专题二：一元二次方程
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
【一元二次方程】专题复习
《一元二次方程》全章复习提高【知识盘点】1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根, 即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x , （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样， 即审、设、列、解、验、答六步。
中考专题：一元二次方程及应用
中考专题：一元二次方程及应用中考要求：1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．3．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．4．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．考点1：一元二次方程的解法经典考题：【考题1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax 2＋bx+c=0 B. k 2x ＋5k+6=0C. 3x 2＋2x+x1=0 D.( k 2＋3) x 2＋2x+1=0 【考题2】解方程：x 2＋2x －3=0【考题3】已知方程5x 2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值．【考题4】关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m +++-30-=一个根为x=0，则m 的值为（ ）A ．m=3或m=－1B ．m=－3或m= 1C ．m=－1D ．m=－3【考题5】若x 1 ，x 2 是方程x 2 －3x －1=0的两个根，则2111x x +的值为（ ） A.3 B.－3 C.31 D －31 【考题6】若关于x 的方程kx2 －2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.k ＞－1B. k ＞－1且k ≠0C. k ＜1D. k ＜1且k ≠0【考题7】关于x 的方程kx 2 +(k+2)x+4k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。
【考题8】若t 是一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的根，则判别式Δ=b 2－4ac 和完全平方式M=(2a+b)2的关系是（ ）A ．Δ=MB ．Δ＞MC ．Δ＜MD ．大小关系不能确定【考题9】用换元法解方程25x()40=y,11x+1x x x x -+=++时，若设则原方程_ _考点2：一元二次方程的应用经典考题：【考题1】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．【考题2】某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【考题3】合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.3．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝±2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
八级数学下册一元二次方程应用专题(含完整解析及答案)
八年级数学下册一元二次方程应用专题1．（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．2．（2013•重庆）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．3．（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？4．（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？5．（2013•汕头）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？6．（2013•泉州）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t2+t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？7．（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．8．（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？9．（2012•徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？10．（2012•襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）11．（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？12．（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．13．（2012•黔南州）2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元．（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？14．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．15．（2012•大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP=S，用t表示运动时间．（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；（2）当t取何值时，S等于（求出所有的t值）；（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？16．（2011•襄阳）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？17．（2011•西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？18．（2011•辽阳）随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3 200人，截止到2010年底报名人数已达到5 000人．（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？19．（2011•广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？20．（2011•常州）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 3y221 44 69（1）求a、b的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）21．（2010•天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．（1）用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为_________；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为_________；（2）根据题意，列出相应方程_________；（3）解这个方程，得_________；（4）检验：_________；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_________%．22．（2009•天津）如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB=_________cm；AD=_________cm；矩形ABCD的面积为_________cm2；列出方程并完成本题解答．23．（2009•常德）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？24．（2008•义乌市）义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．己知2005年底全市汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：（1）2005年底至2007年底我市汽车拥有量的年平均增长率？（结果精确到0.1%）（2）为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）25．（2008•西藏）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？26．（2008•宁波）2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？27．（2007•宜昌）椐报道，2007年“五•一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人，旅游总收入约2.56亿元．其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的60%，而游客人均旅游消费（旅游总收入÷旅游总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元．（1）2007年“五•一”黄金周，宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元？（2）预计2008年“五•一”黄金周与2007年同期相比，全市旅游总收入增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的2.59倍，游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的1.5倍．请估计2008年“五•一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元？（保留3个有效数字）28．（2007•呼伦贝尔）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？29．（2005•扬州）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？30．（2002•河北）图形的操作过程：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_________，S2=_________，S3=_________．（3）联想与探索：如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少并说明你的猜想是正确的．八年级数学下册一元二次方程应用专题参考答案与试题解析1．（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．分析：解答此题利用的数量关系是：2010年平均每次捕鱼量×（1﹣每次降价的百分率）2=2012年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，10×（1﹣x）2=8.1，解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．答：2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．2．（2013•重庆）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．分析：（1）设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，根据两种类型的车辆共运送16800顶帐篷为等量关系建立方程求出其解即可；（2）根据（1）的结论表示出大小货车每次运输的数量，根据条件可以表示出大货车现在每天运输次数为（1+m）次，小货车现在每天的运输次数为（1+m）次，根据一天恰好运送了帐篷14400顶建立方程求出其解就可以了解答：解：（1）设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，根据题意得：2[2（x+200）+8x]=16800，解得：x=800．∴大货车原计划每次运：800+200=1000顶答：小货车每次运送800顶，大货车每次运送1000顶；（2）由题意，得2×（1000﹣200m）（1+m）+8（800﹣300）（1+m）=14400，解得：m=2或m=21（舍去）．答：m的值为2．3．