2018届高考数学二轮复习疯狂专练12统计理 Word版 含答案
2018届高考数学(文)二轮复习系列之疯狂专练1 集合与简易逻辑 Word版含解析
1．[2017·河南质检]已知集合2{|2730}A x x x =-+<，{|lg 1}B x x =∈<Z ，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】依题意，21{|2730}{|(21)(3)0}{|32}A x x x x x x x x =-+<=--<=<<，{|lg 1}B x x =∈<=Z {|010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x ∈<<=Z ，阴影部分表示集合A B ，故={1,2}A B ，选B ．2．[2017·唐山模拟]已知集合{}1,2A =，{|,,}B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意，得{}1,2A =，{}{}|,,2,3,4B x x a b a A b A ==+∈∈=，则集合B 中元素个数为3；故选C ．3．[2017·上饶中学]若全集{}1,2,3,4,5M ＝，{}2,4N ＝，则M N ð等于（ ） A ．∅ B ．{}1,3,5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】B【解析】∵{}1,2,3,4,5M ＝，{}2,4N ＝，∴{}1,3,5M N =ð，故选B ． 4．[2017·重庆一中]已知集合{|2}A x x =<，{|1}1xB x x =<-，R 为实数集，则集合()A B R ð等于（ ）一、选择题（5分/题）A ．RB ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．[1,2)【答案】D 【解析】由11x x <-，得101x x -<-，即101x <-，1x <，{|1}B x x ∴=<，{|1}B x x =R ≥ð，又{|2}A x x =<，{|12}[1,2)A B x x ∴⋂=<=R （）≤ð，故选D ． 5．[2017·大连模拟]已知集合2{|230}A x x x =--<，则A B 等于（ ） A ．{|13}x x <<B ．{|13}x x -<<C ．{|1003}x x x -<<<<或D ．{|1013}x x x -<<<<或【答案】D【解析】()1,3A =-，()(),01,B =-∞+∞，所以()()1,01,3A B =-，选D ．6．[2017·淮北一中]设,a b 都是非零向量，下列四个条件，（ ） A ．=a b B ．2=a b C ．∥a b 且D ．∥a b 且方向相同 【答案】Da 的条件是a 与b 同向即可，故选D ． 7．[2017·山东实验]下列叙述中正确的是（ ）A ．命题“若1a >，则21a >”的否命题为：“若1a >，则21a ≤”B ．命题“01x ∃>，使得200210x x -+-≥”的否定“1x ∀≤，都有2210x x -+-<”C ．“1x >-”是“11x<-”成立的必要不充分条件 D ．正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，所以2()sin(1)f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确 【答案】C【解析】A 选项，命题“若1a >，则21a >”的否定为：“若1a >，则21a ≤”，其否命题为：“若1a ≤，则21a ≤”；B 选项，命题“01x ∃>，使得200210x x -+-≥”的否定“>1x ∀，都有2210x x -+-<”；C 选项，“1x >-”是“11x<-”成立的必要不充分条件；D 选项，正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，所以2()sin(1)f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是小前提不正确．本题选择C 选项．8．[2017·长郡中学]设集合{}|02M x x =≤≤，{}|02N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【答案】B【解析】根据映射的概念，可知能表示为M 到N 的函数关系的只有②③，故选B ． 9．[2017·新乡一中]设集合{}1,0,1A =-，{}0B x x =∈>R ，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}1【答案】D 【解析】{}1AB =，故选D ．10．[2017·广州测验]已知集合2{|0}{0,1}x x ax +==，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由题知方程20x ax +=的解为0和1，代入可得1a =-，故本题答案选A ． 11．[2017·西藏名族附中]若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A或0x <，{}|1{|10}x x x x x >⊂><或，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A ．12．[2017·石家庄二中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故可设n S pn q n =+，即2n S pn qn =+，当1n =时，1a p q =+，当2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -=-=+----=-+，当1n =时也成立，故数列{}n a 为等差数列；若数列{}n a 为等差数列，故可设n a An B =+，则()222n A B An B S A A n B n +++==++，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故“数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列”是“数列{}n a 为等差数列”的充分必要条件，故选C ．13．[2017·南通模拟]已知集合{}|0U x x =>，{|2}A x x =≥，则U A =ð__________． 【答案】{|02}x x <<【解析】因为{}| 0U x x =>，{|2}A x x =≥，所以(){|02}0,2U A x x =<<=ð． 14．[2017·南昌三中]若命题“x ∃∈R ，使得()2110x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(,1)(3,)-∞-+∞【解析】∵x ∃∈R ，使得()2110x a x +-+<，∴()2110x a x +-+=有两个不等实根，∴2(1)40a ∆=-->，∴1a <-或3a >，故答案为：(,1)(3,)-∞-+∞．一、填空题（5分/题）15．[2017·上交附中]若集合{}23A x x =-<，集合30x B xx -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =__________．【答案】R【解析】由题意得{|15}A x x =-<<，{|0B x x =<或3}x >，所以AB =R ．16．[2017·菏泽一中]若命题“[]2,3x ∀∈，使20x a -≥”是真命题，则a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞【解析】由题意得2a x ≤在[]2,3上恒成立，而当[]2,3x ∈时，249x ≤≤， ∴4a ≤．故实数a 的取值范围是(],4-∞．。
2018届高考数学二轮复习疯狂专练13概率与计数原理理
概率与计数原理「弋一、选择题（5分/题）1. ［2017 •福建毕业］从装有5粒红球、5粒白球的袋中任意取出 3粒球，以下三组事件: ①“取出2粒红球和 1粒白球”与“取出 1粒红球和2粒白球”；②“取出3粒红球”与“至 少取出1粒白球” ③“至多取出2粒红球”与“取出 3粒白球”.其中组内的两个事件是 对立事件的为（ A.①② B.②③ C.② 【答案】C【解析】 从10粒球中任意取出3粒球，包含的事件有：“3 红”， “2 红 1 白”，“1 白”，“3白”，所以只有②中的两个事件为对立事件.本题选择 C 选项. 2. ［2017 •揭阳二模 ］甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为 甲赢棋的概率为 A 5 B. 2 C. 1 D. 16 3 1 '6 2则甲输棋的概率为（ ) 【答案】C 【解析】根据互斥事件概率计算公式，有甲输的概率为 1 -1 -1 2 3 1 =—6 3. [20171 A2 c 1 4A B. C.- D. 9 9 3 9 2的概率是（ A. •华师附中］两次抛掷一枚骰子，贝响上的点数之差的绝对值等于B V'K/X 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为 上的点数之差的绝对值为 2包含的基本事件有：1,3 , 3,1 , 2,4 , 4,2 , 3,5 , 5,3 , 【答案】 【解析】 4,6 , 6,4共8个，所以向上的点数之差的绝对值为4. ［2017 •育才中学］变量E 的分布列如下图所示， 其中 8 22的概率为P - ，故选B. 36 9a ,b ,c 成等差数列， 若E G 匸丄3£-10 1【答案】C【解析】由题意可知m 的可能取值有1, 2, 3, 4, 5, 6,又由厶二m 2-12》0，知m 可取314, 5, 6,所以 P == •选 C.6 27. [2017 •庄河中学]已知某次数学考试的成绩服从正态分布N （102,42 ）,贝V 114分以上的A. P[ac B. 59C.- 3D.11 27【答案】B ( )A. P l = p2【答案】 【解析】 6. [2017 X | 1 243/PP 1L i&P2P 3CD. B・ P 2 = p3P 1 = P 2 二 P 3由题设及数学期望的公式可得 P 1 P 2 P 3 = 1口 dp ? 3卩 3 =2pi ~ p 3二 Pi = p 3，则 E(X)=2的充要条件是 p i = p 3 .应选答案C. •超级全能生］设m 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程3x 2 mx 0有实数5r 211B.C.D.63 2 3)A.根的概率为（成绩所 占的百 分比为（ ）（附：P 」•_—： X - 0.6826 ,P_2；「：::X w Ji 论：.- =0.9544 , P （」_3匚:::XW “ &） =0.9974）A. 0.3%B. 0.23%C .1.3%D. 0.13%【答案】D【解析】T 数学考试的成绩服从正态分布N 102,42 ,•••」=102, - = 4 ,•••"-邇,J- 3 "14, •••变量在律-3二，「3二内取值的概率约为 0.9974，•成绩在 90,114内的考生所占百分比约为99.74% , •成绩在114分以上的考生所占的百分比为1 -99.74%亠2 = 013%，本题选择D 选项.& [2017 •南昌三模]甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲 发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到 2【答案】C【解析】所有基本事件有2,2,5， 2,5,2， 5,2,2， 2,3,4 ， 2,4,3， 3,2,4 ，3,4,2， 4,2,3， 4,3,2， 3,3,3，共10个，其中丙获得“手气王”的基本事件有422,2,5， 2,3,4 ， 3,2,4 ， 3,3,3 共 4 个，故所求概率为 P =；，故选 C9. [2017 •衡水中学]2017年8月1日是中国人民解放军建军 90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币•如图所示是一枚 8克圆形金质纪念币，直径22mm 面额100元•为了测算图中军旗部分的面积，现用 1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有 30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）1r 3c 23B.—C.—D.-310 5 4元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（ )A.A. 7C【答案】C【解析】由图象得矩形ABCD 的面积为S = 2n ,阴影部分的面积为兀S 二 n sin x- cosx dx - -cosx-sinx4,则由几何概型的概率公式, 得该点1 27t落在阴影区域内的概率是、p =11. [2017 •吉林联考]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案， 它形象化地表达了阴阳；故选C.轮转，相辅相成相反相成是万物生成变化根源的哲理, 式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中， 展现了一种相互转化，相对统一的形n厂3的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）【答案】A10.