基于超素数的托普利兹观测矩阵构造方法

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协方差矩阵的相关法Toeplitz改进算法

摘要：提出一种基于均匀线形阵列的相关Ｔｅｌｚｏｐｉ矩阵构造方法，建立了两种Ｔｅｌｚ矩阵的构造方式，结合子空间ｔｏｐｉｔ法形成一种相干信源方位估计的高分辨方法。具体将接收阵列各阵元与参考阵元输出信号做相关，获得一组相关向
量，应用相关Ｔｅｌｚ阵构造算法构造阵列输出的Ｔｅｌｏｐｉ矩ｔｏｐｉ￣矩阵，从而得到去相干的相应接收阵列的协方差矩阵，最后再应用高分辨子空间估计方法完成相干信源方位估计。仿真结果表明：所采用的相关Ｔｅｌｚ矩阵构造算法达到ｏｐｉｔ
ｕｉｇＴｅｌｚｍａｒｔｕｔｒｌｏｔｍｓｈｎｗｅｇｔａｄｃｈｒｎｅｃｖｒａｃａｒｘｉｏｔｉｅｏｅｔａｉｇｓｏｐｉｔｉｓｃｕｅａｇｒｈ．Ｔｅｅｅｏｅｅｃｏａｎｅｍｔｉｓｂａｎｄｔｓｉｔｎｔｘｒｉｉｍｎｍａｉｎａｓｉｔｈｉｃｉｎｏｅａｒａ．ｈｉｌｔｏｅｕｔｈｗｔｔｅｃｒｅａｉｎＴｅｌｚｍａｒｒｔｘａｄｃｎｅｔｍａｅｔｅｄｒｔｆｔｒｉ１ＴｅｓｅｏｈｖｍｕａｉｎｒｓｌｓｏｔｏｌｔｏｐｉｔｘｓｈａｈｏｔｉｓｒｃｒｌｏｔｍｓｅｓｏｄｄｃｈｒｎｅｅｅｔｎｅａｇｒｔｍｓｉｒｖｅＴｅｌｚａｐｏｉａｉｎｍｅｏｅｔｕｔｅａｇｒｈｔｏｅｏｅｅｃｆｃｄｔｌｏｉｕｉｇｇａｈｈｍｐｏｅｔｏｐｉｐｒｘｍｔｔｄｔｂｈｔｏｈｏａｎｉｓｄｅｔｎｕｂａｅｓｉｔｅｈｄｉｒｉｅｎｈｔｔｅｐｅｉｉｎｏＯＡｓｉａｉｎｉｎｔｂｙｉｃｅｓｄａｄｒｄｃｓｔｅｍａｅｍｔｏ．ｔａｓｓａｄｔａｒｃｓｏｆＤｈｅｔｍｔｏａｌｒａｅｎｅｕｅｏｓｎｈ

TOPSIS综合评价法

TOPSIS综合评价法TOPSIS综合评价法（The Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种常用于多指标决策的综合评价方法。

它可以将多个评价指标综合起来，对不同的方案进行排名，找出最优解。

下面将详细介绍TOPSIS综合评价法的原理、步骤以及应用。

TOPSIS综合评价法的原理基于两个关键概念：最优解和最劣解。

最优解是指在评价指标上取最大值的解，而最劣解是指在评价指标上取最小值的解。

TOPSIS的目标是找到一个最优解，使其与最优解之间的距离最大，与最劣解之间的距离最小。

距离计算采用欧氏距离或其他合适的距离度量方法。

1.确定评价指标：根据具体的评价对象和评价目标，确定需要评价的指标。

这些指标应该具有普适性、可度量性和可比较性。

2.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量纲的指标值转化为无量纲的相对指标值。

常见的标准化方法有最大-最小标准化、标准差标准化等。

3.构建评价矩阵：将标准化后的指标值组成评价矩阵，矩阵的每一行代表一个评价对象，每一列代表一个评价指标。

4.确定权重：根据评价指标的重要性确定各指标的权重。

可以使用主观赋权、客观权重法、层次分析法等方法进行权重确定。

5.构建决策矩阵：根据评价矩阵和权重，构建标准化加权评价矩阵。

6.确定理想解和负理想解：根据评价指标的性质确定理想解和负理想解。

理想解是在每个指标上取最大值的解，负理想解是在每个指标上取最小值的解。

7.计算各解与理想解和负理想解之间的距离：利用欧氏距离或其他距离度量方法，计算每个解与理想解和负理想解之间的距离。

8.计算综合得分：根据距离，分别计算每个解与理想解和负理想解的距离比值，得到综合得分。

9.排序：按照综合得分的大小对解进行排名，得到最优解。

TOPSIS综合评价法可以在各种决策环境中应用。

它适用于工程技术领域、经济管理领域、环境评估领域等。

topsis法计算得分

topsis法计算得分TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法是一种多属性决策分析方法，用于评估备选方案的优劣。

