中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；

（2）试判断：旋转过程中

BD

AE

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；

（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．

【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】

试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE

CB CA

=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．

（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．

（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．

（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1

2

n ．故答案为90°，

1

2

n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =

32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m

．故答案为n

m

． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵

CD BC n

CE AC m

==，

∴△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC n

AE AC m

==．

（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，

∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC

AE AC

=，∴

35=810，∴BD =125．故答案为125

． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°

时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）

=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于

M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =

22AM ME +=57，由（2）可知

DB AE =223

，∴BD =2114

3． 故答案为210或

2114

3

．

点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．

2．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ． (1)求证：DE ⊥AG ；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形

，如图2．

①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．

【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°

【解析】

分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；

（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．

详解：如图1，延长ED交AG于点H，

点O是正方形ABCD两对角线的交点，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

即；

在旋转过程中，成为直角有两种情况：

Ⅰ由增大到过程中，当时，

，

在中，sin∠AGO=，

，

，

，

，

即；

Ⅱ由增大到过程中，当时，

同理可求，

．

综上所述，当时，或．

如图3，

当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，

，

，

，

，

，

，

此时．

点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.

3．如图l，在AABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.

(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.

①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长

(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.

【答案】（1）①补图见解析；②；（2）

【解析】

（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和

Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；

（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.

解：（1）①补全图形如图所示；

②如图，连接BD、CD