小学奥数排列问题复习与解析
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有2112520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
北京小学奥数排列组合经典例题
排列组合问题教学目标：1•使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2. 了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3. 掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4. 会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5. 根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：一.力口法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M中不同的方法，在第二类办法中有M中不同的方法，……，在第N类办法中有M种不同的方法，那么完成这件事情共有M+M+……+M.种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n i种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第k步有n k种不同的方法，那么完成此项任务共有n i Xn 2 X ............ X n k种不同的方法。
三.两个原理的区别做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完 成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的 完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来.四.排列及组合基本公式1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(mcn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的一个 排列；从n 个不同元素中取出m(mcn)个元素的所有排列的 个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号P m n 表示.P =n(n-1)( n- 2) ......... (n -m+1) n!2. 组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(mCn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c n 表示.一般当遇到m 比较大时(常常是m>0.5n 时)，可用戊=C 畀来简化计算 规定：C\ =1, C 0n =1.3. n 的阶乘(n!) ―― n 个不同元素的全排列P ；=n!=n x (n-1) x (n-2)…3x 2x 1例题精讲:排列组合的应用【例1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？(1) 七个人排成一排；(2) 七个人排成一排，小新必须站在中间(3) 七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间(4) 七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边(5) 七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上(6) 七个人战成两排，前排三人，后排四人 •(规定 0!=1) • C i = P 篤 /m!= n! (n-m)! x m!(7)七个人战成两排，前排三人，后排四人•小新、阿呆不在同一排。
四年级奥数-排列组合
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
数学排列组合复习题
数学排列组合复习题 排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到元素的选择、排序和组合。在复习排列组合时，可以通过解决一些复习题来加深对这一概念的理解。本文将为您提供一些数学排列组合的复习题，帮助您巩固这一知识点。
1. 问题描述： 某班有10位学生，其中5位男生和5位女生。班主任要从中选出3位学生组成一个辅导小组，请问有多少种不同的组合方式？
解析： 由于选出的学生不分先后顺序，所以这是一个组合问题。从10个学生中选出3个学生，共有C(10,3)种组合方式。
解答： C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120 种组合方式。
答案：共有120种不同的组合方式。 2. 问题描述： 某班有10位学生，其中4个是姓张的，3个是姓李的，3个是姓王的。班主任要从中选出2位学生参加班会，请问有多少种不同的组合方式？ 解析： 由于选出的学生不分先后顺序，所以这是一个组合问题。从10个学生中选出2个学生，共有C(10,2)种组合方式。
解答： C(10,2) = 10! / (2! * (10-2)!) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45 种组合方式。
答案：共有45种不同的组合方式。 3. 问题描述： 有5个人参加一场抽奖活动，其中3个人会中奖。请问中奖人数的组合方式有多少种？
解析： 由于中奖人数和非中奖人数都是固定的，所以这是一个排列问题。从5个人中选出3个人作为中奖人数，共有A(5,3)种组合方式。
解答： A(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60 种组合方式。 答案：中奖人数的组合方式有60种。 4. 问题描述： 一本书中共有10个章节，班主任要求每位学生选择3个章节进行研究。请问有多少种不同的研究组合方式？ 解析： 由于选择的章节有先后顺序，所以这是一个排列问题。每位学生选择的章节都不同，所以需要考虑全排列。共有A(10,3)种组合方式。
小学二年级下册数学奥数题《排列》练习题及答案题型归纳
小学二年级下册数学奥数题《排列》练习题及答案题型归纳【小学二年级下册数学奥数题《排列》练习题及答案】
【排列】
1、难度：
有小明，小梅和小亮三人，站成一排，可以有几种站法（）
2、难度：
有小明，小梅和小亮三人，站成一排，可以有几种站法（）
【排列】
1、难度：
有小明，小梅和小亮三人，站成一排，可以有几种站法（）【答案】
一种：小明、小梅、小亮，二种：小明、小亮、小梅，三种：小梅、小明、小亮，四种：小梅、小亮，小明，五种：小亮、小明、小梅，六种：小亮、小梅、小亮，共六种站法.
