2019届江西省赣州市高三3月摸底考试数学(理)试题(解析版)
江西省赣州市十四县(市)2019届高三上学期期中联考数学(理)试卷(含答案)
2018—2019学年第一学期赣州市十四县(市)期中联考高三数学（理科）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{}2B y y x ==，则=B A （ ）A .{}x x ≤1B . {}x x ≤≤01C . {}2x x ≤D .{}x x ≤≤022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009B ．1010C ．2018D ．20193. 设函数(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )A .2B .4C .8D .16 4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.B ．命题p ：0x R ∃∈，使得06sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真. C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题. 5. 已知()21f x x =+，若()()1f x f a =⎰，则a 的值为（ ）A . 12-B . 32-C . 12D . 16． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边长为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．32 7. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要条件的个数是 ( )①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >.A ．B ．C ．D ．8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7 9.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）A B C D10.已知函数()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调函数，则ω的最大值是（ ）A ．12 B ．35 C ．23 D ．3411. 在ABC ∆中, 16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )A .B . 563C .103 D . 20312. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1kf x x >-恒成立，则整数k 的最大值为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知1,2cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-= 。
江西赣州十四县(市)2019届高三下册第二学期期中联考数学(理)试卷及答案【精校】.doc
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}2160A x x =-<，{}26B x x =-<≤，则()R A C B I 等于（ ） A.()4,0-B.(]42--，C.()44-，D.()4,2--2.设复数2z i =-+（i 是虚数单位），的共轭复数为z ，则()1z z +⋅等于（ ） A.5B.25C.52D.103.如图所示的程序框图，若输入x ，k ，b ，p 的值分别为1，2-，9，3，则输出x 的值为（ ）A.29-B.5-C.7D.194.设1F ，2F 是椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）A.12251- 3 5.在ABC △中，2AB =，10BC 1cos 4A =，则AB 边上的高等于（ ）315B.34315D.36.若不等式组11x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线z x y=-分成面积相等的两部分，则z的值为（）A.12- B.22- C.122- D.12-7.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB=，16AA=，若E，F分别是棱1BB，1CC上的点，且1BE B E=，1113C F CC=，则异面直线1A E与AF所成角的余弦值为（）A.3B.2C.3D.28.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E，F分别在边AB，AD上，57AE AB=，14AF AD=，直线EF交AC于点K，AK AOλ=u u u r，则λ等于（）A.827B.13C.1027D.11279.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（）A.()4223++ B.()6225++C.10D.1210.已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.1011.已知定义在区间[]3,3-上的单调函数()f x 满足：对任意的[]3,3x ∈-，都有()()26x f f x -=，则在[]3,3-上随机取一个实数x ，使得()f x 的值不小于4的概率为（ ） A.16B.56C.13D.1212.若存在01x >，使不等式()()0001ln 1x x a x +<-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),2-∞B.()2,+∞C.()1,+∞D.()4,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．14.若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足()49A C B =-，则展开式中2x 的系数为．15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为x ．16.点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27a =，3a 为整数，且n S 的最大值为5S . （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程y bx a =+（b 精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望.（参数公式：1221ni iiniix y nxybx nx==-=-∑∑$，$a y bx=-$.）参考数据：22222908574686329394++++=，9013085125741106895639042595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，AD CD AB==，60ABC∠=︒，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上.（1）求证：平面ACD⊥平面ABD；（2）求二面G AC D--的平面角的余弦值.20.已知点()0,8H-，点P在x轴上，动点F满足PF PH⊥，且PF与y轴交于Q点，Q是线段PF 的中点.（1）求动点F的轨迹E的方程；（2）点D是直线:20l x y--=上任意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A，B，取线段AB的中点M，连接DM交曲线E于点N.求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. 21.已知函数()2sinx xf x e be a x-=+-（a，b R∈）.（1）当0a=时，讨论函数()f x的单调区间；（2）当1b=-时，若()0f x>对任意()0,xπ∈恒成立，求a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线1C的极坐标方程为2cos218ρθ=，曲线2C的极坐标方程为6πθ=，曲线1C，2C相交于A，B两点.（1）求A，B两点的极坐标；（2）曲线1C与直线3212xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度. 23.设对于任意实数x，不等式61x x m++-≥恒成立.（1）求m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：4329--≤-.x x m2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高三数学试卷参考答案（理科） 一、选择题1.B ∵{}44A x x =-<<，{}26R C B x x x =≤->或，∴()(]4,2R A C B =--I . 2.D ∵11z i +=-+，∴()()()1123z z i i i +⋅=-+--=-，∴()110z z +⋅=.3.D 程序执行过程为：1n =，2197x =-⨯+=；2n =，2795x =-⨯+=-；3n =，()25919x =-⨯-+=；43n =>，∴终止程序，∴输出的19x =.4.A 因为124AF AF +=，124BF BF +=， 所以2ABF △的周长为228AF BF AB ++=， 显然，当AB 最小时，22AF BF +有最大值， 而22min2b AB b a ==，所以，285b -=，解得23b =，21c =，从而12e =-. 5.A 设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ， 因为2c =，10a =，所以21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =. 又15sin A =，由115123222h ⨯⨯⨯=⨯，得315h =. 6.D 不等式组表示的可行域为三角形ABC ，如图所示：目标函数所在直线DE 将其可行域平行，因为2212DEC ABC S DC S BC ==△△，所以2DC BC =，设(),0D x ，则122x -=，得12x =-，所以12z =-. 7.D 以BC 的中点O 为坐标原点建立空间直线坐标系数如图所示，则()23,0,0A ，()123,0,6A ，()0,2,3E ，()0,2,4F -，()123,2,3A E =--，()23,2,4AF =--，设1A E ，AF 所成的角为θ，则112cos 542A E AF A E AF θ⋅===⨯⋅u u u u r.8.C 因为()2AK AO AB AD λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，所以7425AK AE AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，又E ，F ，K 三点共线，所以74125λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1027λ=. 