小学奥数分数求和专题总结
六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。
（二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和：分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 （四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和： 分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】 计算：4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和： 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 【例6】 计算：333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例7】计算：71＋83＋367＋5629＋6337＋7241＋7753＋8429＋883 【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把5629、6337、7241、7753这四个分数，可以拆成是两个分数的和。
四年级奥数专题 巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和【一】求1~20这20个连续自然数的所有数字之和。
练习1、求1~50这50个连续自然数的所有数字之和。
2、求3~19连续自然数的全部数字之和。
【二】一把钥匙只能开一把锁。
现在有4把钥匙和4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？练习1、现在有8对钥匙和锁混在一起,不知道哪把钥匙配哪把锁,最多要试多少次就可以把它们全部配成对？2、有9颗钢珠,其中8颗一样重,另有一颗比这8颗略轻,用一架天平最多称多少次,就可以找到那颗较轻的钢珠？【三】思雨读一本长篇小说,他第一天读20页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多2页,第11天读了40页,正好读完,这本书共有多少页？练习1、王师傅做一批零件,第一天做了40个,以后每天都比前一天多做3个,第15天做了82个,正好做完,这批零件共有多少个？2、张琳读一本故事书,她第一天读了15页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了40页恰好读完,这本书共有多少页？【四】45把锁的钥匙都搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试45次,就能使每把锁都配上自己的钥匙,问一共有几把锁的钥匙搞乱了？【五】某班有30个同学,每两个同学互通一次电话,那么他们一共通了多少次电话？练习1、竹苑小学进行象棋比赛,每个参赛选手都要和其他所有的选手各赛一场,如果有15人参加比赛,问一共要进行多少场比赛？2、一次生日party中,参加的有20位同学和3位老师,每两人之间握一次手。
那么一共握了几次手？【六】求1~99中连续自然数的所有数字之和。
练习1、求1~199的199个连续自然数的所有数字之和。
2、求1~999的999个连续自然数的所有数字之和。
3、求1~210连续自然数的全部数字之和。
4、求1~299连续自然数的全部数字之和。
完整版)六年级奥数专题分数的计算技巧
完整版)六年级奥数专题分数的计算技巧例2、计算: (1)73分析与解：（1）73可以化简为73÷（7+3）=73÷10=7.32）把题中的166÷41改写成(4+1/41)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。
166÷41=4+1/4173×（4+1/41）=292+73/41=299.78例3、计算：（1）1112) 166÷41可以把111写成(72+39)，再把式子改写成(72+39)×（166÷41），再利用除法的运算性质使计算更简便。
1）（72+39）×（166÷41）=72×4+39×4=288+156=4442）166÷41=4+2/41所以，（2）的计算式可以改写为×（4+2/41）=+3080/41=.75例2、计算：(1) 73×(2) 166÷41解析：(1) 73可以改写成(72+1)，然后运用乘法分配律，得到73×=72×+×=9×。
因此，73×=9.2) 将166分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，得到166=4×41+42.然后，运用除法的运算性质，得到166÷41=4+÷41=4.因此，166÷41=4.例3、计算：(1) ×39+×25+×40 (2) 1×(2-)+15÷17解析：(1) 根据乘法的交换律和结合律，将×39写成×13，将×写成×，然后运用乘法分配律，得到×39+×25+×=×13+×25+×=×(13+25+2)=×40=10×。
奥数里的分数应用原理总结
奥数里的分数应用原理总结1. 介绍奥数是指奥林匹克数学竞赛，是培养学生逻辑思维和数学能力的重要途径之一。
在奥数中，分数应用是一个重要的内容，我们来总结一下奥数里的分数应用原理。
2. 原理介绍分数是数学中的一种表示方法，表示一个整体被划分成若干部分的数。
在奥数中，分数应用主要包括四则运算、比较大小、化简、混合运算等。
2.1 四则运算分数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
2.1.1 加法和减法两个分数相加或相减，需要满足相同的分母。
具体步骤如下： - 确定两个分数的分母是否相同，如果不同，先通分； - 将两个分数的分子进行对应的加法或减法运算； - 将运算结果的分子写在分数的上方，分母写在分数的下方。