2、难度：
有小明，小梅和小亮三人，站成一排，可以有几种站法（）
【答案】
百位上是1的三位数有：123、124、125、132、134、135、142、143、145、152、153、154共十二个；百位上是2、3、4、5的三位数也有十二个；可以组成12+12+12+12+12+12=60个不同的三位数．。
小学奥数排列组合复习PPT文档25页
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气பைடு நூலகம்培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
小学奥数题库《组合》组合计数-排列-0星题(含解析)
组合组合计数排列0星题课程目标知识提要排列•定义从n个不同的元素中取出m个〔m≦n〕，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列。
记作：A n m•公式A n m = n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1)•注意n个元素的全排列就是n的阶乘1!＝1；2!＝2；3!＝6；4!＝24；5!＝120；6!＝720特别地，规定0!＝1．精选例题排列1. 4个人围坐在一张圆桌就餐，有种不同的坐法．【答案】6【分析】先选定一个人，然后其他3个人在他右边开始全排列，1×A33=6．2. 计算：〔1〕A143−A142 = ；〔2〕3A65−A33 = ．【答案】〔1〕2002；〔2〕2154【分析】〔1〕A143−A142=14×13×12−14×13=2002；〔2〕3A65−A33=3×(6×5×4×3×2)−3×2×1=2154．3. 一种号码有4位，其中前两位上取26个字母中的字母，后两位取0∼9这10个数字中的数字．没有相同的数字和字母的四位号码的个数有个．【答案】58500【分析】满足条件的四位号码个数为：A262×A102=26×25×10×9=58500．．4. 某大型会议上，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有种．【答案】36【分析】如果小张、小赵同时被选有A22×A32=2×3×2=12(种);如果小张、小赵只选一个人有：A21×A21×A33=2×2×3×2=24(种);一共有12+24=36(种).5. A、B和C被安排坐入排成一列的6个座位中，假设任意二个人都不可以相邻而坐，共有种不同的人座方式．【答案】24【分析】将座位编号1，2，3，4，5，6，那么三人座位只能是(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,6)，(2,4,6)，四种情况，4×A33=24．6. 3个人排成一排，有种不同的排法．【答案】6【分析】3个人全排列，3×2×1=6，有序排列．7. 彼此不等且大于0的偶数a,b,c,d满足a+b+c+d=20，这样的偶数组(a,b,c,d)共有组．【答案】24【分析】20=2+4+6+8，即20只能拆为2,4,6,8这四个符合条件的偶数，顺序不同是不同偶数组，故有A44=24．8. 在1，2，3，⋯，7的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有种．【答案】864【分析】先排1，3，5，7，有A44种排法，再排6，由于6不和3相邻，在排好的排列中，除3的左右2个空，还有3个空可排6，故6有3种排法，最后排2和4，在剩余的4个空中排上2和4，有A42种排法，共有A44×3×A42=864(种).9. 用6颗颜色不同的彩色珠子串成一个手链，有种不同的串法．【答案】60【分析】先选定一颗珠子，其他珠子在其后边开始全排列．手链可以翻转，再除以2．A55÷2=6010. 奥运桔祥物中的5个“福娃〞贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮取“北京欢送您〞的谐音．如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃〞，有种不同的放法．【答案】120【分析】5个“福娃〞各不相同，全排列为A55=120．11. 把同一排6张座位编号为1、2、3、4、5、6的电影票全局部给4个人，每人至少分一张．最多分2张，且这2张具有连续的编号，那么不同的分法为种．【答案】144【分析】根据题意6=1+1+2+2，2张连续的编号发出去有以下3种情况：A：其中一人分得①,②号，另一个拿两张有可能是③,④，④,⑤，⑤,⑥，3种．B：其中一人分得②,③号，另一个拿两张有可能是④,⑤，⑤,⑥，2种C：其中一人分得③,④号，另一个拿两张有可能是⑤,⑥，1种4个人不同分法有：A44×(1+2+3)=144(种)．12. —台综艺节目，由2个不同的舞蹈和3个不同的演唱组成．如果第一个节目是舞蹈，那么共有种不同的安排方法．【答案】48【分析】详解：设舞蹈是第一个和第n个节目，那么n可取2、3、4、5，有4种取法．同时两个舞蹈的顺序有A22=2种，3个演唱的顺序有A33=6种，所以一共有4×2×6=48种不同的安排方法．13. 计算：〔1〕A32 = ；〔2〕A63−A102 = ．【答案】〔1〕6；〔2〕30【分析】〔1〕A32=3×2=6；〔2〕A63−A102=6×5×4−10×9=120−90=30．14. 小宝记得英语单“ℎello〞，是由三个不同的字母ℎ，e，o和两个相同的字母l组成的，但不记得排列顺序，那么小宝可能出现的拼写错误共有种．【答案】59【分析】确定3个不同的字母顺序即可，A53=5×4×3=60，除去一种正确的写法，所以可能出现的拼写错误共有60−1=59(种)．15. 4个男生和2个女生6人站成一排合影留念，如果要求2个女生紧挨着，有种不同的排法．【答案】240【分析】捆绑法．根据题意分为两步来排列．第一步，2个女生紧挨着，可以看作一个整体和其他的4个男生一起排，即5人排成一排有A55=120(种);第二步，2个女生可以互相换位置，有2种排法；最后120×2=240(种)16. 六个人排成一排照相，假设小明和小丽不能排在一起，有种排法．【答案】480【分析】方法一：排除法．六人排好，排除两人排在一起的情况就是两人不能排在一起的情况．A66−A55×2=480(种).方法二：插空法．小明和小丽不能排在一起，先让其他4人排好，A44=4×3×2×1=24(种),再在空隙中插入这两人即可，24×5×4=480(种).17. 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间，有种不同的站法．【答案】24【分析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有A44=4×3×2×1=24(种)不同的站法．18. 游乐园门票1元1张，每人限购1张．现有10个小朋友排队购置，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有零钱．10个小朋友排队，不同的排队方法总共有10!=3628800种，问其中有种排队方法，售票员总能找的开零钱．【答案】604800【分析】10个小朋友排队购票的问题可转化为在5×5的网格中求从A点到B点的路线问题，如以下图所示，向右为有1元钞票的小朋友，向上为有2元钞票的小朋友，从A到B共要向右走5次，向上走5次．要使售票员总能找的开零钱，那么要走A、B对角线连线右下方的三角形框格，利用标数法，得出从A点到B点有42种不同的走法．