2020年河北正定中学高三第三次月考理科数学试卷(2020年12月)

高三数学第 页 （共4页） 1 河北正定中学高三第三次月考试卷 数 学

一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，1-8为单选题，9-12为多选题) 1．集合M＝{x|221<0xx

}，N＝{x|20xa}，U＝R，若UMCN，则a的取值范围是（ ）

A．1a B．1a C．1a D．1a 2．已知命题:[0,2]px，2320xx，则p是( )

A．0[0,2]x，200320xx

B．0[0,2]x，200320xx

C．0(,0)(2,)x，200320xx

D．[0,2]x，2320xx

3．已知复数z＝|34|2ii，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知m，n是空间中两条不同直线，是平面，则( ) A．若//m，n，则//mn B．若//m，//n，则mn C．若m，n，则//mn D．若m，n，则mn 5．张老师、孙老师与三位学生共五人在清华大学数学系楼前排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法数是( ) A．12 B．24 C．36 D．48 6．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log(1)SCWN．它表示：在受

噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至8000，则C大约增加了( )(20.3010)lg A．10% B．30% C．60% D．90% 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )

A．12 B．12 C．32 D．32 高三数学第 页 （共4页） 2

8．已知函数22

1()log(1)||fxxx，则不等式(21)0fx的解集是( )

A．(0,1) B．(1,) C．(,0) D．(，0)(1，) 9．（多选题）已知0a，0b，且1ab，则( ) A．2212ab B．122ab

C．22loglog2ab D．2ab

10．（多选题）已知函数()|sin|cosfxxx（ ） A．2为的周期

B．对于任意xR，函数都满足

()()fxfx

C．函数在

[,]

4

上单调递减

D．的最小值为

2

11．（多选题）已知O为坐标原点，(1,2)M，P是抛物线2:2Cypx

上的一点，F为其焦点，若F与双曲

线2213xy的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A．若6PF，则点P的横坐标为4 B．该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为3 C．若POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9 D．PMF周长的最小值为35 12.（多选题）已知2()sinxfxxx，则( )

A．()fx的零点个数为4 B．()fx的极值点个数为3个 C．x轴为曲线()yfx的切线 D．若12()()fxfx，则12xx

二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知a，b都是单位向量，满足|2||2|abab，则cos,2aab ．

14．若变量x，y满足约束条件030,03xyxyx





则3zxy的最小值为 ．

()fx()fx()fx()fx高三数学第 页 （共4页） 3

15．设等差数列{}

na的前n项和为nS，113mS，0mS，115mS

．其中*mN且2m，则数列

11nnaa





的前n项和的最大值为 ． 16．已知2()(1)2xxafxxeeax只有一个极值点，则实数a的取值范围为 ．

三．解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①1a，2a，5a成等比数列，且2nnTb；②242SS，且112()2nnT这两个条件

中任选一个填入下面的横线上并解答． 已知数列{}na是公差不为0的等差数列，11a，其前n项和为nS，数列{}nb的前n项和为nT，若_____． （1）求数列{}na，{}nb的通项公式；

（2）求数列nnab的前n项和nQ．

18．（本小题满分12分）已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，coscossinaCcAbB，2bc． （1）求C； （2）若点D与点B在AC两侧，且满足2AD，3CD，求四边形ABCD面积的最大值．

19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，侧面11ABBA是矩形，2AB，122AA，D

是1AA的中点，BD与1AB交于O，且CO面11ABBA． （1）求证：1BCAB； （2）若OCOA，求二面角DBCA的正弦值．

20.（本小题满分12分）某工厂生产的某产品按照每箱10件包装，每箱产品在流入市场之前都要检验．若整箱产品检验不通过，除去检验费用外，每箱还要损失100元．检验方案如下： 第一步，一次性随机抽取2件，若都合格则整箱产品检验通过；若都不合格则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验．若抽取的2件产品有且仅有1件合格，则进行第二步工作． 高三数学第 页 （共4页） 4

第二步，从剩下的8件产品中再随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验．若合格，则进行第三步工作． 第三步，从剩下的7件产品中随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，若合格，则整箱产品检验通过，检验结束，剩下的产品都不再检验． 假设某箱该产品中有8件合格品，2件次品． （Ⅰ）求该箱产品被检验通过的概率； （Ⅱ）若每件产品的检验费用为10元，设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为X，求X的分布列和数学期望EX．

21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，与y轴的正半轴交于点(0,)Pb，右焦点(,0)Fc，

O为坐标原点，且2tan2PFO． （1）求椭圆的离心率e； （2）已知点(1,0)M，(3,2)N，过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D两点，设直线CN，DN的斜率1k，

2k，若122kk，试求椭圆C的方程．

22．（本小题满分12分）已知函数2()1fxxmlnx，其中mR．

（1）若()fx在1x处的切线与圆22:210Cxyx相切，求m的值； （2）若111()xfxxe在(1,)上恒成立，求实数m的最大值．

河北正定中学高三第三次月考答案 1．M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0|}＝{x|﹣＜x＜1}，N＝{x|2x+a＞0|}＝{x|x＞﹣}，∁UN＝{x|x≤﹣}，若M∩∁UN高三数学第 页 （共4页） 5

＝∅，则﹣≤，即a≥1，故选：B． 2．命题为全称命题，则p是[0x，2]，2320xx．故选：B．

3．∵z＝＝＝，∴＝2﹣i，则在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故选：D． 4.对于A，若//m，n，可得m与n可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若//m，//n，可得m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；对于C，D，若m，n，由直线与平面垂直的性质，可得//mn，故C正确，D错误．故选：C． 5.把2位老师捆绑在一起看做一个元素，插入到3位同学所成的2个空中，故有23123224AAA种，故选：B．

6.当1000

SN时，12log1000CW，当8000S

N时，22log8000CW，

2212

800080003321.3100010003CWloglglgCWloglg

，C大约增加了30%，故选：B．

7．如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则//EFBD，//EGAC，FOOG， FEG为异面直线AC与BD所成角．设2ABa，则2EGEFa，222FGaaa， 60FEG，异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，故选：A． 8．()fx为偶函数，当0x时，22

1()log(1)fxxx单调递增，根据偶函数的对称性可知，()fx在0x时单

调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为f（1）(1)0f，由(21)0fx，所以211x或211x，解可得1x或0x．故选：D． 9．①已知0a，0b，且1ab，所以222()22abab，则2212ab，故A正确．

②利用分析法：要证122ab，只需证明1ab即可，即1ab，由于0a，0b，且1ab，所以：0a，10b，故B正确．③22222loglogloglog()22ababab，故C错误．④由于0a，0b，且1ab，利用分析法：要证2ab成立，只需对关系式进行平方，整理得22abab，即21ab，故122abab，当且仅当12ab时，等号成立．故D正确．故选：ABD．

10．函数f（x）＝|sinx|+cosx＝，其图象如图：