湖南师范大学附属中学2019届高三摸底考试理数试卷(含答案)

炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数 学(理科)命题：贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才审题：高二数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于A ．3＋4iB ．3－4iC .35＋45iD .35－45i 2．已知P ＝{x|x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于A ．(1，4)B ．[2，4)C ．(1，2]D ．(－∞，2]3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A .h ＋k 2B .nh ＋mk m ＋nC .mh ＋nk m ＋nD .h ＋k m ＋n4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于A ．－7B ．－5C ．5D ．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD.其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 A ．2或233 B .6或233 C ．2或 3 D .3或 67．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是 A ．0 B .π6 C .π3 D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6B ．1－3π12C ．1－3π9D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A .22π3B .3π3C .23π3D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5B .3π4C ．(6－25)πD .5π411．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列；③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列；④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡 题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 答 案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示)14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β.(1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1； (2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝e x＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D. 2．C 【解析】解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x 的定义域，所以4－2x ≥0，所以x ∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mk m ＋n，故选B. 4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B. 5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝c a ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S△ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A. 9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3.10．A 【解析】设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A.11．B 【解析】因为F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，即f (x )－x －1＝0有2个实数根，所以当x ≤0时，令e x －x －1＝0，解得x ＝0，此时只有一个实数根，当x ＞0时，令f (x )－x －1＝0，即x 2＋(a －1)x ＝0，即x [x －(1－a )]＝0，此时解得x ＝1－a ，要使得函数F (x )有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当x ∈Z 时，[)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1；当x Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x )，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．①④正确，故选D. 二、填空题 13.35【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x 2·(1＋x )6，则(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2＝15x 2，1x 2·(1＋x )6展开式中含x 2的项为1x 2·C 46x 4＝15x 2，故x 2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，x ＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故x ＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q ＝38，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1（n ≥2），解得c n ＝4n －1.7分所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2， b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2，2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分 19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)． ∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分． 20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是 E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a2＝1，点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.②由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2，10分则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0，∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f (x )的定义域内f ′(x )>0，故f (x )单调递增． (ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2.当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－22∪⎝⎛⎭⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增．若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增．(ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2， 则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增． 当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点， 即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数，则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0，所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立，即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a ＋2(x ＋a )≥22， 所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2≥0， 所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1，所以－a22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x ＋x 2－f (x )＝e x －ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0.当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)，当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0.综上，当a≤2时，g(x)>0.12分。