5个有1元钞票的小朋友和5个有2元钞票的小朋友内部排队次序可以进行排列，分别有A55种排队方法，所以要使售票员总能找的开零钱，有42×A55×A55=604800(种)排队方法．19. 新年晚会共有8个节目，其中有3个非歌唱类节目．排列节目单时规定，非歌唱类节目相邻，而且第一个和最后一个节目都是歌唱类节目．那么节目单可有种不同的排法．【答案】2880【分析】捆绑法，A52×A44×A33=5×4×4×3×2×1×3×2×1=2880．20. A64=；4A53=；A75−A92=；4A83+A91−A65=．【答案】360；240；2448；633【分析】A64=6×5×4×3=360；4A53=4×5×4×3=240；A75−A92=7×6×5×4×3−9×8=2520−72=2448；4A83+A91−A65=4×8×7×6+9−6×5×4×3×2=1344+9−720=633．21. 计算：〔1〕A52 = ；〔2〕A74−A73 = ．【答案】〔1〕20；〔2〕630【分析】由排列数公式A n m=n(n−1).(n−2)⋯(n−m+1)知：〔1〕A52=5×4=20〔2〕A74=7×6×5×4=840，A73=7×6×5=210，所以A74−A73=840−210=630．22. 从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有个．【答案】 36【分析】1+2+3+4+5=15和是 3 的倍数，所以去掉的两个数的和不能是 3 的倍数，1+3，1+4，2+3，2+5，3+4，3+5．共 6 种情况，每种A 33=6.6×6=36个.23. 用数字 1∼8 各一组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数．共有 种组成方法．【答案】 144【分析】 1∼8 中被 3 除余 1 和余 2 的数各有 3 个，被 3 整除的数有 2 个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被 3 除所得余数以 3 个为一周期〞，即第 1、4、7 位上的数被 3 除同余，第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3 整除，第 1、、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 也可以余 1，余数的安排上共有 2 种方法，余数安排完后，还有同余数之间的排列，一共有 3!×3!×2!×2=144 种方法．24. 数 916238457 是一个包含 1 至 9 每个数字恰好各一次的 9 位数的例子．它还具有性质：数字 1 至 5 以正常的顺序出现在其中，但 1 至 6 不以正常的顺序出现．问这样的数有 个．【答案】 2520【分析】 排除法：A 99A 55−A 99A 66=6×7×8×9−7×8×9=5×7×8×9=2520．25. 5 个人围坐在一张圆桌就餐，有 种不同的坐法．【答案】 24【分析】 先选定一个人，然后其他 4 个人在他右边开始全排列，4×3×2×1=24，有序排列．26. 4 个男孩和 4 个女孩参加歌唱比赛，他们一个接着一个地唱．如果假定两个女孩不能连着唱，必须隔开，那么能排成 种不同的顺序．【答案】 2880【分析】 插空法．女孩不能连，先排男生，女孩去插空，A 44×A 54=24×120=2880．27. 用 5 颗颜色不同的彩色珠子串成一个手链，有 种不同的串法．【答案】 12【分析】 先选定一颗珠子，其他珠子在其后边开始全排列．手链可以翻转，再除以 2．A 44÷2=1228. 计算：〔1〕C 123= ；〔2〕C 1000998= ；〔3〕A 82−C 82= ．【答案】 〔1〕220；〔2〕499500；〔3〕28【分析】 〔1〕C 123=12×11×103×2×1=220； 〔2〕C 1000998=C 10002=1000×9992×1=499500；〔3〕A 82−C 82=8×7−8×72×1=56−28=28．29. 有身高各不相同的 5 个孩子，按以下条件排成一行：条件 1：最高的孩子不排在边上．条件 2：最髙的孩子的左边按由高到矮向左排列．条件 3：最髙的孩子的右边按由高到矮向右排列．那么符合上述所有条件的排队方法有 种．【答案】 14【分析】 详解：按最高的孩子左边的孩子人数分类，可得符合要求的排队方法有 C 41+C 42+C 43=14 种．30. 某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1,2,⋯⋯,30；他们手中的电影票恰好为某排的 1 号，2 号，⋯⋯，30 号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对 于任意两人甲、乙，假设甲的学号能被乙的学号整除，那么甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有 种不同的发放方式．【答案】 48【分析】 1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生〔2〕的倍数，也必须是 4 号学生〔4〕的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，8 号学生只能拿 8 号电影票；9 号学生必须是 3 号学生〔3〕的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学生只能拿 9 号电影票；10 号学生必须是 2 号学生〔2〕的倍数，也必须是 5 号学生〔5〕的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，10 号学生只能拿 10 号电影票；12 号学生必须是 3 号学生〔3〕的倍数，也必须是 4 号学生〔4〕的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，12 号学生只能拿 12 号电影票；同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生〔2〕的倍数，也必须是 7 号学生〔7〕的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，14 号学生只能拿 14 号电影票；同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；15 号学生必须是 3 号学生〔3〕的倍数，也必须是 5 号学生〔5〕的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，15 号学生只能拿 15 号电影票；同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；之后的数，[2,9]=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=[4,5]，20 必拿 20；21=[3,7]，21 必拿 21 号；24=[3,8]，24 必拿 24，同时是 8的倍数的 16 号只能拿 16；28=[4,7], 28 必拿 28；30=[5,6], 30 必拿 30，同时是 5 的倍数的 25 号只能拿 25 号．目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、29 号．11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26 号拿 22．