人教版八年级数学13.4最短路径问题(含答案)
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13.4最短路径问题
知识要点:
1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题,只要连接这两点,所得线段与直线的交点即为所求的位置.
2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
一、单选题
1.A,B,C三个车站在东西方向笔直的一条公路上,现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小,则加油站应建在()
A.在A的左侧B.在AB之间C.在BC之间D.B处
【答案】D
2.A、B是直线l上的两点,P是直线l上的任意一点,要使PA+PB的值最小,那么点P 的位置应在()
A.线段AB上B.线段AB的延长线上
C.线段AB的反向延长线上D.直线l上
【答案】A
3.如图,直线l是一条河,P,Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是()
A.B.C.
D.
【答案】D
4.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,CM是斜边AB上的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点A1处,CA1与AB交于点N,且AN=AC,则∠A 的度数是()
A.30°B.36°C.50°D.60°
【答案】A
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q 分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()
A.2.4B.4C.4.8D.5
【答案】C
6.如图所示,△ABC中,AB=AC,∠EBD=20°,AD=DE=EB,则∠C的度数为()
A.70°B.60°C.80°D.65°
【答案】A
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点D,且BD=13cm,则AC的长是()
A.13cm B.6.5cm
C.30cm D.cm
【答案】B
8.如图所示,从点A到点F的最短路线是()
A.A→D→E→F B.A→C→E→F
C.A→B→E→F D.无法确定
【答案】C
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q 分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()
A.12
5B.4C.24
5
D.5
10.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的
一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是
A.(0,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(0,3)
【答案】D
11.如图,直线l是一条河,A、B两地相距10km,A、B两地到l的距离分别为8km、14km,
欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向A、B两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的
管道,则铺设的管道最短
..的是()
二、填空题
12在平面直角坐标系中,已知点A(0,2)、B(4,1),点P在轴上,则PA+PB的最小值是______________。
【答案】5
13.如图所示,已知△ABC关于直线y=1对称,点C到AB的距离为2,AB长为6,则点A,B的
坐标分别为____.
【答案】(2,-2),(2,4)
14.如图,已知∠AOB=30°,OC平分∠AOB,在OA上有一点M,OM=10cm,现要在OC,OA上分别找点Q,N,使QM+QN最小,则其最小值为________.
【答案】5cm
AD=,E是AD上的一个动点,F是15.如图,在等边三角形ABC中,BC边上的中线4
+的最小值是______.
边AB上的一个动点,在点E、F运动的过程中,EB EF
【答案】4
16.在平面直角坐标系中,点P(2,0),Q(2,4),在y轴有一点M,若PM+QM最小,则M的坐标为.
【答案】(0,2)
三、解答题
17.如图所示,A,B是两个村庄,若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水,则水泵站
应修在河边的什么位置,才能使铺设的管道最短?请说明理由.
解:连接AB,与直线l的交点P为所求水泵站的位置.因为两点之间的所有连线中,线段最短.
18.如图1,在一条河同一岸边有A和B两个村庄,要在河边修建码头M,使M到A和B 的距离之和最短,试确定M的位置;
试题解析:所求点如下图所示:
∵两点之间线段最短,
∴需要能将AM、BM两边转化到一条直线上,
∴用轴对称可以办到,
求点M的位置的具体步骤如下:
①作作点A关于直线BC的轴对称点A’,
②连结A’B交BC于点M,
③连结AM,
则点M就是所求作的点,能够使M到A和B的距离之和最短.
19.如图所示,P,Q为△ABC边上的两个定点,在BC上求作一点R,使△PQR的周长最小.
试题解析:(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′,
(2)连接P′Q,交BC于点R,则点R就是所求作的点(如图所示).
20.如图,村庄A,B位于一条小河的两侧,若河岸a,b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?