2023届辽宁省抚顺市“抚顺六校协作体”高一上数学期末质量检测模拟试题含解析
辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高一上学期期末数学试题
辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}271|20B x x x +-==，则AB 的一个真子集为（ ） A ．{}4 B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}22．10cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．12 B ．12-C D ． 3．1122log sinlog cos1212ππ+值为（ ）A ．-4B ．4C ．2D ．-24．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点()1,2P --，则tan2θ等于( ) A ．45B ．45-C ．43D ．43-5．幂函数()()22121m f x m m x-=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．26．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．13y x = B ．()tan f x x =-C ．()21x f x x =- D ．()22xx f x -=-8．如图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距水面2m ，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离()y m 与时间()x s 满足关系式()sin 2y A x ωϕ=++，则有（ ）A ．512πω=，3A = B ．215πω=，3A = C ．512πω=，5A =D ．215πω=，5A =9．已知35a =，31log 5b =，3log 1c =-，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．若函数()2=f x x bx c ++对任意x ∈R 都有()()13f x f x -=-，则以下结论中正确的是（ ）A ．()()()025f f f <-<B ．()()()250f f f -<<C ．()()()205f f f -<<D ．()()()052f f f <<-11．已知0x （01x >）是函数2()1f x lnx x =--的一个零点，若0(1,)a x ∈， 0(,)b x ∈+∞，则( )A ．()0f a >， ()0f b >B ．()0f a >， ()0f b <C ．()0f a <，()0f b <D ．()0f a <，()0f b >12．设()(,)f x -∞+∞是定义在上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若1()02f =，三角形的内角满足(cos )0f A <，则A 的取值范围是（ ）A ．2()33ππ,B ．(,)32ππC ．2(,)(,)323ππππ⋃D ．2(,](,)323ππππ⋃二、填空题 13．计算：1201(lg 25)lg 25lg 425-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭________.14．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()22f x x +的单调递增区间是________.15．已知tan 2α=，则()()2cos s ()n cos 2i απαππα--++的值为________.16．已知函数y ＝tan ωx 在π,22π⎛⎫- ⎪⎝⎭内是单调减函数，则ω的取值范围是________．三、解答题17．设函数()f x =A ，已知集合{}|13B x x =<<，{}|C x x m =≥，全集为R .（1）求()R A B ；（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围.18．某同学在利用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，πϕ<<）的图象时，列出了如表格中的部分数据.（1）请将表格补充完整，并写出()f x 的解析式；（2）讨论()f x 在区间5,124π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.19．共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝21400,0400280000,400x x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪>⎩，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．（1）试将利润用y 元表示为月产量x 的函数；（2）当月产量x 为多少件时利润最大？最大利润是多少？ 20．关于x 的方程24sintan0(0)22x x m αααπ++=<<有两个相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围； （2）若42cos 3m α+=，求1sin 2cos 21tan ααα+-+的值． 21．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.22．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】求出集合B ，判断即可. 【详解】解：{}{}2|347120B x x x =+-=＝，， 则{3,4}A B =，{}4是AB 的一个真子集，故选：A. 【点睛】考查集合的交集及其集合与集合的关系，基础题. 2．B 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 解：101011cos cos cos 3332πππ⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础试题. 3．C 【分析】利用倍角公式、对数运算性质即可得出. 【详解】解：原式211122211log sin cos log sin log 21212262πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查了倍角公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sin θ和cos θ的值，可得tan θ的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解． 【详解】角θ的终边经过点()1,2P --，1x ∴=-，2y =-，r OP ==siny r θ∴==cos x r θ==tan 2y x θ==， 则22tan 4tan21tan 3θθθ==--． 故选D ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 5．D 【分析】本题首先可根据函数()f x 是幂函数得出0m =或2m =，然后根据函数()f x 在()0,∞+上为增函数得出2m =，即可得出结果. 【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =， 因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数， 所以210m ->，即12m >，2m =， 故选：D. 【点睛】本题考查幂函数的相关性质，主要考查根据函数是幂函数以及幂函数的单调性求参数，考查计算能力，是简单题. 6．A 【分析】根据对数函数的图象和性质分别进行排除即可. 【详解】解：当01a <<时，函数()g x 为减函数，排除B ，D ， 由20x +>得2x >-，即函数的定义域为(2,)-+∞，排除C ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础. 7．D 【分析】根据基本函数的单调性、奇偶性逐项判断即可. 【详解】解：13y x =是奇函数，但在定义域内为增函数，故排除A ；()tan f x x =-是奇函数，但()()0tan00,tan 0f f ππ=-==-=，则()f x 在定义域内不是单调递减函数，故排除B ；()21x f x x =-是奇函数，但()22112222,2,23213112f f ⎛⎫==-== ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭则()f x 在定义域内不是单调递减函数，故排除C ；()22x x f x -=-的定义域为R ，且()()2222()x x x x f x f x ---=-=--=-，∴()22xx f x -=-是奇函数，又2x -递减，2x -递减，∴()22xx f x -=-单调递减，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记常见基本函数的有关性质是解决问题的基础. 8．B 【分析】根据题意可得出A 的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得ω的值，进而得出结论. 【详解】由题意可知max 25y A =+=，可得3A =，该函数的周期为()60154T s ==， 2215T ππω∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数解析式中参数的计算，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【解析】由35a =得：3log 51a =>,31log 05b =<. 由3log 1c =-，得13c =. 所以b c a <<. 故选A. 10．A 【解析】 【分析】根据题意得到()2f x x bx c =++的对称轴为1x =且函数的开口方向向上，且在()1,+∞上为增函数，由图像性质可得到离轴越远函数值越大，进而得到结果. 【详解】若函数()2f x x bx c =++对任意x R ∈都有()()13f x f x -=-，则()2f x x bx c =++的对称轴为1x =且函数的开口方向向上，则函数在()1,+∞上为增函数，由图像性质可得到离轴越远,函数值越大又()()()()02,24f f f f=-=，所以()()()245f f f<<，即()()()025f f f<-<，故选A．【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，通过单调性和图像的性质得到式子的大小关系，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.11．D【解析】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=21x-的图象，由图可得结论．详解：令f（x）=lnx﹣21x-=0，从而有lnx=21x-，此方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=21x-的图象，由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，故选D．点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些．12．C【解析】解；∵f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的草图如图，由图知若f (cosA )<0，则12cosA <-，或102cosA <<又∵A 为△ABC 内角，∴A ∈(0,π)2(,)(,)323A ππππ∴∈⋃本题选择C 选项.13．8 【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出. 【详解】 解：原式12251lg(254)5128⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=++⨯=++=故答案为：8. 【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 14．(,1]-∞- 【分析】由外层函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义域内的减函数，只需求出内层函数22t x x =+的减区间即可. 【详解】解：∵函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义域内的减函数， 而22t x x =+的减区间为(,1]-∞-，∴函数()22f x x +的单调递增区间是(,1]-∞-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题. 15．65【分析】利用诱导公式化简，然后利用同角三角函数间的关系式可求得. 【详解】 解：tan 2α=， 则()()2cos s ()n cos 2i απαππα--++2sin sin cos ααα=+222sin sin cos sin cos ααααα+=+ 22tan tan 1tan ααα+=+ 426145+==+ 故答案为：65. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，考察同角三角函数间的关系式的应用，是中档题. 16．[－1,0) 【解析】∵函数tan y x ω=在π,22π⎛⎫-⎪⎝⎭内是单调减函数， ∴0ωππω<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得10ω-≤<，∴ω的取值范围是[1,0)-． 答案：[1,0)- 点睛：求解ω的范围时，可从函数的单调性和周期性两个方面考虑，由复合函数的单调性可得ω为负值．又函数在π,22π⎛⎫-⎪⎝⎭内是单调减函数，故π,22π⎛⎫- ⎪⎝⎭为一个周期的子集，由此可得关于ω的不等式组，解不等式组即可． 17．（1）{|12}x x <≤；（2）3m ≤ 【分析】（1）由题意可得()13log 20x -≥且20x ->，解不等式可求A ，结合集合的基本运算可求；（2）先求出A B ，然后结合集合的交集运算可求.【详解】由()13log 20x -≥得021x <-≤，所以{}|23A x x =<≤，{|2U C A x x =≤或}3x >，(){|2R A B x x ∴=≤或3}{|13{}|12}x x x x x <><=≤<；（2）由（1）知{}|23A x x =<≤，因{}|13B x x =<<， 所以{}|13A B x x ⋂=<≤， 又{}|C x x m =≥，()A B C ≠∅，所以3m ≤. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补的基本运算以及交集结果求参数，属于基础试题.18．（1）表格见解析，()4sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 【分析】（1）直接利用表格中的数据列方程组，求出函数的关系式； （2）利用整体思想的应用求出函数的单调区间，再对照5,124π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得结果. 【详解】（1）由5122332πωϕπππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得26ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩由表中数据得4A =，所以()4sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭表格如图：（2）由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，由3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因为5,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，5,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.19．（1）y ＝2130020000,0400260000100,400x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎨⎪->⎩；（2）300辆；25000元．【分析】（1）根据题意总成本为(20 000＋100x )元，由利润＝总收益－总成本即可求解.（2）由（1）当0＜x ≤400时，配方可求出最大值；当x ＞400时，根据一次函数的单调性可求出最大值，进而求出自行车厂的最大利润. 【详解】(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝2130020000,0400260000100,400x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎨⎪->⎩，(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000. 所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元． 【点睛】本题考查了分段函数模型的应用，考查了考生的分析问题的能力，属于基础题. 20．（1）(0,2]；（2）59-． 【解析】试题分析：由题意得，可得216sin 24sin cos 2sin 224tan 2aa a m a α===，由三角函数的知识可求得；（2）化简原式为2sin cos αα，由42cos 3m α+=得2sin cos 3αα+=，所以52sin cos 9αα=-，可求解结论．试题解析：（1）关于x 的方程24sintan 0(0)22a ax x m απ++=<<有两个相等的实数根， 所以216sin4tan 022a a m ∆=-=，则216sin 24sin cos 2sin 224tan 2a a a m a α===． 因为0απ<<，所以02sin 2α<≤．即所求实数m 的取值范围为(0,2]．（2）21sin 2cos 22sin 2sin cos sin 1tan 1cos αααααααα+-+=++2sin cos (sin cos )2sin cos sin cos αααααααα+==+当42cos 3m α+=时，则2sin cos 3αα+=，平方得412sin cos 9αα+=，∴52sin cos 9αα=-，即1sin 2cos 251tan 9ααα+-=-+． 考点：三角函数的化简求值． 21．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭；（2）3π【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈，所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 22．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m << 【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）由题意，101(1)(7)x mx x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】 （1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下： 由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数； （2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)mf x x x >--恒成立，即221log log 1(1)(7)x mx x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]2,4x ∈，所以107mx x+>>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15， 所以015m <<. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.。
2023届辽宁省抚顺市第十中学数学高一上期末含解析
【解析】由 得出 ，再结合周期性得出函数值.
