上海金融学院 概率论(2011-2012年第2学期期末考试复习题)
上海大学2011级概率论与数理统计第2章
像离散型随机变量的统计规律可用分布律来描述一样， 连续型随机变量可用概率密度来描述其统计规律性。 因此概率密度与分布律具有类似的作用,也有类似的性质。 由性质3可知：对于连续型随机变量，可以用积分来计算 概率。概率的大小就是概率密度曲线下的面积。
注: 1)离散型随机变量的分布函数是右连续的,而连续 型随机变量的分布函数是连续的. 2)离散型随机变量取某一值的概率可能为0,也可能 不为0. 对于连续型随机变量 X 来说，它取任一实数 a 值的概率均为0，即 P{X a} 0 这也就说明概率为零的事件不一定是不可能事件。 因此，对连续型随机变量X,有
求其分布律。
§4 连续型随机变量及其概率密度
一 连续型随机变量的定义 定义： 如果对于随机变量 X 的分布函数 F (x) ， 存在非负函数 f (x)，使对于任意实数 x 有 x
F ( x)
f (t )dt
则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数(简称概 率密度)。
求
A, B 和概率密度 f (x) 。
例2：教材57页15题。 例3：教材58页21、24、25、26题。
§5 随机变量函数的分布
将伯努利试验独立地重复(即每次试验发生的 概率都是 p 即P( Ai ) p , 且各次试验的结果互不 影响)进行n次，称为n重伯努利试验。
三、重要的离散型随机变量及其分布律 1、(0 - 1) 分布 如果 X 只能取0,1两个值,且设 P{X 1} p 称 X 服从参 数为 p 的(0-1)分布，又称二点分布，它的分布律为
二 几种常见的连续型随机变量的分布 1、均匀分布 定义2：若连续型随机变量 X 的概率密度为
中国石油大学2011-2012(2) 概率论与随机过程A
2011—2012学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年6月 15日注意事项：1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；3．本试卷正文共5页，共九道大题，满分100分；4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。
一.填空题（每题3分，共15分）1.设A B 、为随机事件，()0.6P A =，()0.3P A B -=，()_________P AB =则.2.设随机变量~(2)X N ，1，~(3)Y N ，1，且,X Y 相互独立，32Z X Y =-，则~___________Z .3.已知随机变量~(2)X P （泊松分布），则31Z X =-的期望________EZ =.4.设随机变量X 的数学期望EX μ=，方差2DX σ=， 则由切比雪夫不等式， 有{||2}________P X μσ-≥<.5. 设随机过程()cos sin X t A t B t =+，(,)t T ∈=-∞+∞,其中A,B 是相互独立且都服从标准正态分布的随机变量，则该随机过程的自相关函数为__________.二.选择题(每题3分，共15分)：1.设事件,A B 满足，()0(|)1P B P B A >=，, 则必有________. (A ) ()()P A P A B < (B ) ()()P B P A B < (C ) ()()P A P A B = (D ) ()()P B P A B =2.设随机变量X ,Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ，记12{4},{5}p P X p P Y μμ=>+=≤-，则_________.(A ) 对任意实数μ都有12p p = (B ) 对任意实数μ都有12p p < (C ) 仅对μ的个别值都有12p p = (D ) 对任意实数μ都有12p p >3.设由来自总体2~(,0.9)X N μ的长度为9的样本得样本均值5X =，在水平0.05α=下，则_________.(A ) 0=3H μ 接受假设：(B ) 0=4H μ 接受假设： (C ) 0=5H μ 接受假设：(D ) 0=6H μ 接受假设：4.设总体~(,)X f x θ，θ为未知参数，1X ，… ，n X 为来自X 的一个样本，1121(,,)(,,)n n X X X X θθ 、为两个统计量，若12(,)θθ为θ的置信度为1α-的置信区间，则应有__________.(A ) 12{}P θθθα<<= (B ) 2{}1P θθα<=- (C ) 12{}1P θθθα<<=- (D ) 1{}P θθα<=5. 设一齐次马氏链的状态空间为{1,2}I =，其一步转移矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8/38/54/14/3P , 则其平稳分布为________.(A ) (3/4,1/4) (B ) (5/8,3/8) (C ) (2/7,5/7) (D ) (5/7,2/7)三.（10分）某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%.现从待出厂的产品中随机地取一件，求:(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率.四.(10分）假设测量的随机误差2~(0,10)X N，求:(1)测量误差的绝对值大于19.6的概率p；(2)如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值大于19.6的概率 .五.(15分）设(,)X Y 的分布密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧ >>=⎨ ⎩其他求:(1)常数A ；(2)关于X ,Y 的边缘分布密度，并判断X ,Y 是否独立； (3)2Z X Y =+的概率分布.