17、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A 44=24(种) 拿法．故共有 2×24=48(种) 拿法．31. 用 1 个 1，2 个 2，2 个 3 组成一些四位数，那么能够组成的不同的四位数一共有 个．【答案】 30【分析】 首先从 5 个数中选出 4 个数有三种情况① 1、2、2、3 可以组成 A 44A 22=12 个不同的四位数； ② 1、2、3、3 可以组成 A 44A 22=12 个不同的四位数 ③ 2、2、3、3 可以组成 A 44A 22×A 22=6 个不同的四位数 一共能够组成 12+12+6=30 个不同的四位数．32. 一家超市有 7 个结账台，所有的结账台都接受现金付款，但只有第一号到第四号结账台可接受信用卡付款．A 、B 、C 三人都到此超市购物，A 坚持用信用卡付款，而 B 、C 二人那么打算用现金付款．他们三人结账的方式共有 种．〔同一个结账台可以排一个或一个以上的人〕．【答案】 288【分析】 分在三个结账台，4×6×5=120；分在两个结账台，4×6×(C 21A 22+A 22)=24×6=144；都在一个结账台，4×A33=24；和为120+144+24=288．33. 从写有1、2、3、4、5的5张卡片中任取3张组成一个三位数，其中不能被3整除的有个．【答案】36【分析】5张卡片任选3张的方法有C53=10种，能否被3整除，由数字和决定．5个数字中，除以3余1的有1，4，除以3余2的有2，5，除以3余0的有3，能被3整除的选法为余1，余2，余3各选1个，有2×2×1=4(种),所以共有10−4=6(种).不能被3整除的选法，每种选法共A33=6种排列方式，所以能组成不被3整除的3位数6×6=36(个).34. 从1到999这999个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．【答案】248【分析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将1到999中的一位数和两位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数．现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数．一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，0～9中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个．三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：0+0+0；0+1+3；0+2+2；1+1+2；2+3+3．〔1〕如果是0+0+0，即3个数除以4的余数都是0，那么每位上都有3种选择，共有3×3×3=27种可能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有27−1=26(个);〔2〕如果是0+1+3，即3个数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有3!=6(种)，所以此时有3×3×2×6=108(个);〔3〕如果是0+2+2，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×2×2×3=36(个);〔4〕如果是1+1+2，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×3×2×3=54(个);〔5〕如果是2+3+3，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有3种，此时有2×2×2×3=24(个).根据加法原理，共有26+108+36+54+24=248(个).35. 在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，答复者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．〞对乙说：“你当然不会是最差的．〞从这个答复解析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？【答案】54种【分析】这道题乍一看不太像是排列组合的问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，“甲和乙都未拿到冠军〞，而且“乙不是最差的〞，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有A33=3×2×1=6(种)由乘法原理，一共有3×3×6=54(种)36. 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？【答案】144种【分析】先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：3×A22×A44=144(种).37. 用0，1，2，5，7这五个数字可组成多少个能被25整除的数字不重复的四位数．【答案】14【分析】25的倍数的后两位是25或50或75，所以一共有A21A21+A32+A21A21=4+6+4=14(个).38. 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福〞，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【答案】24种【分析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有A44=4×3×2×1=24(种)不同的站法．39. 某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增3个车站，铁路上两站之间往返的车票不同，那么这样需要增加多少种不同的车票？【答案】48【分析】A102−A72=10×9−7×6=48(种)．40. 由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个？【答案】21【分析】5的倍数的个位是0或5，所以一共有A42+A31A31=12+9=21(个).41. 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【答案】362880种【分析】如果问题是9名同学站成一排照相，那么是9个元素的全排列的问题，有A99种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．由全排列公式，共有A99=9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880〔种〕不同的排法．42. 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【答案】864种【分析】先对丙定位，有4种站法，考虑假设丙站在了队伍的左半边，那么甲有3种选择，乙有2种选择；假设丙站在了队伍的右半边，那么甲有2种选择，乙有3种选择。
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十二讲 排列组合 竞赛篇(解析版)全国通用