9.B 如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥P ABCD -即为所求，且3PA PB ==，5PC PD ==，可求得表面积为()6225++.10.C 如图可设()1,2,5M x ，()2,2,5N x -，所以()2212513MN x x -+，解得1212x x -=，所以224T πω==，即12πω=，所以() 2.5cos 12f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()30f =，可得4πϕ=，即() 2.5cos 124f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度得新图象对应的函数()()32.5cos 2.5cos 1241212t g x x t x πππππ-⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令()3122t k k Z ππππ-=+∈，得1230t k =-->，所以14k <-.当1k =-时，t 的最小值为9.11.C 依题知，对任意的[]3,3x ∈-，都有()2x f x a -=（其中a 为常数），即()6f a =，∴()2a f a a -=，即62a a -=，得2a =，故()22x f x =+，由()4f x ≥得1x ≥，因此所求概率为311333-=+. 12.B 令()()()1ln 11a x g x x x x -=->+，则()10g =，()()()()22221112'11x a x a g x x x x x +-+=-=++， 当2a ≤时，得()22110x a x +-+≥，从而()'0g x ≥，得()g x 在()1,+∞上是增函数， 故()()10g x g >=，不合题意； 当2a >时，令()'0g x =得()21111x a a =---()22111x a a =---由21x >和121x x =得11x <，故当()21,x x ∈时，()'g x 在()21,x 上单调递减，此时()()10g x g <=，即()1ln 01a x x x --<+，满足()()1ln 1x x a x +<-，综上，a 的取值范围是()2,+∞.二、填空题 13.2因为θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以34sin 165πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此34322sin sin 1616455πππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 14.5627因为1A =，3nB =，()21918n n n C C -==，所以有249183n n n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2780n n --=，解得8n =.在813x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，因为通项882818133rr r r r r r C T C x x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令3r =，得245627T x =，所以展开式中2x 的系数为5627. 15.172第1关收税金：12x ； 第2关收税金：11132623x x x ⎛⎫-== ⎪⨯⎝⎭；第3关收税金：11114261234x xx ⎛⎫--== ⎪⨯⎝⎭；……第8关收税金：8972x x=⨯. 16.43±如图，A 是切点，B 是1PF 的中点，因为OA a=，所以22BF a =，又122F F c =，所以12BF b =，24PF b =，又2122PF F F c ==，根据双曲线的定义，有122PF PF a -=，即422b c aa -=，两边平方并化简得223250c ac a --=，所以53c a =，因此2413b c a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.三、解答题17.解：（1）由27a =，3a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤， 解得132134d -≤≤-，因此2d =数列{}n a 的通项公式为112n a n =-. （2）因为11222n n n na nb -==， 所以239751122222n nnT -=++++…，① 2341197511222222n n nT +-=++++…，② ②式减①式得，21119111112222222n n n n T -+-⎛⎫-=-+++++ ⎪⎝⎭…，整理得11772222n n nT +--=-+，因此2772n nn T -=+. 18.解：（1）9085746863765x ++++==，13012511095901105y ++++==，51522215425955761107951.5293945765145i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑$≈，$110 1.5764ay bx =-=-⨯=-$， 所以$1.54y x =-， 当80x =时，$116y =. （2）因为数学成绩高于100分的人有3个，所以随机变量X 的可能取值为1，2，3，而()2123353110C C P X C ===，()122335325C C P X C ===，()33351310C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为所以()331123 1.810510E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出23BD =，4BC =， 在BCD △中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上，∴AG ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥， 又BD DC ⊥，AG BD G =I ，∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .（2）解：由（1）知BD DC ⊥，AG BD ⊥，G 为BD 中点，建立如图所示的空间坐标系，设2AD CD AB ===，结合（1）中的计算可得：()0,0,0D ，()0,2,0C ，)3,0,0G ，)31A，，，()0,0,1GA =，()3,2,0GC =-，设()1111,,n x y z =u u r 是平面AGC 的法向量，则111320z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取()13,0n =u u r .()0,2,0DC =u u u r ，)3,0,1DA =u u u r，设()2222,,n x y z =u u r 是平面ACD 的法向量，则22230y x z =⎧⎪+=， 取(21,0,3n =-u u r.设二面角G AC D --的平面角为θ，则127cos cos ,72n n θ=<>=⨯u u r u u r. 20.解：（1）设(),F x y ，()',0P x ，()0,'Q y ，()',8PH x =--，()','PQ x y =-，∵PF PH ⊥，∴2'8'0x y -=，即2'8'x y =，又'020'2x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴''2x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入2'8'x y =，得()240x y y =≠.（2）设()00,2D x x -，()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线与抛物线相切，所以'2xy =，11'2DA x x x k y ===， 直线DA 的方程可表示为112x y x y =-， 因为点D 在DA 上，所以100122x x x y -=-，化简得01102240x x y x --+=， 同理可得：B 点的坐标满足02202240x x y x --+=，所以直线AB 的方程为002240x x y x --+=，直线AB 过定点()2,2. 21.解：（1）当0a =时，()x x f x e be -=+，()()2'x x x xe bf x e be e --=-=，①当0b ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； ②当0b >时，可知：1'ln 02f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当1ln 2x b <时，()'0f x <；当1ln 2x b >时，()'0f x >；所以函数()f x 的单调递增区间为1ln ,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,ln 2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当1b =-时，()2sin x x f x e e a x -=--，()'2cos x x f x e e a x -=+-， 若0a ≤，此时对任意()0,x π∈都有0x x e e -->，sin 0x >， 所以()0f x >恒成立； 下面考虑0a >时的情况：若01a <≤，对任意()0,x π∈都有2x x e e -+>，2cos 2a x <，所以()'0f x >，所以()f x 为()0,π上的增函数，所以()()00f x f >=，即01a <≤时满足题意；若1a >，则由()'0220f a =-<，'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，可知：一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0f x =，且当()00,x x ∈时，()'0f x <，所以在()00,x 上，()f x 单调递减，从而有：()00,x x ∈时()()00f x f <=，不满足题意.综上可知，a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）由2cos 2186ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2cos 183πρ=， 所以236ρ=，即6ρ=±.所以A 、B 两点的极坐标为：6,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭或76,6B π⎛⎫⎪⎝⎭同样得分. （2）由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=，整理得2280t +-=，即12t t +=-1228t t ⋅=-， 所以MN =23.解：（1）∵61617x x x x ++-≥+-+=， 又61x x m ++-≥恒成立， ∴7m ≤.（2）当m 取最大值时7m =， 原不等式等价于：435x x --≤， 等价于：4435x x x ≥⎧⎨--≤⎩或4435x x x <⎧⎨--≤⎩，等价于：4x ≥或144x -≤<.所以原不等式的解集为14x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.。