它基于备选方案与理想解和负理想解之间的相似度来进行评分。

下面我会从多个角度来解释TOPSIS法的计算过程。

首先，我们需要明确TOPSIS法的计算步骤。

步骤一是构造决策矩阵，包括备选方案和评价指标；步骤二是对决策矩阵进行归一化处理；步骤三是确定权重；步骤四是计算正理想解和负理想解；步骤五是计算每个备选方案与正负理想解的相似度；步骤六是计算综合得分。

其次，我们来看如何进行决策矩阵的归一化处理。

在TOPSIS法中，决策矩阵需要进行归一化处理，通常采用线性归一化或者向量归一化的方法。

线性归一化是将原始数据减去最小值后再除以最大值与最小值的差，得到的值范围在0到1之间；向量归一化是将每个原始数据除以其对应指标的平方和的开方，也得到的值范围在0到1之间。

接下来是权重的确定。

权重可以通过主观赋值、客观赋值、层次分析法等方法来确定。

主观赋值是基于决策者的经验和专业知识来确定权重；客观赋值是基于统计数据或者专家意见来确定权重；层次分析法是一种通过构建判断矩阵来确定权重的方法。

然后是计算正理想解和负理想解。

正理想解是每个指标的最大值，负理想解是每个指标的最小值。

接着是计算每个备选方案与正负理想解的相似度。

相似度通常采用欧氏距离或者余弦相似度来计算。

最后是计算综合得分。

综合得分是每个备选方案与正负理想解相似度的加权平均值，得到的得分越高代表该备选方案越优。

综上所述，TOPSIS法的计算过程涉及到决策矩阵的构造与归一化处理、权重的确定、正负理想解的计算、相似度的计算以及最终得分的计算。

通过这些步骤，我们可以得到每个备选方案的综合得分，从而进行多属性决策分析。

topsis法模型

topsis法模型
Topsis法（Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种用于多属性决策的方法，通过对各个方案进行评估和排序来选择最佳方案。