【详解】 ， ，
即 ， ，则
故选：D
10、D
【解析】作出g(x)= 图象，它与f(x)的图象交点为 和 ，由图象可得
11、A
【解析】由 得 ，所以 ；
由 得 ，所以 .
所以 ．选A
12、B
【解析】因为 ，所以 ，故选B.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
6、C
【解析】由α是第三象限角，且sin（ ） ，可得 为第二象限角，即可得 ，然后结合 ，利用两角和的正弦公式展开运算即可.
【详解】解：因为α是第三象限角，则 ，
又sin（ ） ，所以 ，
即 为第二象限角，
则 ，
则 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了角的拼凑，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.
7、D
【详解】
故选：C.
3、A
【解析】根据角的定义判断
【详解】锐角大于 而小于 ，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，
第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A正确
故选：A
4、B
【解析】因为函数 满足 ，所以 ，结合 ，可得 ，故选B.
5、D
【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=- ，直线在x，y轴上的截距分别为- ，- .如图，k<0，即- <0，所以ab>0，因为- >0，- >0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确
2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<<，{4B x x =<-或}1x >，则A B =U （ ） A ．{4x x <-或}2x > B ．{4x x <-或}1x > C ．{}2x x << D ．{4x x <-或}1x >-【答案】D【解析】根据集合并集的运算，直接求解. 【详解】{}12A x x =-<<Q ,{4B x x =<-或}1x >, {4A B x x ∴⋃=<-或}1x >-,故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，属于容易题. 2．函数ln(1)()2x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,2)(2,)-⋃+∞C ．(1,2)-D ．[1,2)(2,)-+∞U【答案】B【解析】由函数的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】 由题意可得1020x x +>⎧⎨-≠⎩，所以1x >-且2x ≠，即定义域为()()1,22,-⋃+∞，故选B 【点睛】本题主要考查函数的定义域，由已知解析式的函数求其定义域，只需求使解析式有意义的x 的范围，属于基础题型.3．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为x B ．这组新数据的平均数为a x +C ．这组新数据的方差为2asD ．这组新数据的标准差为【答案】D【解析】根据平均数及方差的定义可知，一组数据的每个数都乘以a 得到一组新数据，平均值变为原来a 倍，方差变为原来2a 倍. 【详解】设一组数据1234,,,,,n x x x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s , 则平均值为()12341n ax ax ax ax ax ax n++++⋯+=， ()()()()()22222212341n s x x x xx xx xx x n ⎡⎤=-+-+-+-+⋯+-⎢⎥⎣⎦Q ，()()()()()222222212341nax ax axax ax ax ax ax axax a s n ⎡⎤∴-+-+-+-+⋯+-=⋅⎢⎥⎣⎦故选：D. 【点睛】本题主要考查了方差，平均数的概念，灵活运用公式计算是解题关键，属于中档题. 4．下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是（ ） A ．3()f x x = B ．31()f x x=-C ．3()log f x x =D ．()3x f x =【答案】A【解析】根据满足()()()f xy f x f y =即可排除B 、C 、D 【详解】对于B 可知,()()33333311111()y f x f y f xy x x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==≠-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故排除B ；对于C 可得()()()()3333log log log log =⋅=+≠=f x f y x y x y xy f xy ,故排除C ； 对于D 可得()()()3333xyx yxy f x f y f xy +=⋅=≠=,故排除D ；对于A 可知()()()()333f x f y x y xy f xy =⋅==,且3()f x x =是递增函数,故选A【点睛】本题考查函数的性质,考查指数、对数的运算,属于基础题 5．在同一直角坐标系中，函数()()0af x x x =≥，()log a g x x =-的的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】就01a <<和1a >分类讨论可得正确的选项. 【详解】解：当01a <<时，函数()()0af x xx =≥为增函数，且图象变化越来越平缓，()log a g x x =-的图象为增函数，当1a >时，函数()()0af x x x =≥为增函数，且图象变化越来越快，()log a g x x=-的图象为减函数， 综上：只有D 符合 故选D ． 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.6．已知()2132f x x +=-，若a 是函数()4y f x =-的一个零点，则a 的值为（ ） A ．2 B ．5C ．143D ．12-【答案】B【解析】a 是函数()4y f x =-的一个零点可知()4f a =，令()21324f x x +=-=，即可求解. 【详解】因为a 是函数()4y f x =-的一个零点， 所以()4f a =，令()21324f x x +=-=， 解得2x =，所以212215a x =+=⨯+=， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数零点，函数求值，属于中档题.7．设60.60.6066log 6a b c ===．，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数的单调性性质利用“1”和“0”比较大小即可.600.600.60.6066log 6log 10a b c ==>=<=．<0.6=1，6=1， 【详解】因为0.6xy =是减函数，所以6006a =<．0.6=1，且0a >，因为6xy =是增函数，所以0.606b =>6=1， 因为0.6log y x =是减函数， 所以0.60.6log 6log 10c =<=， 故c a b <<， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题. 8．已知0a b >>,下列不等式中正确的是( ) A ．c c a b> B ．2ab b < C ．2a ab -<-D ．1111a b <-- 【答案】C【解析】利用作差法证明，或举出反例推翻选项. 【详解】A 选项：当0c =时，选项不成立；B 选项：()20ab b b a b -=->，所以选项不正确；C 选项：()()20a ab a a b ---=--<，所以2a ab -<-，该选项正确；D 选项：当12,2a b ==时，111,211a b ==---，选项不正确. 故选：C 【点睛】此题考查不等式的性质的应用，常用作差法比较大小，或举出反例推翻命题.9．某射击运动员射击一次命中目标的概率为p ，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率3764，则p 为（ ）A ．14 B ．34C ．8D ．8【答案】A【解析】三次都未命中的概率为3(1)p -，连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，即可求解. 【详解】因为射击一次命中目标的概率为p ， 所以射击一次未命中目标的概率为1p -， 因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为3(1)p -，因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中， 所以连续射击三次，至少有一次命中的概率31(1)3764p --=， 解得14p =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，对立事件，属于中档题.10．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，若()12f -=，且()22f x -≤，则x 的取值范围是（ ）A ．[]13， B ．()13， C ．[)1+∞， D ．[)3+∞，【答案】A【解析】定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增, ()22(1)f x f -≤=-可等价转化为|2||1|x -≤-，即可求解. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且()12f -= 所以()()|2|21f x f-≤=-，又()f x 在[)0+∞，上单调递增， 所以|2||1|1x -≤-=， 即121x -≤-≤， 解得13x ≤≤. 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性应用，函数的单调性应用，属于中档题.二、多选题11．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，【答案】AB【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件. 【详解】Q 3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题，可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞， 故选：AB 【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题. 12．下列结论中正确的是（ ）A ．已知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 在任何区间内的平均变化率均比()2g x =在同一区间内的平均变化率小，则函数()f x 在R 上是减函数；B ．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，a ，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；C ．方程()()255log 21log 2x x +=-的解集为{}13-，；D ．一次函数()0y kx b k =+≠一定存在反函数． 【答案】AD【解析】A 选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B 选项根据平均数计算a ,可判断75%分位数；C 选项要注意真数大于0；D 选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在. 【详解】A 中，由题意知()f x 在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数()f x 在R 上是减函数正确；B 中，由2，3，3，7，10，11，12，a ，18，20的平均数为10，可求得14a =，根据75%分位数概念计算可知312(1412)13.54+⨯-=，故不正确，C 中，1x =-时，()()255log 21,log 2x x +-无意义，显然错误；D 中，一次函数()0y kx b k =+≠具有单调性，反解()x g y =可以构成函数，故存在反函数，正确.故选：AD 【点睛】本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.三、填空题13．已知对于不同的0a >且1a ≠，函数()243x f x a-=+必过一个定点A ，则A 的坐标是_________．【答案】()24，【解析】根据指数函数性质可知当240x -=时，即可求出A 。
辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
2023-2024学年度下学期“抚顺六校协作体”期末考试试题高一数学（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果()1i 1z -=，则z z +=（）A.2- B.1- C.1D.22.已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（）A. B.4πC. D.8π3.在ABC 中，点D 在边AB 上，23BD BA =．记CA a = ，CD b = ，则CB = （）A .32a b- B.23a b-+ C.32a b + D.23a b+ 4.下列区间中，函数()π1sin 6f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知()1,0a = ，()3,4b = ，c a b λ=+ ，若,,a c b c = ，则λ=（）A.6- B.5- C.5D.66.若π1tan 43θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ++的值为（）A.65-B.25-C.25D.657.已知正三棱台上、下底面的面积分别为2734和,高为1，所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是（）A.100πB.128πC.144πD.192π8.在ABC 中，已知sin 2A A +=，2a =sin sin 2C c B =，则ABC 的面积是（）A.1+ B.2+ C.1 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数()2sin 2f x x =，下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数C.当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦D.()f x 的图象可由()π2sin 24g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度得到10.在平面直角坐标系中，点()1cos ,sin A αα，()2cos ,sin A ββ-，()()()3cos ,sin A αβαβ++，()0,0O ，()10B ,，那么下列结论正确的是（）A.12OA OA =B.12A B A B =C.312OB OA OA OA ⋅=⋅ D.123OB OA OA OA ⋅=⋅ 11.