2019年江西省赣州市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
2019年江西省赣州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈R|（x-2）（x-1）≤0}，集合B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52.若数z=，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. |z|=2B. z的虚部为iC. =-1+iD. z2=2i3.“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐•六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分条件D. 必要条件4.曲线y=e x+ax在点（0，m）处的切线与x轴平行，则a为（）A. 1B. -1C. 0D. e5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，b=，c=，则角A为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 135°6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. 60B. 30C. 20D. 107.将函数y=2sin（-x）-cos（+x）（x∈R）的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的最小值等于（）A. -3B. -2C. -1D. -8.若函数f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，则函数g（x）=x2-|x|+a的零点个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 49.执行如图所示的程序框图，如果输出S的结果为3，则输入a的值为（）A. -2B. 2C. -1D. 110.若x，y满足的束条件，则z=（）A. 有最小值-，有最大值-B. 有最小值-，有最大值2C. 有最小值-，有最大值2D. 无最大值，也无最小值11.在某校自主招生中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的众数，中位数，平均数分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A. c＞b＞aB. c＞a＞bC. b＞a＞cD. b＞c＞a12.已知动直线y=kx-1+k（k∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（）A. 3B. 6C.D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，且=（2，4），=（1，3），则||=______．14.双曲线-=1的一个焦点与物线y2=20x的焦点重合，则双曲线的离心为______．15.设函数f（x）=，若f（a）=f（a+1），则f（）=______．16.在一节手工课中，小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥型橡皮泥捏成一个圆柱（橡皮泥的用量保持不变），则当这个圆柱的表面积最小时，此圆柱的底面半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n-n+1，设b n=a n-n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{b n}的前n项和T n．18.如图，四边形ABCD为平行四边形，沿对角线BD将△ABD折起，使点A到达点P，点M、N分别在PC、PD上（1）若CD∥平面BMN，求证：AB∥MN：（2）若AD=2AB=2，∠A=，平面PBD⊥平面BCD，求点D到平面PBC的距离．19.房产税改革向前推进之路，虽历经坎坷，但步伐从未停歇，作为未来的新增税种，十二届全国人大常委会已将房产税立法正式列入五年立法规划．某市税务机关为了进一步了解民众对政府择机出台房产税的认同情况，利用随机数表法从中抽取一小区住户进行调查．（1）若将小区共有600住户，并按001，002，…，600进行编号，如果从第8行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4件产品的编号：（下面摘取了随机数表的第7～9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 09 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）通过调查，50住户人均月收入（单位：千元）的频数分布及赞成出台房产税的户数如表人均月收[1.5，3）[3，4.5）[4.5，6）[6，7.5）[7.5，9）≥9入频数610131182赞成户数111241若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”，有2×2列联表：非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计根据已知条件完成如图所给的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．（3）现从月收入在[1.5，3）的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都不赞成出台房产税的概率．附：临界值表P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=，n=a+b+c+d．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（-，0）且椭圆C经过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作直线AM、AN关于直线x=1对称，且与椭圆C相交于M、N，求证直线MN的斜率为定值，并求出该定值．21.设函数f（x）=ax-ln x．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，证明：2x3-3x2+ex-1≥ln x．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y=（t为参数，P＞0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求C1的普通方程和极坐标方程；（2）若C1与C2相交于A、B两点，且|AB|=2，求p的值．23.设函数f（x）=|ax+1|．（1）当a=1时，解不等式f（x）+2x＞2．（2）当a＞1时，设g（x）=f（x）+|x+1|，若g（x）的最小值为，求实数a的值．2019年江西省赣州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）答案和解析【答案】1. A2. D3. D4. B5. C6. D7. C8. B9. C10. B11. A12. D13.14.15. 2816. 217. 解：（1）根据题意，a1=2，数列{a n}满足a n+1=2a n-n+1，则b1=a1-1=1，又由a2=2a1-1+1=4，则b2=a2-2=2；又由a3=2a2-2+1=7，则b3=a3-3=4；（2）数列{b n}是等比数列，证明：a n+1=2a n-n+1⇒a n+1-（n+1）=2（a n-n），即b n+1=2b n，又由b1=1，则数列{b n}是等比数列，（3）由（2）的可得：数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，则b n=2n-1，则T n=1+2+4+……+2n-1=2n-1．18. 证明：（1）∵CD∥平面BMN，CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面BMN=MN，∴CD∥MN，又四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥MN．解：（2）∵AD=2AB=2，，由余弦定理得BD=，∴∠ABD=90°，又四边形ABCD为平行四边形，∴CD⊥BD，又平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD，在△PDC中，PD=AD=2，CD=AB=1，∴，在△PBC中，PB=1，AD=2，，=1，不妨设点D到平面PBC的距离为d，由V D-PBC=V C-PBD，知，解得点D到平面PBC的距离d=．19. 解：（1）依题意，最先检测的三种产品的编号为169，555，105，071，（2）由题意，可得如下2×2列联表：非高收入族高收入族合计赞成5510不赞成35540合计401050K2==7.031＜7.789，∴不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．（3）人均月收入在[1.5，3）中，有5户不赞成出台房产税，分别记为A，B，C，D，E，有1户赞成出台房产税，记为a，现从中随机抽取2户，所有的基本事件有：AB，AC，AD，AE，Aa，BC，BD，BE，Ba，CD，CE，Ca，DE，Da，Ea共15种，事件”所抽取的两户都不赞成出台房产税“包含的基本事件有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，故所抽取的两户都不赞成出台房产税的概率P==．20. 解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为+y2=1，证明（2）：设过点A的直线方程为y-=k（x-1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得（4k2+1）x2+4k（-2k）x+4k2-4k-1=0，∴x1•1=x1=，∴y1-=k（x1-1），由题意可得k AM+k AN=0，同理可得x2=，y2-=k（x2-1），∴k MN====，∴直线MN的斜率为定值且为21. 