六.(10分）一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2,3.现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X和Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字.求:(1)X和Y的联合概率分布；(2)X和Y的相关系数.七.(10分）设X,Y相互独立，且概率分布分别为2211/2,02 ()(),()0,x xyf x x yϕ-+-≤≤⎧= -∞<<+∞ =⎨⎩其他求:(1)()E X Y+； (2)(2)D X Y+； (3) 2(23)E X Y-.八.(8分）设总体X 的分布密度为22,0()0,xxe x f x λλ-⎧⎪>=⎨⎪⎩其他，)0(>λ， 且1X ，… ，n X 是来自总体的简单随机样本，求:(1)参数λ的极大似然估计量； (2)参数λ的矩估计量.九.(7分）设马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3}I =，初始分布为123111(0),(0),(0),424p p p ===其一步转移概率矩阵为1/43/401/31/31/301/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求：(1) 012{1,2,2};P X X X === (2) 22(2){2}.p P X ==。
2010-2011-2概率论试题及答案A
2010/20112 概率论与数理统计（A 卷 ）数理学院 全校一、填空题（每个小题3分，共15分）1．袋中有同型号球9只，其中4只白球，5只红球.从中依次取出两个球，取后不放回，则至少有一只红球的概率是________.2．已知()0.2,()0.3,()0.5,()0,()0.1,()0.2======P A P B P C P AB P AC P BC ，则事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为________.3.已知随机变量123,,X X X 均服从［0，2］上的均匀分布，则123(32)-+=E X X X _____ .4.设2~(1,3)X N ,2~(0,4)Y N ,12=-XY ρ，32=+X Y Z ,则X 和Z 的相关系数=XZ ρ________.5. 设X 为一随机变量，且2() 1.1,()0.1,()0==>E X Var X E X ，则由切比雪夫不等式可知{02}<<≥P X ________.二、选择题（每个小题3分，共15分）1．已知()0.6,()0.4,()0.5,===P A P B P A B 则()= P A B （ ）. (A) 0.6； (B)0.4； (C)0.8； (D) 0.7.2. 已知随机变量~(,)X B n p ,且()3.2,() 1.92,==E X Var X 则二项分布中的参数,n p 的值为（ ）.(A) 6,0.6==n p ； (B) 8,0.6==n p ； (C) 8,0.4==n p ； (D) 6,0.4==n p . 3．设随机变量X 与Y 相互独立, ()()0,==E X E Y ()()1,==Var X Var Y 则2[()]+=E X Y （ ）.(A) 0； (B)1； (C)2； (D) 4.4. 已知随机变量2~(,)X N μσ，则随σ的增大,概率{}-<P X μσ（ ）.(A)单调减小； (B) 单调增大； (C)增减不定； (D)保持不变.5. 已知总体2~(,)X N μσ，2σ未知，有样本12,,, n X X X ，则检验00:=H μμ时，应选用检验统计量（ ）.课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:XX ；X (D) 2021()=-∑ni i X μσ. 三、计算题（共20分）1．（ 12分）甲，乙，丙三地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为111,,643，现从这三个地区任抽取一个人，求(1)此人染病的概率；(2)如果此人感染流行病，分别计算此人是选自甲地，乙地，丙地的概率. 2．（8分）某地有A,B 两队进行乒乓球比赛,规定一方先胜3局则比赛结束.设每场比赛A 队获胜的概率为0.5,记X 为比赛的局数.（1）写出X 的分布律与分布函数；（2）求X 的期望. 四、计算题（共30分）1．（12分）随机变量X 的分布函数为22,0,()0,0.-⎧⎪+≥=⎨⎪<⎩x a be x F x x求：（1）常数,a b ；（2）X 的概率密度函数；（3）<<P X . 2．（8分）已知~(0,1)X N ，求=XY e 的概率密度函数. 3．(10分)设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为22,1,(,)0,⎧≤<=⎨⎩cx y x y f x y 其他.(1)试确定常数c ；(2)求边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(3)讨论X 与Y 的独立性. 五、计算题（共15分）1．（6分）已知~(100,0.2)X B ，求 {1430}<<P X 的近似值. （已知(1.5)0.9332,Φ=(2)0.9772Φ=,(2.5)0.9938Φ=）. 2.（9分）设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，X 的概率密度为(1),01,()0,⎧+<<=⎨⎩x x f x θθ其他.其中(1)>-θθ是未知参数，试求θ的矩估计量与极大似然估计量. 