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12CC =，E 是线段1BC 上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（）A.1A EB.1//A E 平面1AD CC.1A E EC +的最小值为1705D.以A为半径的球面与侧面11CDD C 的交线长是π2三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知1i z =--，则1z -=______．13.已知()0,πα∈，若2π3cos 33α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．14.在ABC 中，1AB =，60C ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为BD 的中点，3AB AF = ，则CE CF ⋅的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面上两个向量a ，b，其中a = ，3b = ，且3π,4a b = ．（1）若2a b λ+ 与43a b + 共线，求λ的值；（2）求a b + 与b 的夹角的余弦值．16.如图（1），在梯形PBCD 中，BC PD ∥，2PD BC =，A 是PD 中点，现将ABP 沿AB 折起得图（2），点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）在线段PC 上是否存在一点E ，使得平面EMN ∥平面PAB ？若存在，请指出点E 的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，以a ，b ，c 为边长的三个等边三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ．已知1234S S S ab +-=，sin C B =．（1）求角B ：（2）若ABC 的面积为3c ．18.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，OA OB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．（1）求证：OE ∥平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，4PO =，3OA =，求三棱锥-P ABC 的体积．19.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)p =的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．2023-2024学年度下学期“抚顺六校协作体”期末考试试题高一数学考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果()1i 1z -=，则z z +=（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据复数四则运算求出z ，然后由共轭复数概念可得.【详解】因为()1i 1z -=，所以11i i1z =+=-，所以1i z =+，所以()()1i 1i 2z z +=-++=.故选：D2.已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（）A. B.4πC. D.8π【答案】B 【解析】【分析】圆的周长公式求出l ，然后由圆锥侧面积公式可得.【详解】设圆锥的母线长为l ，则由题意有π=l ，得l =，所以侧面积为ππ4πrl ==.故选：B3.在ABC 中，点D 在边AB 上，23BD BA =．记CA a = ，CD b = ，则CB = （）A.32a b -B.23a b-+C.32a b +D.23a b+ 【答案】B 【解析】【分析】根据图形结合向量的线性运算分析求解.【详解】由题意可得：()332323CB CA AB CA AD CA CD CA CA CD a b =+=+=+-=-+=-+.故选：B.4.下列区间中，函数()π1sin 6f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质求解即可．【详解】函数()ππ1sin sin 166f x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要求函数的增区间，即()πππ2π2π262k x k k Z -+≤-≤+∈，即()π2π2π2π33k x k k Z -+≤≤+∈.令0k =，得到π2π33x -≤≤.则A 正确，B 错误；令1k =，得到5π8π33x ≤≤.则C ，D 错误．故选：A ．5.已知()1,0a = ，()3,4b = ，c a b λ=+ ，若,,a c b c = ，则λ=（）A.6- B.5- C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求出()3,4c λ=+，再根据,,a c b c = 相等，建立关于λ的等式求解．【详解】解：()1,0a =，()3,4b = ，()3,4c a b λλ∴=+=+，,,a c b c =，b a c c b c a c ⋅⋅∴==，解得：5λ=，故选：C ．6.若π1tan 43θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ++的值为（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】首先利用两角和的正切公式求tan θ，再利用三角函数恒等变化，转化为关于sin ,cos θθ的齐次分式，转化为正切表示，即可求解.【详解】πtan 11tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，tan 2θ=-，()()2sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++，222222sin sin cos tan tan 2sin sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ++=+===++.故选：C7.已知正三棱台上、下底面的面积分别为4和,高为1，所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是（）A.100πB.128πC.144πD.192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】正三棱台上、下底面面积分别为4和,可求出上下底边长为：.设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以122,2sin 60sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A.8.在ABC 中，已知sin 2A A +=，2a =sin sin 2C c B =，则ABC 的面积是（）A.1+ B.2+ C.1 D.2【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用三角恒等变换以及正弦定理可得π6A =，π4B =，进而求sinC ，利用正弦定理可得b =，即可得面积.【详解】因为sin 2A A +=，则πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0,πA ∈，则ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得ππ32A +=，解得π6A =，sin sin 2C c B =sin sin sin 2B C C B =，sin 2sin sin cos B C C B B =，且(),0,πB C ∈，则sin ,sin 0B C >，2cos B =，即cos 2B =，可得π4B =，则()sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B =+=+=，由正弦定理sin sin a bA B =可得sin sin a B b A==，所以ABC 的面积是11sin 21224ABC S ab C ==⨯⨯= .故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数()2sin 2f x x =，下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数C.当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦D.()f x 的图象可由()π2sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度得到【答案】BC 【解析】【分析】对于ABC ，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D ，利用三角函数平移的性质即可判断.【详解】对A,对于()2sin 2f x x =，它的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对B,又sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确；对C,当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦，故C 正确；对D,()π2sin 24g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度得到解析式为πππ2sin 22sin 22cos 2842y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：BC ．10.在平面直角坐标系中，点()1cos ,sin A αα，()2cos ,sin A ββ-，()()()3cos ,sin A αβαβ++，()0,0O ，()10B ,，那么下列结论正确的是（）A.12OA OA =B.12A B A B= C.312OB OA OA OA ⋅=⋅ D.123OB OA OA OA ⋅=⋅【答案】AC 【解析】【分析】根据点的坐标，求出向量，模以及数量积，再结合三角恒等变换公式等即可判断.【详解】对A ，()1cos ,sin OA αα= ，()2cos ,sin OA ββ=- ，则11OA == ，21OA == ，所以12OA OA = ，故A 正确；对B ，()11cos ,sin A B αα=-- ，()21cos ,sin A B ββ=-，则1A B == ，2A B =，因为α与β的大小不确定，所以没办法判定12A B A B =是否相等，故B 错误；对C ，()1,0OB = ，()()()3cos ,sin OA αβαβ=++ ，所以()3cos OB OA αβ⋅=+，()12cos cos sin sin cos OA OA αβαβαβ⋅=-=+ ，所以312OB OA OA OA ⋅=⋅，故C 正确；对D ，1cos OB OA α⋅=，()()()[]23cos cos sin sin cos cos 2OA OA βαββαββαββα⎡⎤⋅=+-+=++=+⎣⎦，所以123OB OA OA OA ⋅≠⋅，故D 错误.故选：AC.11.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12CC =，E 是线段1BC 上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（）A.1A E B.1//A E 平面1AD CC.1A E EC +的最小值为5D.以A 为半径的球面与侧面11CDD C 的交线长是π2【答案】BCD【解析】【分析】计算11A BC V 的边1BC 上的高后可判断A 的正误，可证平面1//ACD 平面11A C B ，从而可1//A E 平面1AD C ，故可判断B 的正误，利用平面展开图结合余弦定理可求1A E EC +的最小值，故可判断C 的正误，D 中判断出交线的形状结合计算可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为在长方体中，1AB AD ==，12CC =，故1111AC A B C B ===11A BC V 为等腰三角形，而2221111102A B C B A C +=>=，故11A BC ∠为锐角，故1A E 的最小值为11A BC V 的边1BC 上的高，设高为h ，则1122h ⨯=，故5h ==，故1A E的最小值为5，故A 错误.对于B ，由长方体的性质可得1111//,=D C AB D C AB ，故四边形11D C BA 为平行四边形，故11//AD C B ，而1AD ⊄平面11A C B ，1BC ⊂平面11A C B ，故1//AD 平面11A C B ，同理1//CD 平面11A C B ，而11111,,AD CD D AD CD =⊂ 平面1ACD ，故平面1//ACD 平面11A C B ，而1A E ⊂平面11A C B ，故1//A E 平面1ACD ，故B 正确.对于C ，如图，将11A BC V 、1BCC 放置在一个平面中，则1A E EC +的最小值即为1AC，而1122cos 10A C B ∠==，1cos 5CC B ∠==，因为11AC B ∠、1CC B ∠均为锐角，故11sin 10A C B ∠=，1sin 5CC B ∠=，故11cos 505010A C C ∠=-=-，故15A C ====，故C 正确.对于D ，以A为半径的球面与侧面11CDD C 的交线为14个圆弧，该圆弧的圆心为D，半径为1=，故弧长为π42π211⨯⨯=，故D 成立.故选：BCD .三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知1i z =--，则1z -=______．【答案】5【解析】【分析】先化简复数，再根据模长公式计算即可.【详解】()11i 12i z -=---=--,可得()()221215z -=-+-=.513.已知()0,πα∈，若2π3cos 33α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】13【解析】【分析】利用诱导公式可求得π3cos 33α⎛⎫+=-⎪⎝⎭，利用ππsin 2cos[2()]63αα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，结合二倍角的余弦公式可求值.【详解】由2π3cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得π3cos π33α⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则π3cos 33α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πππ2ππsin 2cos 2cos 2cos[2(66233αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22π312cos 112333α⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.