解：（1）f′（x）=a-（x＞0），由题意得：f′（）=0，解得：a=e，经检验符合题意，故f（x）=ex-ln x，故f′（x）=e-，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故函数在（0，）递减，在[，+∞）递增；（2）证明：2x3-3x2+ex-1≥ln x⇔ex-ln x≥-2x3+3x2+1，不妨设函数g（x）=-2x3+3x2+1，故只需证明f（x）min≥g（x）max即可，由（1）可知，函数f（x）=ex-ln x在（0，+∞）上有最小值，即f（x）min=f（）=2，由g′（x）=-6x2+6x可知，函数g（x）在（0，1）递增，在[1，+∞）递减，故函数g（x）在（0，+∞）内取最大值，故g（x）max=g（1）=2，故f（x）min≥g（x）max．故原不等式成立．22. 解：（1）∵曲线C1的参数方程为y=（t为参数，P＞0），∴C1的普通方程为y2=2px，（y≥0），∴C1的极坐标方程为ρsin2θ=2p cosθ，（0）．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．∴C1与C2的一个交点为原点，不妨设A为原点，由|AB|=2，可设点B的极坐标为（2），（0＜），代入C2的极坐标方程得2=4sinθ，即sinθ=．∵0＜，∴θ=．把（2，）代入C1的极坐标方程，得：2=2p×，解得p=．23. 解：（1）当a=1时，f（x）+2＞2⇔|x+1|＞2-2x⇔或⇔x ＞，故原不等式的解集为（，+∞）．（2）当a＞1时，-1＜-，g（x）=f（x）+x+1=，由于函数g（x）在（-∞，-）上递减，在（-，+∞）上递增，则g（x）min=g（-）=1-，从而1-=，得a=2．【解析】1. 解：A={x|1≤x≤2}；∴A∩B={1，2}；∴A∩B的元素个数为2．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，以及元素的概念．2. 解：∵z==，∴|z|=，z的虚部为1，，z2=（1+i）2=2i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：设￢p为不到长城，推出￢q非好汉，即￢p⇒￢q，则q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件，故选：D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4. 解：∵曲线y=e x+ax在点（0，m）处的切线与x轴平行，∴f'（0）=0．又f'（x）=e x+a，则f'（0）=1+a=0．解得a=-1．故选：B．曲线y=f（x）在点（0，m）处的切线与x轴平行，可得f'（0）=0．从而可求．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．5. 解：∵C=60°，b=，c=，∴由正弦定理可得：sin B==，∵b＜c，B为锐角，∴B=45°∴A=180°-B-C=75°．故选：C．由已知利用正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，属于基础题．6. 解：由题意，几何体的直观图如图是长方体的一部分，是三棱锥P-ABC，所以几何体的体积为：=10．故选：D．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，考查数形结合以及空间想象能力计算能力．7. 解：将函数y=2sin（-x）-cos（+x）=sin（-x）=-sin（x-）的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的解析式为y=-sin（x--）=-sin（x-），故所得函数的最小值为-1，故选：C．利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g （x）的解析式，根据正弦函数的值域，得出结论．本题主要考查诱导公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的值域，属于基础题．8. 解：∵f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x），即lg（10-x+1）-ax=lg（10x+1）+ax，即2ax=lg（10-x+1）-lg（10x+1）=lg-lg（10x+1）=lg（10x+1）-x-lg（10x+1）=-x，则2a=-1，得a=-，则g（x）=x2-|x|-，由g（x）=x2-|x|-=0得|x|==，则|x|=（舍去负值）则x=±，即g（x）有两个零点，故选：B．根据f（x）是偶函数，求出a的值，结合一元二次函数零点与一元二次方程根的关系利用求根公式进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用以及零点个数的判断，结合偶函数的定义求出a的值是解决本题的关键．9. 解：设a=m，第一次循环，K=1，K≤6成立，S=0+m=m，a=-m，K=2，第二次循环，K=2，K≤6成立，S=m+2a=m-2m=-m，a=m，K=3，第三次循环，K=3，K≤6成立，S=-m+3a=-m+3m=2m，a=-m，K=4，第四次循环，K=4，K≤6成立，S=2m-4m=-2m，a=m，K=5，第五次循环，K=5，K≤6成立，S=-2m+5m=3m，a=-m，K=6，第六次循环，K=6，K≤6成立，S=3m+6a=3m-6m=-3m，a=m，K=7．第七次循环，K=7，K≤6不成立，输出S=-3m=3，则m=-1，即a=-1，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．10. 解：由x，y满足的束条件作出可行域如图，z=的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，-），解得B（1，3）∴z=的最小值为=-．z=的最大值为：=2．故选：B．由约束条件作出可行域，z=几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到z=的最值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11. 解：由频率分布直方图得：所得分数的众数a=50，中位数b==55，平均数c=（30×6+40×9+50×30+60×18+70×9+80×6+90×6+100×6）≈59.7，∴a，b，c的大小关系为c＞b＞a．故选：A．由频率分布直方图求出分数的众数a，中位数b，平均数c，由此能比较a，b，c的大小关系．本题考查三个数的大小的比较，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12. 解：根据题意，圆C：x2+y2-2x+4y-4=0可化为（x-1）2+（y+2）2=9，其圆心为（1，-2），半径r=3；动直线y=kx-1+k，即y+1=k（x+1），恒过点（-1，-1），设P（-1，-1）又由（-1-1）2+（-1+2）2＜9，则点P（-1，-1）在圆C的内部，动直线y=kx-1+k（k∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（圆心为C）交于点A、B，当P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短，此时|CP|=，弦AB的长度为2×=4，此时，△ABC的面积S=×|CP|×|AB|=×4×=2；故选：D．根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，由动直线的方程分析可得该直线恒过点（-1，-1），设P（-1，-1）；进而分析可得点P在圆C的内部，据此分析可得P为AB 的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短；结合直线与圆的位置关系分析可得|AB|、|CP|的值，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点的问题，属于基础题．13. 解：由AC为平行四边形ABCD的一条对角线，∴+=，即=-=（1，3）-（2，4）=（-1，-1），则||==，故答案为：根据向量加法的法则求出向量的坐标，结合向量模长公式进行计算即可．本题主要考查向量的运算法则以及向量模长的计算，求出向量的坐标是解决本题的关键．14. 解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0）∵双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，∴a2+b2=25，∴a=4∴e===．故答案为：．先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．15. 解：当0＜a＜1时，函数f（x）为增函数，当a≥1时，函数f（x）为增函数，若f（a）=f（a+1），则a，a+1分别在两个不同的区间上，即0＜a＜1，则=4（a+1-1）=4a，即a=64a3，得a2=，得a=，则f（）=f（8）=4×7=28，故答案为：28分别判断当0＜a＜1和a＞1时都是增函数，得到0＜a＜1，然后结合条件建立方程求出a的值即可．本题主要考查分段函数的应用，根据函数的单调性判断a的范围是解决本题的关键．16. 解：由题意，圆锥的高h==3，圆锥的体积为V=h==16π，设捏成的圆柱的高为h′，底面半径为r，则πr2h′=16π，即h′=，∴圆柱的表面积S=2πr（r+h′）==2πr2+，（r＞0）∴S′=4πr-=，令S′=0，得r=2，当＜r＜2时，S′＜0，当r＞2时，S′＞0，即S在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故当r=2时，这个圆柱的表面积最小．故填：2．先根据题意求出圆锥体积，则圆柱与圆锥等体积，设出圆柱的底面半径，由体积得到圆柱半径与高的关系，本题考查了体积一定时，圆柱的表面积最小值的问题，可以利用导数判断表面积的单调情况加以解决，属于基础题．17. （1）根据题意，由数列{a n}的递推公式可得a1、a2、a3的值，据此计算b1，b2，b3的值，即可得答案；（2）根据题意，a n+1=2a n-n+1⇒a n+1-（n+1）=2（a n-n），即可得b n+1=2b n，结合等比数列的定义分析可得答案；（3）由（2）的可得：数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，由等比数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查数列的求出以及递推公式，关键对a n+1=2a n-n+1的变形．18. （1）推导出CD∥MN，AB∥CD，由此能证明AB∥MN．（2）推导出CD⊥BD，从而CD⊥平面PBD，进而CD⊥PD，由V D-PBC=V C-PBD，能求出点D到平面PBC的距离．