该方法基于以下假设：
1. 方案的评估指标是数字型的。

2. 方案的评估指标是正向型的，即数值越大，则方案越好。

3. 每个方案在各个评估指标上的权重是已知的。

Topsis法的步骤如下：
1. 构建决策矩阵：将每个方案在各个评估指标上的具体数值组成一个矩阵。

2. 标准化决策矩阵：对决策矩阵进行标准化处理，使得各个评估指标在同一量级上。

可以使用最大最小标准化或者向量归一化等方法。

3. 确定正理想解和负理想解：根据评估指标的正向性，确定正理想解和负理想解。

正理想解取各个评估指标的最大值，负理想解取各个评估指标的最小值。

4. 计算每个方案到正理想解和负理想解的距离：可以使用欧氏距离、曼哈顿距离或者其他距离度量方法来计算。

5. 计算每个方案的综合得分：根据到正理想解和负理想解的距离，计算每个方案的综合得分。

6. 对方案进行排序：根据综合得分，对方案进行排序，得到最佳方案。

Topsis法是一种简单而有效的多属性决策方法，适用于评估和排序多个方案。

Lorenz-96模式中三种目标观测方法的有效性比较

Lorenz-96模式中三种目标观测方法的有效性比较严珺;郑琴;周仕政;王璞【摘要】目标观测是有效提升观测效能和观测质量的一种观测策略,其核心部分是敏感区的识别.本文在Lorenz 96模式上比较了奇异向量法(SVs)、集合变换卡尔曼滤波法(ETKF)和条件非线性最优扰动法(CNOP)识别敏感区的优劣,并尝试揭示ETKF方法性能不稳定的原因与机制.试验结果表明:在312 h内的不同预报时刻,CNOP方法识别的敏感区范围较小且对预报效果的提升率最高;SVs方法识别的敏感区对72 h内的预报有较好的改进,但72 h后改进程度急剧下降,到120 h后基本失效;ETKF方法识别的敏感区在72 h内不如其他方法的效果好.此外,在ETKF方法识别的敏感区与随机选取的敏感区对比中发现,由于ETKF方法操作时采用顺序观测资料处理方案搜寻敏感区,本质上忽略了观测资料间的相关性,导致ETKF方法识别出的敏感区并不一定是全局信号方差最大的区域,对预报效果的改善有限,这也说明了如何优化敏感区搜寻方案是提高ETKF方法效能的关键.%Targeting observation is an observation strategy which can efficiently and effectively improve the quality of observations.Identification of sensitive regions is a key point in targeting observations.Three typical methods including Singular Vectors (SVs),Ensemble Transform Kalman Filter (ETKF),and the Conditional Nonlinear Optimal Perturbation (CNOP) are applied in the Lorenz-96 model in this paper.Their advantages and disadvantages are discussed,and the reason why the ETKF method's efficiency is unstable is discussed.The results show:For forecast time within 312 hours,the CNOP method's forecast accuracy promotions are the highest among three methods,and its sensitive regions are small.While the SVs method hasgood results in the 72-hour forecast,but sharply descends after that,and generally invalid after 120 hours.The ETKF method is not as good as other methods in the 72 hour forecast;moreover,though the comparison to the randomly selected sensitive regions,due to the serial observation processing is used,which ignores the relation with observation data,the ETKF method cannot successfully find the sensitive regions,which has the maximum covariance of signals and so its promotions to forecast accuracy is limited.It indicates how to search sensitive regions optimally is the key to promote the efficiency of the ETKF method.【期刊名称】《气象科技》【年(卷),期】2017(045)005【总页数】8页(P829-835,842)【关键词】目标观测;敏感区;奇异向量;集合变换卡尔曼滤波;条件非线性最优扰动【作者】严珺;郑琴;周仕政;王璞【作者单位】中国人民解放军陆军工程大学理学院,南京211101;中国人民解放军陆军工程大学理学院,南京211101;中国人民解放军陆军工程大学理学院,南京211101;中国人民解放军陆军工程大学理学院,南京211101【正文语种】中文【中图分类】P435目标观测是在特定地点、特定时间增加观测资料以提高某选定区域数值天气预报质量的方法[1]。

压缩感知中测量矩阵构造综述_王强

［1 － 2 ］
，这种方法应用广泛，易于操作，但是适
用性不强，对于任意信号，基于变换的正交基字典无法准确表达信号的可压缩性。因此过冗余的稀疏字典设计引起越来越多的关注，并且通过引入学习算法，克服稀疏字典构造面临的先验知识依赖缺陷，从而构造出与原始信号相适应的优化字如应用广泛的最优方向算法（ Method of Optimal 典， Directions， MOD ）［8］、KSingular Value 奇异值分解（ KDecomposition，KSVD）［9］等。测量矩阵的构造效果直接影响到压缩采样后获取的信息量，因此矩阵的构造理论是压缩感知理论形成的一大瓶颈，
Journal of Computer Applications 2017 ， 37 （ 1 ）： 188 － 196 计算机应用，文章编号： 1001-9081 （ 2017 ） 01-0188-09
ISSN 1001-9081 CODEN JYIIDU
2017-01-10 http： / / www． joca． cn DOI： 10． 11772 / j． issn． 1001-9081． 2017． 01． 0188
［13 ］［6 ］
2
测量矩阵构造原则
对于可压缩信号 x，在 Ψ 域内的 K- 稀疏信号为 s，但s中非零元素的位置信息是未知的。感知因子 Θ 能够保留稀疏信满足信号重构的要求。对于稀疏性能已知号 s 中的足够信息，的可压缩信号，变换域 Ψ 已知，因此测量矩阵的设计直接影为进一步简化问题，假设可压缩信号响稀疏信号的感知效果， x 为稀疏信号，因此变换域 Ψ 为单位阵 I，感知因子 Θ = ΦΨ = Φ，则压缩感知过程如图 2 所示。