故答案为：1314.在ABC 中，1AB = ，60C ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为BD 的中点，3AB AF = ，则CE CF ⋅ 的最大值为______．【答案】1324【解析】【分析】将CE CF ⋅ 用基底{,}CA CB 表示出来，后用余弦定理，结合基本不等式可解.【详解】如图所示，设,,a b c 分别为ABC 的角,,A B C 所对边，由余弦定理知，2222cos c a b ab C =+-，即221a b ab =+-，即221a b ab +=+.2212a b ab ab +=+≥,即1ab ≤，当且仅当1a b ==取等号.根据三点共线的向量结论，可知11112224CE CB CD CB CA =+=+ ，1233CF CB =+ ，则221112151())||||243366(12CE CF CB CA CB CA CB CA CB CA =++=⋅+⋅+⋅ ，化简得22221511156126s 6o 6c 24CE CF a ab C b a b ab =++=+⋅+ .则451131313(1)26686248CE CF ab ab ab ⋅=++=+≤+= ，当且仅当1a b ==取等号.则CE CF ⋅ 的最大值为1324.故答案为：1324.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面上两个向量a ，b ，其中a = ，3b = ，且3π,4a b = ．（1）若2a b λ+ 与43a b +共线，求λ的值；（2）求a b + 与b 的夹角的余弦值．【答案】（1）32λ=（2）5【解析】【分析】（1）运用向量共线的定理结论，求λ的值即可；（2）运用向量数量积的夹角的余弦公式求解即可．【小问1详解】若2a b λ+ 与43a b + 共线，则存在实数k ，使得()243a b k a b λ+=+ ，即()()2430k a k b λ-+-= ，因为向量a 与b 不共线，所以30240k k λ-=⎧⎨-=⎩，解得32λ=．【小问2详解】因为2cos ,362a b a b a b ⎛⎫⋅==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，a b += ，所以()25cos ,5a b b a b b a b b a b b a b b +⋅⋅++===+⋅+⋅ ．16.如图（1），在梯形PBCD 中，BC PD ∥，2PD BC =，A 是PD 中点，现将ABP 沿AB 折起得图（2），点M是PD 的中点，点N 是BC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）在线段PC 上是否存在一点E ，使得平面EMN ∥平面PAB ？若存在，请指出点E 的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，E 为PC 中点，证明见解析【解析】【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可；（2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可；【小问1详解】取AP 的中点Q ，连接MQ ，BQ ，因为M ，Q 分别为PD ，PA 的中点，所以//MQ AD ，12MQ AD =，又因为N 为BC 的中点，所以//BN AD ，12=BN AD ．所以//MQ BN ，MQ BN =，所以四边形MNBQ 为平行四边形，所以//MN BQ ，又因为MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．【小问2详解】存在点E ，当E 为PC 中点时，平面//EMN 平面PAB ．证明如下：由图（1）因为A 是PD 中点，BC PD ∥，2PD BC =，所以//BC AD 且BC AD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ．因为E ，M 分别为PC ，PD 中点，所以//EM CD ，所以//EM AB ，因为AB ⊂平面PAB ，EM ⊄平面PAB ，所以//EM 平面PAB ，同理可知//EN 平面PAB ，又因为,EM EN E EM ⋂=⊂平面,EMN EN ⊂平面EMN ，所以平面//EMN 平面PAB ．17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，以a ，b ，c 为边长的三个等边三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ．已知1234S S S ab +-=，sin C B =．（1）求角B ：（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）c =【解析】【分析】（1）由已知可得222a b c +-=，结合余弦定理可得cos C ，结合已知可得cos B ，进而求得B ；（2）由（1）可求得,C A ，进而由正弦定理可得312a c +=，62b c =，从而由面积可求得c .【小问1详解】因为1234S S S ab +-=，所以222a b c +-=由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =，且()0,πB ∈，所以π3B =．【小问2详解】由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sinsin 124622224A +⎛⎫==+=+⨯= ⎪⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c ==，从而142a c ++==，22b c ==，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC的面积为3+，可得2338c =，所以c =18.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，OA OB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）求证：OE ∥平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，4PO =，3OA =，求三棱锥-P ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接,EF OF ，由题意可证//OF AC ，进而可得//OF 平面PAC ，由三角形中位线定理可得//EF PA ，进而可证//EF 平面PAC ，从而可证平面//OEF 平面PAC ，可得结论；（2）由已知可得AB =9AC =，由三棱锥的体积公式可求体积.【小问1详解】取AB 中点F ，连接,EF OF ．因为OA OB =，F 为AB 的中点，所以OF AB ⊥，又因为AB AC ⊥，所以OF AC ∥．因为OF ⊂/平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以OF ∥平面PAC ．因为,E F 分别是,PB AB 的中点，所以EF PA ∥．因为EF ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以//EF 平面PAC ．又因为EF OF F = ，所以平面OEF ∥平面PAC ，因为OE ⊂平面OEF ，所以OE ∥平面PAC ．【小问2详解】因为3OA OB ==，30ABO ∠=︒，由（1）可得2AF =，所以AB =因为30ABO CBO ∠=∠=︒，所以60ABC ∠=︒，又因为AB AC ⊥，所以9AC =，所以119222ABC S AB AC =⋅=⨯=△，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以114332P ABC ABC V S OP -=⋅=⨯⨯=△．19.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x 的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1ππ4sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()y f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数()y f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.。
2018-2019学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}271|20B x x x +-==，则A B I 的一个真子集为（ ） A ．{}4 B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}2【答案】A【解析】求出集合B ，判断即可. 【详解】解：{}{}2|347120B x x x =+-=＝，， 则{3,4}A B =I ，{}4是A B I的一个真子集，故选：A. 【点睛】考查集合的交集及其集合与集合的关系，基础题. 2．10cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ． 【答案】B【解析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 解：101011cos cos cos 3332πππ⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础试题. 3．1122log sinlog cos1212ππ+值为（ ）A ．-4B ．4C ．2D ．-2【答案】C【解析】利用倍角公式、对数运算性质即可得出. 【详解】解：原式211122211log sin cos log sin log 21212262πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查了倍角公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点()1,2P --，则tan2θ等于( ) A ．45B ．45-C ．43D ．43-【答案】D【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sin θ和cos θ的值，可得tan θ的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解． 【详解】Q 角θ的终边经过点()1,2P --，1x ∴=-，2y =-，r OP ==sin y r θ∴==cos x r θ==，tan 2y x θ==， 则22tan 4tan21tan 3θθθ==--．故选D ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 5．幂函数()()22121m f x m m x-=-+在()0,+∞上为增函数，则实数m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】先根据幂函数定义求m ，再根据单调性进行取舍与选择. 【详解】因为()()22121m f x m m x-=-+是幂函数，所以2211,m m -+=可得0m =或2m =，又当0m =时()1f x x -=在()0,+∞上为减函数，所以0m =不合题意，2m =时，()3f x x =在()0,+∞上为增函数，合题意，故选C.【点睛】本题考查幂函数定义及其单调性，考查基本求解能力. 6．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据对数函数的图象和性质分别进行排除即可. 【详解】解：当01a <<时，函数()g x 为减函数，排除B ，D ， 由20x +>得2x >-，即函数的定义域为(2,)-+∞，排除C ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础.7．如图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有()A ．ω＝，A ＝3B ．ω＝，A ＝3C ．ω＝，A ＝5D ．ω＝，A ＝5【答案】C【解析】已知水轮每分钟旋转圈，，又半径，水轮中心距水面最高点为，可得，故选A.8．已知35a =，31log 5b =，3log 1c =-，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】由35a =得：3log 51a =>,31log 05b =<. 由3log 1c =-，得13c =. 所以b c a <<. 故选A.9．若函数()2=f x x bx c ++对任意x ∈R 都有()()13f x f x -=-，则以下结论中正确的是（ ）A ．()()()025f f f <-<B ．()()()250f f f -<<C ．()()()205f f f -<<D ．()()()052f f f <<-【答案】A【解析】根据题意得到()2f x x bx c =++的对称轴为1x =且函数的开口方向向上，且在()1,+∞上为增函数，由图像性质可得到离轴越远函数值越大，进而得到结果. 【详解】若函数()2f x x bx c =++对任意x R ∈都有()()13f x f x -=-，则()2f x x bx c =++的对称轴为1x =且函数的开口方向向上，则函数在()1,+∞上为增函数，由图像性质可得到离轴越远,函数值越大又()()()()02,24f f f f =-=，所以()()()245f f f <<，即()()()025f f f <-<，故选A ． 【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，通过单调性和图像的性质得到式子的大小关系，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 10．已知0x （01x >）是函数2()1f x lnx x =--的一个零点，若0(1,)a x ∈， 0(,)b x ∈+∞，则( )A ．()0f a >， ()0f b >B ．()0f a >， ()0f b <C ．()0f a <，()0f b <D ．()0f a <，()0f b >【答案】D【解析】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx 与y=21x -的图象，由图可得结论． 详解：令 f （x ）=lnx ﹣21x -=0，从而有lnx=21x -， 此方程的解即为函数f （x ）的零点， 在同一坐标系中作出函数y=1nx 与y=21x -的图象，由图可得f （a ）＜0，f （b ）＞0， 故选D ．点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些．11．设()(,)f x -∞+∞是定义在上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若1()02f =，三角形的内角满足(cos )0f A <，则A 的取值范围是（ ） A ．2()33ππ,B ．(,)32ππC ．2(,)(,)323ππππ⋃D ．