第十二讲排列组合编写说明加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，奥数网在四年级秋季对此部分内容进行过系统讲解，春季时对加乘原理进行过复习巩固，此节课我们将对排列组合进行巩固提高！加乘原理是排列组合的基石，教师可根据本班情况对加乘原理的思想进行适当回顾！内容概述加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，在之前的学习中，我们已经对它们有所了解，对于加乘原理我们只需要记住：加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关！排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识，注重排列组合的综合应用.排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中任取出m 个（m ≤n ）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．【例1】 一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种?分析：每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，那么三个人一共有6×6×6=216种情况，其中，都不到12楼的情况有5×5×5=125种．因此，至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种．【巩固】小明的书架上原来有6本书，不重新排列，再放上3本书，可以有多少种不同的放法?分析：放第一本书时，有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位置可以选择；放第二本书时，有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择．同样道理，放第三本书时，有9个位置可以选择．由乘法原理，一共可以有7×8×9=504种不同的放法．【巩固】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果同类书可以分开，一共有多少种排法？（只写出表达式，不用计算）分析：每种书内部任意排序，分别有44P ，55P ，33P 种排法，然后再排三种类型的顺序，有33P 种排法，整个过程分4步完成．44P ×55P ×33P ×33P =103680(种)．如果同类书可以分开，就相当于4+5+3=12本书随意排，有1212P 种排法.【例2】 用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?分析：小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、三位数的首项．11124444569P P P P +⨯+⨯=（个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也需要考虑．【前铺】用0，1，2，3，4可以组成多少个没重复数字的三位数？ 分析：（法1）在本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1，2，3，4这四个数字中选择1个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由分步计数原理得，三位数的个数是：4×24P =48(个)． （法2）：从0，1，2，3，4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0．从0，1，2，3，4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：35P -24P =5×4×3-4×3=60-12=48(个)．不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么全排列再剔出不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【前铺】（1）用1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位数? （2）用1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？ 分析：（1）要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成35P =5×4×3=60种没有重复数字的三位数．（2）没有要求数字不能重复，所以不能直接用35P 来计算，分步考虑，用乘法原理可得：5×5×5=125（个）.注意“重复”和“没有重复”的区别！【例3】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.分析：（1）775040P =（种）.（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯=(种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P⨯=（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P=（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．【例4】用l，2，3，4，5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数?分析：可以分两类来看：(1)把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，44P=24种放法，对应24个不同的五位数；(2)把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上．由乘法原理，可以组成3x3×33P=54个不同的五位数．由加法原理，可以组成24+54=78个不同的五位数．【例5】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数，若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5 678是第几个数?分析：从高位到低位逐层分类：(1)千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0～9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，百、十、个位可有9×8×7=504种排列方式．由乘法原理，有4×504=2016个．(2)千位上排5，百位上排0～4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．由乘法原理，l×5×8×7=280个．(3)千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1×l×5×7=35个．(4)千位上排5，百位上排6，十位上排7时，比5678小的数的个位可以选择0，1，2，3，4，共5个．综上所述，比5678小的四位数有2016+280+35+5=2336个，故5678是第2344个四位数．【例6】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜，至少要试多少次？分析：四个数字之和为9的情况有：l+1+1+6=9；1+1+2+5=9；1+1+3+4=9；1+2+2+4=9；1+2+3+3=9；2+2+2+3=9，分别计算这6种情况．