（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=64x=7或x=﹣9（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）64×7=448（人）．答：第三轮将又有448人被传染．4．（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．解答：解：由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]=1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，整理得：x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∴10﹣1=9．答：第二周的销售价格为9元．5．（2013•汕头）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？分析：（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增加的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．解答：解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．6．（2013•泉州）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t2+t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？分析：（1）根据题目所给的函数解析式把t=4s代入求得l的值即可；（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可；（3）根据图可知，二者第二次相遇走过的总路程为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．解答：解：（1）当t=4s时，l=t2+t=8+6=14（cm），答：甲运动4s后的路程是14cm；（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+t，乙走过的路程为4t，则t2+t+4t=21，解得：t=3或t=﹣14（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s；（3）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm，则t2+t+4t=63，解得：t=7或t=﹣18（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．7．（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．分析：（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．解答：解：（1）ab﹣4x2；（2分）（2）依题意有：ab﹣4x2=4x2，（4分）将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，（6分）解得x1=，x2=﹣（舍去）．（7分）即正方形的边长为8．（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？分析：（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．解答：解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：64（1+x）2=100四月份的销量为：100（1+25%）=125（辆）．答：四月份的销量为125辆．（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得：2×≤x≤2.8×解得：30≤x≤35．利润W=（700﹣500）x+（1300﹣1000）=9000+50x．∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．当x=35时，不是整数，故不符合题意，∴x=34，此时=13（辆）．答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．9．（2012•徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？分析：（1）由题意知，3月份电量超过了a千瓦，可列等式20+（80﹣a）=35，解一元二次方程求出a的值即可；（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元．根据题意列出分段函数，然后求出5月份的电量．解答：解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，，即a2﹣80a+1500=0．解得a=30或a=50．由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45．∴a=50．（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元．则∵5月份交电费45元，∴5月份用电量超过50千瓦时．∴45=20+0.5（x﹣50），解得x=100．答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时．10．（2012•襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）分析：设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．解答：解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．整理，得x2﹣35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．。
专题21.1 一元二次方程基础解析版
专题21.1 一元二次方程目录一元二次方程的定义 (1)一元二次方程项数系数 (4)一元二次方程含参 (5)一元二次方程的解 (6)直接开平方法 (9)配方法 (11)一元二次方程判别式 (15)含参求根的辨别式 (16)根的辨别式综合运用 (17)因式分解法 (19)十字相乘 (21)根与系数的关系..............................................................................................................................22一元二次方程的定义【例1】下列方程中，不是一元二次方程的是( )A ．21x x =+B ．276x x -=C ．24573x x -=-D ．2650x --=【解答】解：A ．根据一元二次方程的定义，21x x =+是一元二次方程，那么A 不符合题意．B ．根据一元二次方程的定义，276x x -=是一元二次方程，那么B 不符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，24573x x -=-不是一元二次方程，那么C 符合题意．D ．根据一元二次方程的定义，2650x --=是一元二次方程，那么D 不符合题意．故选：C ．【变式训练1】下列方程中是一元二次方程的是( )A ．22(2)4x x -+=B ．2220x x ++=C ．2130x x +-=D ．21xy +=【解答】解：A ．由22(2)4x x -+=，得40x =，那么22(2)4x x -+=不是一元二次方程，故A 不符合题意．B ．根据一元二次方程的定义，2220x x ++=是一元二次方程，故B 符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，2130x x+-=不是一元二次方程，而是分式方程，故C 不符合题意．D ．根据一元二次方程，21xy +=不是一元二次方程，故D 不符合题意．故选：B ．【变式训练2】下列是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．22x x -=C ．22(2)x x x -=-D ．11x x+=【解答】解：A 、当0a =时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；B 、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意；C 、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；D 、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B ．【变式训练3】下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【解答】解：A ．该方程是分式方程，故本选项不合题意；B ．当0a =时，20ax bx c ++=不是关于x 的一元二次方程，故本选项不合题意；C ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D 、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【例2】已知关于x 的方程21(1)230mm x x +-+-=是一元二次方程．（1）求m 的值；（2）解该一元二次方程．【解答】解：（1）Q 关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，\21012m m -¹ìí+=î，解得1m =-；（2）方程为22230x x -+-=，即22230x x -+=，2a =Q ，2b =-，3c =，224(2)423424200b ac \-=--´´=-=-<，故原方程无解．【变式训练1】已知方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．【解答】解：Q 方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，|3|42a \-=且20a +¹，解得：2a =．【变式训练2】已知关于x 的方程21(3m m x x --=，试问：（1）m 为何值时，该方程是关于x 的一元一次方程？（2）m 为何值时，该方程是关于x 的一元二次方程？【解答】解：（1）由题意，得211m -=，解得m =，当m =时，该方程是一元一次方程；0m =，解得m =，当m =时，该方程是一元一次方程；210m -=，解得1m =±，1m =±时，该方程是一元一次方程；（2）由题意，得212m -=且0m ¹，解得m =，当m =时，该方程是关于x 的一元二次方程．【变式训练3】关于x 的方程21(43)5130k k k x x --+-+=能否为一元二次方程？若能，求出k 的值；若不能，请说明理由．【解答】解：若关于x 的方程21(43)5130k k k x x --+-+=是一元二次方程，则243012k k kì-+¹í-=î，k \无解，\关于x 的方程21(43)5130k k k x x --+-+=不能为一元二次方程．一元二次方程项数系数【例3】把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是( )A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【解答】解：(1)(1)3x x x +-=，2130x x --=，即2310x x --=，故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是( )A ．1B ．8C ．7D ．2【解答】解：关于x 的一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项分别为4、1和3-．所以一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是4132+-=．故选：D ．【变式训练2】方程2514x x -=化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是( )A ．4，1-B ．4，1C ．4-，1-D ．4-，1【解答】解：2514x x -=化成一元二次方程一般形式是25410x x --=，它的一次项系数是4-，常数项是1-．故选：C ．【变式训练3】把方程225(2)x x x +=-化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．1，3-，2B ．1，7，10-C ．1，5-，12D ．1，3-，10【解答】解：225(2)x x x +=-，22510x x x +=-，225100x x x +-+=，23100x x -+=，则1a =，3b =-，10c =，故选：D ．一元二次方程含参【例4】若关于x 的方程2(1)2a x -=为一元二次方程，则a 满足( )A ．1a =B ．1a ¹C ．