六、证明题（5分）已知随机变量X 和Y 相互独立,均服从正态分布2(0,3)N ，129,,, X X X 与129,,, Y Y Y 分别为抽自总体X 和Y的简单样本，证明统计量9=∑iXU 服从自由度为9的t 分布.（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每个小题3分，共15分） 1．56； 2．0.7； 3. 4； 4. 0； 5. 0.9. 二、选择题（每个小题3分，共15分）1． A ； 2. C ； 3．C ； 4. D ； 5. C ． 三、计算下列各题（共20分）1．（12分）解 设A =｛此人染病｝，B =｛此人来自甲地｝，C =｛此人来自乙地｝，D=｛此人来自丙地｝，则1()()(),3===P B P C P D (111)(|),(|),(|),643===P A B P A C P A D (2)分（1）由全概率公式，有()(|)()(|)()(|)()11111116343334=++=⨯+⨯+⨯=P A P A B P B P A C P C P A D P D (6)分（2）由贝叶斯公式，有()(|)(|)()=P B P A B P B A P A11263194⨯== ……………………….8分 ()(|)(|)()=P C P A C P C A P A 11143134⨯== …………………... 10分()(|)(|)()=P D P A D P D A P A 11433194⨯== (12)分2．解 （1）X 的分布律为 (4)分分布函数为0,3,1,34,4()5,45,81, 5.<⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩x x F x x x ……………………………….…6分(2)131333()3453.48888=⨯+⨯+⨯+⨯=E X …………………………….….8分 四、计算下列各题（共30分）1．（12分）解 （1）由分布函数的性质，得22lim ()lim()1,-→∞→∞=+=x x x F x a be即1,=a .…………….2分2200lim ()lim()0,++-→→=+=x x x F x a be 即1,+=a b 1=-b故 1,=a 1=-b ……………………4分 （2）()()'=f x F x22,0,()0,0.-⎧⎪≥=⎨⎪<⎩x xe x fx x (8)分（3）22221[4--<<==-=x x P X xedx e…………………12分 2.（8分）设(),()Y Y F y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则当0y ≤时，有 (){}{}{}0.XY F y P Y y P e y P =≤=≤=∅= …………2分 当0y >时，因为()xgx e =是x 的严格单调增函数，所以有{}{ln }.Xe y X y ≤=≤因而2ln 2(){}{}{ln }x yX Y F y P Y y P e y P X y edx--∞=≤=≤=≤=………………….…6分再由()(),Y Y f y F y '=得2(ln)2,0,()0,yYyf y-⎧>=≤⎩y0.………………….…8分3．(10分)解（1）由211214(,)1,21xf x y dxdy cx y dy dx c∞∞-∞-∞-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰得214c=. ……2分（2）()(,)Xf x f x y dy∞-∞=⎰212422121(1),11,,11,840,0,xx x xx ydy x⎧⎧--≤≤-≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他.其他.…………………5分()(,)Yf y f x y dx∞-∞=⎰5227,01,,01,20,0,x ydx y y y⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他.其他.………………8分（3）由于(,)()()X Yf x y f x f y≠，所以X与Y不独立 (10)分五、计算题（共15分）1．（6分）解：由于~(100,0.2)X B，则()20,()16.E X Var X==…………2分{1430}<<P X1420203020{}444XP---=≤≤20{1.5 2.5}4XP-=-≤≤ (4)分(2.5)( 1.5)≈Φ-Φ-(2.5)[1(1.5)]0.9270=Φ--Φ=………………………6分2.（9分）解：(1) 总体的一阶原点矩11()()(1)2E X xf x dx x x dxθθθθ∞-∞+==⋅+=+⎰⎰，样本一阶原点矩为X (2)分令12Xθθ+=+，得θ的矩估计为21ˆ1XXθ-=-. …………………4分(2)似然函数为12()(1)...nnL x x xθθθθθ=+ (6)分即 1ln ()ln(1)ln ,nii L n x θθθ==++∑令1ln ()ln 01ni i d L n x d θθθ==+=+∑ (8)分得θ的极大似然估计为 1ˆ(1)ln nii nxθ==-+∑ 所以θ的极大似然估计量为 1ˆ(1)ln nii nXθ==-+∑ (9)分六、证明题（5分）证明 因为2~(0,3)i X N ,2~(0,3)i Y N所以 911~(0,1)9i i X X N ==∑，1~(0,1)3i Y N …………2分29291~3i i Y V χ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，且X 与V 相互独立， (3)分9991~i iX XXt ==∑∑ ………………………………5分。
中国石油大学(华东)概率论2011-2012期末考试卷问题详解及评分实用标准化