对于“l+1+1+6”这种情况，我们只需考虑6，其它1放那都一样；对于“1+1+2+5”这种情况，只需考虑2和5，其它同理，可得答案：122221 44444456()P P P P P P+++++=次【巩固】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法?分析：可以分三种情况来考虑：(1)3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有33P=6种不同的排列，此时有6×2=12种订法．(2)3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有3×2=6种订法．(3)3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．由加法原理，不同的订法一共有12+6+l=19种．【例7】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为7分，给分时只能给出自然数l，2，3，…，7分．已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人?分析：将36分解为不大于7的三个数的乘积，有1×6×6；3×3×4；2×3×6三种情况．考虑到因数的先后顺序，第一种情况，考虑1有三个位置可选择，其余位置放6，有3种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有3种顺序；最后一种情况，有3×2×l=6种顺序．由加法原理，一共有12种顺序，所以参赛的最多有12人．组合一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作(1) (1)!mmnn n n mCm⨯-⨯⨯-+=64444744448个数这就是组合数公式.【例8】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？分析：由于3，5，7，11都是质数，因此所得乘积各不相同，因此只要求出不同的质数对的个数就可以了．24C=6.【巩固】以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形?分析：从8个点中选3个点，一共有56种不同的选法．但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形，所以应去掉两条直线上不合要求的选法．5个点选3个的选法有10种．4个点选3个的选法有4种．所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形．【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?分析：先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36C=20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【拓展】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种?分析：分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有15种选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给6种选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有15×6×l=90种不同的分配方法．【例9】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少个？分析：首先考虑哪三个瓶子贴错了，有35C种可能，3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同情况.所以共有35C×2=20（种）.此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后，他们之间错误的可能情况数目，有的同学很容易忽略这一环节，而有的会不假思索的把它当作一个全排列，这都是不正确的．【例10】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？（1） 恰有3名女生入选； （2） 至少有两名女生入选；（3） 某两名女生，某两名男生必须入选；（4） 某两名女生，某两名男生不能同时入选； （5） 某两名女生，某两名男生最多入选两人.分析：（1）恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为：3581014112C C ⨯=；（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010842753C C C C --⨯=.（3）4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人. 4141001C =.（4）从所有的选法818C 中减去这4个人同时入选的414C 种可能：818C -414C =42757.（5）分三类情况：4人无人入选，4人仅有1人入选，4人中有2人入选，共：8172614414414C C C C C +⨯+⨯=34749.【例11】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数?分析：先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有26C =15种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有24C =6种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有15×6×l=90个． 在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个．【例12】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张?分析：针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参与情况分成三类：(1)多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有25C =5种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有5×l=5种选择． (2)多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能： 如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有35C =10种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有2×lO ×l=20种选择；如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有45C =5种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有34C =4种选择．