Matlab学习系列30. 理想解法(TOPSIS)法

30. 理想解法(TOPSIS)法一、基本原理TOPSIS 法是一种综合评价方法，其基本原理是：(1) 将n 个评价指标看成n 条坐标轴，由此可以构造出一个n 维空间，则每个待评价的对象依照其各项指标的数据就对应n 维空间中一个坐标点；(2) 针对各项指标从所有待评价对象中选出该指标的最优值（理想解，对应最优坐标点）和最差值（负理想解，对应最差坐标点），依次求出各个待评价对象的坐标点分别到最优坐标点和最差坐标点的距离*d 和0d(3) 构造评价参考值*d f d d =+则f 值越大代表评价结果越优。

二、算法步骤1. 构造决策矩阵()ij m n A a ⨯=，每一列是一个评价指标，每一行是一条待评价样本；为去掉量纲效应，做规范化处理得到()ij m n B b ⨯=，其中1,,, 1,,ij b a i m j n ===注：该规范化法处理后，各评价样本的同一评价指标值的平方和为1, 适合TOPSIS 法中计算欧氏距离的场合。

2. 根据每个评价指标对评价结果的贡献程度的不同，指定不同的权重：1[,,]n w w w =，将B 的第j 列乘以其权重j w ，得到加权规范矩阵()ij m n C c ⨯=3. 确定正理想解*C 和负理想解0C***0011[,,], [,,]n n C c c C c c ==其中，*max , min ij ijiji c j c c j ⎧⎪=⎨⎪⎩若第评价指标是正向指标（值越大越好），若第评价指标是负向指标（值越小越好）， 1,,j n =min , max ij ijiji c j c c j ⎧⎪=⎨⎪⎩若第评价指标是正向指标（值越大越好），若第评价指标是负向指标（值越小越好）， 1,,j n =4. 计算每个待评价样本到正理想解和负理想解的距离*i d 和0i d* 1,,id i m ==1,,id i m ==5. 计算每个待评价样本的评价参考值0*, 1,,i i i i d f i m d d ==+再将i f 从大到小排列，得到各评价样本的优劣结果。

结构模态参数识别-随机子空间法详解

s ⎡=-⎣C()()()()()()()()()11exp exp 1k tc c c k tk t t k t k t d τττ+∆∆+∆=∆∆++∆-⎰x A x A B u 0()()() T T T k kkk t =∆=x x q q&表示由采样开始时刻位移和速度向量组成的状态向量1k +x 表示k +1时刻的状态()1k t ττ'=+∆-令()τu 在一个采样间隔内是常数假设1k k k+=+x Ax Bu ()exp c t =∆A A离散随机状态空间模型kw 1k +x kx kv ky A∆C1i Ti -=R CA G协方差驱动随机子空间识别方法建立的核心表达式。

）协方差驱动随机子空间法（3）随机状态空间模型(t)和对应协方差序列输出信号y150060070080090010002x 10-3时间 (s))channel5 channel6 channel7 channel10 channel11 channel12 channel17 channel19 channel21 channel23 channel26 channel27 channel296.2 随机子空间法2）数据驱动随机子空间法由系统状态空间出发，直接利用实测数据进行分析，无需进行协方差计算。

topsis综合评价法案例

topsis综合评价法案例
TOPSIS方法：Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序，适用于多项目标、对多个方案进行比较选择的分析方法。

一.、计算步骤
（1）构造初始矩阵A（n个评价指标，m个目标）
（2）由于各个指标的量纲可能不同，需要对原始数据进行标准化处理。

（3）构造加权标准化矩阵Z
权重确定方法：Delphi法，对数最小二乘法，层次分析法等。

(4)根据加权矩阵判断正负理想解Z+ ,Z-
(5)计算各个方案的到正理想点的距离Si+和负理想点的距离
Si-
(6)计算各个方案的相对贴近度Ci
二、数据归一化处理
(1) 效益型指标：指标值越大越好
(2) 成本型指标：指标值最小最好
(3) 中间型指标：指标最优值在某一点取得，值越靠近该点越好
(4) 区间型指标：指标最优值落在一个区间范围呢。

三、案例分析
问题：某一教育评估机构对5个研究生院进行评估。

该机构选取了4个评价指标：人均专著、生师比、科研经费、逾期毕业率。

解释：人均专著和科研经费是效益性指标，预期毕业率是成本型指标，生师比是区间型指标，最优范围是[5,6]，最差下限2，最差上限12. 4个指标权重采用专家打分的结果，分别为0.2,0.3,0.4和0.1。

sw拓扑算例

sw拓扑算例【引言】在工程设计、产品研发以及科学研究等领域，拓扑优化作为一种重要的设计方法，旨在在不损失性能的前提下，降低结构的复杂程度、减轻重量、提高材料利用率等。