[2017 •鹤壁一中]如图，正弦曲线f x =sinx 和余弦曲线g x = cosx 在矩形 ABCD内交于点F ,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点， 则该点落在阴影区域内的概率是 （ 363 n2 363 n2726 n 2 ----- mmB. ------- m mC .----- mm 1055A.D.363 n 2 ----- mm 20【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是 302363 n 2S n 11 一 mm .故选 B.100 1012 C.B. D.2nA. 1B. 1C. 1D. 13618129【答案】BT 1 2 n【解析】设大圆的半径为R，则：R 6，则大圆面积为：S二n R2 =36 n,2 2 n62 n i小圆面积为：S2 = n 1 2=2n,则满足题意的概率值为：p .本题选择B36 n 18选项.12. [2017 •江西联考]记“点 M (x, y )满足 x 2 + y 2< a ( a > 0) ” 为事件 A ，记"M ( x, y )x _y 1>0满足<5x —2y —4=0”为事件B ，若P( B A ) = 1，则实数a 的最大值为()2x y 2>01 4 A.B.C. 1D. 1325【答案】A22【解析】要使得p( B A=1 ,则不等式x +y w a 所表示的区域在不等式组x - y 1》05x-2y -4<0所表示的平面区域内，又由圆x 2 y^a 的圆心为0,0，半径为.a ,2x y 2> 01 1 因为d 1 ::: d2 ”： d 3，所以aw —，所以实数a 的最大值为一，故选A . 22「I 二、填空题(5分/题)13. [2017 •如东中学]一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为 0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为 _____________ 【答案】0.4圆心0,0到直线x - y • 1 = 0的距离为-1 =a< —圆心0,0到直线5x-2y-4=0的距离为d 216 a < 29圆心0,0到直线2x y ^0的距离为d 30.2，目标未受损的概率为d 1【解析】因为目标被击毁，未受损，受损但未被完全击毁是互斥事件，所以目标受损但未完全击毁的概率为p = 1 - 0.2 - 0.4二0.4，故填：0.4 •14. [2017 •重庆一中]某种树苗成活的概率都为9,现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗10成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X，则X的方差为______________ .【答案】90{ 9、【解析】由题意可知，该分布列为二项分布X ~ B 11000,—，由方差公式可知该分1 10丿布的方差为：9 (9 )1000 汉—汉1 ―― 1=90 .10 1 10 丿 C \15. [2017 •洛阳联考]已知随机变量X~B(2, p ), Y~N(2,b2)，若P(X》1)=0.64,—| I ____ , ' _ iy ——___________ , ----------------- ,P(0 vY 瓷2) = p，则P(Y A4)= __________ .--------------------------【答案】0.1• _________________2【解析】•••随机变量服从X~B(2,p )，•冷P(X》1 ) = 1 —C2(1 — P)=0.64，解得：p =0.4 .又Y ~ N 2,二2, • P Y 4 二P Y ：： 0 =0.5 - P 0 Y 2 =0.1，故答案为：0.1.16. [2017 •丰城九中]已知P是厶ABC所在平面内一点,△ ABC内任取一点，则该点落在△ PBC内的概率是______ PB PC 4PU,现在【答案】 3【解析】如图，可得启一4PA=2P3nH-2PA，所以点P到BC的距离是点BC 222的距离，二 d PBC = —S A ABC =p=_ 333。
2018年高考数学二轮复习(通用版)稳取120分保分练(二)文 Word版 含答案
稳取120分保分练(二)一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x 2>2}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3] B ．(2,3) C ．(－2,3]D ．(－2,3)解析：选A A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，故A ∩B ＝(2,3]． 2．设i 为虚数单位，若z ＝a －i1＋i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C z ＝a －i 1＋i ＝ a －i 1－i 1＋i 1－i ＝a －12－a ＋12i ，∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.3．若θ是第二象限角且sin θ＝1213，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝( )A ．－177B ．－717C.177D.717解析：选B 由θ是第二象限角且sin θ＝1213知，cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，则tan θ＝－125.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝－717.4．设F 是抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线l 过点F 且与抛物线E 交于A ，B 两点，若F 是AB 的中点且|AB |＝8，则p 的值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x F ＝x 1＋x 22＝p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝8，即p ＝4.5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y －ax ＋3a ≥0，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则正数a ＝( )A.12 B.34 C ．1D ．2解析：选A 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y －ax ＋3a ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y 经过点A 时，取得最小值1，设A (1，m )，则有2×1＋m ＝1，解得m ＝－1，即A (1，－1)．将A (1，－1)代入y ＝a (x －3)，得a ＝12.6．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AC 的中点，点F 在线段AD 上并且AF ＝2DF ，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则EF ―→＝( )A.23a －16bB.23a －12bC.16a －13b D.16a －16b 解析：选D EF ―→＝AF ―→－AE ―→＝23AD ―→－12AC ―→＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→ －12(AB ―→＋BC ―→)＝16AB ―→－16BC ―→＝16a －16b ，故选D. 7．设max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，则关于函数f (x )＝max{sin x ＋cos x ，sin x －cosx }的结论中，正确结论的个数是( )①函数f (x )的周期T ＝2π； ②函数f (x )的值域为[－1， 2 ]； ③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )的图象与直线x ＝2y 有3个交点． A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图是函数f (x )与直线x ＝2y 在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确．8．程序框图如图所示．如果程序运行的结果S 的值比2 018小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入( )A ．K ≤10?B ．K ≥10?C ．K ≤9?D ．K ≥9?解析：选C K ＝12，S ＝1，不满足条件，执行循环体，S ＝1×12＝12，此时K ＝11；不满足条件，执行循环体，S ＝12×11＝132，此时K ＝10；不满足条件，执行循环体，S ＝132×10＝1 320，此时K ＝9；不满足条件，执行循环体，S ＝1 320×9>2 018，此时K ＝8，所以当K ＝9时，满足条件，K ＝8时不满足条件，所以判断条件应为“K ≤9？”．故选C.9．设实数a ＞b ＞0，c ＞0，则下列不等式一定正确的是( ) A ．0<ab<1 B ．ln a b>0 C ．c a＞c bD ．ac －bc ＜0解析：选B 由于a ＞b ＞0，a b >1，A 错误；ln a b>ln 1＝0，B 正确；当0＜c ＜1时，c a ＜c b，当c ＝1时，c a＝c b，当c ＞1时，c a＞c b，故c a＞c b不一定正确，C 错误；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac －bc ＞0，D 错误．10．下列方格纸中每个小正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是( )A ．3B ．6C ．2 5D ．5解析：选D 画出立体图(如图)．由图知，该几何体最长棱的棱长是AD ＝5.11．设P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上且在第一象限内的点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，PF 2⊥F 1F 2，x 轴上有一点A 且AP ⊥PF 1，E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M .若|PM |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率是( )A ．1＋ 2B ．2＋ 2C ．3＋ 2D ．4＋ 2解析：选A 由题意，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴kF 1P ＝b 22ac ， ∴直线PA 的方程为y －b 2a ＝－2acb 2(x －c )，令y ＝0，可得x A ＝b 4＋2a 2c 22a 2c ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4＋2a 2c 22a 2c ，0. ∵E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M ，|PM |＝2|MF 2|，∴M 是△PF 1A 的重心，且Mc ，b 23a，而x M ＝－c ＋c ＋x A3，∴x A ＝3c ＝b 4＋2a 2c 22a 2c，∴e 4－6e 2＋1＝0， ∵e ＞1，∴e ＝1＋2，故选A.12．设函数f (x )＝x e x ，g (x )＝x 2＋2x ，h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋2π3，若对任意的x ∈R ，都有h (x )－f (x )≤k [g (x )＋2]成立，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e ＋1B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，1e ＋3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2＋1e ，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋1e ，＋∞解析：选C 由题设h (x )－f (x )≤k [g (x )＋2]恒成立，等价于f (x )＋kg (x )≥h (x )－2k .①设函数H (x )＝f (x )＋kg (x )＝x e x ＋kx 2＋2kx ， 则H ′(x )＝(x ＋1)(e x＋2k )． (1)若k ＝0，此时H ′(x )＝e x(x ＋1)，当x ＜－1时，H ′(x )＜0，当x ＞－1时，H ′(x )＞0，故x ＜－1时，H (x )单调递减，x ＞－1时，H (x )单调递增，故H (x )≥H (－1)＝－1e；而当x ＝－1时，h (x )取得最大值2，并且－1e＜2，故①式不恒成立；(2)若k ＜0，注意到H (－2)＝－2e 2，h (－2)－2k ＝3－2k >3>－2e 2，故①式不恒成立；(3)若k ＞0，此时，H ′(x )＝(x ＋1)(e x＋2k )，当x ＜－1时，H ′(x )＜0，当x ＞－1时，H ′(x )＞0，故x ＜－1时，H (x )单调递减，x ＞－1时，H (x )单调递增，故H (x )≥H (－1)＝－1e－k ；而当x ＝－1时，h (x )取得最大值，且h (x )max ＝2，故若使①式恒成立，则－1e －k ≥2－2k ，解得k ≥2＋1e.二、填空题13．函数g (x )＝1log 3 2x－1 ＋2x －1的定义域为________． 解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 3 2x－1 ≠0，2x－1>0，2x －1≥0，解得x ≥12且x ≠1，故函数g (x )＝1log 3 2x－1＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 14．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴1＋a ·b ＝0，解得a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－12，∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案：2π315．已知四棱锥P ABCD 的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，AB ＝4，则球O 的表面积为________．解析：取AD 的中点E ，连接PE ，△PAD 中，PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PE ＝3，设底面ABCD 的中心为O ′，球心为O ，则O ′B ＝12BD ＝5，。