2.1.2 乘法两个分数相乘，直接将两个分数的分子相乘，分母相乘。
具体步骤如下： - 将两个分数的分子相乘，将运算结果的分子写在分数的上方； - 将两个分数的分母相乘，将运算结果的分母写在分数的下方。
2.1.3 除法两个分数相除，可以将除法转化为乘法的形式。
具体步骤如下： - 将被除数的分子乘以除数的分母，将运算结果的分子写在分数的上方； - 将被除数的分母乘以除数的分子，将运算结果的分母写在分数的下方。
2.2 比较大小比较两个分数的大小，可以通过找到两个分数的公共分母进行比较。
具体步骤如下： - 确定两个分数的分母是否相同，如果不同，先通分； - 比较两个分数的分子的大小，如果分子相等，则比较分母的大小，分母越大，分数越小； - 如果分子不相等，比较两个分子的大小，分子越大，分数越大。
2.3 化简分数的化简是指将一个分数约分到最简形式。
具体步骤如下： - 找到分子和分母的最大公约数； - 将分子和分母分别除以最大公约数，得到最简分数。
2.4 混合运算混合运算是指分数与整数的组合运算，包括分数与整数的加减乘除等。
3. 实例分析下面通过一些实例来进一步理解奥数中分数应用的原理。
3.1 实例一：分数的四则运算假设有两个分数：1/3 和 2/5，我们来进行加法运算。
小学五年级奥数练习(分数的综合运算技巧详解 )
小学五年级奥数练习——分数地综合运算技巧详解（分数地复杂运算、分数地混合运算）一、知识点1．混合运算技巧在分数、小数地四则混合运算中，到底是把分数化作小数，还是把小数化作分数，这影响到运算过程地繁琐与简便程度，也影响到运算结果地精确度。
小数化成分数，或分数化成小数’，有如下几种技巧。
（1）在加减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时’，不能把分数化成小数，此时要将包括循环小数在内地所有小数都化为分数；（2）在乘除法中，一般情况下，小数化成分数计算则比较简便；（3）一般情况下，在加减法中，分数化成小数比较方便；（4）在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定；（5）在计算中经常用到除法’、比、分数、小数、百分数互相之间地变换，把这些常用地数互化成数表对学习非常重要。
2．复杂分数地运算注意点先找出分数线，确定分子部分和分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部分地计算结果需要约分地要先约分，再改成“分子部分÷分母部分”地形式，最后求出结果。
3．比和比例地技巧化简比地方法：比地前项和后项同时乘以或除以相同地数（0除外’），最后地比值应写成最简整数比。
具体如下：（1）分数比：可以前项除以后项，在根据比值写出最’简单地整数比。
（2）小数比：可以先利用商不’变地性质将其转化为整数比，然后再化简；（3）整数比：可以根据商不变地性质或像分数约分（前后项同时除以它们’地最大公因数）那样进行化简；4．分数拆分从分母M 地约数中’任意找出两个m 和n ，有)()()()(11n m M n n m M m n m M n m M +++=++=B A 11+=；如10地约’数有：1，10，2，5。
如选1和2，有：)21(102)21(101)21(10)21(1101+++=++=151301+=；另外，a ，b ，c 为M 地约数：)()()()()(11c b a M c c b a M b c b a M a c b a M c b a M ++++++++=++++=5．循环小数循环小数与分数地互化，循环小数之间’简单地加、减法运算，涉及循环小数与分数地’运算主要利用运算定律进行简算。
小学数学奥数35个专题题型分类及解题技巧
小学奥数辅导35个专题汇总1.和差倍问题2.年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4.植树问题5.鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
六年级数学奥数第二讲 分数裂项巧求和
（10）+++…+
（11）+++…+
计算：（5）+++…+ 例4. 计算：+++…+
（6）+++…+
分析与解：是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完全一样？例3 中每一个分数的分子都是4（两个自然数的差），而这道题中每一个分 数的分子都是1，可以直接将每一个分数写成两个分数相减的形式吗？ 该怎么计算呢？ 这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的 差呢？利用分数的基本性质是完全可以的。所以给原题乘4，为了使原 题的值不变，然后再除以4.即：
+++…+ ＝（+++…+）×4÷4 ＝（+++…+）÷4 ＝（—+—+—+…+—）÷4 ＝（—）÷4 ＝÷4 ＝ 【举一反三】 计算： （7）+++…+
（8）+++…+
例5. 计算：+++…+ +++…+
分析与解：先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分 数，找出规律然后计算。
＝+++…+ ＝+++…+ （分子分母同时乘以2） ＝（+++…+）×2 （利用乘法分配律，把分子的2同时 ＝（—）×2 提到括号外面） ＝×2＝ 【举一反三】 计算：（9）+++…+
【典型例题】 例1．计算：+++…++
五年级奥数分数求和的技巧
五年级奥数分数求和的技巧
一、把十位数弄清楚
把学习数字的范围缩小到个位和十位数，再把十位数分类好，归类成小于等于6及大于6的两类。
二、个位数的求和运算
对于小于等于6的十位数，在个位上按常规方法做相应的运算，把加法按照数字从右往左从上到下依次排列，就可以更快地把个位数两两相加求和。
三、计算大于6的十位数
