小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
小学 奥数裂项法(含答案)
奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：即或下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：公式的变式当分别取1，2，3，……，100时，就有例3. 设符号（）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即另外一种方法设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。
这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。
又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故（）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】二.尝试体验：1. 计算：2. 计算：3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
【试题答案】1. 计算：2. 计算：3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有还有别的解法。
裂项法（二）前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
六年级奥数-分数裂项
六年级奥数-分数裂项裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【巩固】2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯【例 2】1111 11212312100 ++++++++++公式的变式1 1221+++=⨯-…n n n()例题精讲当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101求和公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= 方法一：方法二：【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【巩固】11111113610152128 ++++++=一项隔一项来拆项【巩固】计算：1111111112612203042567290--------＝【巩固】11111104088154238++++=。
奥数专题：分数的拆分及裂项综合运算(含解析)印刷版
一．填空题（共 8 小题）
1．计算： ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝
．
2．
+
+
+…+
＝
．
3．设 A、B 为自然数，并且满足 + ＝ ，A+B＝
．
4．我们把分子为 1 的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如
，
请将 分成两个分母不同的单位分数之和： ＝
．
答：这三个数的和为 15． 故选：B． 三．判断题（共 1 小题） 11． + ＝ ， + + ＝ ，则 C＝3 √ （判断对错）
【分析】把 + ＝ 代入 + + ＝ 中，可得 + ＝ ，所以 ＝ ﹣ ＝ ，所以 C＝3．
根据以上规律计算： （1） （2）
，…
五．解答题（共 5 小题） 21．在“括号”中填入同一个数，可使算式成立： + ＝ 。
22． + + ＝ ．
23．请先阅读下列材料：因为 1﹣
；
，
所以：
，
，……
请你根据以上材料提供的信息，求
的值．
24．
．
3
25．阅读理解题：求
的值可用下面的两种方法：
方法一：
方法二：通过画图发现
【解答】解：1﹣
＝
；
1﹣
＝
；
1﹣
＝
＝
；
因为
＞
＞
，
因此
＞
＞＝
，
7
所以
＜
＜
．
即 b＞c＞a． 故答案为：b，c，a． 二．选择题（共 2 小题） 9． + + + +……+ + ＝（ ）
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
(完整版)六年级奥数-分数裂项
分数裂项计算授课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行合适的变形，也许先进行一部分运算，使其变得更加简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可以分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大要点特色：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x提取出来即可转变成分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的核心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
小学奥数：分数裂项.专项练习
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
(完整版)六年级奥数-分数裂项(最新整理)
2
2
2
2
2
2
2
2
= 16 × ( +
+
+
+
+
+
+)
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 7×8 8×9
1 11
11
= 16 × 2 × (1 ‒ 2 + 2 ‒ 3 + … + 8 ‒ 9)
【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______ 6 12 20 30 42 56 72 90
【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
10 17 - 7 26 30 - 4
=
=
119 17 × 7 120 30 × 4
38 41 - 3 27 31 - 4
=
=
123 41 × 3 124 31 × 4
教师版
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【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 3 2 5 7 4+5 3+7 3+8 5+7+7 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 4×5 + 3×7 + 3×8 + 5×7
【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
23
1
25
【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008
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【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 ＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ － ……
＝ ＝ － ＝ －
原式
【答案】
【例 9】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
原式
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 ，所以 ，再将每一项的 与 分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
【解析】本题的重点在于计算括号内的算式： ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为： ， ，……， ，
所以原式
【答案】
【巩固】计算： ．
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】四中
【解析】
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
【解析】原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例 4】计算：
【例 1】 。
【考点】分数裂项【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
【解析】原式
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： ，计算过程就要变为：
．
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】2星 【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【解析】原式
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】101中学
【解析】原式
【答案】
【巩固】 _______
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】根据裂项性质进行拆分为：
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】原式
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例 10】计算： ．
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
【解析】原式
【答案】
【例 8】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】首先分析出
原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式＝ ＋ ＋…+ + +…+
＝ ( － )＋ ( － )
＝ ＋ ＝ ＋
【答案】
【巩固】计算： ＝
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】 。
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例 5】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】原式
【答案】
【例 6】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】原式
【答案】
【例 7】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算： =。
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算： ____。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 ，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
， 形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
【答案】
【例 2】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 ， ，……，
原式
【答案】
【例 3】
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算