2018届高考数学二轮复习疯狂专练13概率与计数原理理20180108258
概率与计数原理一、选择题（5 分/题）1．[2017·福建毕业]从装有 5粒红球、5粒白球的袋中任意取出 3粒球，以下三组事件：①“取 出 2粒红球和 1粒白球”与“取出 1粒红球和 2粒白球”；②“取出 3粒红球”与“至少取出 1 粒白球”；③“至多取出 2粒红球”与“取出 3粒白球”．其中组内的两个事件是对立事件的为 （）A ．①②B ．②③C ．②D ．③【答案】C【解析】从 10粒球中任意取出 3粒球，包含的事件有：“3红”，“2红 1白”，“1红 2白”， “3白”，所以只有②中的两个事件为对立事件．本题选择 C 选项．1 12．[2017·揭阳二模]甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为 ，甲赢棋的概率为 ，则23 甲输棋的概率为（ ）5 2 1 A ．B ．C ．D ．63612【答案】C1 1 1【解析】根据互斥事件概率计算公式，有甲输的概率为1．2 3 63．[2017·华师附中]两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于 2的概率是 （ ）1 21 A ．B ．C ．D ．9934 9【答案】B【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为 n66 36 ，向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：1, 3，3,1，2, 4，4, 2，3, 5，5, 3，4, 6，6, 4共 8个，所以向上的点数之差的绝对值为 2的概率为8 2 ，故选 B ．P36 94． [2017·育 才 中 学 ]变 量 ξ 的 分 布 列 如 下 图 所 示 ， 其 中 a ， b ， c 成 等 差 数 列 ， 若1 ED，则的值是（）3－1 0 11Pa bc1 52 A ．B ．C ．D ．39311 27【答案】B1【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，，∴由变量 ξ 的分布列，知：E3a b c 12b a c 1，a c31b，11 11 11 1 5 解得( 1) (0 ) (1 ) a，1c，∴D222．632363332 95．[2017·武汉外国语]设离散型随机变量 X 的分布列如下图，则 E X 2 的充要条件是（）X 1 2 3Pp 1 p 2 p 3A ．B ．C ．pppp1223pp13D ． p pp123【答案】C【解析】由题设及数学期望的公式可得ppp 1123p 2p 3p2123p p，则 E X 2的充要1 3条件是 ．应选答案 C ．p p136．[2017·超级全能生]设m是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程3x2mx 10有实数根的概率为（）521A．B．C．D．6321 3【答案】C【解析】由题意可知m的可能取值有1，2，3，4，5，6，又由m212≥0，知m可取4，3 1P625，6，所以．选C．7．[2017·庄河中学]已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成N102,422绩所占的百分比为（）（附：PX≤0.6826，P 2X ≤20.9544，P(3X≤3)0.9974）A．0.3%B．0.23%C． 1.3%D．0.13%【答案】D【解析】∵数学考试的成绩服从正态分布N102,4，∴102，4，∴2，3114，∵变量在3，3内取值的概率约为0．9974，∴成390绩在90,114内的考生所占百分比约为99.74%，∴成绩在114分以上的考生所占的百分比为199．74%20．13%，本题选择D选项．8．[2017·南昌三模]甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）132A．B．C．D．310534【答案】C【解析】所有基本事件有2,2,5，2,5,2，5,2,2，2,3,4，2,4,3，3,2,4，3,4,2，4,2,3，4,3,2，3,3,3，共10个，其中丙获得“手气王”的基本事件有2,2,5，2,3,4，3,2,4，3,3,3共4个，故所求概率为42，故选C．P1059．[2017·衡水中学]2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A．363πmm210B．363πmm25C．726πmm253D ． 363π mm 220【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是30 π 112 363π mm 2 S．故选 B ．100 1010．[2017·鹤壁一中]如图，正弦曲线 f x sin x 和余弦曲线 gx cos x 在矩形 ABCD内交于点 F ，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 （）1 2 A ．πB ．1π1 2 2πC ．D ．1 2π【答案】C【 解 析 】 由 图 象 得 矩 形 ABCD 的 面 积 为 S 2π ， 阴 影 部 分 的 面 积 为ππSxx dx x xsin cos cossin12ππ 44，则由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率是 P12；故选C ．2π11．[2017·吉林联考]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮 转，相辅相成相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式 美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 被Oπy3sin x 的图象分割为两个对6称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 为（）4111A．B．C．D．36181219【答案】BT12π【解析】设大圆的半径为R，则：1π36πR6，则大圆面积为：S R2，π2262π1小圆面积为：S 2，则满足题意的概率值为：p．本题选择B选2π122π36π18项．12．[2017·江西联考]记“点M x,y满足x y≤a（a 0）”为事件A，记“M x,y22x y1≥0”为事件B，若P B A1，则实数a的最大值为（）5240x y≤满足2x y2≥0A．12B．45C．1D．13【答案】A【解析】要使得P B A1，则不等式x2y2≤a所表示的区域在不等式组x y1≥05x2y4≤02x y2≥0所表示的平面区域内，又由圆x y a 的圆心为0,0，半径为a，2211圆心0,0到直线x y 10的距离为d≥a a≤；122416圆心0,0到直线5x 2y 40的距离为d≥a a≤；22929圆心0,0到直线2x y 20的距离为24 d ≥a a≤；355因为d d d，所以1a≤，所以实数a的最大值为123212，故选A．二、填空题（5分/题）13．[2017·如东中学]一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为__________．【答案】0.45【解析】因为目标被击毁，未受损，受损但未被完全击毁是互斥事件，所以目标受损但未完全 击毁的概率为 p1 0.2 0.4 0.4 ，故填： 0.4 ．914．[2017·重庆一中]某种树苗成活的概率都为，现种植了 1000棵该树苗，且每棵树苗成10活与否相互无影响，记未成活的棵数记为 X ，则 X 的方差为__________． 【答案】90【解析】解：由题意可知，该分布列为二项分布，由方差公式可知该分布X B~1000,91099的方差为：．100019010 1015．[2017·洛阳联考]已知随机变量 X ~ B 2, p，，若P X ≥1 0.64，Y ~ N 2,2P (0 Y2) p，则 P Y4__________．【答案】 0.1【 解 析 】 ∵ 随 机 变 量 服 从， ∴X ~ B 2, pP X ≥11C 1p0.64 ， 解 得 ：0 2pY NP Y 4 P Y 0 0.5 P 0 Y 20.10.4．又 ~2,，∴，故答案为：20.1．16．[2017·丰城九中]已知 P 是△ABC 所在平面内一点， PB PC 4PA 0 ，现在△ABC内任取一点，则该点落在△PBC 内的概率是__________．【答案】2 3【解析】如图，可得PD4PA2PO PO2PA，所以点P到BC的距离是点A到BC222的距离的，△△．S S PPBC ABC3336。
2018年高考数学理二轮复习 专项精练：高考22题 124分
12＋4分项练8立体几何1．(2017届江西鹰潭一中月考)已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是()A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b与α的距离相等答案 C解析由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C.2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：(1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A．(1)与(2) B．(1)与(3)C．(2)与(4) D．(3)与(4)答案 B解析∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故(1)正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故(2)错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故(3)正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故(4)错误．故选B.3．(2017届福建省厦门外国语学校适应性考试)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是()答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正视图，如A选项，故选A.4．(2017届甘肃高台县一中检测)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6 5 B．30＋6 5C．56＋12 5 D．60＋12 5答案 B解析画出直观图如图所示，S △ABC ＋S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD＝12·25·6＋12·5·4＋12·5·4＋12·5·4＝30＋6 5. 5．(2017届安徽省蚌埠市质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503 D .533 答案 C解析 由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P —A 1D 1FE ，其体积V ＝13⎣⎡⎦⎤4×4－12(4×2＋2×2)×5＝503，故选C. 6．(2017届北京市海淀区二模)现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 答案 B解析 根据题意可得三个立体几何图形：由图一可得侧面ABD ，ADC 与底面垂直，由图二可得面ACE 垂直于底面，由图三可知无侧面与底面垂直，故选B.图一 图二 图三7．(2017届四川省宜宾市二诊)三棱锥A —BCD 内接于半径为2的球O ，BC 过球心O ，当三棱锥A —BCD 体积取得最大值时，三棱锥A —BCD 的表面积为( ) A ．6＋4 3 B ．8＋2 3 C ．4＋6 3 D ．