0a =D ．0a ¹【解答】解：Q 方程2(1)2a x -=为一元二次方程，10a \-¹，解得1a ¹．故选：B ．【变式训练1】若||1(3)(3)50m m x m x -+---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．3B ．3-C ．3±D ．2±【解答】解：由题意可知：||1230m m -=ìí+¹î，解得：3m =，故选：A ．【变式训练2】若方程||1(1)23m m x x +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．不存在【解答】解：由题意得：||12m +=，且10m -¹，解得：1m =-，故选：B ．【变式训练3】已知关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，则( )A ．2m ¹±B ．2m =-C ．2m =D ．2m =±【解答】解：Q 关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，\20||2m m -¹ìí=î，解得2m =-，故选：B ．一元二次方程的解【例5】已知m 为方程2320220x x +-=的根，那么32220252022m m m +-+的值为( )A ．2022-B ．0C ．2022D ．4044【解答】解：m Q 为方程2320220x x +-=的根，2320220m m \+-=，232022m m \+=，\原式3223320222022m m m m m =+---+22(3)(3)20222022m m m m m m =+-+-+2022202220222022m m =--+0=．【变式训练1】若a 是2320220x x --=的一个根，则231a a -+的值是( )A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【解答】解：a Q 是2320220x x --=的一个根，2320220a a \--=，232022a a \-=，231202212023a a \-+=+=．故选：D ．【变式训练2】已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为( )A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【解答】解：a Q 是方程2202210x x -+=的一个根，2202210a a \-+=，即212022a a +=，220221a a =-，则2222022112021112022120211a a a a a a a +-+=-+=-=-=+．故选：C ．【变式训练3】已知m 是一元二次方程2410x x -+=的一个根，则220214m m -+的值为( )A ．2021-B ．2021C ．2020D ．2022【解答】解：把x m =代入方程2410x x -+=得2410m m -+=，所以241m m -=-，所以22202142021(4)2021(1)2022m m m m -+=--=--=．故选：D ．一元二次方程与三角形【例6】已知关于x 的方程2(1)4120a x x a ---+=，其中3x =是方程的一个根．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）若ABC D 的三条边长都是此方程的根，求ABC D 的周长．【解答】解：（1）把3x =代入方程得9(1)43120a a --´-+=，\原方程为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x \=，23x =，故它的另一个根是1；（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，那么三角形的周长是3或9；②仅有两边相等，1123+=<Q ，\三角形的边长只能为3，3，1，那么三角形的周长是7；由①、②知，三角形的周长可以是3或7或【变式训练1】已知2x =是关于x 的方程2(4)40x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长．（1）求m 的值；（2）求ABC D 的周长．【解答】解：（1）把2x =代入方程2(4)40x m x m -++=得42(4)40m m -++=，解得2m =；（2）方程化为2680x x -+=，解得12x =，24x =，224+=Q ，\等腰三角形ABC 的腰长为4，底边长为2，ABC \D 的周长为44210++=．【变式训练2】已知关于x 的方程2(2)20x m x m -++=．（1）判断方程根的情况；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数m 的值；（3）若等腰ABC D 的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求ABC D 的周长．【解答】解：（1）Q △22(2)42(2)0m m m =+-×=-…，\方程有两个实数根；（2）2(2)2m m x +±-=，所以12x =，2x m =，Q 两根异号，正根的绝对值较大，20m \-<<，\整数m 的值为1-；（3）当2m =时，三角形三边为2、2、3，则三角形的周长为2237++=；当3m =时，三角形三边为2、3、3，则三角形的周长为2338++=．综上所述，三角形的周长为7或【变式训练3】已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰ABC D 的两条边长．（1）求m 的值；（2）求ABC D 的周长．【解答】解：（1）把2x =代入方程得4430m m -+=，解得4m =；（2）当4m =时，原方程变为28120x x -+=，解得12x =，26x =，Q 该方程的两个根恰好是等腰ABC D 的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形ABC \D 的腰为6，底边为2，ABC \D 的周长为66214++=．直接开平方法【例7】方程2(1)9x +=的解为( )A ．2x =，4x =-B ．2x =-，4x =C ．4x =，2x =D ．2x =-，4x =-【解答】解：方程2(1)9x +=，开方得：13x +=或13x +=-，解得：12x =，24x =-．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2160x -=的根是( )A ．4B ．4-C ．4±D ．16【解答】解：2160x -=Q ，216x \=，4x \=±，故选：C ．【变式训练2】解方程22(1)160x --=．【解答】解：22(1)160x --=，22(1)16x -=，2(1)8x -=，1x -=±11x \=-，21x =+．【变式训练3】解方程：24(3)250x --=．【解答】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=，532x \-=±，1112x \=，212x =．【例8】解方程：22(23)(32)x x +=+．【解答】解：方程：22(23)(32)x x +=+，开方得：2332x x +=+或2332x x +=--，解得：11x =，21x =-．【变式训练1】解方程：22(21)(3)x x -=-．【解答】解：21(3)x x -=±-，213x x -=-或213x x -=-+，所以143x =，22x =-．【变式训练2】用适当的方法解一元二次方程：22(1)4(1)x x -=+．【解答】解：12(1)x x -=±+，所以13x =-，213x =-．【变式训练3】解方程：22(21)(1)x x +=-．【解答】解：21(1)x x +=±-，所以12x =-，20x =．配方法【例9】一元二次方程2220x x --=配方后可化为( )A ．2(1)3x +=B ．2(1)3x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=【解答】解：2220x x --=，222x x -=，22121x x -+=+，2(1)3x -=，故选：B ．【变式训练1】把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是( )A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x -=【解答】解：2240x x --=，224x x -=，22141x x -+=+，2(1)5x -=，故选：C ．【变式训练2】方程2460x x --=经配方后，可化为( )A ．2(2)10x -=B ．2(2)10x +=C ．2(2)8x -=D ．2(2)8x +=【解答】解：2460x x --=Q ，246x x \-=，则24464x x -+=+，即2(2)10x -=，故选：A ．【变式训练3】下列配方中，变形正确的是( )A ．222(1)x x x +=+B ．2243(2)1x x x --=-+C ．222432(1)1x x x ++=++D ．222(1)1x x x -+=-+-【解答】解：22x x+2211x x =++-2(1)1x =+-，A 错误．243x x --24443x x =-+--2(44)(43)x x =-++--2(2)7x =--．B 错误．2243x x ++22(2)3x x =++22(211)3x x =++-+22(21)213x x =++-´+22(1)23x =+-+22(1)1x =++．C 正确．22x x-+2(211)x x =--+-2(21)1x x =--++2(1)1x =-++D 错误．故选：C ．【例10】用配方法解一元二次方程：22410x x -+=．【解答】解：方程整理得：2122x x -=-，配方得：21212x x -+=，即21(1)2x -=，开方得：1x -=解得：11x =+，21x =．【变式训练1】解一元二次方程：22460x x --=．【解答】解：22460x x --=Q ，2230x x --=，223x x -=，则22131x x -+=+，即2(1)4x -=，12x \-=±，11x \=-，23x =．【变式训练2】用配方法解方程：24x -=．【解答】解：Q 24x -=，2545x \-+=+，即2(9x =，3x \=或3x =-，13x \=+23x =-+【变式训练3】用配方法解方程：21090x x -+=．【解答】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．一元二次方程判别式【例11】方程2450x x --=的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定【解答】解：方程2450x x --=，Q △2(4)41(5)1620360=--´´-=+=>，\方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2610x ++=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：一元二次方程2610x ++=中，△24610=-´´=，2610x \++=有两个相等的实数根，故选：C ．【变式训练2】一元二次方程2210x x -+=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有无数个实数根【解答】解：对一元二次方程2210x x -+=，△2(2)4110=--´´=，2210x x \-+=有两个相等实数根，故选：B ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程24(1)(3)0x x m m ++--=，下列选项正确的是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关【解答】解：方程24(1)(3)0x x m m ++--=，△164(1)(3)m m =---2164(33)m m m =---+241628m m =-+24(44)12m m =-++24(2)12m =-+，2(2)0m -Q …，24(2)12120m \-+>…，则方程有两个不相等的实数根．故选：C ．含参求根的辨别式【例12】关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．98m …B ．98m <且0m ¹C ．98m …且0m ¹D ．98m …【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，\△2(3)80m =--…，且0m ¹，解得：98m …且0m ¹．故选：C ．【变式训练1】若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．36B ．9C ．6D ．9-【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，\△2640c =-=，解得9c =，故选：B ．