当十位数为7，8或者9时，我们可以把它们转换成一个十位数和一个个位数，分别进行记忆，然后把它们分别加上个位数，比如说7可以看做是6+1，8可以看做是6+2，9可以看做是6+3，然后再把6的分数和1、2、3的分数分别加起来就可以了。
四、综合利用技巧
我们可以先把小于等于6的十位数求和，然后把大于6的十位数把它们拆成十位数和个位数进行加减，最后综合处理，就可以较快地求出五年级奥数分数求和的结果了。
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分数求和的常用方法1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法：和公式：（首项+末项）X项数+ 2来计算。
1 I2 |3 |4 | ( 2006 +20072008 + 2008 + 2008 + 2008 * + 2008 2008=(土+ 3007)x 2007 + 220081=1003-20082二、图解法：1 1 1 1… 1 1计算：一 +—+—+-- +-- +2 4 8 16 32 64分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出:1 + 1 + 1 + -1 + -1 + -1=1--1=632 4 8 16 32 64 64 64解法二：观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数1 、，…， 1 ................ ，一，一一，就能凑成一，依次向刖类推，可以求出算式之和。
64 32111111-+一 + 一 + ——F ------- F一2 4 8 16 32 641 1 1 1 1 , 1 1、 1=+ - + - + —+ 一+ ( 一 + 一 )——2 4 8 16 32 64 64 64.1 ,1 ,1 1 ,1 1、 1+ — + —+—+ (——+——) -----2 4 8 16 32 32 64分数求和计算：n^+M+工+2008 2008 2008 2008分析：这道题中相邻两个加数之间相差+ 2006 + 2007+ 2008 20081 ... ............... ......... ................,成等差数列，我们可以运用等差数列求2008— 1 ill2 4 S 10 321 1 -X 2-—— 264=63"64解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半, 2倍，然后两式相减，消去一部分。
1 1 1 1 1 1 设x= — + — + —+• + -- + ----2 4 8 16 32 64那么,2x= (1+ 1 + 1 1 1 1 、 —+ — + — + — ) X 22 48 16 32 64,1 ,11 1 1 =1 + — + — + —+ — + —2 48 16 32用②一①得2x-x=1+1 + 1+1 + 1 + 1- (1 + 1 + 1 + 1 + -1 + -1)2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 6463 x=64所以，1 +1 +1 + -1 + 1 + -1=632 4 8 16 32 64 64三、裂项法分析：由于每个分数的分子均为 1,先分解分母去找规律： 2=1 X 2,6=2X 3, 12=3X 4, 20=4X 5, 30=5 X 6,……110=10X11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。
=1 1 =1 — -11 10 111-+ - F ……+5 99 13 29 33再变数型：因为1=工=1_ 1 , 1=工=]_ 12 1 2 2 6 23 2 1 一一，，，一。
这样将连加您算变成加减混合您算， 111111 ----------------------------------------- --------------- ---------- ----------12 3 4 34中间分数互相抵消， 只留下头1+1 * 1 * 1 * 1 1 1+ •+ 一 + ——2 6 12 20 3090 110 1 , 1 1 , 1 1 1111=1 — — + ----- --- + ------- -+• + — - ------P---- --- 2 2 3 3 4 9 10 10 11 110 10 11 10 和尾两个分数，给计算带来方便。
根据这一特点，我们可以把原式扩大1、计算:,1 ,.,.,, H 1 ---------- 1 --------------- F ……+ 12 20 301 ----F90 1102、计算:+ --------- 33 37分析：因为_J L=I — 1, J L = 11 5 55 9 5373、计算：21 -4 4 4 一-4-一-j444 - 4-—-一一一一，一 一，4分析：因为一 3 1535 6399 1 143 1 195255=4 X 1 =4 X 1 =4X (1 一 )x , 3 3 1 3324… ----- 4 X 151 … =4 X15 工=4X(1- 1) x 13 5 3 5 24 1 1, 11、 1 ————=4X ------ =4X ( — )X3535 5 7 57 2-±=4X 1=4X-^=4X (1 - 1) X 1.255 255 15 17 15 172所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