由乘法原理，有2×5×4=40种选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有20+40=60种选择．(3)多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有25C =10种选择．需从4名日语翻译员中选4人，1种选择．由乘法原理，有l ×lO ×l=10种选择．情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有45C =5种选择．还需从4名日语翻译员中选出2人，有24C =6种选择．根据乘法原理，共有l ×5×6=30种选择．情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，有35C =10种选择，需从4名日语翻译员中选出3 名，34C =4种选择．由乘法原理，有1×2×lO ×4=80种选择．根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有10+30+80=120种选择． 综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出5+60+120=185张．【例13】 有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面.这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号?分析：第一类：挂一面旗．从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号； 第二类：挂两面旗．按颜色分成：红+黄（22P =2种）；红+蓝（22P =2种）；黄+蓝（22P =2种）；黄+黄（1种）；蓝+蓝（1种）；共8种；第三类：挂三面旗．按颜色分类：红+蓝+蓝（13C =3种）；红+黄+黄（13C =3种）；红+黄+蓝（33P =6种）；黄+黄+蓝（13C =3种）；黄+蓝+蓝（13C =3种）；蓝+蓝+蓝（1种）；共19种；第四类：挂四面旗.按颜色分类：红+黄+黄+蓝（24C ×2=12或442P ÷=12种）；红+黄+蓝+蓝（24C ×2=12或442P ÷=12种）；红+蓝+蓝+蓝（14C =4种）；黄+黄+蓝+蓝（2242C C ⨯=6种）；黄+蓝+蓝+蓝（14C =4种），共38种.第五类：挂五面旗.按颜色分类：红+黄+黄+蓝+蓝（321531C C C ⨯⨯=30种）；红+黄+蓝+蓝+蓝（3521C ⨯⨯=20种）；黄+黄+蓝+蓝+蓝（3252C C ⨯=10种），共60种； 第六类：挂六面旗.红+黄+黄+蓝+蓝+蓝（321631C C C ⨯⨯=60种）；利用加法原理共188种.附加题目【附1】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?分析：先排独唱节目，四个节目随意排，有44P =24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P =6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．【附2】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场，体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？分析：某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意安排顺序，有55P =120种选择．由乘法原理，一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节目方案．【附3】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?分析：此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：(1)只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有36C =20种，由乘法原理，有4×20=80种选择．(2)只会日语的2人中有1人出场，有2种选择．还需从多面手中选2人做日语导游，有24C =6种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有35C =10种选择．由乘法原理，有2×6×10=120种选择．(3)只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有34C =4种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有34C =4种选择．由乘法原理，有4×4=16种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有80+120+16=216种．【附4】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?分析：10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：(1)5奇1偶，对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有1×5=5种选择； (2)3奇3偶，对奇数有35C =10种选择，对偶数也有35C =10种选择．由乘法原理，有10×10=100种选择；(3)1奇5偶，对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有5×1=5种选择． 由加法原理，不同的摸法有：5+100+5=110种．【附5】马路上有编号为1，2，3，…，l0的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？分析：l0只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯，有36C =20种插法.练习十二1．千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个?分析：有两类情况：(1)千位数字大于十位数字．千位数字的取值范围为2～9，对应的十位数字取0～7，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有8×28P 个这样的四位数．(2)千位数字小于十位数字．千位数字取1～7，十位数字取3～9，共有7×28P 个这样的四位数．8×28P +7×28P =15×56=840(个)2．由四个不同的非0数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有多少个?分析：四个数字都不同而数字和为12的数字有1，2，3，6和1，2，4，5两种情况，对于每种情况，可以组成44P =24个不同的四位数．对于所以，共可以组成24+24=48个不同的四位数．3．桌子上有3张红卡片，2张黄卡片，和1张蓝卡片，如果将它们横着排成一排，同种颜色的卡片不分开，一共有多少种排法？分析：32133213P P P P ⨯⨯⨯=72种.4．有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问：共需比赛多少场？