【变式训练2】若关于x 的方程220x x m --=没有实数根，则m 的最大整数值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 关于x 的方程220x x m --=没有实数根，2(2)41()440m m \--´´-=+<，解得：1m <-，则m 的最大整数值是2-．故选：A ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程2(1)210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．1m <-B ．0m >C ．1m <且0m ¹D ．0m >且1m ¹【解答】解：根据题意得10m -¹且△224(1)(1)0m =--->，解得0m >且1m ¹．故选：D ．根的辨别式综合运用【例13】已知关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根．（1）求实数k 的取值范围．（2）若此方程有一个根为1，求k 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根，\△2224(23)41(1)0b ac k k =-=--´´-…，解得：1312k …；（2）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=的一个根为1，\把1x =代入方程得：21(23)10k k +-+-=，2230k k \+-=，解得：1k =或3-，故k 的值为1或3-．【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=．（1）求证：对于任意实数m ，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m 的值．【解答】（1）证明：对关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=，△22221[(1)]4(2)21214m m m m m m m =---´-=-+-+=，\△0>，\对于任意实数m ，一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则2210(1)0(2)04m m m ´--´+-=，220m m \-=，解得0m =或2m =，答：m 的值为0或【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程2(1)230x k x k -++-=．（1）当3k =时，求一元二次方程2(1)230x k x k -++-=的解；（2）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：当3k =时，方程可化为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x \=，23x =；（2）证明：Q △222[(1)]4(23)613(3)4k k k k k =-+--=-+=-+，而2(3)0k -…，\△0>．\对任意实数k ，方程有两个不相等的实数根．【变式训练3】已知关于x 的方程2(3)30x k x k -++=．（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）等腰ABC D 的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC D 的周长．【解答】（1）证明：△22(3)43(3)0k k k =+-´=-…，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：依题意有△2(3)0k =-=，则3k =，将其代入方程2(3)30x k x k -++=，得2(33)330x x -++´=．解得123x x ==．故ABC D 的周长是2338++=．因式分解法【例14】方程24x x =的解是( )A．x =B ．12x =，22x =-C ．124x x ==D ．10x =，24x =【解答】解：24x x =，240x x -=，(4)0x x -=，0x =或40x -=，10x =，24x =，故选：D ．【变式训练1】方程2(2)3(2)x x -=-的解是( )A ．5x =B ．15x =，22x =C ．11x =，22x =D ．2x =【解答】解：2(2)3(2)x x -=-，2(2)3(2)0x x ---=，(2)(23)0x x ---=，20x -=或230x --=，所以12x =，25x =．故选：B ．【变式训练2】方程(1)2x x x -=的解是( )A ．3x =B ．3x =-C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =【解答】解：(1)2x x x -=，(1)20x x x --=，(12)0x x --=，(3)0x x -=，10x =，23x =，故选：C ．【变式训练3】如果220a a +=，那么a 的值是( )A ．0B ．2C ．0，2D ．0，2-【解答】解：220a a +=Q ，(2)0a a \+=，0a \=或20a +=，10a \=，22a =-，故选：D ．十字相乘【例15】方程22240x x --=的根是( )A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【解答】解：22240x x --=，(6)(4)0x x -+=，60x -=或40x +=，解得16x =，24x =-，故选：B ．【变式训练1】方程2430x x ++=的两个根为( )A ．11x =，23x =B ．11x =-，23x =C ．11x =，23x =-D ．11x =-，23x =-【解答】解：2430x x ++=，(3)(1)0x x ++=，30x +=或10x +=，13x =-，21x =-，故选：D ．【变式训练2】方程220x x +-=的两个根为( )A ．12x =-，21x =B ．11x =-，22x =C ．12x =-，21x =-D ．11x =，22x=【解答】解：220x x +-=，(2)(1)0x x +-=，20x +=或10x -=，12x =-，21x =，故选：A ．【变式训练3】下列各数是方程23100x x +-=的根的是( )A ．2和5B ．5-和3C ．5和3D ．5-和2【解答】解：方程23100x x +-=，分解因式得：(2)(5)0x x -+=，所以20x -=或50x +=，解得：2x =或5x =-．故选：D ．根与系数的关系【例16】设方程2840x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．2【解答】解：由2840x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数8b =-，由根与系数的关系：12881b x x a -+=-=-=．故选：A ．【变式训练1】下列一元二次方程两实数根和等于4-的是( )A ．2340x x +-=B ．2440x x -+=C ．2450x x ++=D ．2440x x ++=【解答】解：A 、两实数根的和等于3-，所以A 选项不符合题意；B 、两实数根的和等于4，所以B 选项不符合题意；C 、△2441540=-´´=-<，方程没有实数根，所以C 选项符合题意；D 、两实数根的和等于4-，所以D 选项不符合题意．故选：D ．【变式训练2】设a ，b 是方程220210x x --=的两个实数根，则a b ab +-的值为( )A ．2022B ．2022-C ．2020D ．2020-【解答】解：根据题意，得1a b +=，2021ab =-，120212022a b ab \+-=+=，故选：A ．【变式训练3】若矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，则该矩形的周长和面积分别为( )A ．3和34B ．34和3C ．34和6D ．6和34【解答】解：Q 矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，设长为a ，宽为b ，3a b \+=，34ab =，则该矩形的周长为2()6a b +=，面积为34ab =．故选：D ．【例17】已知a 、b 分别是一元二次方程2450x x +-=的两个实数根，则11a b+的值为( )A ．25B ．45C ．1D ．65【解答】解：根据题意，可知4a b +=-，5ab =-，\1145b a a b ab ++==，故选：B ．【变式训练1】关于x 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，且22126x x +=，则k 的值是( )A ．3-B ．3±C ．2-D ．2±【解答】解：x Q 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，121x x k \+=+，122x x k ×=+，Q 22126x x +=，\221212()2(1)2(2)6x x x x k k +-=+-+=，解得3k =±，根据题意，得△2[(1)]4(2)0k k =-+-+…，当3k =时，△162040=-=-<，不符合题意，当3k =-时，△4480=+=>，符合题意，3k \=-，故选：A ．【变式训练2】已知1x 、2x 是一元二次方程270x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是( )A ．6-B ．2-C ．13-D ．30-【解答】解：根据根与系数的关系得121x x +=，127x x =-，所以2222112212124()212(7)13x x x x x x x x ++=++=+´-=-．故选：C ．【变式训练3】一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则21212x x x x ++的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，\2112x x =+，121x x +=，122x x =-，\21212x x x x ++12122x x x x =+++12122x x x x =+++122=-+1=．故选：D ．【例18】关于x 的一元二次方程2(4)20x m x m +++=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是方程的两个实根，且212124x x x x m m ++=-，求m 的值．【解答】（1）证明：Q △2(4)42m m=+-´28168m m m =++-2160m =+>，\方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得12(4)x x m +=-+，122x x m =，212124x x x x m m ++=-Q ，2(4)24m m m m \-++=-，解得1m =或4，即m 的值为1或4【变式训练1】已知关于x 的方程22290x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若221236x x +=求m 的值．【解答】（1）证明：Q △22(2)4(9)360m m =---=>，\方程有两个不相等的实数根；（2）解：122x x m +=Q ，2129x x m ×=-，\22222121212()2421836x x x x x x m m +=+-=-+=，化简，得2218m =，解得3m =或3m =-．【变式训练2】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2240kx x -+=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若113x =，求12(1)(1)x x ++的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程2240kx x -+=有两个实数根，0k \¹，且△2(2)440k =--´…，解得14k …且0k ¹；（2）由根与系数的关系可得122123x x x k +=+=，122143x x x k==，解得30k =-，225x =-．12115x x \+=-，12215x x =-，12(1)(1)x x \++1212()1x x x x =+++2111515=--+45=．【变式训练3】关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2212129x x x x +-=，求m 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根，\△2224[(21)]41(2)410b ac m m m m =-=---´´-=+…，解得：14m -…．