8＋4 3 答案 D解析 由题意得，当底面△BCD 为等腰直角三角形，且AO ⊥底面BCD 时，三棱锥A —BCD 的体积最大，所以在等腰直角△BCD 中，BC ＝4，且BD ＝CD ＝22，所以△BCD 面积为S 1＝12×22×22＝4，△ABC 的面积为S 2＝12×4×2＝4，△ABD 和△ACD 是边长为22的等边三角形， 此时面积为S 3＝S 4＝34×(22)2＝23， 此时三棱锥的表面积为S ＝S 1＋S 2＋2S 3 ＝4＋4＋2×23＝8＋43，故选D.8．(2017届四川成都市一诊)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．136πB ．34πC ．25πD ．18π 答案 B解析 如图，画出满足条件的四棱锥，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B ，高为4，根据垂直关系可得AD ⊥AE ，DC ⊥EC ，DE 为直角三角形△ADE ，△DCE 和△BDE 的公共斜边，所以取DE 中点O ，O 为四棱锥外接球的球心，DE 2＝AB 2＋BE 2＋AD 2＝32＋42＋32＝34，DE ＝2R ＝34，那么四棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝34π，故选B.9．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个球面上，△ABC 所在截面圆的圆心O 在AB 上，SO ⊥平面ABC ，AC ＝3，BC ＝1，若三棱锥的体积是33，则球体的表面积是( ) A ．25πB.25π12C.125π48D.25π4 答案 D解析 由题意可知，△ABC 为直角三角形，其中AB 为斜边，如图所示，则球心位于直线SO 上，设球心为O ′， 由三棱锥的体积公式，得V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×1×SO ＝33，解得SO ＝2， 如图所示，则OO ′2＋OC 2＝O ′C 2＝O ′S 2， 设OO ′＝x ，据此可得x 2＋12＝(2－x )2， 解得x ＝34，球的半径为R ＝916＋1＝54， 所以球的表面积为S ＝4πR 2＝254π. 故选D.10.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，E 为AA 1的中点，点F 为BE 的中点，点H 在线段CA 1上，且A 1H ＝3HC ，则线段FH 的长为( ) A ．2 3 B ．4 C.13 D ．3答案 C解析 由题意知，AB ＝8，过点F 作FD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，FD ＝12AB ＝4，又A 1H HC ＝A 1D DA ＝3，所以DH ∥AC ，∠FDH ＝60°， DH ＝34AC ＝3，由余弦定理得FH ＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13，故选C.11．(2017届河北省石家庄市模考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3163V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈36031VB ．d ≈32V C ．d ≈3158VD ．d ≈32111V答案 D解析 根据球的体积公式V ＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫d 23，得d ＝36V π，设选项中的常数为a b ，则π＝6ba ，选项A 代入得π＝31×660＝3.1，选项B 代入得π＝62＝3，选项C 代入得π＝6×815＝3.2，选项D 代入得π＝11×621＝3.142 857，D 选项更接近π的真实值，故选D.12．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3 C.5π3D ．2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，则该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.13.(2017届广东省揭阳市调研)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计) 答案 41π解析 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1,2,6的长方体的外接球．设其半径为R ，R 2＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1222＝414，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR 2＝41π.14.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________． 答案2解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为 2.∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°.∵AB ＝AC ，∴AB ＝1， ∴侧面ABB 1A 1的面积为2×1＝ 2.15．(2017届云南省曲靖市第一中学月考)已知三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，若球O 的体积为256π3，则三棱锥O —ABC的体积是________． 答案54解析 三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，则AC ＝3，∴S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设球半径为R ，由球的体积V 1＝43πR 3＝256π3，解得R ＝4.设△ABC 外接圆的圆心为G ，∴外接圆的半径为GA ＝32sin 120°＝1，∴OG ＝R 2－GA 2＝42－12＝15， ∴三棱锥O —ABC 体积为 V 2＝13S △ABC ·OG ＝13·34·15＝54.16．(2017·河北省衡水中学二模)点M 是棱长为32的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点N 为B 1C 1上一点，2NB 1＝NC 1，DM ⊥BN ，则动点M 的轨迹的长度为________． 答案3305π 解析 由已知，要有DM ⊥BN ，如图1，只需考虑DM 在平面BCC 1B 1的射影CM 1与BN 垂直，由平面几何知识可知M 1为BB 1靠近B 点的三等分点，如图2所示，此时，动点M 的轨迹即为过CM 1与平面BCC 1B 1垂直的平面α与球O 面相交截得的圆，此时球心O 到此圆面的距离即为O 1到CM 1的距离O 1H .由于CM 1＝20＝25，BM 1＝2，BC ＝32，O 1C ＝12×3×(2)2＝3，所以sin∠BCM1＝110，cos∠BCM1＝310，图1图2所以sin∠HCO1＝sin(45°－∠BCM1)＝22⎝⎛⎭⎫310－110＝15，则O1H＝CO1sin∠HCO1＝35，所以截面圆的半径r＝R2－O1H2＝33 10，则所求轨迹的周长是L＝2πr＝63π10＝330π5.。
高考数学二轮复习 疯狂专练12 统计与统计案例(文)-人教版高三全册数学试题
疯狂专练12 统计与统计案例1．完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）①从30件产品中抽取3件进行检查；②某校高中三个年级共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样2．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策，随着人口增多，对住房要求也随着而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型机构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为13，二居室住户占16，如图2是有分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的一、选择题调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是（）A．样本容量为70B．样本中三居室住户共抽取了25户C．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D．样本中对三居室满意的有15户4．如图是某市2017年3月1日至3月16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量油量，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则关于该市这16日的空气质量，下列说法不正确的是（）A．出现过连续4天空气重度污染B．空气重度污染的频率为0.5C．相邻两天空气质量指数之差的最大值195D．空气质量指数的平均值小于2005．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．甲所得分数的极差为22B．乙所得分数的中位数为18C．两人所得分数的众数相等D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数6．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用1x ，2x 表示，方差分别用21s ，22s 表示，则（）A ．12x x >，2212s s > B ．12x x >，2212s s < C ．12x x <，2212s s < D ．12x x <，2212s s >7．已知一组正数1x ，2x ，3x ，，n x 的平均数为x ，方差为2S ，则121x +，221x +，321x +，，21n x +的平均数与方差分别为（）A ．21x +，221S +B ．1x +，24S C ．21x +，24SD ．1x +，22S8．对相关系数r ，下列说法正确的是（） A ．r 越大，线性相关程度越大 B ．r 越小，线性相关程度越大C ．r 越大，线性相关程度越小，r 越接近0，线性相关程度越大D ．1r ≤且r 越接近1，线性相关程度越大，r 越接近0，线性相关程度越小9．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下：根据上表可得回归方程，则实数9.49.1y x =+，a 的值为（） A ．37.3B ．38C ．39D ．39.510．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜欢阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用22⨯列联表，由计算可得 4.236K 2=，参考附表，可得正确的结论是（）A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”11．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程ˆˆ0.56yx a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（） A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg12．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分），根据成绩分数依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则以下说法正确的是（） ①0.031m =； ②800n =；③100以下的人数为60；④分数在区间[120,140)的人数占大半，A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④13．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为．14．右面的茎叶图记录了甲、乙组各五名在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +=．二、填空题15．某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值x 和识图能力的量化评价值y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得回归直线方程为ˆˆˆybx a =+中的ˆ0.8b =，则ˆa =． 16．x 与y 的数据关系为下表：为了对x ，y 两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型：甲：ˆ 6.517.5yx =+，乙：ˆ717y x =+，分别计算出甲模型的相关指数为210.845R =，乙模型的相关指数为220.82R =，则（填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更好．1．