2(,](,)323ππππ⋃ 【答案】C【解析】解；∵f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的草图如图，由图知若f (cosA )<0，则12cosA <-，或102cosA <<又∵A 为△ABC 内角，∴A ∈(0,π)2(,)(,)323A ππππ∴∈⋃本题选择C 选项.二、填空题 12．计算：1201(lg 25)lg 25lg 425-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭________.【答案】8【解析】利用指数与对数的运算性质即可得出. 【详解】 解：原式12251lg(254)5128⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=++⨯=++=故答案为：8. 【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.13．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()22f x x +的单调递增区间是________.【答案】(,1]-∞-【解析】由外层函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义域内的减函数，只需求出内层函数22t x x =+的减区间即可. 【详解】解：∵函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义域内的减函数， 而22t x x =+的减区间为(,1]-∞-，∴函数()22f x x +的单调递增区间是(,1]-∞-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题. 14．已知tan 2α=，则()()2cos s ()n cos 2i απαππα--++的值为________.【答案】65【解析】利用诱导公式化简，然后利用同角三角函数间的关系式可求得. 【详解】 解：tan 2α=Q ， 则()()2cos s ()n cos 2i απαππα--++2sin sin cos ααα=+222sin sin cos sin cos ααααα+=+ 22tan tan 1tan ααα+=+ 426145+==+ 故答案为：65. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，考察同角三角函数间的关系式的应用，是中档题.15．已知函数y ＝tan ωx 在π,22π⎛⎫- ⎪⎝⎭内是单调减函数，则ω的取值范围是________．【答案】[－1,0)【解析】∵函数tan y x ω=在π,22π⎛⎫-⎪⎝⎭内是单调减函数， ∴0ωππω<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得10ω-≤<，∴ω的取值范围是[1,0)-． 答案：[1,0)- 点睛：求解ω的范围时，可从函数的单调性和周期性两个方面考虑，由复合函数的单调性可得ω为负值．又函数在π,22π⎛⎫- ⎪⎝⎭内是单调减函数，故π,22π⎛⎫- ⎪⎝⎭为一个周期的子集，由此可得关于ω的不等式组，解不等式组即可．三、解答题16．设函数()f x =A ，已知集合{}|13B x x =<<，{}|C x x m =≥，全集为R .（1）求()R A B I ð；（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|12}x x <≤；（2）3m ≤【解析】（1）由题意可得()13log 20x -≥且20x ->，解不等式可求A ，结合集合的基本运算可求；（2）先求出A B U ，然后结合集合的交集运算可求. 【详解】由()13log 20x -≥得021x <-≤，所以{}|23A x x =<≤，{|2U C A x x =≤或}3x >，(){|2R A B x x ∴=≤I ð或3}{|13{}|12}x x x x x <><=≤<I ；（2）由（1）知{}|23A x x =<≤，因{}|13B x x =<<， 所以{}|13A B x x ⋂=<≤，又{}|C x x m =≥，()A B C ≠∅U I ， 所以3m ≤. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补的基本运算以及交集结果求参数，属于基础试题.17．共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数21400,0400()280000,400x x x h x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩… 其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y 元表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) 2130020000,0400,260000100.400.x x x y x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎪->⎩(2)见解析. 【解析】(1)先计算总成本为20 000()100x ＋元，再利用总收益减去成本得到利润. (2)计算分段函数每段的最大值，再确定整个函数的最大值. 【详解】(1)依题设知，总成本为20 000()100x ＋元，则 2130020000,0400,260000100.400.x x x y x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎪->⎩(2)当0400x ≤＜时，21(300)250002y x =--+，故当=300x 时，25 000max y ＝； 当400x ＞时，=60 000100y x －是减函数，故60 00010040020 000y <⨯－＝ . 所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元． 【点睛】本题考查了分段函数的表达值，分段函数的最值，计算分段函数的每段的最大值得到函数最大值是解题的关键，意在考查学生对于函数知识的应用能力. 18．关于x 的方程24sintan0(0)22x x m αααπ++=<<有两个相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若42cos 3m α+=，求1sin 2cos 21tan ααα+-+的值． 【答案】（1）(0,2]；（2）59-．【解析】试题分析：由题意得，可得216sin 24sin cos 2sin 224tan 2a a a m a α===，由三角函数的知识可求得；（2）化简原式为2sin cos αα，由42cos 3m α+=得2sin cos 3αα+=，所以52sin cos 9αα=-，可求解结论．试题解析：（1）关于x 的方程24sin tan 0(0)22a a x x m απ++=<<有两个相等的实数根，所以216sin4tan 022a a m ∆=-=，则216sin 24sin cos 2sin 224tan 2aa a m a α===． 因为0απ<<，所以02sin 2α<≤．即所求实数m 的取值范围为(0,2]．（2）21sin 2cos 22sin 2sin cos sin 1tan 1cos αααααααα+-+=++2sin cos (sin cos )2sin cos sin cos αααααααα+==+当42cos 3m α+=时，则2sin cos 3αα+=，平方得412sin cos 9αα+=，∴52sin cos 9αα=-，即1sin 2cos 251tan 9ααα+-=-+． 【考点】三角函数的化简求值．19．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.【答案】（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值.【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈， 解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.20．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)m f x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）015m <<【解析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称， 又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)m f x x x >--恒成立， 即221log log 1(1)(7)x m x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]2,4x ∈，所以107m x x+>>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立， 设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.。
2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果(z−1)i =1，则z +z =( )A. −2B. −1C. 1D. 22.已知某圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为( )A. 22πB. 4πC. 42πD. 8π3.在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =23BA.记CA =a ，CD =b ，则CB =( )A. 3a−2bB. −2a +3bC. 3a +2bD. 2a +3b4.下列区间中，函数f(x)=1−sin(π6−x)单调递增的区间是( )A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)5.已知a =(1,0)，b =(3,4)，c =λa +b ，若<a ，c >=<b ，c >，则λ=( )A. −6B. −5C. 5D. 66.若tan (θ+π4)=−13，则sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ的值为( )A. −65B. −25C. 25D. 657.已知正三棱台上、下底面的面积分别为27 34和123，高为1，所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8.在△ABC 中，已知sin A + 3cos A =2，a =2，2b sin C =c sin 2B ，则△ABC 的面积是( )A.3+1B. 23+2C.3−1D. 23−2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数f(x)=2sin 2x ，下列说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)在区间[−π4,π4]上是单调递增函数C. 当x ∈[−π6,π3]时，f(x)的取值范围为[−3,2]D. f(x)的图象可由g(x)=2sin (2x +π4)的图象向左平移π8个单位长度得到10.在平面直角坐标系中，点A 1(cos α,sin α)，A 2(cos β,−sin β)，A 3(cos (α+β),sin (α+β))，O(0,0)，B(1,0)，那么下列结论正确的是( )A. |OA 1|=|OA 2| B. |A 1B |=|A 2B |C. OB ⋅OA 3=OA 1⋅OA 2D. OB ⋅OA 1=OA 2⋅OA 311.长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，CC 1=2，E 是线段BC 1上的一动点(包括端点)，则下列说法正确的是( )A. A 1E 的最小值为2B. A 1E//平面AD 1CC. A 1E +EC 的最小值为1705D. 以A 为球心，2为半径的球面与侧面CDD 1C 1的交线长是π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，则A B ⋃=（）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【正确答案】D【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，所以{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故选：D.2．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD =2，AB =BC =CD =1，E 为AD 的中点．则下列式子不正确的是（）A ．AB AE AC+= B ．BE EC = C ．AB CD ED -=D ．0ED CB += 【正确答案】C【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.【详解】由题意1,//,//,AE ED BC AE BC ED BC AE ED BC ===∴==，并且四边形ABCE 和四边形BCDE 都是平行四边形，即,BE CD AB EC ==，对于A ，AB AE AC +=，正确；对于B ，1,1BE CD EC AB ====，正确；对于C ，ED AE AB BE AB CD AB CD ==+=+≠-，错误；对于D ，,0ED BC CB ED CB ==-∴+=，正确；故选：C.3．“12x -≤”是“2211x x -≤+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】化简不等式，得到两个不等式的解，根据充分条件，必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：由12x -≤，解得13x -≤≤，由2211x x -≤+，解得13x -<≤，显然1313x x -<≤⇒-≤≤，但是13x -≤≤推不出13x -<≤，所以“12x -≤”是“2211x x -≤+”的必要不充分条件．故选：B.4．下列函数是增函数且在(0,5)上有零点的是（）A ．()4f x x =+B ．()4f x x =-C ．()ln 3f x x =-D ．()38xf x =-【正确答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及函数的零点存在性定理逐个选项判断即可．【详解】对于A ，()4f x x =+是增函数，令()40f x x =+=，则40x =-<，故A 错误；对于B ，()4f x x =-在()0,+∞上是减函数，故B 错误；对于C ，令()ln 30f x x =-=，则3e 5x =>，故C 错误；对于D ，()38x f x =-是增函数，令()380xf x =-=，则()3log 81,2x =∈，故D 正确；故选：D ．5．已知23log 2a =，5log 6b =，3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】根据对数函数的单调性即可求解.