（2）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=的两个根分别为1x ，2x ，1221x x m \+=-，2122x x m m ×=-，2212129x x x x +-=Q ，21212()39x x x x \+-=，即22(21)3(2)9m m m ---=，整理得：2219m m ++=，2(1)9m \+=，解得：14m =-，22m =，14m -Q …．m \的值为21．下列方程中，属于一元二次方程的是( )A ．2310x -=B ．213x x +=C ．2(2)(1)x x x =-+D ．(2)(2)40x x -++=【解答】解：A ．2310x -=，是一元一次方程，故A 不符合题意；B ．213x x +=是分式方程，故B 不符合题意；C ．方程整理可得20x +=，是一元一次方程，故C 不符合题意；D ．(2)(2)40x x -++=是一元二次方程，故D 符合题意；故选：D ．2．下列方程中，属于一元二次方程的是( )A ．23x y +=B ．230x x +=C ．210x x-=D ．210x +=【解答】解：A ．是二元一次方程，故本选项不合题意；B ．是一元二次方程，故本选项符合题意；C ．是分式方程，故本选项不合题意；D ．是一元一次方程，故本选项不合题意；故选：B ．3．方程2232x x -=的一次项系数和常数项分别是( )A ．2和2B ．3-和2C ．3和2-D ．3-和2-【解答】解：2232x x -=Q ，22320x x \--=，\方程2232x x -=的一次项系数和常数项分别是3-和2-，故选：D ．4．若1x =是关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根，则m 的值是( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：把1x =代入方程230x mx +-=得：130m +-=，解得：2m =．故选：D ．5．对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是( )A ．不论c 为何值，方程均有实数根B ．方程的根是c b x a-=C ．当0c …时，方程可化为：ax b +=ax b +=D ．当0c =时，b x a=【解答】解：当0c <，方程没有实数解；当0c …时，方程有实数根，则ax b +=，解得1x =，2x =0c =时，解得12bx x a==-．故选：C ．6．若1x =是方程230x mx ++=的一个根，则方程的另一个根是( )A ．3B ．4C ．3-D ．4-【解答】解：设另外一根为a ，由根与系数的关系可知：13a ´=，3a \=，故选：A ．7．已知4a b ++=，则a b +的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：已知等式移项得：(1)(14)0a b -+--=，即221)2)0+-=，21)0Q …，22)0-…，\1=2=，解得：1a =，5b =，则6a b +=．故选：C ．8．一元二次方程2250x -=的解为( )A ．125x x ==B ．15x =，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【解答】解：2250x -=，则225x =，解得：15x =，25x =-．故选：B ．9．如果关于x 的方程|1|(3)310m m x x ---+=是一元二次方程，则m = 1- ．【解答】解：由题意得：|1|2m -=，且30m -¹，解得：1m =-，故答案为：1-．10．若关于x 的方程||(2)230m m x x ---=是一元二次方程，则m = 2- ．【解答】解：由题意，得||2m =且20m -¹，解得2m =-，故答案是：2-．11．将方程(32)(1)83x x x -+=-化成一元二次方程的一般形式为 23710x x -+= ．【解答】解：(32)(1)83x x x -+=-，2332283x x x x +--=-，232830x x x +--+=，23710x x -+=，故答案为：23710x x -+=．12．关于x 的方程220x x c -+=有一个根是3，那么实数c 的值是 3- ．【解答】解：Q 关于x 的方程220x x c -+=有一个根是3，23230c \-´+=，即30c +=，解得3c =-．故答案是：3-．13．试说明关于x 的方程22(820)210a a x ax -+++=无论a 取何值，该方程都是一元二次方程．【解答】解：22820(4)4a a a -+=-+Q 又2(4)0a -Q …，28200a a \-+¹，\关于x 的方程22(820)210a a x ax -+++=无论a 取何值，该方程都是一元二次方程．14．已知方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．【解答】解：Q 方程|3|4(2)610a a x ax -+++=是关于x 的一元二次方程，|3|42a \-=且20a +¹，解得：2a =．15．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）2(21)(32)2x x x -+=+；（2）2)(3)x x x -+=+．【解答】解：（1）化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4-；（2）化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．。
中考数学专题复习22一元二次方程试题
22一元二次方程时间：2022.4.12 单位：……*** 创编者：十乙州专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 〔m－1〕x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接方法、因式分解法、配方法及公式法，在详细的解题过程中，应结合详细的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x2+1＝3 x.例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是〔 〕 A.x ＝0 B.x 1＝0，x 2＝3 C. 1210,3x x == D. 13x = 例4 解方程x 2－2x －2＝0.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】 这局部内容主要考察方程的一根求字母的值，或者者是根与系数及判别式相联络的问题.例5 解以下方程，将所得到的解填入下面表格中：〔1〕通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？ 〔2〕一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0〔p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0〕来说，是否也具备〔1〕中你所发现的规律？假如具备，请你写出规律，并说明理由；假如不具备，请举出反例.例6 假设a是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，且a≠0，那么由此可得求得以下代数式的值恒为常数的是〔〕A.abB. baC.a+bD.a－b专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据详细问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进展取舍.例7 农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2021年政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2021年校舍改造的投入资金是8050.9万元，假设设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，那么根据题意列方程得 .二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 假如〔2m+2n+1〕〔2m+2n－1〕＝63，那么m+n的值是 .例9 解方程〔3x+2〕2－8〔3x+2〕+15＝0.例10 解方程〔x+2〕〔x+3〕〔x－4〕〔x－5〕＝44.例11 先用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x2－6x+10的值最小，最小值是多少.例12 假设实数m，n，p满足m－n＝8，mn+p2+16＝0，那么m+n+p的值是〔〕A.－1B. 0 C例13 解方程3x2+11x+10＝0.例14 解方程〔x－1994〕〔x－1995〕=1996×1997.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，那么平均每年下降的百分率是 .中考真题精选 一、选择题1.关于x 的一元二次方程〔a －1〕x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，那么实数a 的值是〔 〕A 、－1B 、0C 、1D 、－1或者12.假设一元二次方程式ax 〔x ＋1〕＋〔x ＋1〕〔x ＋2〕＋bx 〔x ＋2〕＝2的两根为0．2，那么|3a ＋4b |之值为何〔 〕A ．2B ．5C ．7D ．83.关于方程式88〔x ﹣2〕2=95的两根，以下判断何者正确〔 〕 A 、一根小于1，另一根大于3 B 、一根小于﹣2，另一根大于2C 、两根都小于0D 、两根都大于24. 6.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔 〕A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=5.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1〔a ，m ，b 均为常数，a ≠0〕，那么方程2(2)0a x m b +++=的解是 .6.1是关于x 的一元二次方程〔m ﹣1〕x 2+x+1=0的一个根，那么m 的值是〔 〕 A 、1B 、﹣1C 、0D 、无法确定7.以下方程中是关于x 的一元二次方程的是〔 〕A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=8.假设x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．那么m 的值是〔 〕A.6B.5C.2D.﹣6二、填空题1.关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，那么m = ，另一个根是 ． 2. 假设x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，那么a 的值是______. 3.一元二次方程x 2+5x+6=0的根是 ． 一、选择题1.某品牌服装原价173元，连续两次降价00x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔 〕A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -= C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=2.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，假设灰色三角形面积为421平方公分，那么此方格纸的面积为多少平方公分〔 〕A 、11B 、12C 、13D 、143.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班一共送了2070张相片，假如全班有x 名学生，根据题意，列出方程为〔 〕A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -= 4.亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元，以下所列方程正确的选项是( )A ．128%)1(1602=+aB ．128%)1(1602=-aC ．128%)21(160=-aD ．128%)1(160=-a5.某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值到达了72万元．假设求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x ，依题意可列方程〔 〕 A ．72〔x +1〕2=50 B ．50〔x +1〕2=72C ．50〔x ﹣1〕2=72D ．72〔x ﹣1〕2=506.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，假设平面上不同的n 个点最多可确定21条直线．那么n 的值是〔 〕 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题1.某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为 ．