2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年1月3号页 码 一 二 三 四 五 六 七 总 分 满 分 20 15 10 20 12 13 10 100 得 分阅卷人备注：1．本试卷正文共7页；2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4．最后附页不得私自撕下，否则作废.5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=Ａ卷一、填空题（每空1分，共10分）1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B =0.5 .2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则EX = λ ，DX =nλ. 二、选择题(每题2分，共10分)1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 等于( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( B ).(A)0()1()aF a f x dx -=-⎰ (B)01()()2aF a f x dx -=-⎰(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=-3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 44.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 25.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列三、计算题(共6个题目，共45分) 1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从 中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？ 解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品（1）14113()()25220P B =+=（5分） （2）11251()2/77/20P A B ⨯== （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？解：110001110001000{1000}x P X e dx e +∞--≥==⎰ （4分）于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为5e - （5分）3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数数器,()N t表示在[0,]t到达计数器的粒子个数,试求：(1)()N t的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：()4;()4;()()164min{,}EN t t DN t t EN s N t st s t===+（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）4.(5分)设总体2~(,)X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).解：由题知~(0,1)N（2分）于是由0.9751.96U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为()1(0),1,2,33P X i i ===.求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （4分）（2）原式=1133119⨯⨯=（7分） （3）原式=7111339313()27++= （10分）6.(10分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，其他，02)(bx a x x f ，且12=EX .求：(1)b a ,的值；(2)}1{<X P .解：由2212b axdx b a ==-⎰；23441212()baEX x dx b a ===-⎰解得a b ==（6分）（2）原式=11/2xdx = （10分）四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为 (2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求: (1)常数A ；(2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； (3)2Z X Y =+的概率密度.解：（1）(2)01/2;2x y Ae A A +∞+∞-+==∴=⎰⎰（2分）（2）(2)2(2)00()20020()200x x y X yx y Y e x f x e dy x e y f y e dx y -+∞-+-+∞-+⎧≥==⎨<⎩⎧≥==⎨<⎩⎰⎰ （7分）显然，独立 （8分）（3）(2)210()2000()0z zx y Z x y zzZ e ze z F z edxdy z zez f z z ---++≤-⎧--≥==⎨<⎩⎧≥=⎨<⎩⎰⎰（12分）五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度22(),0,0,()0,0.xxf xxαα-⎧>>=≤⎩123,,,,nX X X X为X的简单随机样本,求：(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.