其中，SW拓扑算例是一种基于密度矩阵的拓扑优化方法，逐渐得到了广泛关注和应用。

本文将介绍SW拓扑算例的基本概念、应用领域、分析方法以及案例分享，以期为大家提供有益的参考。

【SW拓扑算例的基本概念】SW拓扑算例（Structural Topology Optimization）是一种基于密度矩阵的拓扑优化方法，它通过在结构中引入密度变量，将拓扑优化问题转化为一个连续变量和离散变量的优化问题。

在SW拓扑算例中，密度变量表示结构的材料分布，而0和1分别表示某一区域内是否存在材料。

通过迭代更新密度矩阵，可以实现结构拓扑的优化。

【SW拓扑算例的应用领域】SW拓扑算例具有广泛的应用前景，尤其在以下领域取得了显著成果：1.航空航天：优化飞机翼梁、机翼等复杂结构的刚度、强度和重量分布；2.汽车工程：优化车身结构、悬挂系统等部件的刚度和强度；3.桥梁结构：优化桥梁主体的受力分布，提高抗风性能和抗震性能；4.生物医学：优化人工关节、牙科种植体等医疗器械的力学性能；5.能源工程：优化风力发电机、核电站等能源设备的结构性能。

【如何进行SW拓扑算例分析】进行SW拓扑算例分析主要包括以下几个步骤：1.建立结构模型：根据实际工程需求，建立三维结构模型，并导入相应的分析软件；2.定义边界条件：设置结构的边界约束，包括位移约束、力约束等；3.设定目标函数：定义优化目标，如结构重量、柔韧性等；4.初始化密度矩阵：根据结构特点，初始化密度矩阵；5.迭代优化：通过更新密度矩阵，逐步实现结构拓扑优化；6.分析优化结果：对优化后的结构进行力学性能、刚度等分析，判断是否满足设计要求；7.反馈优化：如有必要，根据分析结果调整目标函数、边界条件等，重新进行迭代优化。

【案例分享】以飞机翼梁为例，通过SW拓扑算例分析，可以优化其结构重量和刚度分布。

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第３６卷第７期　２０１５年７月　

仪　器　仪　表　学　报　

Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ　Ｖｏ１．３６　Ｎｏ．７　

Ｊｕ１．２０１５　

基于超素数的托普利兹观测矩阵构造方法木　袁莉芬。熊波　（湖南师范大学物理与信息科学学院长沙４１００８１）　

摘要：观测矩阵在信号压缩感知中十分重要，直接决定信号的重构质量。为保证信号的重构精度，要求观测矩阵具有很强的　随机性，但随机矩阵硬件实现非常困难；确定性观测矩阵易于实现，但其重构精度不足。针对观测矩阵对随机性与确定性的双　重要求，提出利用超素数产生超长周期的伪随机序列，解决确定性观测矩阵对随机性的要求；结合托普利兹观测矩阵的确定性　结构特征，得到一种改进的托普利兹观测矩阵。实验仿真表明：改进的托普利兹观测矩阵与高斯随机观测矩阵和常用托普利兹　观测矩阵相比，其信号重构精度得到了很好的改善，且易于硬件实现。　关键词：压缩感知；观测矩阵；超素数；托普利兹；重构精度　中图分类号：ＴＨ７０１　文献标识码：Ａ　国家标准学科分类代码：５１０．４０　