2. “十二五〞时期，将建成中西部旅游强，以旅游业为龙头的效劳业将成为推动经济开展的主要动力． 2021年全全年旅游总收入大约1000亿元，假如到2021年全全年旅游总收入要到达1440亿元，那么年平均增长率应为__________．3. 某小区2021年屋顶绿化面积为2000平方米，方案2021年屋顶绿化面积要到达2880平方米．假如每年屋顶绿化面积的增长率一样，那么这个增长率是 ．4.据调查，某2021年的房价为4000元/m 2，预计2021年将到达4840元/m 2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为〔 〕 A ．4000(1+x )=4840 B ．4000(1+x )2=4840C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=48405.某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，假如每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是．6.线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．假设正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．那么AE的长为________________．7.“十二五〞时期，将建成中西部旅游强，以旅游业为龙头的效劳业将成为推动经济开展的丰要动力．2021年全全年旅游总收入大约l000亿元，假如到2021年全每年旅游总收入要到达1440亿元，那么年平均增长率应为．8.某城居民最低生活保障在2021年是240元，经过连续两年的增加，到2021年进步到345.6元，那么该城两年最低生活保障的平均年增长率是 .9.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．假设矩形的面积为4m2，那么AB的长度是m〔可利用的围墙长度超过6m〕．10.某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．假设两次降价的百分率一样，设这个百分率为x，那么可列出关于x的方程为．11.如图〔1〕，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路〔横向与纵向垂直〕，把耕地分成假设干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图〔2〕的考虑方式出发列出的方程是．三、解答题1.某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进展挑选分成甲级干果与乙级干果后同时开场销售．这批干果销售完毕以后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开场销售至销售的第x天的总销量y1〔千克〕与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开场销售至销售的第t天的总销量y2〔千克〕与t的关系为y2=a t2+b t，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 3y221 44 69〔1〕求a．b的值；〔2〕假设甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，那么卖完这批干果获得的毛利润是多少元？〔3〕问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？〔说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计〕2.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋〞，某加快了廉租房的建立力度．2021年政府一共HY2亿元人民币建立了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年一共累计HY9.5亿元人民币建立廉租房，假设在这两年内每年HY的增长率一样．〔1〕求每年政府HY的增长率；〔2〕假设这两年内的建立本钱不变，求到2021年底一共建立了多少万平方米廉租房．3.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？4.某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P〔个〕与每个书包销售价x〔元〕满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：假如要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？5.随着人们经济收入的不断进步及汽车产业的快速开展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某HY门统计，2021年底该汽车拥有量为75万辆，而截止到2021年底，该的汽车拥有量已达108万辆．〔1〕求2021年底至2021年底该汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为了保护城环境，缓解汽车拥堵状况，该HY门拟控制汽车总量，要求到2021年底全汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2021年初起，该此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量一样，请你估算出该从2021年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．6.国家HY公布的?商品房销售明码标价规定?，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率；〔2〕某人准备以开盘均价购置一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？7.随着人们经济收入的不断进步及汽车产业的快速开展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某HY门统计，2021年底全汽车拥有量为15万辆，而截止到2021年底，全的汽车拥有量已达21.6万辆．〔1〕求2021年底至2021年底该汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为保护城环境，缓解汽车拥堵状况，从2021年初起，该HY门拟控制汽车总量，要求到2021年底全汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该从2021年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量一样，请你计算出该每年新增汽车数多不能超过多少万辆．8.：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14=0的两个实数根． 〔1〕当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；〔2〕假设AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？9.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？10.某为争创全国文明卫生城，2021年政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2021年投入的资金是2420万元，且从2021年到2021年，两年间每年投入资金的年平均增长率一样.〔1〕求该对区绿化工程投入资金的年平均增长率；〔2〕假设投入资金的年平均增长率不变，那么该在2021年需投入多少万元？11.解方程：0)10553(|4|222=--+--y x y x ．12.知识背景：来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地场出售时，基地要求“杨梅〞用双层上盖的长方体纸箱封装〔上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图〕〔1〕实际运用：假如要求纸箱的高为，底面是黄金矩形〔宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6〕，体积为．①按方案1〔如图〕做一个纸箱，需要矩形硬纸板A 1B 1C 1D 1的面积是多少平方米？ ②小明认为，假如从节材料的角度考虑，采用方案2〔如图〕的菱形硬纸板A 2B 2C 2D 2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．〔2〕拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅〞，但他感觉〔1〕中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．13.汽车产业是我支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2021年我某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2021年，该品牌汽车的年产量到达10万辆．假设该品牌汽车年产量的年平均增长率从2021年开场五年内保持不变，那么该品牌汽车2021的年产量为多少万辆？14.随着经济的开展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的进步员工当年的月工资．尹进2021年的月工资为2000元，在2021年时他的月工资增加到2420元，他2021年的月工资按2021到2021年的月工资的平均增长率继续增长．〔1〕尹进2021年的月工资为多少？〔2〕尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2021年6月份的月工资刚好购置假设干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2021年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购置了甲、乙两种工具书各一本，并把购置的这两种工具书全部捐献给西部山区的．请问，尹进总一共捐献了多少本工具书？15.请阅读以下材料：问题：方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的2倍。
专题-一元二次方程
专题-一元二次方程一元二次方程专题一．解答题（共15小题）1．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．3．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．6．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．7．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？8．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？9．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？11．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为R t△ACB面积的一半？13．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？14．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．，，求△ABC15．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．2．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．，【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，∵△=b2﹣4ac=（2m ）2﹣4〓1〓（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m〓3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量〓（1+增长率），2019年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2019年的基础上再增长x ，就是2019年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2019年该地区将投入教育经费．