让学生经历分物过程的数学化_对_有余数的除法_教学的案例分析_崔文闰

/小学数学教师/2014.7,8

专辑

Zhuanji

“有余数的除法”编入了修订后的人教版《数学》二年级下册教材，很多教师在拿到教材时都比较惊讶。在原来的实验教材中，“有余数的除法”是三年级上册的教学内容，现在调到了二年级，学生才刚刚学完“表内除法”，同一册里面再学习“有余数的除法”，是不是太快了？也太难了？这是教师们共同的疑虑。

其实，大可不必担心。一个学期下来，我们对这一单元的教学进行了实践与研究。在教学中注意两点是非常重要的。一是教师要注意指导学生把“表内除法”（余数为0）与“有余数的除法”（余数不为0）看成一个整体，完整地、对比着学习；二是务必要让学生亲身经历分物过程的数学化。前者不用赘述，相关教学用书在这方面已经指导得比较周详了。在这里，主要阐述第二点。因为这点很容易会被教师们忽视，更重要的是，这涉及到数学教学设计的核心是如何体现“数学的本质”的。

根据顾泠沅先生的研究，学生对“有余数的除法”，其学习的心理过程主要是数学化与寻找意义，这是两个互逆的过程。结合教材所提供的教学情境，

我们把这个学习过程分析如下图：

据此，我们选择课例（“有余数的除法”第1课时“有余数除法的含义”例1）的主要环节进行教学案例分析，谈谈在教学中如何体现这两个互逆过程。

【环节一】动手操作，分一分

课前让每位学生准备要分的实物和几个盘子（也可以用纸剪出来代替）。教材例1演示的是分草莓，教师可以根据学生带来的具体物品组织分物活动，如分硬币、分荔枝、分纽扣等。本课是分荔枝。

1.先分6个物品

师：请同学们拿出6颗荔枝，每2颗摆一盘，摆一摆。（随即板书“6颗荔枝，每2颗一盘”）

学生操作。2.说一说

师：请一位同学说一说，6颗荔枝，每2颗摆一盘，你摆了几盘呀？

生：6颗荔枝，每2颗摆一盘，我摆了3盘。教师板书：摆3盘，

正好分完。

3.列算式师：请大家在自己的练习本上写出相应的

数学算式。

让学生经历分物过程的数学化

——对“有余数的除法”教学的案例分析

□崔文闰

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学生书写6÷2=3。一名学生板书。4.分7个物品

师：请同学们拿出7颗荔枝，每2颗摆一盘，摆一摆。（随即板书“7颗荔枝，每2颗一盘”）

学生操作。片刻后，学生议论纷纷，教师不干涉。

5.讲区别

师：很多同学有意见了，请一位同学说一说，这次摆和刚才有什么不同呢？

学生表达自己的见解，例如，多了一颗；有一个盘子只有一颗；有一个盘子没有两颗，等等。

教师板书：摆3盘，还剩1

颗。

【环节二】尝试列式，数学化6.尝试列式

师：你能像前面一样，用一个数学算式来表示刚才分荔枝的过程吗？

学生会列出各种自己思考出来的算式。学生已经有列出整除算式的经验，对于有余数除法的算式，他们大多数表现为不知道余数怎么表示。例如，7÷2=3，剩下1；7÷2=3（1）；7÷2=31。还有的学生把余数写得很小，记在右上角。也有学生懂得7÷2=3……1的写法。

教师请学生介绍自己的表达方式，最后引导学生统一写成7÷2=3……1。

（这个环节非常重要，体现了由具象事例进行数学抽象的过程，不可忽略。很多教师都会在这里代替学生列出“有余数除法”的数学算式，认为是新课，就向学生示范算式。这个至关重要的抽象过程是应该完全交给学生去经历的，即便学生自己思考列出的算式并不一定十分准确。其实，思考图式并不存在对错，

只是统一写法的问题。教师不要过于关注结果的对错，应多关注学生思考过程的自由度和思考结果的合理性，给予学生充分的思考空间和机会。包括后面学习除法竖式，也需要让学生独立经历抽象过程。）