分析：分三部分考虑，第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛．第一组要赛：27C =21(场)，第二组要赛：26C =15(场)，决赛阶段要赛：24C =6(场)，总场数：21+15+6=42(场)．5．工厂从100件产中任意抽出三件进行检查，问:(1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)如果100件产品中有2件次品，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、分析：从100件产品中抽出3件检查，与抽出3件产品的顺序无关，是一个组合问题．(1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数．3100C =161700（种）.(2)可分两步考虑，第一步：从2件次品中抽出一件次品的抽法有12C 种；第二步：从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C种．再用分步计数原理求出总的抽法数，12 2989506C C⨯=.(3)可以从反面考虑，从抽法总数3100C中减去抽出的三件都是合格品的情况，便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数．33100981617001520969604C C-=-=.6．在6名女同学，5名男同学中选出4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，有多少种排法？分析：需要站排的7名同学确定后，男女相间的站法如下：女，男，女，男，女，男，女，可以先排四个女生，然后再在四个女生间隔的三个位置中排那三名男生．4343654321600C C P P⨯⨯⨯=种排法.课外故事没有想象的那么难并不是因为事情难我们不敢做，而是因为我们不敢做事情才难的.1965年，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学。
四年级奥数-排列组合
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
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1
排列
【知识点睛】
（１）排列：一般地，从n个不同元素中任意取出m个（mn）元素，按照一定的顺序．．．．．．．排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列数：从n个不同元素中任意取出m个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的排列数，记作mnA
（２）排列数公式：(1)(2)......(1)mnAnnnnm
n个元素的全排列就是n的阶乘．
注：
1！=1 ； 2！=2 ； 3！=6 ； 4！=24 ； 5！=120； 6！=720； 7！=5040
特别地，规定0！=1．
（３）排列中的常用方法：
一个原则：特殊元素与特殊位置优先考虑．
1、捆绑法：必须在一起，先捆再排．
2、插空法：离我远点，先排再插空．
3、排除法：正难则反．
【例１】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有
多少种不同的坐法？
解：从10个人中选6个出来坐碰碰车共有6101098765151200A(种)不同的坐法．
【例２】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增3个车站，铁路上两站之
间往返的车票不同，则这样需要增加多少种不同的车票？
解：新增前：从7个车站中选2个出来排队组成一张车票，共有426727A种不同的车票；新
增后：从10个车站中选2个出来排队组成一张车票，共有90910210A种不同的车票；需要增
加484290种不同的车票．
【例３】书架上有3本不同的故事书，2本不同的作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排．
⑴ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？
解：６本书全排列72066A
⑵ 如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？
解：不分开则捆绑，先绑再排：共有
7233112233AAAA
【例４】
4
名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
⑴ 甲不在中间也不在两端；
解：优先考虑甲，从六个位置中选一个给甲，剩下的人全排列，共有2419208816AA 种排法．⑵ 甲、
乙两人必须排在两端；
解：优先排甲、乙，剩余学生全排列，共有27272504010080AA种排法．⑶ 男、女生分别排在
一起；
解：男、女分别捆绑后再排列，共有2452452241205760AAA种排法．
⑷ 男女相间．
解：相间插孔，先排后插，共有5454241202880AA种排法．
【例５】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
⑴全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．
解：先排甲，有3种方法，其余人全排列．有6632160A种；
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⑵全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
解：甲在最右边和不在最右边: 6565553720AA种．
⑶全体排成一行，其中男生必须排在一起．
解：男生捆绑站入女生之间形成的5个间隙3535720AA种．
⑷全体排成一行，男、女各不相邻．
解：让男生去站女生中间的3个间隙，或者女生插入男生的４个空，共有3434144AA种(即男生全
排列，女生全排列)．
⑸全体排成一行，男生不能排在一起．
解：插空法．让男生插入女生的空隙，先排再插，共有43451440AA种．
⑹排成前后二排，前排3人，后排4人．
解：实际为无要求的全排列．775040A种．
⑺全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解：先挑3个人放在甲乙中间，连同甲乙看成一个元素，再与其余元素进行排列．323523720AAA种．
【例６】由０,２,４,５,７,８组成无重复数字的数．
⑴五位数有几个？
解：注意首位不能选０，有５种选择，其余位置从５个数字中选４个数字排列，共有600545A个．⑵
五位奇数有几个？
解：个位有２种选择，首位有４种选择，其余位置从剩余的４个数字中选处３个数字排列，共有
1924234A
个．
⑶五位偶数有几个？
解：方法一：分类讨论：若个位是０，则有12045A个；若个位不是０，则个位有３种选择，首
位有４种选择，其余位置从剩余的４个数字中选出３个数字排列，有2884334A个。共有
408288120
个．
方法二：600-192=408
⑷自然数有几个？
解：分类讨论：一位数：6个
两位数：25515A个
三位数：100525A个
四位数：300535A
五位数：600545A
六位数：600555A
共有1631600600300100256个．
⑸是５的倍数的三位数有几个？
解：是５的倍数的数个位为０或５，若个位为０：2025A个；若个位为５，则有1644个。共
有361620个。