Ａ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｕｐｅｒ　ｐｒｉｍｅ　ｎｕｍｂｅｒｓ　

Ｙｕａｎ　Ｌｉｆｅｎ，Ｘｉｏｎｇ　Ｂｏ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＰｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００８１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｏｆ　ｇｒｅａｔ　ｉｍｐｏ￣ａｎｃｅ　ｉｎ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ（ＣＳ），ａｎｄ　ｉｔ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ　ａ　ｓｉｇｎａｌ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．　Ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｃａｎ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｓｉｇｎａｌ　ｗｉｔｈ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ，ｂｕｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｈａｒｄ　ｔｏ　ｐｕｔ　ｉｎｔｏ　ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ａｌｔｈｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｄｅ—　ｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ，ｔｈｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｉｓ　ｌｏｗ．Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｓｏｍｅ　ｓｕｐｅｒ　ｐｒｉｍｅ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｇｅｎｅｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｐｓｅｕｄｏ　ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ　ｗｉｔｈ　ｌｏｎｇ　ｐｅｒｉｏｄｓ　ｔｏ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ．Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａ—　ｔｒｉｃｅｓ　ａｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｔｏ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｈａｒｄｗａｒｅ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｈａｓ　ｈｉｇｈｅｒ　ｐｅｒ－　ｆｏｒｍａｎｅｅ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　Ｇａｕｓｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｉｎａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ，ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｐｅｒｆｏｒｍ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ（ＣＳ）；ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ；ｓｕｐｅｒ　ｐｒｉｍｅ　ｎｕｍｂｅｒｓ；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ；ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ａｃｃｕｒａｃｙ　

１　引　言　压缩感知理论是由斯坦福大学的Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ、Ｃａｎｄｅｓ　Ｅ　以及华裔数学家Ｔａｏ　Ｔ等人于２００６年提出，是一种基于　“欠采样”的信号压缩与采集理论　。压缩感知理论一　经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。它在信息　论、图像处理、地球科学、光学、微波成像、模式识别、无线　通信、大气、地质等领域受到高度关注　。该理论指出：　若信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，则可利用　一个与变换基不相关的观测矩阵将信号从高维空间投影　到低维空间，最后从少量的投影中通过求解一个优化问　题重构出原信号。　观测矩阵是压缩感知技术的重要组成部分，直接决　定信号的重构质量。为保证信号在投影过程中不丢失信　息，观测矩阵应满足有限等距性质（ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ　ｉｓｏｍｅｔｒｙ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ，ＲＩＰ）。然而在实际的观测矩阵构造中，满足　ＲＩＰ性质比较困难。为此Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ．Ｌ．证明了具有以下　特征的矩阵能以很大概率满足ＲＩＰ性质，可以作为压缩　感知观测矩阵：１）观测矩阵的列向量组成的子矩阵的最　小奇异值应大于一定的常数，即列向量满足一定的线性　独立性；２）观测矩阵的列向量要体现出某种类似噪声的　

收稿日期：２０１４　１２　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　Ｄａｔｅ：２０１４—１２　基金项目：国家自然科学基金（６１１０２０３５）、湖南师范大学青年优秀人才培养计划（ＥＴ１２１０２）、中国博士后科学研究基金（２０１４Ｍ５５１７９８）、合　肥工业大学春华计划（２０１４ＨＧＣＨ００１２）项目资助　第７期　袁莉芬等：基于超素数的托普利兹观测矩阵构造方法　１５９９　独立随机性；３）满足稀疏度的解是满足Ｚ　范数最小的向　量　。可以看出，以此为准则构建的观测矩阵需要满足　随机性的要求。　目前，被广泛使用的观测矩阵有随机观测矩阵和确　定性观测矩阵。随机观测矩阵主要有高斯随机观测矩　阵、伯努利随机观测矩阵等，该类观测矩阵在理论上能够　较好地重构原始信号，但硬件实现过程中存在很大困难，　代价很高；确定性观测矩阵有托普利兹观测矩阵、二进制　稀疏观测矩阵等，该类矩阵优点是低计算复杂度，易于硬　件实现，但其重构精度低　。针对托普利兹观测矩阵存　在重构精度不高，本文尝试在托普利兹观测矩阵的构造　中引入超素数法生成伪随机数，在保留托普利兹观测矩　阵确定性的基础上，尽量增加托普利兹观测矩阵的随机　性，从而提高信号的重构精度　。　２观测矩阵构造　信号的稀疏性是指若ｎ维信号只有　个（ｋ＜ｎ）非零　值，而其他值均为零，则称信号是　稀疏的　…。压缩感知　的本质在于：探寻自然信号稀疏性的特性，或者信号在某　个基　上的简洁表示　。假设有一信号，（ｆ∈Ｒ　），长度　为ｎ，基向量为　（ｉ＝１，２，…，ｎ），对信号进行变换：　ｆ＝　（１）　式中：，是信号在时域的表示，　是信号在　域的表示。在　已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两　步：　１）设计一个与变换基不相关的ｍ×ｎ（ｍ《ｎ）维观　测矩阵　对信号进行观测，得到ｍ维的观测向量；　２）由ｍ维的观测向量重构信号。　由于信号，是可稀疏表示的，则观测信号Ｙ可以表示　为式（２）：　Ｙ＝ａ，ｆ：　＝　（２）　式中：　＝　是一个ｍ　ｘ　ｎ矩阵，且ｍ《ｎ。式（２）中方　程的个数远小于未知数的个数，因此，方程无确定解，无　法重构信号。但是，由于信号ｋ是稀疏，若式（２）中的观测　矩阵　满足有限等距性质（ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ　ｉｓｏｍｅｔｒｙ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ，　ＲＩＰ），则ｋ个系数能够从ｍ个观测值准确重构　。即对　于任意ｋ稀疏信号．厂和常数，占　∈（０，１）观测矩阵　应满　足：　㈧　≤　…　（３）　托普利兹观测矩阵由于其具有确定、结构化等特征，　在压缩感知领域引起了广泛的研究兴趣。托普利兹观测　矩阵构造方式如下：首先生成一个向量Ｕ＝（“。，　／Ｚ：，…，ｕ　，）ｅ　Ｒ　，由向量Ｈ通过循环构造剩余行向量，　进行列向量归一化获得观测矩阵中。通常情况下向量Ｕ　取值是±１，且每个元素独立地服从贝努利分布。托普利　兹观测矩阵的构造是用行向量通过循环移位生成整个矩　阵　。虽然这种循环移位易于硬件实现，但由于向量Ｕ　取值是±１，导致其重构精度确不高，为此国内外学者针　对托普利兹观测矩阵进行了改进，得到了很多改进型的　托普利兹观测矩阵。Ｂａｊｗａ　Ｗ．Ｕ．等人的研究表明：当托　普利兹观测矩阵的形式如式（４）所示，其元素｛ａ　。独　立同分布且具有单位列向量时，则矩阵满足ＲＩＰ条件，可　以作为压缩感知的观测矩阵　。　