教师与学生一同分析算式7÷2=3……1，讨论余数的问题，并揭示课题。（板书）

【环节三】寻找意义，具体化7.编故事，举例子

师：除了分荔枝，你还有其他例子同样用算式“七除以二商三余一”来表示吗？

学生围绕“7÷2=3……1”举例。

（学生由于迁移时的定向思维，很容易又举出分苹果、分香蕉等类似的例子。这时，教师应当引导学生寻找情境的多样化，如七个同学两人分一组、七颗巧克力每天吃两颗，等等。这个教学环节体现了由数学抽象返回生活原型寻找意义的过程。）

【环节四】表象操作，半抽象8.闭眼睛，想一想

师：同学们闭上眼睛，把刚才你们编的故事想一想，在头脑里面发生一次。可以分水果，分小组，也可以分几次乘车，等等。

（学生不可能对每个事例都亲身操作，因此教师训练学生进行表象操作是十分必要的。表象操作是数学化过程的中间环节。之前，学生已经经历了一次从具象到符号，又返回具体的例子寻求意义的过程，在这个时候组织学生进行半抽象的表象操作，可以巩固学生对分物过程意义的理解。）

【环节五】圈圈画画，加深认识9.多认识，做练习

师：我们再看课本上的其他例子。布置学生完成书本第60页“做一做”（题略）。用笔圈一圈，把星星图案等进行分组，再

看图填空、列式。

（下转第19页）

数”。这时候，就会对事物的“群体数量”进行约定。这种约定是多种多样的。例如，时间的60进制记数方法，罗马“5（V ）”计数方法等。

而在诸多计数方法中，十进制计数法是普遍的计数方法。十进位值制计数法的核心是“满十进一”的进位制和位值制，这是引领这个单元的两个基本概念。教材在这个方面同样是遵循了从数量抽象到数的教学规律，突出进位制和数位意义的教学。例如，第75页例1（如下图），一个一个地数，每满10个，就是一十；一十一十地数，10个十是一百；一百一百地数，10个一百是一千；一千一千地数，10个一千就是一万。用数的方法让学生感受十进制的“满十进一”。接着，借助计数器半抽象地呈现每个数的大小是由数字本身和它所在的数位决

定的。

三、数感培养的指引

教材重视从数数模型抽象出数，这是从量到数的抽象过程。然而，由数估计量的多少则是数感培养的关键所在，即学生看到一个抽象的数会直观感受到这个数相应的量到底有多少。这是非常重要的数学素养。教材在数感的培养方面关注到了数与量两种表征的双向转换，既有从数量抽象到数的引导，又有从数估计其量的教学。例如，第77页例3，教材专门安排这一例题，让学生通过不同的途径感受1000的量是多少。这里有三种途径：一是数彩

点图；二是分析1000与10、100的关系；三是把1000进行数的分拆。这样细化地培养学生数

感的例子，在这个单元还有不少。例如，第79页“练习十六”中第5题（如下图），第84页、第86页的“做一做”等。这样，学生从多角度去理解数，进而强化了直观感知的数和抽象的数之

间的联系。

在数的认识教学中，“万以内数的认识”可以理解为是一次自然数的扩充。一年级，学生认识了一位数与两位数。这个单元，学生对数的认识就扩充到了三位数、四位数，甚至是万。在这个扩充过程中，要引导学生理解从数量抽象出数的意义。这个抽象，主要体现在表示方法的抽象。因此，教材这些方面的“教学

指引”是不容忽视的。

（广东省广州市白云区教育发展中心）

以上是本课五个主体教学环节的设计。环节一是对照引入；环节二至四体现了学生学习心理的互逆过程；环节五是学生对有余数除法概念外延的扩充认识。依据心理学理论，遵循学生学习的心理特点，关注数学化与寻找意

义的互逆过程，把握好中间环节的表象处理，是有效进行“有余数的除法”教学的关键所在。

(广东省广州市白云区教育发展中心)

（上接第21页）