解：（1）23()xEX dx Xα+∞-===⎰ˆ2Xα∴=（5分）21211232()(,)(4)niiXn ni iL f x x eαααπα=---∑=∏=∏2211ln3ln ln(^^^niiL n Xααα==--+∑不含）23132ln/0niind L d Xααα==-+=∑ˆMLEα= (10分)（2）ˆE E X αα=== 无偏 （13分）六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、 数学期望和方差.解：由题知，25~(3,)X B 分布律332355{}()();;;;0,1,2,3k k kP X k C k -=== （4分） 分布函数2712581125117125001()122313x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤⎪⎩ （6分）6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）。
大学概率论试题及答案
大学概率论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其期望E(X)为（）。
A. npB. n(1-p)C. 1-pD. p答案：A2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为（）。
A. f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))B. f(x) = 1/(μ√(2π)) * e^(-(x-σ)^2 / (2μ^2))C. f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2μ^2))D. f(x) = 1/(μ√(2π)) * e^(-(x-σ)^2 / (2σ^2))答案：A3. 两个随机变量X和Y相互独立，则以下哪个等式一定成立？（）A. P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 以下哪个事件是不可能事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：C5. 如果随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则其方差Var(X)为（）。
A. λB. λ^2C. 1/λD. 2λ答案：A6. 以下哪个事件是必然事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：D7. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其期望E(X)为（）。
A. (a+b)/2B. aC. bD. 2a-b答案：A8. 以下哪个事件是随机事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：A9. 如果随机变量X和Y相互独立，则以下哪个等式一定成立？（）A. P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A10. 以下哪个事件是不可能事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ表示________，σ^2表示________。
2011-2012学年第一学期期末《概率论与数理统计》A答案
上海第二工业大学 （试卷编号： ）2011-2012学年第一学期《概率论与数理统计》期末试题A 答案一、填空题（每题3分，共15分）1．已知P(A) = 0.5 ，P(A - B) = 0.2，则P (B|A) = 0.6 。
2．四人独立答题,每人答对的概率为1/4 ,则至少一人答对的概率为 175 / 256 。
3．每次试验成功的概率为p ，进行重复试验，则第六次试验才取得第三次成功的概率为 。
4．2)()(Y )()(X =EX e ，且指数分布～；泊松分布～若随机变量λλπ，则DY =_____1 / 4 ____。
其它；的联合密度函数为，则独立，与，且，～；均匀分布，～若随机变量+∞<<∞<<-⎪⎩⎪⎨⎧=-y x e y x f Y X Y X N U y-110221),()()10(Y )()11-(X .522π二、选择题（每题3分，共15分）1．若事件A 与B 相互独立,互斥与B A ,以下必成立的为( D )1)B (P 1)A ()()()()()(0)()(0)()(=====或P D B P A P AB P C AB P B AB P A 2. 对于事件A 、B,以下等式正确的个数为（ A ）)()()(;)()()|();()()();()()(B P A P AB P A P B P A B P B P A P B A P B P A P B A P ==-=-+= (A) 0 （B ）1 （C ）2 （D ）33. 10件产品中有2件次品，依次抽取，每次一件，A ={第三次才首次取到次品}，记P(A) = p （有放回抽取）；P(A) = q （无放回抽取），则有（ C ）。
（A ）p > q （B ）2p < q （C ）3p > 2q （D ） 4p < 3q)(277)(139)(62)(44)()(n 195%)9(.4查表见最后页。
2011-2012(1)概率论与数理统计期终考试试卷A
上海应用技术学院2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073 学分: 3 考试时间: 100 分钟 课程序号: 112-7244、7246、7248、7249、7251、7254、7255、7257、7258等共9个教学班 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1、有321,,R R R 三个电子元件，用321,,A A A 分别表示事件“元件i R 正常工作”)3,2,1(=i ，试用321,,A A A 表示事件“至少有一个元件正常工作”：_______________。