【解答】解：设增长率为x ，根据题意2019年为2500（1+x）万元，2019年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025〓（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费3327.5万元．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量〓（1+年平均增长率）年数=增长后的量．4．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【考点】根与系数的关系；根的判别式．的值；【分析】（1）由方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．的值就为一定值．（3）只要满足△＞0（或用k 的取值范围表示）【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k ，∴（3）由（1）可知，k ＞﹣1时，的值与k 无关． =，【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m 的取值范围即可；（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m 的值，根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．【解答】解：（1）由又∵m≠0∴m的取值范围为m ＞﹣1且m≠0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m ．（6分），得m ＞﹣1设方程两根为x 1，x 2则，解得m=﹣2，此时△＜0．∴原方程无解，故不存在．（12分）【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m 的取值范围．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x 元，则每件所得利润为（40﹣x ）元，但每天多售出2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x ）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，根据题意得（40﹣x ）（20+2x）=1200，整理得2x 2﹣60x+400=0解得x 1=20，x 2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y 元，则y=（20+2x）（40﹣x ）=﹣2x 2+60x+800=﹣2（x 2﹣30x ﹣400）=﹣2[（x ﹣15）2﹣625]=﹣2（x ﹣15）2+1250．∴当x=15时，y 取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）〓10=1000﹣10x ，利润=（1000﹣10x ）（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，求出x 的值即可；（2）﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x 2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系．8．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为〓6〓8，△PCQ的面积为（8﹣x ）（6﹣x ），设出t 秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可．【解答】解：设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半，则：=12，解得x 1=12（舍去），x 2=2．答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半．【点评】本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系．9．创新题：如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】本题可设时间为x 分钟，依题意得CF=x，BE=2x，周长为40km ，边长为10km ，CE=10﹣2x ，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x 分钟后两车相距2km ，此时甲运动到F 点，乙运动到E 点，可知：FC=x，EC=10﹣2x在Rt△ECF中，x 2+（10﹣2X ）2=（2解得：x 1=2，x 2=6 ）2，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去答：2分钟后，两车相距2km ．【点评】根据路程=速度〓时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．10．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）先计算判别式得到△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=，x 2=﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=∴x1=，x 2=﹣1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．11．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 300+100〓只粽子，利润为（1﹣m ）（300+100〓），元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题；压轴题．【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【解答】解：（1）300+100〓（1﹣m ）（300+100〓）．，（2）令（1﹣m ）（300+100〓化简得，100m 2﹣70m+12=0．即，m 2﹣0.7m+0.12=0．）=420．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．12．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x 2+5（2）证明：根据题意，得△=（c ）2﹣4ab=2c2﹣4ab x+4=0；∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a 2+b2）﹣4ab=2（a ﹣b ）2≥0即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a ﹣c+b=0，即a+b=∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1． c 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．13．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】（1）先解方程有“邻近根”；得到x 1=，x 2=1，则满足，所以可判断方程（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，利用求根公式解得x 1=1，或若x 1=1，，x 2=1，则m ＜0，然后讨论：，则，是关于m 的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m 的取值范围．【解答】解：（1）方程∵∴（x ﹣1）（x ﹣∵x1＞x 2，∴x1=，x 2=1，，）=0，，有“邻近根”．理由如下：这时x 1＞0，x 2＞0，且∵∴满足∴方程，，有“邻近根”；（2）由已知m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，∴∴当m ＞﹣1时，x 1=1，当m ＜﹣1时，，x 2=1，∵一元二次方程ax 2+bx+c=0有“邻近根”，∴x1、x 2均为正数，∴m＜0若x 1=1，∵﹣1＜0，∴随m 的增大而减小．，则，是关于m 的正比例函数，当1＜﹣m ＜2时，∴﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，∵﹣1＜0，∴在第二象限，当∴随m 的增大而增大．时，．…（9分）．综上，m 的取值范围是﹣2＜m ＜﹣1或【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．14．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k ﹣4）=20﹣8k ＞0，解得：k ＜；（2）由k 为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1〒，∵方程的解为整数，∴5﹣2k 为完全平方数，则k 的值为2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．15．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．【分析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a 2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2．，故不能构成三角形，不合题意，舍去．，故能构成三角形．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+，c=2，c=2）〓时，因时，因=．＜＞S △ABC=〓（2综上，△ABC的面积为1或【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。
八下复习专题--一元二次方程
景宁县2013学年24.一元二次方程 X • X -1 = 0的根的情况是A •有两个不相等的实数根 C .没有实数根7•用配方法解一元二次方程 x 2 6x ^0时，方程变形正确的是A . (x 3)2 =14B . (x 3) =4C .(X-3)2 =14 9.如图1,有一张长40cm ，宽25cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折青田县2013学年25 .一元二次方程 （X • 6）=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ^4，则另一个一元一次方程是C. x 6 = 4D. x 6 = -4212. 已知x= - 2是方程x+mx -6=0的一个根，则方程的另一个根是 _▲遂昌县2013学年7.下列一元二次方程中，没有实数根的方程是(▲)A . (x - 2)2 - 4 = 0B . X 2 4x =0C . x 2 4x-5=0D . -x 2 4x-5=029.用配方法解方程 2x -4x -1=0时，下列配方结果正确的是(▲)222329成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是 X cm ,则下列方程正确的是2A. 40 25 -4x =450B. 40 25 _2x 2 =450C.40 -x 25-x =450D . 40-2x 25-2x =450450 cm 2 ,设纸盒的高为图1图2B .有两个相等的实数根 D .不能确定D .(X-3)2 =4A. x - 6 = -4A . (x -2)^5B . (x-1)2=2C . (x -1)D . (x-1)=2 213 .已知x = -1是关于x的方程2x2■ ax -3 = 0的一个根，则a= ▲_.22. (本题10分)为了深化我县课堂教学改革，政府逐年给我县学校配备了电子白板，且自2010年起逐年增加.据统计，我县2010年共配备640套电子白板，2012年共配备1000套电子白板.(1 )若我县前四年配备的电子白板的年平均增长率相同，问我县2013年共配备多少套电子白板？(2)2014年我县根据实际情况，需购 A , B两种型号的电子白板共1200套，要求总价不超过2500万元.若A型电子白板售价1.8万元/套，B型电子白板售价2.4万元/ 套，请通过计算，求出我县2014年A型电子白板至少需配备多少套？(3)若我县2014年B型电子白板配备数不少于560套，则在(2)的条件下，我县为了节约开支，至少需花多少钱配备这1200套电子白板？云和县2013学年4. 一元二次方程x(x -1)-0的解是(▲)A .无解B . x=0 C. x=1 D . x=0 或x=15. 一元二次方程2x2-3x-1 =0的根的情况( ▲)A .没有实数根B .有两个不相等的实数根C .有两个相等的实数根D .无法判断13 .若关于x的一元二次方程2x2-mx-m =0的一个根是1,则m的值是▲.22.(本题8分)云和某房产开发商准备以每平方米8000元的均价对外出售，由于国务院有关房地产新政策出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元出售.