【详解】由对数函数的单调性可知：2233log 2log 01a ==<，55log 65log 1b ==>，又()0,13c =，所以b c a >>．故选.C6．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（）A ．38B ．716C ．58D ．916【正确答案】B【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为716．故选：B.7．下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰），根据下图，则（）A ．这10年的人口出生率逐年下降B ．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45%C ．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰D ．这10年的人口出生率的平均数小于12‰【正确答案】D【分析】由走势图对选项一一验证即可.【详解】对于A ：这10年的人口出生率有升有降，故A 错误；对于B ：这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于50%，故B 错误；对于C ：由于100.88⨯=，则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9个数的平均数13.5713.8313.702+=，故C 错误；对于D ：这10年的人口出生率的平均数为()114.5713.0313.8311.9913.5712.6410.8610.418.527.5211.69410+++++++++=小于12‰，故D 正确；故选：D.8．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为34a（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为3a（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg 20.30,lg 30.48≈≈）A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年【正确答案】D【分析】由条件列式434a ab =先确定参数，再结合对数运算解方程3ta ab =.【详解】由题意，434a S ab ==，即434b =，所以b =，令3t a ab =，即13tb =，故13t=，即1lg 3t =，可得1(lg32lg2)lg34t -=-，即4lg 3162lg 2lg 3t =≈-．故选：D二、多选题9．已知e 是直线l 上的一个单位向量，a 与b都是直线l 上的向量，且2a e = ，3b e =- ，则（）A ．b的坐标为3-B ．||3b = C ．23a b +的坐标为5D ．|23|5a b += 【正确答案】ABD【分析】根据题意得到22a e == ，33b e =-= ，,a b的夹角为180 ，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为3b e =- ，所以b的坐标为3-，故A 正确；对选项B ，33b e =-=，故B 正确.对选项C ，因为2a e = ，3b e =-，所以23a b + 的坐标为5-，故C 错误；对选项D ，因为22a e == ，33b e =-= ，,a b 的夹角为180 ，所以()()222223491242991223125a ba b a b +=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，所以|23|5a b +=，故D 正确.故选：ABD10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）A ．平均数为8.5B ．平均数为8C ．方差为10.5D ．方差为10【正确答案】BC【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.【详解】由题意，该样本数据的平均数10910781010a ⨯+⨯==+，方差222101011(98)8(78)10.52020s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：BC11．设函数()()ln f x x a =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．当1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0∞-C ．若()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为(,0]-∞D ．若()f x 的值域为R ，则a 的取值范围为[0,)+∞【正确答案】AD【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.【详解】对于A 选项，因为当0a >时，函数定义域为(,)(,)a a -∞-+∞ ，当0a =时，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ；当a<0时，函数的定义域为R ，函数定义域关于原点对称，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，故A 正确；对于B 选项，当1a =时，令10x ->，解得1x <-或1x >，由复合函数的单调性可知()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，故B 错误；对于C 选项，若()f x 的定义域为R ，则0x a ->恒成立，故a<0，则a 的取值范围为(),0∞-，故C 错误；对于D 选项，若()f x 的值域为R ，则0a -≤，故0a ≥，则a 的取值范围为[0,)+∞，故D 正确．故选.AD12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，且()()11f x g x ++=，()()13f x g x +-=，则（）A ．()g x 的图象关于直线2x =对称B ．()f x 的图象关于点()0,2对称C ．()f x 是以3为周期的周期函数D ．()g x 是以4为周期的周期函数【正确答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可．【详解】由()()11f x g x ++=，可得()()121f x g x +++=，又()()13f x g x +-=，所以()()22g x g x ++=-，则()()422g x g x +++=-，所以()()4g x g x +=，所以()g x 周期为4，故D 正确；同理可得()()4f x f x +=，所以()f x 周期为4，故C 错误；．因为()g x 为偶函数，所以()()()4g x g x g x -==+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，故A 正确；因为()()11f x g x ++=，可得()()11g x f x =--，又()()13f x g x +-=，所以()()13g x f x -=--，由()()g x g x -=，可得()()1113f x f x --=--，即()()114f x f x -+-=，所以()f x 的图象关于点()0,2对称，故B 正确；故选：ABD ．三、填空题13．已知(,2)a m =- ，(3,1)b = ，若a b ∥，则a =r ______．【正确答案】【分析】首先根据a b ∥得到6m =-，再计算a 即可.【详解】由a b ∥，得60+=m ，则6m =-，故||a ==故四、双空题14．某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，将数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[]60,70分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则=a ______．要从日支出在[]50,70的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[]60,70中被抽取的人数为______．【正确答案】0.0052【分析】根据频率之和为1列出方程，求出0.005a =，得到[50,60)内和[]60,70内的样本比例，从而得到在[]60,70中被抽取的人数.【详解】()20.020.0250.045101a ⨯+++⨯=，解得0.005a =．因为[50,60)内和[]60,70内的样本个数比例为0.020:0.0054:1=，根据分层抽样可知，日支出在[]60,70中被抽取的人数为110214⨯=+．故0.005，2五、填空题15．设a ，b ∈R ，若22936a b ab ++=，则3a b +的最大值为______．【正确答案】【分析】利用条件变形和问题建立起联系：()2336a b ab +=+，再利用基本不等式求出ab 的范围即可求解.【详解】()22293633a b ab a b ab ++==+-，即()2336a b ab +=+，因为229363a b ab ab ++=≥，可得23ab ≤，当且仅当3a b =时，等号成立，所以()23368a b ab +=+≤，即3a b +的最大值为故答案为.16．已知ABC 内一点P 满足14AP AB AC λ=+ ，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】512【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+，又14AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC = ．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PNBH ABλ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，所以11143λ++=，解得512λ=．故答案为.512六、解答题17．已知命题:p x ∃∈R ，20x mx m ++<，集合A 是命题p 为假命题时实数m 的取值集合，函数()()ln f x x a a x=++-B ．(1)求集合A ；(2)已知0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【正确答案】(1)[]0,4A =(2)()4,+∞【分析】（1）分析可知，命题p 的否定为真命题，由0∆≤可求得集合A ；（2）求出集合B ，分析可知A B ，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：命题p 的否定为x ∀∈R ，20++≥x mx m ，命题p 的否定为真命题等价于240m m ∆=-≤，解得04m ≤≤，所以[]0,4A =．（2）解：0a > ，要使()f x 有意义，则00x a a x +>⎧⎨->⎩，解得a x a -<<，则(),B a a =-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，所以，04a a -<⎧⎨>⎩，解得4a >，当4a =时，()4,4B =-，此时AB .因此，实数a 的取值范围是()4,+∞.18．已知幂函数()()23mf x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减．(1)求()f x 的解析式；(2)若[]1,2x ∀∈，()2x af x x-≤，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()2f x x-=(2)(,1]-∞【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；(2)根据题意分离变量得到12xa x≤-在[]1,2恒成立，利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为幂函数()()23mf x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减，所以2310m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()f x 的解析式为()2f x x -=．（2）由()2x a f x x-≤，可得12x a x ≤-，则12xa x ≤-，因为12,xy y x==-在[]1,2上单调递增，所以12x y x=-在[]1,2上单调递增，所以当1x =时，取得最小值1．所以a 的取值范围为(,1]-∞．19．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12log 4f x x m =++．(1)求m 的值并求出()f x 在(),0∞-上的解析式；(2)若()1f a >，求a 的取值范围．【正确答案】(1)2m =，()()12log 42f x x =--+-(2)(),4-∞-【分析】（1）根据函数为R 上的奇函数得到()00f =，求出m 的值，并利用函数的奇偶性求出解析式；（2）得到函数的单调性及()124log 821f -=--=，从而解不等式，求出答案.【详解】（1）由题可知()020f m =-+=，即2m =，经检验符合题意，令0x <，则0x ->，()()12log 42f x x -=-++，又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()12log 42f x x -=-++，故()()12log 42f x x =--+-，故()f x 在(),0∞-上的解析式为()()12log 42f x x =--+-．（2）由函数性质可知()f x 在[0,)+∞上单调递减，则()f x 在R 上单调递减．又因为()124log 821f -=--=，所以()1f a >，即()()4f a f >-，所以当4a <-时，()1f a >，即a 的取值范围为(),4-∞-．20．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲未获得奖金的概率；(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．【正确答案】(1)0.825(2)0.0098【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金的概率；（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解.【详解】（1）获得二等奖的概率为0.70.50.50.80.14⨯⨯⨯=，获得一等奖的概率为0.70.50.50.20.035⨯⨯⨯=，所以甲未获得奖金的概率为10.140.0350.825--=．（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，则所求的概率为0.0350.140.140.0350.0098⨯+⨯=．21．已知m >0，n >0，如图，在ABC 中，点M ，N 满足AM mAB = ，AN nAC = ，D 是线段BC 上一点，13BD BC = ，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．