【答案】D【解析】①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样；②中，某校高中三个年纪共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，适合于分层抽样； ③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样． 故选D ． 2．【答案】C【解析】在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业人员中学历为博士的占一半以上， 故①正确；在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：在高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%，答 案 与解析一、选择题故②正确；在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故③错误．故选C．3．【答案】D【解析】如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为13，二居室住户占16，∴20060013=，二居室有16001006⨯=户，三居室有300户，由频率分布直方图和扇形统计图得：在A中，样本容量为60010%60n=⨯=，故A错误；在B中，样本中三居室住户共抽取了30010%30⨯=户，故B错误；在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有20040%80⨯=户，故C错误；在D中，样本中对三居室满意的有30010%50%15⨯⨯=户，故D正确，故选D．4．【答案】C【解析】依题意，根据图某某息，1215∼日这4天连续重度污染，故A正确；16天中有8天重度污染，故B正确；相邻两天空气质量指数之差的最大的为7日和8日，最大值为26083177195-=≠，故C错误；16个数据中大于200和小于200的各有8个，大于200的8个数据接近200，而小于200的8个数据与200相差较大，故平均值小于200，故D正确，故选C．5．【答案】D【解析】甲所得分数的极差为331122-=，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C正确，故选D．6．【答案】D【解析】由题意，计算11(778810)8 5x=⨯++++=；21(899910)9 5x=⨯++++=，22222211[(78)(78)(88)(88)(108)] 1.25s =⨯-+-+-+-+-=；22222221[(89)(99)(99)(99)(109)]0.45s =⨯-+-+-+-+-=，∴12x x <，2212s s >，故选D ．7．【答案】C【解析】根据题意，设数据121x +，221x +，321x +，，21n x +的平均数为x '，方差为2s '，则12(21)(21)(21)21n x x x x x '=++++++=+，则2222121[(2121)(2121)(2121)]n s x x x x x x n'=+--++--+++--2222121[(22)(22)(22)]4n x x x x x x S n=-+-++-=，故选C ． 8．【答案】D【解析】两个变量之间的相关系数，r 的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关， 故选D ． 9．【答案】C 【解析】2345 3.54x +++==，26495412944a ay ++++==，样本点的中点的坐标为129(3.5,)4a+，代入ˆ9.49.1yx =+， 得1299.4 3.59.14a+=⨯+，解得39a =， 故选C ． 10．【答案】A【解析】利用独立性检验的方法求得24.236 3.841K =>，对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”，故选A ． 11．【答案】B【解析】由表中数据可得，6366707274695y ++++==，∵(,)x y 一定在回归直线方程为ˆˆ0.56y x a =+上，故ˆ690.56170a =⨯+， 解得ˆ26.2a=-，故ˆ0.5626.2y x =-． 当172x =时，ˆ0.5617226.270.12y=⨯-=，故选B ． 12．【答案】B【解析】对于①，由频率分布直方图的性质得，10(0.0200.01620.0110.006)1m ++⨯++=， 解得0.031m =，所以①正确；对于②，由不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，所以②错误； 对于③，100分以下的频率分布为0.006100.06⨯=，所以100分以下的人数为10000.0660⨯=， 所以③正确；对于④，分数在[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半，所以④错误， 故选B ．13．【答案】0.45【解析】由频数统计表得：样本数据落在你区间[10,40)的频数为2349++=，∴样本数据落在区间[10,40)的频率为90.4520=， 故答案为0.45． 14．【答案】10【解析】根据茎叶图，知甲组数据的平均数为1(912102427)175x +++++=，∴3x =； 乙组数据的中位数为17，∴7y =， ∴10x y +=，故答案为10．二、填空题15．【答案】0.1- 【解析】∵4681074x +++==，35685.54y +++==，∴样本点的中心坐标为(7,5.5)，代入ˆˆ0.8yx a =+中，得ˆ5.50.87a =⨯+，即ˆ0.1a =-，故答案为0.1-． 16．【答案】甲【解析】由题意得，22120.8450.82R R =>=，所以甲模型拟合的效果更好．。
【备考2019】高考数学(理)二轮复习选择填空狂练十二统计与统计案例含答案
12 统计与统计案例1．[2018·长春外国语]为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”，某记者分别从某社区6070岁，4050岁，2030岁的三个年龄段中的160人，240人，x 人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查， 若在6070岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为（ ）A ．90B ．120C ．180D ．2002．[2018·南昌模拟]滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[]1,820的人做问卷A ，编号落入区间[]821,1520的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A ．23B ．24C ．25D ．263．[2018·四川一诊]某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[]40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）A ．得分在[)40,60之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[)60,80的概率为0.5C ．这100名参赛者得分的中位数为65D ．估计得分的众数为554．[2018·玉溪一中]甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2一、选择题5．已知数据1x ，2x ，3x ，，100x 是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上某人2018年8月份的收入101x (约100万元)，则相对于x ，y ，z ，这101个数据（ ）A ．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变C ．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变D ．平均数变大，中位数可能不变，方差变大6．[2018·南宁三中]对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为0.8155x y -=，则实数m 的值为（ ）A ．8B ．8.2C ．8.4D ．8.57．[2018·沁县中学]研究变量x ，y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 ④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．[2018·云南模拟]某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得()2277520450530015.96825750320455K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由210.828K ≥断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.0019．[2018·永春一中]总体由编号为01，02，，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08B ．07C ．02D ．0110．[2018·北京模拟]某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户， 根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ；平均数分别为1s ，2s ，则下面正确的是（ ） A ．12m m >，12s s > B ．12m m >，12s s < C ．12m m <，12s s <D ．12m m <，12s s >11．[2018·衡水中学]已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为 6.517.5y x =+，则表中m 的值为（ ） A ．45B ．50C ．55D ．6012．[2018·广东模拟]空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C ．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天13．[2018四川诊断]我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”14．[2018·湖师附中]在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：K 215．[2018·丹东模拟]已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元．二、填空题16．[2018·临川区一中]已知一组数据分别是x，10，2，5，2，4，2，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x的所有可能值为__________．1．【答案】D 【解析】由分层抽样得816030160240x=++，200x ∴=，故选D ． 2．【答案】B【解析】若采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，则需要分为100组，每组20人， 若第一组抽到的号码为9，则以后每组有抽取的号码分别为29，49，69，89，109，，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列， 此等差数列的通项公式为()92012011n a n n =+-=-．由题意可知，落在区间[]1521,2000的有152120112000n ≤-≤，n ∈Z ． 解得76.6100.5n ≤≤，n ∈Z ，所以77100n ≤≤，n ∈Z ， 编号落入区间[]1521,2000的有24人，故选B ． 3．【答案】C【解析】根据频率和为1，计算()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =， 得分在[)40,60的频率是0.40，估计得分在[)40,60的有1000.4040⨯=人，A 正确； 得分在[)60,80的频率为0.5，用频率估计概率，知这100名男生中随机抽取一人，得分在[)60,80的概率为12，B 正确．根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为5060552+=，∴估计众数为55，D 正确； 故选C ． 4．【答案】D【解析】根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同， 即()()118789909193888990919055x ⨯++++=⨯+++++，解得2x =， 所以平均数为90x =；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），所以甲成绩的方差为()()()()()22222218890899090909190929025s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦．故选D ．答案与解析一、选择题5．【答案】D【解析】因为数据1x ，2x ，3x ，，100x 是某市100个普通职工2018年8月份的收入，而101x 大于1x ，2x ，3x ，，100x 很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大， 由于数据的集中程度受到101x 比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D ． 