2、连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x x x x ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩则(0.5 1.5)P X <<=_____。
3、设随机变量X 服从(3,7)F 分布，则随机变量1~Y X=____________。
4、设()28,10~N X ，()=<<200X P （用()Φ表示）。
5、已知随机变量,X Y ，有cov(,)5X Y =，设31U X =+，24V Y =-，则cov(,)U V =____。
6、设随机变量,X Y 相互独立~(5,0.5)X N ，~(2,0.6)Y N ，则()E XY =___________。
二、选择题（每题3分，共计18分）1、设S 表示样本空间，下述说法中正确的是（ ）（A ）若A 为一事件，且()0P A =，则A =∅（B ）若B 为一事件，且()1P B =，则B S = （C ）若C S =，则()1P C =（D ）若,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B =+2、设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ。
上海海事大学高等数学B(二)2011-2012(A)
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2011 — 2012 学年第二学期期末考试《 高等数学B （二）》（A 卷）（本次考试不得使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、设y x z arctan =，则2222yzx z ∂∂∂∂+=（ ）(A)4222xyx y ()+ ;(B)-+4222xyx y ();(C) 0;(D)2222xyx y ()+ 2、旋转抛物面1222-+=y x z 在点)2,1,1(-处的法线方程为（ ）（A ）124121--=+=-z y x ; （B ）124121--=-+=-z y x ; （C ）124121--=+=--z y x ; （D ）124121--=-=-+z y x .3、设函数22y x z -=，则（ ）（A ）函数z 在点(,)00处取得极大值;（B ）函数z 在点(,)00处取得极小值; （C ）点(,)00非函数z 的极值点;（D ）点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点.--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页4、∑∞=1n nu为正项级数，下列命题中错误的是（ ）(A) 如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛; (B)如果1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散;(C)如果1lim 1<+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛; (D)如果11>+nn u u ，则∑∞=1n n u 发散.二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、),,(z y x f =z yx1)(,则)1,1,1(df =2、D ：122≤+y x ，则σd e Dy x ⎰⎰+22=3、满足方程⎰+=x xt t y e y 0d )(的特解=y4、已知)1,2,2(),1,2,1(),1,1,1(),1,3,2(---D C B A ，则通过点A 且垂直于 B 、C 、D 所确定的平面的直线方程是三、 计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共 68分）1、(本小题7分)设f x y (,)有连续偏导数， )]},(,[,{)(,3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(21x x f x f x f x f f f =='='=ϕ，求ϕϕ(),()11'。
《金融统计技巧(本科必修)》2011期末试题及答案
《金融统计技巧(本科必修)》2011期末试题及答案金融统计技巧(本科必修) 2011期末试题及答案第一部分：选择题1. 研究统计学，可分为□类和□类统计学。
- A. 抽样统计学；推断统计学- B. 描述统计学；推断统计学- C. 实证统计学；推断统计学- D. 应用统计学；实证统计学答案：B2. 样本统计量是所研究的样本特征的函数，通常用□表示。
- A. 正常分布- B. 置信度- C. 总体参数- D. 统计量答案：D3. 在正态分布下，若一个随机变量X，其期望值为μ，方差为σ^2，则标准正态分布的概率密度函数为：- A. (X-μ)/σ- B. (X-μ)^2/σ^2- C. (X+μ)/σ- D. (X-μ)/σ^2答案：A4. 假定有两个随机变量X和Y，它们的相关系数ρ(X,Y)＝1，则X和Y之间的关系为（）。
- A. 正相关关系- B. 负相关关系- C. 无相关关系- D. 不确定答案：A第二部分：简答题1. 概率与统计之间的关系是什么?概率和统计学都是通过研究随机现象，来得到一个对随机现象的认识程度的数学方法。
概率论主要关心着单个随机事件的研究，而统计学主要是关心随机事件的大量数据的研究过程。
