 中 ∠B =60°AB =34tan ∠B =3=ABAC， ∴AC =12∠C =30°BC =2AB =38∵M 是BC 中点 ∴MC=BM =34∵MN ⊥BC ∴∠NMC =90°Rt △MNC 中 ∠C =90°-∠B =30° MN=4 ∴NC =2MN =8 设BP =x 3， BM =34 由（1）知△BMP ∽△NMQ ∴MNBMNQ BP = ∴NQ=x AQ=AN+NQ=（AC-CN ）+NQ =4+x （3分）如图① AP =x 334-，()3402338433421212≤≤-=+=⋅==∆x x )x (x -AQ AP S y APQ ）（ （2分）如图②③ AP =343-x()343823434321212>-=+=⋅==∆x x x -x AQ AP S y APQ ））（（ （2分）（3）延长PM 至D ，使得DM=PM.联结CD,QD易证△BPM ≌△MDC证出∠QCD=90°,QD=QP,CD=BP在Rt △CDQ 中 222C DQ CD Q =+ 即：222PQ CQ BP =+（3分）。