本题考查线线平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19. （1）根据随即数表，从第8行8列开始向右读取3位数，可得；（2）根据2×2列联表中的数据计算出K2的观测值，结合临界值表可得；（3）人均月收入在[1.5，3）中，有5户不赞成出台房产税，分别记为A，B，C，D，E，有1户赞成出台房产税，记为a，然后用列举法列举出所有基本事件以及事件”所抽取的两户都不赞成出台房产税“包含的基本事件后，用古典概型概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20. （1）由题意可得，解得a2=4，b2=1．即可求出椭圆方程（2）记直线AM的斜率为k，把直线AM的方程为：代入椭圆的方程化简，由1是方程的一个根，利用韦达定理求得M的横坐标x1的值，同理可得，x2的值，再根据MN的斜率，计算即可得到结论．本题考查椭圆方程的求法，直线斜率的计算的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21. （1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为ex-ln x≥-2x3+3x2+1，不妨设函数g（x）=-2x3+3x2+1，故只需证明f（x）≥g（x）max即可，根据函数的单调性证明即可．min本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22. （1）由曲线C1的参数方程能求出C1的普通方程，进而能求出C1的极坐标方程．（2）C1与C2的一个交点为原点，不妨设A为原点，由|AB|=2，可设点B的极坐标为（2），（0＜），代入C2的极坐标方程得sinθ=．从而θ=．把（2，）代入C1的极坐标方程，能求出p的值．本题考查线曲线的普通方程、极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. （1）分2段去绝对值解不等式组再相并；（2）分3段去绝对值变成分段函数，根据单调性求出最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
江西省赣州市2020届高三3月摸底考试数学(理)试题 Word版含答案
赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学试卷一、选择题1．已知集合{}12A x y x ==-，{}20B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．iD ．i -3．已知2020log 0.9a =，0.92020b =，20200.9c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若37a a +的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A ．7SB ．8SC ．9SD ．10S5．函数()1cos 1x xe f x x e +=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（ ）A ．15B ．25C ．310D ．147．数列1,1,2,3,5,8,13...称为斐波那契数列，是十三世纪意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子系列为例而引入，故又称“兔子数列”.该数列前两项均为1，从第三项开始，每一项等于其前相邻两项之和.设计如图所示的程序框图，若输出的是“兔子数列”的第n 项（n ∈N 且3n ≥），则图中（1），（2）应分别填入（ ）A ．b a b =+，i n >B ．b a c =+，i n >C ．b a c =+，i n ≥D ．b a c =+，i n ≥8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于6的面的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．关于x 的方程ln 0x ax -=在区间()0,4上有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 20,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 10．平面向量a 、b 满足()3b b a ⋅-=，2a =，则a b -的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．M 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r，直线2MF 交y 轴于点N .若1NFM △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．312．关于函数()sin sin2xf x x =⋅有下述四个结论：①()f x 的图像关于点(),0π对称；②()f x 的最大值为34；③()f x 在区间22,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④()f x 是周期函数.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =______.（用数字填写答案）14．数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若62n S =，则n =______. 15．设中心在原点的椭圆C 的两个焦点1F 、2F 在x 轴上，点P 是C 上一点.若使12PF F △为直角三角形的点P 恰有6个，且这6，则C 的方程为______.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD P ，90ABC ∠=︒.若PA PD =，PC PB =，且PBC △______.三、解答题17．在ABC △中，22sin sin sin 22A AA -=. （1）求sin A 的值；（2）若4AB AC +=，ABC △的面积为32，求边长BC 的长. 18．在五面体ABCDEF 中，BC AB ⊥，90DAE AEF ∠=∠=︒. （1）证明：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）若AD BC CD ==，ABE △是等腰直角三角形，90AEB ∠=︒，求直线CE 与平面AEFD 所成角的正切值.19．设点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M 、N 是C 上两点.若4MF NF +=，且线段MN 的中点到x 轴的距离等于1. （1）求p 的值；（2）设直线l 与C 交于A 、B 两点且在y 轴的截距为负，过F 作l 的垂线，垂足为P ，若5OA OB ⋅=u u u r u u u r.（i ）证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标； （ii ）求点P 的轨迹方程.20．春节期间爆发的新型冠状病毒（COVID-19）是新中国成立以来感染人数最多的一次疫情.一个不知道自己已感染但处于潜伏期的甲从疫区回到某市过春节，回到家乡后与朋友乙、丙、丁相聚过，最终乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假设他受甲和受乙感染的概率分别是0.6和0.4.丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是0.2、0.4和0.4.在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为X .（1）求X 的分布列和数学期望；（2）该市在发现在本地出现新冠病毒感染者后，迅速采取应急措施，其中一项措施是各区必须每天及时，上报新增疑似病例人数.A 区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为3，中位数4”，B 区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为2，总体方差为3”。
高三★2019届江西省赣州市十四县(市)高三上学期期中联考数学(理)试题(解析版)含答案
2019届江西省赣州市十四县（市）高三上学期期中联考数学（理）试
题（解析版） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简集合A,B,再求得解. 【详解】由题得A={x|x≤2}，B={y|y≥0}，所以=. 故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 解答集合的问题，先要看“|”前的元素的一般形式，，由于“|”前是y,所以集合表示的是函数的值域. 集合由于“|”前是x,所以集合表示的是函数的定义域. 2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 1009 B. 1010 C. 2018 D. 2019 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用等差数列的性质化简已知得到，再求. 【详解】由题得，所以， 所以=. 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项. 3.设函数,则 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算f(-2),再计算的值. 【详解】由题得f(-2)=,所以=f(3)=. 故答案为：B 【点睛】(1)本题主要考查分段函数求值，考查对数指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)分段函数求值，一般从里到外，主要是看清自变量在分段函数的哪一段. 4.下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”. B. 命题：，使得；命题：，都有；则命题为真. C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”. D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题. 【答案】D 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一判断得解. 【详解】选项A,命题“若，则”的否命题为：“若，则”.所以该选项错误. 选项B, 命题：，使得，是假命题。命题：，都有，是假命题，则命题为假.所以该选项是错误的. 选项C,命题“，使得”的否定是：“，均有”.所以该选项是错误的. 选项D, 命题“若，则”的逆否命题为真命题. 故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查命题的否命题和否定，考查复合命题的真假的判断，考查逆否命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 命题的否定和命题的否命题的区别：命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定，命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定.