6．【答案】A 【解析】依题意得()11961972002032042005x =++++=，()117136755my m +=++++=， 回归直线必经过样本点的中心，于是有170.82001555m+=⨯-，由此解得8m =，故选A ． 7．【答案】D【解析】由题意可知：研究变量x ，y 得到一组样本数据，进行回归分析时： ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 ④相关系数为正值，则两变量之间正相关，相关系数为负值，则两变量之间负相关，相关系数的绝对值越接近1，则变量之间的相关性越强．若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强． 综上可得，正确说法的个数是4，本题选择D 选项． 8．【答案】D【解析】由题意，210.828K ≥，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001，故选D ． 9．【答案】D【解析】按随机数表读数，5个数分别是08，02，14，07，01，故选D ． 10．【答案】C【解析】由频率分布直方图得：甲地区[)40,60的频率为()0.0150.020100.35+⨯=，[)60,70的频率为0.025100.25⨯=．∴甲地区用户满意度评分的中位数10.50.356010660.25m -=+⨯=，甲地区的平均数1450.01510550.02010650.02510750.02010850.01010950.0101067s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；乙地区[)50,70的频率为()0.0050.020100.25+⨯=，[)70,80的频率为0.035100.35⨯=． ∴乙地区用户满意评分的中位数20.50.25701077.10.35m -=+⨯≈，乙地区的平均数2550.00510650.02010750.03510850.02510950.0151077.5s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，∴12m m <，12s s <，故选C ． 11．【答案】D【解析】由表可知2456855x ++++==，3040507019055m my +++++==因为回归直线会经过平均数样本中心点，代入190 6.5517.55m+=⨯+， 解得60m =，所以选D ． 12．【答案】C【解析】因为9759>，5148>，3629>，6845>， 所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A 正确； AQI 不低于100的数据有3个：143，225，145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B 正确；因为12月29日的AQI 为225，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C 错误； AQI 在[)0,50的数据有6个：36，47，49，48，29，45，即达到空气质量优的天数有6天，即选项D 正确．故选C ．13．【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽调了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人， 所以抽样比为19214400，所以北面共有144001088100192⨯=人，故填8100．14．【答案】5%【解析】参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为5%． 15．【答案】85【解析】由上表可知：2456855x ++++==，3040506070505y ++++==．得样本中心为()5,50代入回归方程ˆˆˆybx a =+，得507515ˆa =-⨯=． 所以回归方程为ˆ715yx =+，将10x =代入可得ˆ85y =． 故答案为85．16．【答案】11-或3或17 【解析】由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2， 若2x ≤，则中位数为2，此时11x =-，二、填空题若24x<<，则中位数为x，此时25227xx+=+，3x=，若4x≥，则中位数为4，252427x+⨯=+，17x=，所有可能值为11-，3，17．故填11-或3或17．。
2018届高考数学二轮复习疯狂专练19平面向量理 Word版 含答案
平面向量1．[2017·鞍山一中]向量()2,1a =- ，()1,2b =- ，则()2a b a +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．1D ．－6【答案】A【解析】由向量数量积公式知，()()()23,02,16a b a +⋅=⋅-=，故选A ．2．[2017·济宁期末]已知向量()12a = ，，()34b =- ，，则a 在b上的投影为（ ）AB．C ．1D ．－1【答案】D【解析】向量()12a = ，，()34b =- ，，则a 在b 上的投影为：3815a b b⋅-==- ，故选：D ． 3．[2017·静海县一中]已知向量()1,2a = ，()4,5a b -= ，(),3c x = ，若()2//a b c +，则x =（ ） A ．1- B ．2-C ．3-D ．4-【答案】C【解析】向量()1,2a = ，()4,5a b -= ，(),3c x = ，若()2//a b c +，则()()()()1,24,53,3b a a b =--=-=--，()()()()221,23,31,1a b ∴+=+--=-，()2//a b c +，3x ∴=-，故选C ．4．[2017·梁集中学]已知()11a =-，，()1b λ= ，，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．1λ> B ．1λ<C．1λ<-D ．1λ<-或11λ-<<【答案】D【解析】由题意可得：10a b λ⋅=-<，解得：1λ<，且：a 与b 的夹角不能为180︒，即：一、选择题（5分/题）1λ∴≠-，据此可得：λ的取值范围是1λ<-或11λ-<<．本题选择D 选项．5．[2017·文昌中学]已知单位向量a ，b 的夹角为π3，那么2a b += （ ）A．BC．D．【答案】B2a b += ．6．[2017·临汾中学]已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+ ，则a 与b的夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．34C ．13D ．14【答案】C 【解析】()()2221222a b a b a ba b a b b -=+⇒-=+⇒⋅= 22112cos ,332b a b a b a b b ⋅⇒<>===，故选C ．7．[2017·衡阳八中]向量()2,3a =，()1,2b =- ，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．12-【答案】D 【解析】()21,32ma b m m +=-+，()24,1a b -=-，()()1214322m m m ∴--=+⇒=-，选D ．8．[2017·太原五中]已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域122x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥上一个动点，则OA OM ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】由题意可得：()1,1OA =- ，(),OM x y =，OM ON x y ∴⋅=-+ ，绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点()0,2B 处取得最大值2z x y =-+=．本题选择B 选项．9．[2017·正定中学]如图，已知点D 为ABC △的边BC 上一点，3BD DC =，为()*n E n ∈N 边AC 上的一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+⋅，其中实数列{}n a 中，0n a >，11a =，则5a =（ ）A ．46B ．30C ．242D ．161【答案】D【解析】433BD DC BC BD =⇒= ，414333n n n n n E C E B BC E B BD E B E D =+=+∴=-+，设n n mE C E A = ，1433n n n E A mE B mE D ∴=-+，又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+ ，()111143324323n n n na m a a a m++⎧=-⎪⎪⇒=+⎨⎪-+=⎪⎩， ()1131n n a a +∴+=+，又112a +=，∴数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，1123n n a -∴+=⋅，5161a ∴=，故选D ．10．[2017·沙市中学]正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且()21OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅ 的最小值是（ ）A B ．1- C D ．2-【答案】C 【解析】由题意可得：设2OP OQ =，则()1OQ OB OC λλ=+- ，()11λλ+-= ，Q ∴，B ，C 三点共线，当Q 在BC MN 与BDC 选项． 11．[2017·榆林二中]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，A 是双曲线的左顶点，2,P a P y c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在双曲线的一条渐近线上，M为线段1F P 的中点，且1F P AM ⊥，则该双曲线C 的渐近线为（ ）A ．y =B ．2y x =± C．y =D ．y =【答案】A【解析】取渐近线为b y x a =，则当2a x c =-时，P aby c =-，即点P 坐标为2,a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 坐标为2222c a ab c c ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即2222a c ab c c ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，．。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-6 Word版含答案
大题规范练(六)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .∴a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213，∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12.由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×12×398＝3394.2．(本小题满分12分)如图(1)，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝90°，CD ＝4.把△ABD 沿BD 折起，使A ，C 两点间的距离为2 2.记BD 的中点为E ，如图(2)．(1)求证：平面ACE ⊥平面BCD ；(2)求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得CB ＝CD ＝4，AB ＝AD ＝42，AE ⊥BD ，CE ⊥BD .又AE ∩CE ＝E ，因此BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面BCD ，因此平面ACE ⊥平面BCD .(2)如图，以CB ，CD 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点C 垂直于平面CBD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz ，则C (0,0,0)，B (4,0,0)，D (0,4,0)，设A (x 1，y 1，z 1)(z 1＞0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC 2＝8AB 2＝32AD 2＝32，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋z 21＝8x 1－2＋y 21＋z 21＝32x 21＋y 1－2＋z 21＝32z 1＞0，由此解得x 1＝y 1＝－1，z 1＝6，故A (－1，－1，6)，CA →＝(－1，－1，6)，AD →＝(1,5，－6).CB →＝(4,0,0)设a ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ABC 的法向量，则有 ⎩⎨⎧a ·CB →＝0a ·CA →＝0，即⎩⎨⎧4x 2＝0－x 2－y 2＋6z 2＝0，故x 2＝0，y 2＝6z 2.