(1 )求平均每次下调的百分率；(2)某人准备购买一套100平方米的房子，开发商还给予下列两种优惠方案供选择：①打9.8折；②不打折，送两年物业管理费(物业管理费为每平方米每月 1.5元).请问哪种方案更优惠？4.将一元二次方程x26^3配方后，原方程变为............................. ( ▲)A. (x 3)2=5B. (x 6)2=7C. (x 3)2=12D. (x 6)^1212 .已知实数x、y 满足(x2+y2) (x2+y2-1 ) =2，贝U x2+y2的值为▲莲都区2013学年2.下列方程为一元二次方程的是A . x+ 5= 0 B. x2—2014= 0 C. x+ y= 0 D. x——=0x27.关于x的一元二次方程ax —4x+3=0有实数根，则整数a的最大值是A. —1B. 0C. 1D. 212.已知关于x的方程x2+ 2x+ m=0的一个根是1,则m的值是▲.23. （本题6分）甲、乙两家自行车商店对同一款单价为1600元的自行车实行促销：甲商店规定：购买一辆，单价为1560元；购买两辆，每辆都为1520元•依此类推，即每多买一辆，所买每辆车单价均减少40元，但最低单价不得低于880元.乙商店规定：一律按原单价打7.5折.某自行车运动协会欲在两商店活动期间购买一批此款自行车，请思考解决下列问题：（1）若此协会需购买6辆该款自行车，去哪家商店购买合算？（2）若此协会在同一家商店购买了若干辆自行车恰好花费15000元，请通过计算说明购买的方案？龙泉市2013学年1.下列方程属于一元二次方程的是（▲）A . 10x =9B . 22x -3x-1 =0 C . xy 2 = 2(x -1)D . 2-空0x x7.用配方法解方程2x2-4x -1 =0时，下列配方结果正确的是（▲)A.(X-2)2=52B . (x -1)2 3=2 C . (x-1)2 =D . (x -1)2_ 92212•任意写出一个有一个根为2的一元二次方程▲22.（本题6分）村里有一堵长为8米的废弃墙体，王大伯想用12米长的篱笆靠墙围成一个矩形的菜地, 使矩形的面积为10平方米，请你帮王大伯求一求这个菜地的较长边为几米？3.方程x（x 2^x的根是（▲）A. x - -1 B . x-^ = 0, x2_ -2 C . x = 06. 若关于y的方程ay2-4y+2=0有实数根,则a的取值范围是(▲)A . a< 2B . a< 2 且a* 0C . a v 2 且a* 0D . a > 27. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为X,则可列方程为( ▲)2 2 2 2A. 48 ( 1- x) =36B. 48 (1+x) =36C. 36 (1 - x) =48D. 36 ( 1+x) =4813. 若m是一元二次方程x2• x _5 =0的一个解，则n i+m+2014的值为17.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品.据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件.要使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？(1)________________________________________________________________________ 设销售单价为x元(x>50),可列出方程为：________________________________________________ . (2)____________________________________________________________ 设上涨了x元，可列出方程为：_________________________________________________________ .25.(本题8分)某汽车租赁公司拥有195辆汽车.据统计，当每辆车的年租金为12. 1万元时，可全部租出；当每辆车的年租金每增加1万元，未租出的车将增加10辆.租出的车每辆每年的维护费为 1. 1万元，未租出的车每辆每年只需维护费5000元.(1)_____________________________________________________ 当每辆车的年租金上涨x 万元时，公司每年能租出__________________________________________ 辆车.(用含x的代数式表示)；(2)当每辆年租金上涨多少万元时，租赁公司的年收益为2265万元？(3 )当每辆年租金上涨多少万元时，租赁公司的年收益最大？最大是多少万元？松阳2013学年6 .方程xx-2=x-3化简成一般形式后，二次项系数和常数项分别是................ (▲)A. 1, 3 B . 1,—3 C . - 1, 3 D . - 3, 312.抛物线y =x2+bx+1经过点(1,0),贝U b的值是▲.22.(本题10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利50元。
专题08 一元二次方程(课件)-2023年中考数学一轮复习(全国通用)
一元二次 了解一元二次方程根的判别式， 常以选择题、填空题的形式考查一元二
2 方程根的 会用根的判别式判断一元二次 次方程根的判别式，部分地市以探究题
判别式 方程根的情况．
的形式考查．
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
①能够根据具体问题中的数量关系，列 常以选择题、填空题的形式考
一元二 出方程解决实际问题，体会方程是刻画 查一元二次方程的列法，以列
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意， 故选A． 【答案】A.
知识点1：一元二次方程及有关概念
典型例题
知识点1：一元二次方程及有关概念
典型例题
【例3】（4分）（2021•广东14/25）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）
的两根x1，x2满足-3＜x1＜-1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为
．
【考点】一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一． 【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足 -3＜x1＜-1，1＜x2＜3， ∴满足条件的方程可以为：x2-2=0（答案不唯一）， 故答案为：x2-2=0（答案不唯一）．
知识点2：一元二次方程的解法
典型例题
【例6】（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到方程
(x＋3)2＝2c，则c的值为（ ）
A．－3
B．0
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1
一元二次方程
知识结构
1. 一元二次方程的一般式：______________________________.
2. 一元二次方程的解法
⑴因式分解法
⑵求根公式法：_______________________________________.
⑶直接开方法.
⑷配方法.
3. 一元二次方程根的判别式：______________________.
⑴△_________0方程有实数根.
⑵△_________0方程有两个不相等的实数根.
⑶△_________0方程有两个相等的实数根.
⑷△_________0方程无实数根.
4. 一元二次方程根与系数的关系
⑴设21,xx是方程02cbxax)0,0(a的两个根，则有:
_____21xx , ________21xx
⑵设21,xx是方程02qpxx)0(的两个根，则有:
_____21xx , ________21xx
5. 一元二次方程的应用：面积问题,增长率问题.
专题指导：
专题一：利用一元二次方程及根的概念解决问题
例1：已知关于x的方程01)2()1(12xmxmm，m为何值时，
⑴它是一元二次方程，并求出它的根；
⑵它是一元一次方程.
例2：已知关于x的方程052622mmxx一个根为2，求另一个根及x的值.
2
专题一训练
1.下列方程中一定关于x的一元二次方程的是（ ）
A.01252xxx B. 02cbxax
C.0)1(22nxn D. )3(232xxxmx
2.已知方程02abxx有一个根是)0(aa,则下列代数式的值恒为
常数的是（ ）
A.ab B.ba C.ba D.ba
3.已知2是关于x的一元二次方程042pxx的一个根，则该方程的另外一个根是___.
4.若0cba，则关于x的一元二次方程02cbxax)0(a有一根是_______.
5.已知11x是方程052mxx的一个根，求m的值及方程的另一根2x.
专题二：利用根的判别式和根与系数的关系解题
例3：已知cba,,分别是三角形的三边，则方程0)(2)(2bacxxba的根的情况是
（ ）
A.没有实根 B.可能有且只有一个实根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
例4：已知关于x的一元二次方程0)12(22mxmx有两个实数根21,xx
⑴求实数m的取值范围；
⑵当02221xx时，求m的取值范围.
专题二训练
1.关于x的一元二次方程042kxx有实数解，则k的取值范围是（ ）
A.4k B. 4k C.4k D.4k
3
2. 已知关于x的一元二次方程)0(02mknxmx有两个实数根，则下列关于判别式
mkn42
的判断正确的是（ ）
A. 042mkn B. 042mkn
C. 042mkn D. 042mkn
3.设21,xx是一元二次方程0232xx的两个实数根，则2221213xxxx的值为_____.
4.若关于x的一元二次方程0342kxx有两个实数根为21,xx，且满足213xx，
试求出方程的两个实数根及k的值.
6. 已知关于x的一元二次方程22)1(2mxmx的两个实数根为21,xx.
⑴求m的值.
⑵设21xxy，当y取最小值时，求相应m的值，并求出最小值.
7. 已知关于x的方程0)2(4122mxmx，问：是否存在正数m，使方程的两个实
数根的平方等于224？若存在，求出满足条件的m值，若不存在，请说明理由.
4
专题三：一元二次方程的应用
例5：在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测，
(1)图7是小芳家2010年全年月用电量的条形统计图． ．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
①2010年小芳家月用电量最小的是_____月，四个季度中用电量最大的是第___季度；
②求2010年5月至6月用电量的月增长率；
(2)2011年小芳家准备添置新电器．假设2011年5月份的用电量是120千瓦时，根据
2010年5月至7月用电量的增长趋势，预计2011年7月份的用电量将达到240千瓦时．假
设2011年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家
2011年6月份的用电量是多少千瓦时？
专题三训练
1. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2 0019年投入3 000万元，预计2011
年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是
( )A.3000( l+x )2=5000 B.3000x2=5000
C.3000( l+x﹪ )2=5000 D.3000(l+x)+3000( l+x)2=5000
2. 某服装店经营某种品牌童装，进价为每件120元，根据经验，售价定为每件180元时，
每月可卖出100件，定价每降价10元，销售量将增加20件。
⑴ 设降价x元时，每月所获利润为y元，写出y与x的函数关系式。并求出当定价为多少
时利润最大？最大利润是多少？
⑵ 商店要获得6000元的利润，同时要减少库存，定价应为多少元？
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3. 某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两
个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告。已知这种商品每月的广告费用m(千元)与销售量
倍数p关系为p = mm24.02 ；
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
4. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千
克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240.设这种绿
茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时
间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？