江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考数学(理)试卷(含答案)
临川第一中学等九校2019届高三3月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解分式不等式求得集合A，求对数函数定义域求得集合B，由此求得两个集合的交集【详解】由解得，由解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查对数函数定义域，考查集合的交集，属于基础题2．已知复数，则复数的虚部为（）A．1 B．-1 C．D．【答案】A【解析】化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题. 3．抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题. 4．下列命题中正确的是（）A．若为真命题，则为真命题.B．“”是“”的充要条件.C．命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”. D．命题：，使得，则：，使得.【答案】B【解析】根据且、或命题真假性判断A选项真假，根据充要条件知识判断B选项真假，根据逆否命题的概念判断C选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D选项真假.【详解】对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.5．等差数列前项和为，，则（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】A【解析】根据等差数列的性质求得，利用前项和公式求得.【详解】由于数列为等差数列，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【解析】运行程序，找出规律，当不满足时，退出循化，输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，……，依次类推，当为奇数时，为，当为偶数时，为，，判断否，输出，故选B.【点睛】本小题主要考查程序框图的运算结果，考查合情推理，属于基础题.7．设，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据的正负，计算出的值，由此比较出三者的大小.【详解】由于，故，，故，而，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题.8．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】先根据三角函数图像求得的解析式，然后求得需要平移的单位长度.【详解】由于，故，所以，，由，求得，故，故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到，故选A.【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出几何体的直观图，利用底面的外心和高的一半求得球的半径，由此求得球的表面积. 【详解】画出几何体的直观图如下图所示，设球心为，底面等边三角形的外心为，由三视图可知，设球的半径为，则，故球的表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.要找到几何体外接球的球心，主要根据几何体的结构，利用球心到球面上的点的距离相等，通过解直角三角形来求解出半径，从而求得球的表面积或者体积. 10．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为（）A．B．C．2 D．【答案】B【解析】求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
江西省赣州市十四县(市)2019届高三上学期期中联考数学(理)试卷(含答案)
赣州市十四县（市）2019届高三上学期期中联考数学（理科）试题命题人：会昌中学 许继东 黄小锋 审题人：瑞金一中 谢小平本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{}2B y y x ==，则=B A （ ）A .{}x x ≤1B . {}x x ≤≤01C . {}2x x ≤D .{}x x ≤≤022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009B ．1010C ．2018D ．20193. 设函数(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )A .2B .4C .8D .16 4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.B ．命题p ：0x R ∃∈，使得06sin 2x =；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真. C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题. 5. 已知()21f x x =+，若()()1f x f a =⎰，则a 的值为（ ）A . 12-B . 32-C . 12D . 16． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边长为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．327. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要条件的个数是 ( ) ①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >.A ．B ．C ．D ．8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7 9.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）A B C D10.已知函数()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调函数，则ω的最大值是（ ）A ．12 B ．35 C ．23 D ．3411. 在ABC ∆中, 16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )A .1063 B . 563 C .103 D . 20312. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1kf x x >-恒成立，则整数k 的最大值为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知13,22cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-= 。
江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题Word版含答案
江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟.一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．设集合{}|21A x x =-≤≤，{}22|log (23)B x y x x ==--，则AB =A ．[2,1)-B ．(1,1]-C ．[2,1)--D ．[1,1)-3．已知1sin 3θ=，(,)2πθπ∈，则tan θ= A ．2- B．C．4- D．8-4．执行如图所示的程序框图，输出的n 为A ．1B ．2C ．3D ．45．设变量,x y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩， 则32z x y =-的最大值为A ．2-B ．2C ．3D ．4 6．已知m ,n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“||⋅=⋅m n m n ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.23 B. 43 C.2 D. 838．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过A ．向右平移3π个单位长度得到 B ．向右平移23π个单位长度得到C ．向左平移3π个单位长度得到 D ．向左平移23π个单位长度得到9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆满足90AB ACB =∠=o，PA 为球O的直径且4PA =，则点P 到底面ABC的距离为AB ．C D ．11. 已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足||2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =uu r uu r，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A ．3B ．2 D ．3-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为A B二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机 抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 . 14．二项式52()x x-的展开式中3x 的系数为 .15．已知ABC ∆的面积为,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，3A π=，则a 的最小值为 .16．已知函数2ln(1),0,()=3,0x x f x x x x +>⎧⎨-+≤⎩，若不等式|()|20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ．三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记(*)n n n b a S n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：50018001（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X 人，求X 的分布列及数学期望()E X ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=o，BAC ∠60CAD =∠=o，PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点. （1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.21．(12分)设函数2()ln 2(,)f x x mx n m n =--∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有最大值ln 2-，求m n +的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于,P Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值.23．[选修4—5：不等式选讲](10分)设函数()|23|f x x =-. （1）求不等式()5|2|f x x >-+的解集；（2）若()()()g x f x m f x m =++-的最小值为4，求实数m 的值.江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合13．45 14. 10- 15. [3--三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.【解析】（1）∵122n n S +=-， ∴当1n =时，1111222a S +==-=； 当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=，又∵1122a ==， ∴2nn a =. ………………6分 （2）由（1）知，1242n n n n n b a S +==⋅-，∴1232311232(4444)(222)n n n n T b b b b +=++++=++++-+++124(14)4(12)24242141233n n n n ++--=⨯-=⋅-+--. ………………12分18.【解析】（1∴240(131278) 2.5 2.70620202119K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. ………………6分（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人， 现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0，1，2，363820(0)56C P X C ===， 12263830(1)56C C P X C ===， 12623186(2)56C C P X C ===， …………9分 ∴X 的分布列如下：∴2030()012.5656564E X =⨯+⨯+⨯= 19.【解析】（1）证明：∵,M N 分别为,PD AD 的中点， ………………12分 则MN ∥PA .又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .在Rt ACD ∆中，60,CAD CN AN ∠==o，∴60ACN ∠=o.又∵60BAC ∠=o ， ∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . ………………4分 又∵CN MN N =I ， ∴平面CMN ∥平面PAB . ………………6分 （2）∵PA ⊥平面ABCD，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC I 平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ， 如图，以点A 为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系， ∴(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,23,0)A C P D ，N，∴(1,3,0),(1,3,2)CN PN =-=-，设(,,)x y z =n 是平面PCN 的法向量，则0CN PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取=n ， 又平面PAC 的法向量为(0,CD =，∴cos ,|||CD CDCD ⋅===n n n |， 由图可知，二面角N PC A --的平面角为锐角，∴二面角N PC A --…………12分20.【解析】（1）设焦距为2c ，由已知2c e a ==，22b =，∴1b =，2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ………………4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=， 依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =，∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)4()404141m kmk km m k k --⋅+⋅-+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②………………9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤， ………………10分∵原点O 到直线l的距离d =，∴2222225941114(1)k m d k k k -===-++++， 又∵215204k <≤，∴2807d ≤<， ∴原点O 到直线l的距离的取值范围是. ………………12分 21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2114()4mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，解()0f x '>得0x <<，∴()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减. ………………6分 （2）由（1）知，当0m >时，()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减.∴max 111()2ln 2ln ln 2422f x f m n m n m ==⋅-=----=-， ∴11ln 22n m =--， ∴11ln 22m n m m +=--，令11()ln 22h m m m =--，则121()122m h m m m -'=-=，∴()h m 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，∴min 11()()ln 222h m h ==， ∴m n +的最小值为1ln 22. ……………………12分22.【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=，即22430x y y +--+=，则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=， …………………3分∵直线2C 的方程为3y x =， ∴直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈. …………………5分（2）设1122(,),(,)P Q ρθρθ，将()6R πθρ=∈代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=得，2530ρρ-+=，∴123ρρ⋅=， ∴12|||| 3.OP OQ ρρ⋅== …………………10分23.【解析】（1）∵()5|2|f x x >-+可化为|23||2|5x x -++>，∴当32x ≥时，原不等式化为(23)(2)5x x -++>，解得2x >，∴2x >； 当322x -<<时，原不等式化为(32)(2)5x x -++>，解得0x <，∴20x -<<；当2x ≤-时，原不等式化为(32)(2)5x x --+>，解得43x <-，∴2x ≤-.综上，不等式()5|2|f x x >-+的解集为(,0)(2,)-∞+∞. …………………5分（2）∵()|23|f x x =-，∴()()()|223||223|g x f x m f x m x m x m =++-=+-+-- |(223)(223)||4|x m x m m ≥+----=，∴依题设有4||4m =，解得1m =±. …………………10分。
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2019届江西省赣州市高三3月摸底考试数学（理）试题一、单选题1．已知，，则中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】本题首先可以明确集合与集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质求出所包含的元素，即可得出结果。
【详解】集合：，，；集合：，所以，有两个元素，故选A。
【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了集合的运算以及交集的相关性质，考查了计算能力，体现了基础性，提高了学生对于集合的理解，是简单题。
2．若复数，则下列结论正确的是（）A．B．的虚部为C．D．【答案】D【解析】本题首先可以通过复数的运算将转化为，然后通过复数的相关性质依次求出、的虚部、、，即可得出结果。
【详解】，，故A错；的虚部为，故B错；，故C错；，故D正确，综上所述，故选D。
【点睛】本题考查了复数的相关性质，主要考查了复数的运算、共轭复数以及复数的模，考查计算能力，体现了基础性，是简单题。
（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题首先可以通过三视图的几何性质得知三视图之间的联系，然后通过三视图的主视图与左视图来确定锥体的顶点所在的位置，最后对四个选项依次分析，即可得出结果。