概率论可以为统计学提供基础，而统计学是可以将概率来应用于实际问题中。
2. 相关系数的意义是什么，范围是什么?相关系数是衡量两个随机变量之间相关关系强度的统计量，其范围在$[-1,1]$之间，若相关系数为$1$，则两个随机变量完全正相关，若相关系数为$-1$，则两个随机变量完全负相关，若相关系数为$0$，则两个随机变量没有线性相关关系。
第三部分：计算题1. 对于给定数据{17,16,15,14,13,12, 11, 10}，求其中位数？中位数是将所有观察值按照大小排列，以总数为偶数的数据集为例，则中位数为中间两个数的平均数，即(13+12)/2=12.5。
2. 给定两个随机变量X和Y的概率分布如下，求协方差。
上海海洋大学概率A2011到2012答案 A卷
θ n ⎧ ⎪(θ + 1) ( x1 x 2 " x n ) ,0 < x1 x 2 " x n < 1 f ( x i ;θ ) = ⎨ , -----（3 分） ⎪ 其他 ⎩0,
n d ln L n = + ∑ ln xi = 0 ,---------（3 分） lnL= n ln(θ + 1) + θ ∑ ln xi , θ + 1 i =1 dθ i =1
2
− 1 e 2πσ ( x − μ )2 2σ 2
,x∈R ，
P (| X − μ |< σ ) = ____ 2Φ (1) − 1 _____。
⎧λ e − λ x , x > 0 ， 5 ． 设 连 续 型 随 机 变 量 X 与 Y 独 立 ， 其 密 度 函 数 分 别 为 f X ( x) = ⎨ 0, x ≤ 0 ⎩
t0.025 (15 ) = 2.1315 ）
第 4 页，共 5 页
解：建立统计量
T = X −μ S2 ~ t ( n − 1) ---------（2 分）
n 则 μ 的置信度为 1 − α 的置信区间为 [X − S t α ( n − 1), n 2 X+ S t α ( n − 1)], n 2 ---------（4 分） ---------（2 分）
将 X = 503 .75, S = 6.2022 , n = 16, α = 0.05, t 0.025 (15) = 2.1315 代入，计算得
[500 .44,507.06]
---------（2 分）
6．某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服正态分布 N ( μ , σ 2 ) , μ = 40cm/s, σ = 2cm / s 。 现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取 n = 25 只，测得燃烧率的样本均值为 x = 41.25cm / s 。设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否较以 （查表 Z 0.05 = 1.645 ） 往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平 α = 0.05 。 解：建立假设 H 0 : μ ≥ μ 0 = 40; H 1 : μ < μ 0 . 选择检验统计量 Z =
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2011-2012年第2学期期末考试复习题 第一章 随机事件与概率 1．差事件:AB发生当且仅当 . A． A发生而B不发生； B．A与B同时发生； C． A 不发生，B发生； D．A与B不能同时发生. 2. 设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示事件：A，B，C中至少有两个发生 。 A．ABBCAC B．ABC C．ABC D．ABC 3. 设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示事件：A，B，C中不多于两个发生 。 A．ABC B．ABBCAC C． ABC D．ABC 4. 设事件A{甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A的对立事件为 。 A． 甲种产品滞销,乙种产品畅销；B． 甲种产品滞销或者乙种产品畅销； C. 甲种产品滞销； D. 甲、乙两种产品均畅销。 5.一个口袋有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中有放回的取球两次，每次随机地取一只。令A={取到的两只都是白球}、 B={取到的两只都是红球}、 C={取到的两只球颜色相同}、D={取到的两只球中至少有一只白球}，则 (1) ()PA= ; (2) ()PB= ; (3) ()PC= ; (4) ()PD= . 6. 对于任意两个事件A和B，则()PAB 。 A. ()()PAPAB B. ()()()PAPBPAB C. ()()PAPB D． ()()()PAPBPAB 7. 设事件BA,相互独立，则 。 A．1)(BAP B．)(ABP=0 C．)()()(BPAPABP D．0)(ABP 8.已知11111(),(),(),(),(),2351015PAPBPCPABPAC 11(),(),2030PBCPABC 则
(1) ()PAB= ； (2) ()PAB= ； (3) ()PABC= ； (4) ()PABC= ； (5) ()PABC= ； (6) ()PABC= ； 9. 甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球。从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后从乙袋中任取一球。 ⑴ 求此球为白球的概率； ⑵ 已知从乙袋中取得的球为白球，求从甲袋中取得的2个球都为白球的概率。