取z 2＝1得a ＝(0，6，1)． 设直线AD 与平面ABC 所成的角为β， 则sin β＝|cos 〈a ，AD →〉|＝|a ·AD →||a ||AD →|＝217，即直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)当今时代，智能手机在人们日常生活中的应用越来越频繁，其中的一款软件——微信更是逐渐成为人们交流的一种方式．某机构对人们使用微信交流的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流持赞成态度的人数如下表：的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关？4人中赞成使用微信交流与不赞成使用微信交流的人数之差的绝对值为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据如下：参考公式：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)2×2列联表如下：K 2＝10×40×35×15≈9.524＞6.635，所以有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关． (2)依题意得ξ的所有可能取值分别为0,2,4， 且P (ξ＝0)＝C 22C 25·C 24C 25＋C 12·C 13C 25·C 14·C 11C 25＝30100＝0.3，P (ξ＝4)＝C 23C 25·C 24C 25＝0.18，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝4)＝0.52.因此，ξ的分布列是所以ξ的期望E (ξ)4．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，动直线l ′垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ，设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)以曲线C 上的点Q (x 0，y 0)(y 0＞0)为切点作曲线C 的切线l 1，设l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，且l 1恰与以定点M (a,0)(a ＞2)为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求△ABF 与△QAM面积的比．解：(1)由题意得|PH |＝|PF |，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到定点F (1,0)的距离， ∴点P 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， ∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：由y 2＝4x ，当y ＞0时，y ＝2x ，∴y ′＝1x，∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，∴以Q (x 0，y 0)(y 0＞0)为切点的切线方程为l 1：y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －y 0＝2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 204，整理得l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0.令x ＝0，则y ＝y 02，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02， 令y ＝0，则x ＝－y 204＝－x 0，∴A (－x 0,0)， 点M (a,0)到切线l 1的距离d ＝y 20＋4a 2y 20＋4＝y 20＋42＋2a －2y 20＋4≥2a －1(当且仅当y 0＝2a －2时，取等号)．∴当点Q 的坐标为(a －2,2a －2)时，满足题意的圆M 的面积最小． 此时A (2－a,0)，B (0，a －2)．S △ABF ＝12|1－(2－a )||a －2|＝12(a －1)a －2， S △AQM ＝12|a －(2－a )||2a －2|＝2(a －1)a －2.∴S △ABF S △AQM ＝14，∴△ABF 与△QAM 的面积之比为1∶4.解法二：由题意知切线l 1的斜率必然存在，设为k ，则l 1：y －y 0＝k (x －x 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0y 2＝4x，得y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2－x 0，即y 2－4k y ＋4ky 0－y 20＝0，由Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k y 0－y 20＝0得(2－ky 0)2＝0，即k ＝2y 0.∴l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0.(下同解法一)5．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋ax ＋2，g (x )＝－2cos x －x ＋(x ＋1)ln(x ＋1)． (1)若直线y ＝－4x 是曲线y ＝f (x )的切线，求实数a 的值；(2)若对任意x 1∈[1,2]，都存在x 2∈(－1,1]，使得f (x 1)－g (x 2)＞3a ＋4成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋a .设直线y ＝－4x 与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，－4x 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－4x 0＝x 30＋ax 0＋23x 20＋a ＝－4，解得x 0＝1，a ＝－7.(2)g ′(x )＝2sin x －1＋ln(x ＋1)＋1＝2sin x ＋ln(x ＋1)，∵当x ∈(－1,1]时，y ＝2sin x 及y ＝ln(x ＋1)均为增函数，∴g ′(x )在(－1,1]上为增函数，又g ′(0)＝0，∴当x ∈(－1,0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(0,1]时，g ′(x )＞0， 从而g (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴g (x )在(－1,1]上的最小值为g (0)＝－2.依题意得，当x ∈[1,2]时，f (x )min ＞3a ＋4＋g (0)＝3a ＋2. 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝3x 2＋a ∈[a ＋3，a ＋12]． 当a ＋3≥0，即a ≥－3，x ∈[1,2]时，f (x )单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，于是有a ＋3－3a ＞2(a ≥－3)，解得－3≤a ＜12.当a ＋12≤0，即a ≤－12，x ∈[1,2]时，f (x )单调递减，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋10，于是有2a ＋10－3a ＞2(a ≤－12)，解得a ≤－12.当－12＜a ＜－3，x ∈[1,2]时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， －a 3上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a3，2上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋2，于是有2a 3－a3＋2－3a ＞2(－12＜a ＜－3)，解得－12＜a ＜－3.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. 请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4. 7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若存在x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|＜3成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12＜x ＜2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x ＜2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a －(2x－4)|＝|a＋4|.因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，所以(f(x)＋|x－2|)min＜3，所以|a＋4|＜3，解得－7＜a＜－1，故实数a的取值范围为(－7，－1)．。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-5 Word版含答案
大题规范练(五)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列{1b n}的前n 项和T n .解：(1)∵6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，∴当n ＝1时，6S 1＝6a 1＝9＋a ， 当n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝(3n ＋1－a )－(3n ＋a )＝2×3n，即a n ＝3n －1，∵{a n }是等比数列，∴a 1＝1，则9＋a ＝6，得a ＝－3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)＝(3n －2)(3n ＋1)， ∴1b n＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋13n －23n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝n3n ＋1. 2．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB ＝∠DBE ＝60°，设AC 与BD 相交于点O ，且FA ＝FC .(1)求证：平面FBC ∥平面EAD ； (2)求二面角A FC B 的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD ∥BC ，DE ∥BF .因为AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，所以AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC .又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，所以平面FBC ∥平面EAD .(2)如图所示，连接FO ，FD ，因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 的中点，所以FO ⊥BD .因为O 为AC 的中点，且FA ＝FC ，所以AC ⊥FO . 又AC ∩BD ＝O ，所以FO ⊥平面ABCD .由OA ，OB ，OF 两两垂直，则以O 为坐标原点OA ，OB ，OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，所以O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)，CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)．设平面BFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，所以⎩⎨⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)为平面BFC 的一个法向量．因为OB ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)． 因为二面角A FC B 为锐二面角，设其平面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·OB →|n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155. 所以二面角A FC B 的余弦值为155. 3．(本小题满分12分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝627； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1227；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×27＋3×27＝2.