＝　

３基于超素数的托普利兹观测矩阵构造　（４）　

托普利兹观测矩阵具有很强的结构化特征，可以通　过循环移位生成整个矩阵，这种循环移位易于硬件实现。　但目前大多数托普利兹观测矩阵由于其随机性特征不　够，导致信号重构精度不高。研究表明¨　：周期足够长　的伪随机数在一定范围内可以当作真随机数来使用。伪　随机数产生器在物理实现上比真随机数简单得多，而其　生成速度却比真随机数快得多。因此，研究相关的伪随　机数生成方法，替代随机序列，结合托普利兹观测矩阵的　特性，可以确保序列的随机性与确定性并存，从而保证信　号重构精度的同时，简化系统的物理实现。超素数法是　一种确定性系统表现出的类随机行为，其实现简单高效。　利用超素数法所产生的伪随机轨迹由系统参数和初值决　定，具有完全可重现性，因此仅需存储和传输少量的参　数，接收端就可生成同样的序列，可有效节省存储空间和　传输带宽，具备系统实现所需的确定性要求；同时，超素　数法产生的伪随机序列是周期很长的独立同分布序列，　满足上述观测矩阵对序列随机性的要求。　素数为只能被其本身和１整除的整数。在素数中存　在一类特殊的素数，它具有如下特殊的性质：若Ｄ是素　数，Ｚ　∈Ｎ　（Ⅳ　表示正整数），且０＜Ｚ　＜Ｄ，如果存在　既约真分数Ｚ　／Ｄ可表为纯循环小数　０．ｂ。６　…ｂ，ｂ。ｂ　…６　…，且其循环节数为ｔ＝（Ｄ一１），则称　素数Ｄ为超素数　。若Ｄ是超素数，ｚ是数集｛ｚ　Ｉ　ｚ　∈　Ｎ　，０＜Ｚ　＜Ｄ｝，选取初值Ｚ　∈ｚ，做如下运算：　Ｚ…＝１０×Ｚ　（ｒｏｏｄ　Ｄ）；ｉ＝１，２。…　（５）　则所得余数构成一整数循环序列｛ｚ…｝，其中整数　Ｓｉ＞０，．　＝

１，２，…，Ｄ～１，具有如下性质　：　

１）序列中任一元素Ｚ　∈［１，Ｄ一１］；　２）序列的最小循环周期为Ｔ＝Ｄ一１，即有：