10.一道单项选择题，列有4个答案，学生A知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为p1。设他乱猜而答对的概率为14，求
(1) 学生A答对的概率； (2) 如果他答对了，而他确实知道正确答案的概率。 第二章 一维随机变量及其分布 1. 随机变量X的分布律为2,(2,4)1cPXkkk，则c 。 2. 已知随机变量X的密度为()fx,010,axbx其它,且{1/2}5/8Px,则a________ b________。
3. 若(0,1),()XNxx，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则 （0）= ；(0) ；{0}PX
。
4. 若连续型随机变量X的概率密度为1,0,()0,0.xexfxx，其中0是常数，则称X服从参数为的 。 A．泊松分布 B．均匀分布 C．指数分布 D．正态分布 5.已知随机变量X的概率密度为||)(xaexf，0，x。 求系数a和分布函数()Fx。
6.设随机变量X服从参数为的泊松分布。已知}2{2}1{XPXP，求： (1) }3{XP；(2) }2{XP。 第三章 多维随机变量及其分布 1.设二维随机变量),(YX的概率密度为
其他，且,0,21,),(2yxke
yxfyx
（1）求常数k； （2）求),(YX关于X，关于Y的边缘概率密度。
2. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 sin(),0,0,(,)220,Axyxyfxy其他。 求： （1）系数A； （2）（X，Y）关于X与Y的边缘概率密度(),()XYfxfy。 3. 随机变量X的概率密度函数为 2,0,()(0)0,0xXxexfxx， 而随机变量Y在(0,)X内服从均匀分布。求： (1) ,XY的联合概率密度函数(,)fxy； (2) 关于Y的边缘概率密度函数()Yfy。
4.设二维随机变量(,)XY的概率密度为 22,1,(,)0,cxyxyfxy其他。， (1)确定常数c； (2)分别求关于,XY的边缘概率密度()()XYfxfy和。 第四章 随机变量的数字特征 1.随机变量X的密度函数为22,0,()0,0.xexfxx，则()EX ;()DX 。 2. 若X～N(μ,2),令 Z=X则()EZ ；()DZ 。 3. 设X的分布函数为
330 ()1 xaFxaxax(0)a， 试求(23)EX。
4.若随机变量X的分布律为1{},0,1,2,,!ePXkkk 则 ()EX ; ()DX 。
5.若(1,1)XU，则()EX ；()DX 。 6.设随机变量X的概率分布为nnXP21}{，,3,2,1n。 求XY2sin的数学期望及方差。 7. 设(X,Y)具有概率密度 212, 0yx, 0x1,(, ) 0, xyfxy
其它，
求Cov(X,Y) 。
8. 随机变量X的密度函数为31,0,()30,0.xexfxx，则()EX ;()DX 。 9. 若(2,3),(1,4)XNYN且X，Y相互独立，ZXY，则 ()EZ ；()DZ 。
10.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[,]ab内，求圆面积的数学期望。
11.若随机变量X的分布律为33{},0,1,2,,!kePXkkk 则 ()EX ; ()DX 。 12. 若221122(,),(,)XNYN且X，Y相互独立，ZXY，则 ()EZ ；()DZ 。
13. 设随机变量X的分布律为 X 2 0 2
kp 0.4 0.3 0.3
求()EX，2()EX，2(35)EX，()DX， (2)DX。
第五章 极限定理 1. 某市保险公司开办“重大人参意外伤害”（以下简称“大伤”）保险业务。被保险人每年向保险公司交保险金120元。若被保险人在一年内发生了（一次或多次）“大伤”，本人或其家属可从保险公司获得一次（仅一次）3万元的赔偿金。该市历年发生“大伤”的概率为0.0003，且该市现有9万人参加此项保险。求保险公司在一年内，从此项业务中至少获得954万元收益的概率。（(2.90)0.9981）。 第六章 统计量及抽样分布 1. 设12,,,(1)nXXXn是来自总体2(,)X的一个样本，未知，则下面的式子不是统计量的是 。
A. 211()1niiXXn B. 1X C. 21niiX D. 111nkiiXn 2. 设12,,,(1)nXXXn是来自正态总体(0,1)N的一个样本，,XS分别为样本均值和标准差，则 成立。 A. 2()1ES B. (0,1)XN C. (0,1)nXN D. 21()nESn 3. 设12,,,(1)nXXXn是来自正态总体(0,1)N的一个样本，X为样本均值，则 ()EX ；()DX 。
4. 设12,,,(1)nXXXn是来自正态总体(0,1)N的一个样本，X为样本均值，则 ()EnX ；()DnX 。
第七章 参数估计 1. 设总体X的k阶矩()kkEX已知，又设12,,,(1)nXXXn是来自总体X的一个样本，期望值已知，则下列估计量中，唯有 是k的无偏估计。
A. 111nkiiXn B. 211()1niiXn C. 11nkiiXn D. 211()1niiXn 2. 设总体X的均值及方差2都存在，且有20。但2,均未知。又设12,,,nXXX是来自X的样本，则2的矩估计量为 。
A. 211()niiXn B. 2111niiXXn
C. 211niiXXn D. 211()1niiXn 3. 设总体X在区间[,]ab上服从均匀分布，参数,ab未知，12,,,nXXX是来自X的一个样本， 12,,,nxxx是样本12X,,,nXX的观察值。求： (1) 参数,ab的矩估计量； (2) 参数,ab的最大似然估计量。
4.设总体X具有分布律 X 1 2 3
kp 2
2(1) 2(1)
其中(01)为未知参数。已知取得了样本值1231,2,1xxx，试求的矩估计值和最大似然估计值。