(或因为η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，3，所以E (η)＝3×23＝2)(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)＜D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．4．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解：(1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线MN 的方程为：y ＝x －p2，代入y 2＝2px (p ＞0)中，得x 2－3px ＋p 24＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p ，∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x 中，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0， 即(2b －4)2－4b 2＝0， 解得b ＝1，∴l ：y ＝x ＋1. 由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝－4， ∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4·x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝ 2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值－14.5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋ax，其中a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值范围． 解：(1)h (x )＝x ＋1＋a x－a ln x ，h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －1＋a x2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2，①当a ＋1＞0，即a ＞－1时，在(0,1＋a )上h ′(x )＜0，在(1＋a ，＋∞)上h ′(x )＞0， 所以h (x )在(0,1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增． ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上h ′(x )＞0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，即存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＜0成立，即函数h (x )＝x ＋1＋ax－a ln x 在[1，e]上的最小值小于零．由(1)可知：①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，h ′(x )＜0，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )在[1，e]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋a e －a ＜0可得a ＞e 2＋1e －1，因为e 2＋1e －1＞e －1，所以a ＞e 2＋1e －1.②当1＋a ≤1，即a ≤0时，h (x )在[1，e]上单调递增， 所以h (x )的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋a ＜0可得a ＜－2.③当1＜1＋a ＜e ，即0＜a ＜e －1时，可得h (x )的最小值为h (1＋a )，因为0＜ln(1＋a )＜1，所以0＜a ln(1＋a )＜a ，故h (1＋a )＝2＋a －a ln(1＋a )＞2＞0，不合题意．综上可得，所求a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝2a sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋a y ＝45t(t 为参数)．(1)若a ＝2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长为26，求a 的值．解：(1)由ρ2＝4ρsin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4. 将直线l 的参数方程化为普通方程，得y ＝－43(x －2)，令y ＝0，得x ＝2，即点M 的坐标为(2,0)．又圆C 的圆心坐标为(0,2)，半径r ＝2，则|MC |＝22， 所以|MN |的最大值为|MC |＋r ＝22＋2.(2)因为圆C ：x 2＋(y －a )2＝a 2，直线l ：4x ＋3y －4a ＝0， 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|3a －4a |5＝|a |5，所以2 a 2－a 225＝26，即465|a |＝26， 解得a ＝±52.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式f (x )≥4－|x －1|即为|x －2|≥4－|x －1|， ①当x ≤1时，原不等式化为2－x ≥4＋(x －1)，得x ≤－12，故x ≤－12；②当1＜x ＜2时，原不等式化为2－x ≥4－(x －1)，得2≥5，故1＜x ＜2不是原不等式的解； ③当x ≥2时，原不等式化为x －2≥4－(x －1)，得x ≥72，故x ≥72.综合①②③知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.(2)证明：由f (x )≤1得|x －a |≤1，从而－1＋a ≤x ≤1＋a ，∵f (x )≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a ＝0，1＋a ＝2，得a ＝1，∴1m ＋12n＝a ＝1.又m ＞0，n ＞0，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n m ＋m 2n ≥2＋22n m ·m 2n ＝4，当且仅当2n m ＝m 2n ，即m ＝2n 时，等号成立，此时，联立1m ＋12n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，则m ＋2n ＝4，故m ＋2n ≥4，得证．。
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统计
1．[2017·郑州一中]为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1：2，则这四个单位的总人数N 为（ ） A ．96 B ．120
C ．144
D ．160
【答案】B
【解析】设甲单位人数为X 甲，乙单位的人数X 乙，丙单位的人数X 丙，丁单位的人数X 丁，
由题意得 236X X X X X X X X X X +=⎧⎪+=+⎪⎨
=⎪⎪=⎩
甲乙丙甲丁乙丙
乙甲丙，解得：1224 3648X X X X ====⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩甲乙丙
丁，易得：这四个单位的总人数N 为120，故选B ．
2．[2017·成都七中]我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ） A ．164石 B ．178石
C ．189石
D ．196
石 【答案】C
【解析】已知抽得样本中含谷27
C ．
3．[2017·唐山联考]总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ） 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11
75 73 88 05 90
52 83 20 37 90
A ．05
B ．09
C ．11
D ．20
一、选择题（5分/题）
【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，符合条件的数有14，05，11，05，09因为05出现了两次，所以选出来的第4个个体的编号为09．4．[2017·南安一中]某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）
A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元
【答案】C
【解析】设11时到12时的销售额为x万元，依题意有2.50.1
0.4
x
=，10
x
∴=，故选C．
5．[2017·云南联考]CPI是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．下面是根据统计局发布的2017年1月—7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2017年2月与2016年2月相比较，叫同比；2017年2月与2017年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（）
A．2017年1月—7月分别与2016年1月—7月相比较，CPI有涨有跌
B．2017年1月—7月CPI有涨有跌
C．2017年1月—7月分别与2016年1月—7月相比较，1月CPI涨幅最大
D．2017年2月—7月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳
【解析】这是2017年1月—7月中国的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图，2017年1月—7月同期都是正增长，只是增长的幅度有大有小，同期增长最大是1月为
2.5%，环比增长幅度不大，1月—7月CPI 变化不大，相对稳定，故选A ．
6．[2017·长春一模]已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）
A ．92，94
B ．92，86
C ．99，86
D ．95，
91 【答案】B
【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86．故选B ．
7．[2017·衡水中学]甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统
计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩方差2
s 甲，2s 乙，2
s 丙的大小关系是（ ）
A ．222s s s <<乙甲
丙 B ．222
s s s <<甲乙丙 C ．
222
s s s <<乙甲
丙
D ．222s s s <<乙甲丙
【答案】A
【解析】根据方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，甲乙丙三人数据中丙集中在6环，乙平均分散，甲分散在两边，所以丙最稳定，方差最小；甲最不稳定，方差最大；所以选A ． 8．[2017·荆州中学]已知变量x 和y 的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程0.7ˆy
x a =+，据此可以预测，当14x =时，y =（ ） A ．7.2 B ．7.5
C ．7.8
D ．8.1
【答案】B
【解析】 2.3a =-，得
0.7.3ˆ2y x =-，代入x =14，得y =7.5，选B ．
9．[2017·绵阳中学]以下四个命题中真命题的个数是（ ）
①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；
②线性回归直线ˆˆˆy
bx a =+ ③随机变量ξ服从正态分布()()2
2,0N σ
σ>，若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则
在（2，3）内的概率为0.4；
④若事件M 和N 满足关系()()()P M N P M P N =+ ，则事件M 和N 对立． A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为800÷40=20；故①错误；
②线性回归直线ˆˆˆy
bx a =+恒过样本点的中心 ③随机变量ξ服从正态分布()()2
2,0N σ
σ>，若在(−∞，1)内取值的概率为0.1，则在
(1，2)内取值的概率为0.5−0.1=0.4，则在(2，3)内的概率为在(1，2)内取值的概率为0.4，故③正确；
④由互斥事件的定义可得若事件M 和N 满足关系()()()P M N P M P N =+ ，则事件
M 和N 互斥，但不一定对立，故④错误．
四个命题中其中真命题个数是2个．本题选择C 选项．
10．[2017·豪洋中学]某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：。