11 +—— 1 1 1 -+ ■ ------ +• ••…+ ------- + -1 5 5 99 1329 3333 3744444 、=(- ——++-------- + ••… •+ --------- + ---------) + 41 5 5 9 9 1329 33 33 371 1 1 1 11 1 1 1、,=(1 ■——+ —— —+ —— -- + , .•…+ ------- -——+ —- ——)+45 5 9 9 132933 3337=(1 ■ 1 )+ 43741 1~… ........ ... .... ..............—4一 =—-上。
所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大33 37 33 37 的差进行简便计算。
9 21---———— ——一——一——一——一——3 15 35 63 99 143 195 255 1 1 1 1 1 1 1、 1 =21 - (1 - + ---- + ----- —+ ...... + — — — ) x —3 3 5 5 7 15 17 2 =21 - 2X (1 - 1)17 2 =19 —17… 1 5 119 29 9701 9899 4、计募： ---- 1 - + 一 + 一 + ------ ■••+ ---------F ----- 2 6 120 30 9702 9900 4 _ 4 _ 4 _ 4 _ 4 _ 土 _ 土 _ 4每个加数的分子均比分母少 分析：仔细观察后发现, 1.这样可变形为: 1=1 5 =1-】=1 一 6 6 _^=1 =1 — 9900"-1=1--X,12 12 3 42 311一 .然后再裂项相消。
99 1001920 2=1 - — =1 --------- --- , 20 4 51=12 9899=1- 9900 1411 —. ----------- =—— -------9 9 13 9 13 4 1 1 … -------- = ----- —— -29 33 29334倍后，再分裂成两个数1 5 11 19 29 9701 —+ — + ---- + --- + --- + .... + ------- +2 6 12 20 30 9702 =(1 - 1) + (1 - 1) + (1 -—)12 989921 =1X 99 -( — +21 ——+2 =99—(-1 61 1 1 —+——12 201 ----- +3 4=99一(1 一—)100+……++ (11 =99——1005、计算:11+——1 299001、，,-—)+ ......... +20)9900----------------- + ........ + ------------------------------1 2 3 4 1 2 3 (100)1,第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分1 2 3分析：可以看出，第一项的分母为母是100个数相加且都是等差数列。
这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质, 变分母为两个数相乘。
(1)解法一：1+ -----------1 21(1 2) 222 再裂项求和。
1=2X (2 31-上101(1 3) 32 3 41(1 4) 4+ ....... + -1 100(1 100) 100100 101】99=1 -101解法二：原式=2 (1 2) (1 2 3) 2 (1 23 4) 2 (1 2 99 100)=2X (-1100=2X ( 1- )101 1011 —)101 100=1堕1016、计算:1 2 3分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差: ...+ ----------------98 99 10098 99 100 1 原式=1x (一 2 11 1=—x ( 2 1 =Lx ( 2 4949 19800 (98 99 1 —) + 3 1 99 )100-------- )， 99 1001 1 -x ( 1 21此时, 可消中间，留两头进行巧算。
+……+98 991 , 1 …+ — X ( ----------2 98 9999 1005 ,6 . -, ---- + ----- ------- ------- + 2004 2004 2004 2004 2001 2002 4 , ---- + 2004 ——+ 2004 2004 20041999 2000 __ _____ 一 ---- 一 ----- + ------ + ----2004 2004 2004 2004.一 .......... … 2 ......... ... ,^一 …，一 ， 分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数 二^开始依次往后数，每四个分数为一组, 2004 四、分组法 :计算,10 9 + 2004 2004 2001 一到2001为止，共有500组，每组计算结果都是 0. 2004原式=^^+ ( 22004 ,10 + -------- …… 2004 =1 + 20022004 2004 2003 2004 2004 2004 2000 2004 1998 2004 1999 2004 七+直)+ 2004 ,2001、2004 2004 2004 2002 2004 2804 + 2004 五、代入法：计算(1、几1 1 1 1 1 1 1 小 设_ =A,— — =B,则 2 3 4 2 3 4 5 原式= :(1+A) X B- (1+B) X A 4 分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替,=B+ AE^ A — AB ,1 1 1 11 1 1() -()2 3 4 52 3 4=B — A =1 5 热点习题1、-)-(1+ 一 - 一 5 2 3 4 可化繁为简，化难为易。