(1)若点O 满足2AO OB OC =+ ，证明：//OE BC ．(2)求2m n +的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)43【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用,AB AC 依次表示,,,,AD AE AO OE CB ，再结合向量共线定理证明//OE CB 即可；(2)由(1)1136AE AM AN m n =+ ，结合结论可得11136m n+=，再利用基本不等式求2m n +的最小值．【详解】（1）由题可知()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，因为点E 为AD 的中点，所以1136AE AB AC =+ ．由2AO OB OC =+ ，则2AO OA AB OA AC =+++ ，即()14AO AB AC =+ ，()111113641212OE AE AO AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭ ，又CB AB AC=- 所以//OE CB ，又,,E C B 三点不共线，所以//OE BC ．（2）因为M ，N ，E 三点共线，所以可设ME MN λ= ，又AM mAB = ，AN nAC = ，所以()()11AE AM AN mAB nACλλλλ=-+=-+ 又1136AE AB AC =+ ，所以()111,36m n λλ-==，所以11136m n+=，所以11112242(2)36333633n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23m =，13n =时，等号成立．所以2m n +的最小值是43．22．已知函数()()4422x x x x f x m n --=+-++．(1)证明：当0m n ==，()f x 在()0,∞+上单调递增．(2)若()f x 恰有3个零点，求m 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)()4,+∞【分析】（1）当0m n ==时，()44x x f x -=+，根据单调性定义证明设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，化简计算()()12f x f x -即可得到()()12f x f x <，即可证明；（2）计算可得()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，则当()f x 恰有3个零点时，()00f =，即可得到m 与n 的关系，即可代入函数解析式消去n ，得到()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点，根据单调性定义证明22x x y -=+在()0,∞+上单调递增，则令()222,x x t -=+∈+∞，得到2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即可解出答案.【详解】（1）证明：当0m n ==时，()44x x f x -=+．设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()()()1122121212144444414x x x x x x x x f x f x --+⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭，因为120x x <<，所以12440x x -<，即121104x x +>-，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．（2）因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称．因为()f x 恰有3个零点，所以()00f =，即220m n -+=．此时()()()()2442222222224x x x x x x x x f x m m m m ----=+-++-=+-++-，所以()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点．由（1）同理可知22x x y -=+在()0,∞+上单调递增．令()222,x x t -=+∈+∞，则2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即2m t =+，则4m >，所以m 的取值范围为()4,+∞．。
2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，，则（ ） {}1,2,3,4,5,6U ={}2,4,6A ={}1,2,4,5B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{}3{}6{}3,6{}2,3,4,6【答案】B【分析】由补集和交集的定义可求得结果． 【详解】由题可得，则． {}3,6U B =ð(){}6U A B = ð故选：B ．2．集合，若，则的取值范围是（ ） {}|310M x x m =-+>1M ∉m A ． B ． C ． D ．4m >4m <4m ≥4m ≤【答案】C【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为，所以，解得， 1M ∉3110m ⨯-+≤4m ≥故选:C.3．命题“”的否定为（ ）2000110x x x ∃>+->，A ． B ．2000110x x x ∃>+-≤，2000110x x x ∃≤+->，C ． D ．2110x x x ∀≤+->，2110x x x ∀>+-≤，【答案】D【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定为，2000110x x x ∃>+->，2110x x x ∀>+-≤，故选：D4．函数的图象大致是（ ）()2222x xx f x -=+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数表达式，求得函数为偶函数，且恒成立即可判断()f x ()0f x ≥【详解】由题意可得： ()()()22222222x x x xx x f x f x ----===++故函数为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除C 和D 选项 ()f x 又恒成立，可排除A 选项 ()0f x ≥故选：B5．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调增区间是()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ()g x y x =()216g x -（ ） A ． B ． C ． D ．[)0,4()4,0-(]0,4(]4,0-【答案】A【分析】由题意可知是的反函数，即可求出，进而得出的解析式，由复()g x ()f x ()g x ()216g x -合函数单调性的性质求解即可．【详解】∵函数与的图象关于直线对称，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x y x =∴函数是的反函数，则，()g x ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭12()log g x x =∴，()()221216log 16y g x x =-=-由，解得， 2160x ->44x -<<令，，216u x =-44x -<<在上单调递增，在上单调递减， 216u x =-()4,0-[0,4)又在上单调递减，12log y u =()0,∞+∴的单调增区间为．()216g x -[0,4)故选：A ．6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒100mL 精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚2079mg -80mg 上9点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，如果在停止喝酒后，他血液中0.6/mg mL 酒精含量会以每小时的速度减少，则他次日上午最早（ ）点（结果取整数）开车才不构成10%酒后驾车.（参考数据：） lg 30.477=A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】由题得，解不等式即可解决. 0.6100(110%)20,t ⨯-<【详解】由题知，设他至少经过小时才可以驾车， t 所以 0.6100(110%)20,t ⨯-<所以 93(1,10t⨯<所以 91lg lg ,103t ⨯<所以， lg 310.42lg 31t ->≈-所以，11t ≥所以他至少经过11小时，即次日早8点才可以驾车， 故选：C7．已知，，，则大小关系是（ ）125()2a =232b =253c =,,a b c A ． B ． C ． D ．a b c <<c<a<b a c b <<c b a <<【答案】B【分析】因为，，，故只需比较，，的大小，结合指125()02a =>4132(2)0b =>4152(3)0c =>52432453数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果．【详解】因为，，，故只需比较，，的大小，125()02a =>4132(2)0b =>4152(3)0c =>52432453∵，，∴，即；4343128(2)2168===35125()28=43335(2)()2>43522>∵，，∴，即；45452592(3)38132===553125()232=45555(3)()2<45532<∴，又在上递增．44535322<<12y x =()0,∞+∴，即． 44111532225(3)()(2)2<<c<a<b 故选：B ．8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）2()lg 4(84)1f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦R a A ．(0，4) B ．[1，4]∪{0} C ．(0，1]∪[4，+∞） D ．[0，1]∪[4，+∞）【答案】D【分析】令，由题意可知，函数的值域包含，24(84)1u ax a x -=++24(84)1u ax a x -=++()0,∞+分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的0a =0a ≠a a 取值范围.【详解】令，由于函数的值域为，24(84)1u ax a x -=++2()lg 4(84)1f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦R 所以，函数的值域包含. 24(84)1u ax a x -=++()0,∞+①当时，函数的值域为，符合题意；0a =81u x =+R ②当时，若函数的值域包含，0a ≠24(84)1u ax a x -=++()0,∞+则，解得或. ()20Δ84440a a a >⎧⎪⎨=--⨯≥⎪⎩01a <≤4a ≥综上所述，实数的取值范围是. a [][)0,14,⋃+∞故选：D.二、多选题9．已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系0a >0b >1ab =11a b ≠≠，()xf x a -=()log b g x x =中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论． 01a <<1a >【详解】由，，且，， 0a >0b >1ab =11a b ≠≠，所以过点， ()1xxa f x a-⎛⎫= ⎪⎝⎭=()0,1而过点；()log b g x x =()1,0选项A ，B ：由图可知单调递增，则此时， ()f x 01a <<所以有，故在单调递增， 1b >()g x ,()0x ∈+∞故A 选项错误，选项B 正确；选项C ，D ：由图可知单调递减，则此时， ()f x 1a >所以有，故在单调递减， 01b <<()g x ,()0x ∈+∞故C 选项不正确，选项D 正确； 故选：BD.10．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） ,m n m n <A ． B ．C ．D ．2mn n <33m n <2211mn m n<22m n <【答案】BC【分析】根据不等式的性质可判断AC ，根据的性质可判断B ，利用特值可判断D. 3y x =【详解】因为为非零实数，且， ,m n m n <当时，，故A 错误；0n <2mn n >因为函数单调递增，所以，故B 正确； 3y x =33m n <因为，，所以，故C 正确； m n <2210m n >2211mn m n <取，则，故D 错误. 11m n =-<=22m n =故选：BC.11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上()f x x ()()0f x f x +-=的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中12,x x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()f x 能被称为“理想函数”的是（ ）A ．B ．C ．D ．()1f x x =13()f xx =-()2121x x f x -=+())f x x =【答案】BD【分析】由题意知“理想函数”是：定义域内为奇函数且为减函数，依次判断各选项即可得答案． 【详解】由，可得为定义域上的奇函数，()()0f x f x +-=()f x 由时，恒有，可得为定义域上的减函数．12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()f x 对于A 选项，在其定义域内不是单调函数，故A 错误； 1()f x x=(,0)(0,)-∞+∞ 对于B 选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定1133()()()f x x x f x =---=-=()f x ∴13y x =义域上单调递增，则在定义域上单调递减，故B 正确；R ()f x R 对于C 选项，定义域为，，为奇函数； ()f x R 1221122()()1221212xx x x x xx x f x f x ------====-+++()f x ∴，在上为增函数且，在上为减函2122()12121x x x f x +-==-++21x y =+ R 211x +>221x y ∴=+R 数，在上为增函数，故C 错误；2()121x f x ∴=-+R 对于D 选项，，则函数的定义域为，())f xx =R ，则())f x x -=+=)()x f x ==-=-()f x 为奇函数；令，设，则，()g x x =12x x >120x x ->()())121221g x g x x x x x -=---=-()()12121x x x x ⎫⎪=-=--⎪⎭，11x x >…2x >，12x x >+．1<10<，即，在上是减函数． ()()120g x g x ∴-<()()12g x g x <()g x ∴R 在上是减函数．