人教版2018最新高考数学总复习经典测试题解析版.-数学归纳法Word版

13.4 数学归纳法(附参考答案)

一、选择题

1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二

步时，正确的证法是( )．

A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案 D

2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步

证明中的起始值n0应取( ) A．2 B．3 C．5 D．6

解析分别令n0＝2,3,5, 依次验证即可．

答案 C

3．对于不等式n2＋n

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k

时， k＋1 2＋ k＋1 ＝k2＋3k＋2< k2＋3k＋2 ＋ k＋2 ＝

k＋2 2＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )．

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

答案 D

4.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2

1－a

(a≠1，n∈N*)”时，在验

证n＝1成立时，左边应该是( )

A 1

B 1＋a

C 1＋a＋a2

D 1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.

答案 C

5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n2

2

，则当n＝k＋1时左端应在n＝k

的基础上加上( )．A．k2＋1

B．(k＋1)2

C.(k＋1)4＋(k＋1)2

2

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[来源:学科网]

解析∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，

当n＝k＋1时，

左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，

∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上

(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.

答案 D

6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )

A．6＋6·7k B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) 解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．

(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.

这就是说，k＝n＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．

答案 D

7．用数学归纳法证明1－1

2

＋

1

3

－

1

4

＋…＋

1

2n－1

－

1

2n

＝

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

，则

当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )．

A.12k ＋2

B ．－12k ＋2

C.12k ＋1－12k ＋2

D.

12k ＋1＋12k ＋2

解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－1

2k ，当n ＝k ＋1时，

左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1

2k ＋2.

答案 C 二、填空题

8．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11, 43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19, m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________． 解析 依题意得 n 2＝

10× 1＋19

2

＝100,

∴n ＝10. 易知 m 3＝21m ＋

m m －1

2

×2,

整理得(m －5)(m ＋4)＝0, 又 m ∈N *, 所以 m ＝5, 所以m ＋n ＝15. 答案 15

9.用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，

121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)

[来源:学。科。网]

故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)

2

(2k ＋1)(2k ＋3)

＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)

即可.

答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)

10．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．

1 1 1 1

2 1 1

3 3 1 1

4 6 4 1

…

解析 所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， 除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案 2n －2n

11．在数列{a n }中，a 1＝1

3且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表

达式是________．

解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝1

15；

当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝

114(a 1＋a 2)＝135

； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝

127(a 1＋a 2＋a 3)＝1

63

. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝1

7×9，

故猜想a n ＝1

2n －1 2n ＋1

.

答案 a n ＝

1

2n －1 2n ＋1