【详解】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，A中的视图满足作图法则；B中的视图满足作图法则；C中的视图不满足锥体的顶点在左前方；D中的视图满足作图法则，故选C。
【点睛】本题考查了三视图的相关性质，主要考查了三视图中的主视图、左视图与俯视图的联系，考查空间想象能力，体现了基础性，是简单题。
4．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先可以通过二倍角公式将转化为，然后通过同角三角函数的基本关系将转化为，最后带入，即可得出结果。
【详解】，故选B。
【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角函数公式的使用，考查了推理能力，其中使用到的公式有、、，考查化归与转化思想，是简单题。
5．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）A．-3 B．C．3 D．【答案】D【解析】首先可以通过是偶函数以及是奇函数得出和，然后代入到中即可得出的值，最后根据奇偶函数性质即可得出的值。
【详解】因为是偶函数，是奇函数，所以，，因为，，所以，故选D。
【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的相关性质，主要考查了奇函数与偶函数的性质的使用，考查了推理能力，奇函数有，偶函数有，考查了函数特殊值的使用，是中档题。
6．在某次自主招生中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的众数，中位数，平均数分别为，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题首先可以根据哪一组人数最多来得出众数，然后根据总人数来确定中位数，由题意可知，分数的人数最多，所以众数；因为总人数为，所以中位数为第人以及第人的成绩的平均数，所以中位数；由平均数性质可知平均数，综上所述，，故选A。
【点睛】本题考查平均数、众数、中位数的相关性质，主要考查平均数、众数、中位数的计算方法，考查学生从图表中获取信息的能力，体现了基础性，是简单题。
7．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（）A．在上递增B．在上递减C．在上递增D．在上递减【答案】C【解析】首先可以通过三角恒等变换将转化为，然后通过三角函数图像的转换得出转换后的函数图像的解析式为，再然后通过三角函数的单调性求出函数的单调区间，最后对题目所给四个选项进行判断，即可得出结果。
【详解】，，，向右平移个单位长度得到，函数的单调递增区间为，即当时，是增函数，【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角恒等变换以及三角函数的图像变换，三角函数的图像变换主要遵循着“上加下减，左加右减”的法则，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维素养，是中档题。
8．若，满足约束条件，则（）A．有最小值，有最大值B．有最小值，有最大值2C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值【答案】B【解析】本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组所表示的可行域，然后将目标函数转化为点到点的直线的斜率，最后通过观察图像即可得出结果。
【详解】如图，通过题目所给出的不等式组可画出可行域，并得出、，，即点到点的直线的斜率，并且点在可行域上，根据图示可得当点位于点处时斜率最小，即，当点位于点处时斜率最大，即，综上所述，故选B。
【点睛】本题考查线性规划的相关性质，线性规划类题目的重点是能够将题目所给的不等式组转化为可行域并在图像中表示出来，然后寻找最优解，考查绘图能力，考查数形结合思想，9．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先可以将“函数在上存在零点”转化为“函数与函数在上有交点”，然后画出函数图像，根据函数图像即可得出结果。
【详解】函数在上存在零点，即在上有解，令函数，，在上有解即函数与函数在上有交点，函数的图像就是函数的图像向左平移个单位，如图所示，函数向左平移时，当函数图像过点之后，与函数没有交点，此时，，故的取值范围为，故选B。
【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的相关性质，考查对数函数与指数函数图像的画法，考查函数图像平移的相关性质，考查数形结合思想，考查推理能力，体现了综合性，是难题。
10．已知、是椭圆：上的两点，且、关于坐标原点对称，是椭圆的一个焦点，若面积的最大值恰为2，则椭圆的长轴长的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出、两点的坐标并写出的面积公式，再然后根据面积的最大值为2得出，最后根据基本不等式的相关性质以及即可得出结果。
根据题意可画出图像，如图所示，因为、关于坐标原点对称，所以设、，因为，所以，因为面积的最大值为2，，所以当时面积取最大值，，，当且仅当时“”号成立，此时，，故选D。
【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题。
11．在中，，，，则边的长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题首先可以根据题意画出三角形图像并在上取一点使，令，再根据计算出的值以及通过与之间的大小关系判断出角的大小，最后通过计算出的大小以及的值并通过正弦定理即可得出结果。
【详解】如图所示，在上取一点，使，设，则，由得.因为，所以为说角，从而.所以，于是.故，在中，由正弦定理得，故选C。
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角形内的角之间的关系，考查同角三角函数的基本关系以及正弦定理，考查的公式有以及，是中档题。
12．设双曲线：的左、右焦点分别为、，点在上，且满足.若满足条件的点只在的左支上，则的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题需要分类讨论，首先需要讨论“在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果。
【详解】若在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，因为满足题意的点在双曲线的左支，所以，即，所以①，若在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，想要满足题意的点在双曲线的左支上，则需要满足，即，所以②由①②得，故选C。
【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题。
二、填空题13．设曲线在点处的切线方程为，则_______．【解析】求导得导函数解析式，然后通过曲线在点处的切线方程为即可得出曲线在点处的切线斜率，最后利用导数的计算即可得出结果。
【详解】因为曲线，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以，。
【点睛】本题考查了导数的相关性质，主要考查导数与曲线的某一点处的切线的联系，体现了基础性，是简单题。
14．的展开式中，的系数是_______．【答案】28【解析】本题首先可以通过二项式定理来得出二项式的展开式的通项以及它的第三项和第四项，然后对进行观察即可得出的展开式中包含的项，最后得出包含的项的系数。
【详解】二项式的展开式的通项为，故第三项为，第四项为，故的展开式中包含的项有以及，所以的系数是。
【点睛】本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式定理的应用，考查二项式的通项，考查项的系数的求法，着重考验了学生的运算与求解能力，是简单题。
15．在一节手工课中，小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥型橡皮泥捏成一个圆柱（橡皮泥的用量保持不变），则当这个圆柱的表面积最小时，该圆柱的底面半径为________．【答案】2【解析】本题首先可以设圆柱的半径为、高为，然后通过题意计算出圆锥的体积，再然后通过圆柱的体积公式以及圆锥的体积得出半径与高之间的关系，最后通过圆柱的表面积公式并借助导函数的相关性质即可得出结果。
设圆柱的半径为，高为，因为圆锥的高为，体积，所以圆柱的体积公式为，，，圆柱的表面积为，设，，当时，，是减函数；当时，，是增函数；所以当时，最小，圆柱的表面积最小，综上所述，答案为2。
【点睛】本题考查圆柱与圆锥的相关性质，考查圆柱与圆锥的表面积与体积公式，需要注意题目中所给出的圆柱与圆锥的体积相同，考查推理能力与计算能力，考查借助导数求最值的方法，体现了综合性，是中档题。
16．四边形的两条对角线与相交于点，且，，过点作，垂足为，若，则四边形的面积为_______．【答案】【解析】本题首先可以作，然后通过计算出的长，再然后通过三角形相似求出的长，最后将四边形拆成两个三角形并利用三角形面积公式即可得出结果。
【详解】设，，，则，因为，所以，即，因为，，,所以，，所以。
【点睛】本题考查四边形面积的求法以及向量的数量积的相关性质，在计算四边形的面积的时候可以将四边形分为两个三角形进行求解，向量的数量积公式为，考查计算能力，是中档题。
三、解答题17．已知数列满足，.设.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）若，求的前项和.【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)本题首先可以将代入，化简得到，然后对的值进行判断即可得出结果；(2)首先可以根据以及(1)中所得出的结论得出数列的通项，然后通过分组求和法即可得出结果。
【详解】（1）由，得，代入，得，所以，当时，，此时，数列不是等比数列，当时，，此时，数列是以为公比、为首项的等比数列。
（2）当时，由（1）知数列是以为公比、为首项的等比数列，，从而，所以。
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等比数列的定义以及数列求和中的分组求和法，考查综合分析论证求解能力，考查等差数列以及等比数列的求和公式的使用，是中档题。