故D 正确． ())f x x ∴=R 故选：BD ．12．设函数，且，则下列关系可能成立的是（ ）()|22|,,R xf x a b +=-∈a b ¹A ．B ．2ab f f f a b ⎛⎫>> ⎪+⎝⎭22aba b f f fa b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭C ． D ．2ab f ff a b ⎛⎫>> ⎪+⎝⎭22ab a b ff f a b+⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】ABC【分析】由条件，且的大小关系，再讨论函数,R a b +∈a b ¹22a b ab a b++()f x 的单调性即可逐一判断作答. 【详解】因，且， ,R a b +∈a b ¹则2a b+>22ab a b a b <⇔<++又，则， 222222()2()a b a b ab a b+>++=+222()24a b a b ++>2a b+>. 22a b ab a b+>>>+函数，则在上递减，在上递增，22,1()22,1x x x f x x ⎧-<=⎨-≥⎩()f x (0,1][1,)+∞对于A ，当时，有成立，A 选项可能成立； 21ab a b ≥+>>2()abf f f a b +对于B ，由知，即取某个数，存在， 0221x <-<21log 3x <<2a b+2(1,log 3)201ab a b<<<+使得成立，结合的图象如图，B 选项可能成立； 2((2>)>ab a bf f f a b ++()f x对于C ，当时，有成立，C 选项可能成立；01<≤2()>ab f f f a b >+对于D ，由，由，即2()>ab f f a b +1>>()2a bf f +1<出现矛盾，D 选项不可能成立. 故选：ABC.三、填空题13．已知函数，则_____.()2200x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，()()1f f -=【答案】2【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】， ()()()112f f f -==故答案为：214．已知函数，则不等式解集为_____． 2()22f x x x =-+(21)(1)f x f x +≤-【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由，结合函数的解析式，可得，解一元二次不等式(21)(1)f x f x +≤-()f x 20344x x +-≤即可．【详解】由，(21)(1)f x f x +≤-得， 222222(21)(21)(1)(1)x x x x -+≤-+--++展开整理得， 20344x x +-≤即，解得， (2)(32)0x x +-≤223x -≤≤故不等式的解集为．(21)(1)f x f x +≤-22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x +()2f x +[]12x ∈，，若，则 _____.()2f x ax b =+(0)(3)9f f +=8()3f =【答案】73-【分析】由题得，，化简得，即可解决. (1)(1)f x f x +=--+(2)(2)f x f x +=-+(4)()f x f x +=【详解】由为奇函数关于有点对称，可知关于对称，()1f x +()()10f f x =，()1,0为偶函数关于轴对称，可知关于对称，()2f x +y ()f x 2x =所以，，(1)(1)f x f x +=--+(2)(2)f x f x +=-+所以，即， [][](1)1(1)1()f x f x f x ++=--++=--(2)()f x f x +=--所以， (2)(2)()f x f x f x -+=+=--令，即， t x =-(2)()f t f t +=-所以， (4)(2)()f t f t f t +=-+=所以，(4)()f x f x +=当时，， []12x ∈，()2f x ax b =+所以，(0)(11)(2)4f f f a b =-+=-=-- (3)(12)(12)(1),f f f f a b =+=-+==+又， (0)(3)9f f +=所以，解得， 39a -=3a =-因为， (1)0f a b =+=所以，3b a =-=所以当时，， []12x ∈，()233f x x =-+所以，844214167(()(2)((1)()3333333393f f f f f f =-=--+=-=--==-⋅+=-故答案为：73-四、双空题16．已知为常数且，函数的零点为，函数的零点为a 1a >()22xf x a x =+-1x ()2log 2a g x x x =+-，则 _____，的最小值是______. 2x 12x x +=112212x x x x ++【答案】 272【分析】确定交点关于对称，得到，变换，再利用均值不()1,1122x x +=12112212212322x x x x x x x x ++=++等式计算得到最值.【详解】，即；()220x f x a x =+-=2xx =-+，即，()2log 20a g x x x =+-=2x =-+，，关于对称，且与垂直，交于点，xy =y x =y x =y x =2y x=-+()1,1故与的交点，与的交点，关于对称，xy =2y x =-+y x =2y x =-+()1,1故，122x x +=，，()10,1x ∈()21,x ∈+∞， 112121211221221221233722222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++=++≥=当，即，时等号成立.211222x x x x =243x =123x =故答案为：；272五、解答题17．（1； 1223092)84⎛⎫+ ⎪⎝⎭+（2）．3g 355lo 51lg 25lg 23log 9log 2+-+⋅【答案】（1）；（2）－2 132【分析】利用指数幂、对数的运算性质可得解．【详解】（1； ()112222200333)93282)242⎛⎫⎛⎫-+⎝⎡⎤⎝+=+⎢⎥+ ⎪ ⎪⎭⎭⎢⎥⎣⎦23213214=-++=（2）． 3g 355lo 51lg 25lg 23log 9log 2+-+⋅2lg 3lg 5lg 5lg 251522lg 5lg 3=+-+⋅=-+=-18．已知函数过点．()log a f x x =(2,1)-(1)求解析式；()f x (2)若，求的值域．2()(45)g x f x x =-++()g x 【答案】(1)， ()12log f x x =()0,x ∈+∞(2) 12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将代入，解得，即可得解析式；(2,1)-()log a f x x =a ()f x （2）求得，令，，利用二次函数与对数函数的性212()log (45)g x x x =-++245u x x =-++15x -<<质求解即可．【详解】（1）将代入，得，解得， (2,1)-()log a f x x =1log 2a -=12a =所以，其中 ()12log f x x =()0,x ∈+∞（2）， 1222()(45)log (45)g x f x x x x =-++=-++由，解得，2450x x -++>15x -<<令，，245u x x =-++15x -<<∵，2245(2)9u x x x =-++=--+∴由二次函数的性质可知，在时，，(1,5)x ∈-(0,9]u ∈又在上单调递减， 12log y u =(0,)+∞所以的值域为．(注：也正确) ()g x 12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)2log 9,-+∞19．面对近期更加严峻而又错综复杂的疫情，某生猪养殖公司为了缓解市民吃肉难的生活问题，欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距150千米的乙地，运费为每小时50元，装卸费为800元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速(km/h)度值的2倍.(说明：运输的总费用=运费+装卸费+).2.45≈(1)若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；(2)为使运输的总费用不超过1050元，求汽车行驶速度的范围；(3)求出运输的总费用最小值.（精确到整数）【答案】(1)(元)1050(2)[]50,75(3)1045元【分析】(1)根据题意直接列式求解；(2)列出不等式，解一元二次不等式求解即可；(3)利用基本不等式求解.【详解】（1）因为运输的总费用运费装卸费损耗费=++当汽车的速度为每小时50千米时所以运输总费用为： (元) 15050800250105050⨯++⨯=（2）设汽车行驶的速度为千米/小时x 因为运输的总费用运费装卸费损耗费=++所以 1505028001050x x⨯++≤化简得 ，解得：，2225075000x x -+≤5075x ≤≤所以运输的总费用不超过1050元，汽车行驶速度的范围为，[]50,75（3）设汽车行驶的速度为千米/小时，x 因为运输的总费用运费装卸费损耗费=++所以运输的总费用： 150502800800x x ⨯++≥=(元)8001045+≈当且仅当即 75002x x=x =运输的总费用最小值为1045元.20．已知幂函数 ()为偶函数，且在是单调增函数. ()223m m f x x -++=m ∈Z ()0+∞，(1)求函数的解析式；()f x (2)求解集.()()()232120f x f x a a x x -++≥【答案】(1) ，；()4f x x =x ∈R (2)答案见解析.【分析】（1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可；（2）根据解一元二次不等式的方法分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为幂函数在在是单调增函数， 所以()()223Z mm f x x m -++=∈()0+∞，2230m m -++>，解得： ， 13m -<<因为，所以， m ∈Z 012m =，，当时，，此时为奇函数，不符合题意；0m =()3f x x =()f x 当时，，此时为偶函数，符合题意；1m =()4f x x =()f x 当时，此时为奇函数，不符合题意；2m =()3f x x =所以当时， ，；1m =()4f x x =x ∈R （2）， ()()()232120f x f x a a x x -++≥等价于，()202120x ax a x ≠-++≥，即， ()()0120x ax x ≠--≥，当时，解集为， a<01|20x x x a ⎧⎫≤≤≠⎨⎬⎩⎭且当时，解集为，0a ={}|20x x x ≤≠且当时，解集为 102a <<1|20x x x x a ⎧⎫≤≥≠⎨⎬⎩⎭或且，当时，解集为， 12a ={}|0x x ≠当时，解集为. 12a >1|20x x x x a ⎧⎫≤≥≠⎨⎬⎩⎭或且21．已知函数是上的奇函数． 2()2xx a f x b -=+R (1)求值；,a b (2)判断函数单调性(不用证明)；(3)若对任意实数，不等式f (f (x ))＋f (5－2m )＞0恒成立，求m 的取值范围．x 【答案】(1)a ＝1，b ＝1(2)上的减函数R(3)3m ≥【分析】（1）根据为上的奇函数，利用特殊值即可求得，然后验证即可；()f x R ,a b （2）变形即可判断单调性； 2()112xf x =-++（3）利用函数的奇偶性以及单调性可得到f (x )2m －5恒成立，即2m f (x )＋5，求出f (x )＋5的范<>围，即可得解．【详解】（1）因为为上的奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝1．()f x R 又由f (－1)＝－f (1)，，得b ＝1． 11121222b b ----=-++从而，，则为上的奇函数， 12()12x x f x -=+1221()()1221x x x x f x f x -----===-++()f x R 综上，a ＝1，b ＝1． （2）由（1）知， (12()11221)22x x x f x --==-++++因为在上单调递增，且，12x y =+R 121x +>所以为上的减函数．()f x R （3）因为f (x )为上的奇函数，R 所以原不等式可化为f (f (x ))＞－f (5－2m )，即f (f (x ))＞f (2m －5)恒成立，又因为f (x )为上的减函数，所以f (x )2m －5恒成立，R <由此可得不等式2m f (x )＋5＝对任意实数x 恒成立， >122541212x x x -+=+++由＞0⇒＋1＞1⇒0＜＜2⇒4＜4＋＜6，即4＜f (x )＋5＜6， 2x 2x 212x +212x+所以2m 6，即．≥3m ≥22．已知函数，. 2(1)f x x +=()()f x g x x =(1)求的解析式；()f x (2)当时，求的最值；0x >()g x (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围. x ()22131021x x m g m -+--=-m 【答案】(1)2()21,R f x x x x =-+∈(2)最小值为0，无最大值(3) 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求函数解析式；（2）利用基本不等式求最值；（3）将方程根的问题进行转化，借助函数图像，建立满足题意的条件不等式解出即可.【详解】（1）由，2(1)f x x +=令，11x t x t +=⇒=-所以()22()121f t t t t =-=-+即函数. 2()21,R f x x x x =-+∈（2）， ()22112220x x g x x x x-+==+-≥-=当且仅当时取等，1x =所以最小值为0，无最大值.()g x （3）方程可化为 ()22131021x x m g m -+--=-，且， ()()2213321120x x m m --+-++=210x -≠令，21x t -=则方程化为，，()()233120t m t m -+++=()0t ≠因为方程有三个不同的实数解， ()22131021x x m g m -+--=-由的图像知，21x t =-有两个根、， ()()()2331200t m t m t -+++=≠1t 2t 且,或，1201t t <<<101t <<21t =记，()()()23312h t t m t m =-+++即， ()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=--<⎪⎩121m m ⎧>-⎪⎨⎪>-⎩此时， 12m >-或 ，()()()012011033012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=--=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得，此时无解 121113m m m ⎧>-⎪⎪=-⎨⎪⎪-<<-⎩m 综上，关于的方程 x ()22131021x x m g m -+--=-有三个不同的实数解，则的取值范围. m 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。