高考题(2011年三角函数文科)化简、性质

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高考题集三角函数,化简求值通用步骤.doc

高考题集三角函数，化简求值通用步骤求解三角函数的性质通常情况下需利用三角函恒等变换公式将函数的解析式转化为y=Asin(wx+φ)+B的形式，然后根据基本三角函数y=sinx的性质结合整体代换的思想求解，这点大家还是很熟悉了，下面一起来看下
解三角函数化简步骤：诱导公式（π，2π，，，）→和差角公式（π/6，π/4，π/6）→正弦二倍角逆用公式（sinxcosx,）→降幂公式（sin²x，cos²x）→辅助角公式（asinx+bcosx）→y=Asin(wx+φ)+B
在化简过程中这个步骤非常好用，括号里的就是题目条件中会给到的常见的数学公式符号特征，只要按照相应公式展开即可，快速又简便
题中sin（x-π/6），就是特征，按正弦差角公式展开，由于π/6的正余弦值知晓，所以就化简一层了，接着乘法张开，就发现降幂公式使用以后，就化成同角正余弦了，最后直接用辅助角公式即可化成y=Asin(wx+φ)+B，然后根据基本三角函数y=sinx的性质结合整体代换的思想求解。

方法还是非常独特的思路，利用和差角公式，凑出y+z，y-z，再加减消元，y即求出，只是这个方法考试的时候还是需要慎用，因为一不小心算不出来，找不到关系，就意味着要重新计算，耽误时间，心里压力又加大，老生常谈的话就是用你最拿手的办法，解你自己的题，不管别人如何解，走
自己的路让别人说去吧。

方法3就是凑角，恒等变换求结果
三角函数这部分的知识，化简恒等变换就是重点，是求性质的前提，所以把化简步骤记忆掌握就尤其重要了，解题往往是在前往通法的道路上，找到适合此题的又独特解法，方法是死的，人是活的，脑子是活的，你想怎么用，想先用哪个都随你心，加油哦。

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。

2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。

2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。

2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。

2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。

2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。

若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。

2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。

已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。

考点15 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换

考点15 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1.（2011·福建卷理科·Ｔ3）若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【思路点拨】将2sin 2cos aα化简为与tan α有关的式子，然后将tan 3α=代入求解. 【精讲精析】选D. 22sin 22sin cos 2tan 6cos cos αααααα⋅=== ,2sin 2cos αα∴的值等于6. 2.（2011·福建卷文科·Ｔ9）若α∈（0， 2π），且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于（）（A ）2（B （C 【思路点拨】将2cos 212sin αα=-代入21sin cos 24αα+=求得sin α的值，然后再求cos α和tan α的值.【精讲精析】选D.21sin cos 24αα+= ，221sin (12sin )4αα∴+-=，23sin 4∴=α，又0,,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα1cos ,sin tan 2∴==∴=ααα3.（2011·浙江高考理科·Ｔ6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()43πα+=，cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+=（）（A （B ）（C （D ）【思路点拨】用已知角拼凑所求角,注意求函数值时角的符号.【精讲精析】选C.由1cos ()43πα+=,3444πππα<+<可得sin()43πα+=，由c o s ()423πβ-=及4422ππβπ<-<可得sin()423πβ-=,所以cos ()cos[()()]cos()cos()sin()sin()244244244213+=+--=+-++-==βππβππβππβαααα 4.（2011·辽宁高考理科·Ｔ7）设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（） (A)79- (B)19- (C)19 (D)79【思路点拨】先将sin 1+=43πθ（）展开，再两边平方化简即得．【精讲精析】选A.将sin1+=43πθ（）展开得31)sin (cos 22=+θθ，两边平方得91)2sin 1(21=+θ，所以sin 2θ=79-．二、填空题 5.（2011·江苏高考·Ｔ7）已知,2)4tan(=+πx 则x x 2tan tan 的值为__________．【思路点拨】本题考查的是三角函数的化简与计算，解题的关键是求出1tan 3x =，然后正确化简x x 2tan tan ．【精讲精析】由题,2)4tan(=+πx 可得1tan 3x =，2tan 1tan 4tan 229x x x -==．【答案】49三、解答题6.（2011·广东高考理科·Ｔ16）已知函数R x x x f ∈-=),631sin(2)(π （1）求）45(πf 的值；（2）设α、⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πβ，，1310)23(=+παf ，56)23(=+πβf ，求)cos(βα+的值. 【思路点拨】（1）以45π=x 代入解析式直接求解；（2）由题目条件可求出sin α及cos β的值，然后利用同角三角函数关系，求出cos α及sin β的值，再利用两角和的余弦公式求解.【精讲精析】（1）24sin 2)64531sin(2)45(==-⨯=ππππf ；（2）由10f (3)213πα+=得2sin α=1310,即sin α=135，由56)23(=+πβf 得2sin(2πβ+)=56,从而cos 53=β, α 、πβ[0]2∈，，∴cos 12α13==,sin 4β5==, ∴cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β=123541613513565⨯-⨯=. 7.（2011·江西高考理科·Ｔ17）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin2C （1）求sinC 的值；（2）若 a 2+b 2=4(a+b)-8，求边c 的值.【思路点拨】（1）首先利用倍角公式化简sinC+cosC=1-sin2C 为2sin (2cos 1)2sin 222+=C C C ，即1s i n c o s ,222-=C C 再平方易得sinC.(2)由a 2+b 2=4(a+b)-8，易得a=2,b=2,再由余弦定理易得边c.【精讲精析】222221sin sin 1cos ,sin (2cos 1)2sin ,22221sin 02cos 12sin sin cos ,2222223sin .413(2)sin cos 0,,sin 222422244()82)(2)0,4+=-+=≠+-==-=><<<<=+=+--+-==C C C C C C C C C C C C C C C C C a b a b a b a ππππ=（）由已知得即由得，即两边平方得：由得即，则由得cosC= -由得：(则2222,2,2cos 81.==+-=+=b a b ab C c 由余弦定理得：c 所以关闭Word 文档返回原板块。

高考文科数学三角函数的图象和性质考点讲解

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高考复习讲义
考点全通关 4
三角函数的图象和性质考点二 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质
1.五点法作y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的简图
X=ωx+φ
0
π
2π
所有理想化模型均忽略对所研究 x 问题无影响的因素,是研究问题的一种理想方法.在高中学习的理想模型还有:点电荷、理想气体、弹 y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 簧振子、点光源等.
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高考复习讲义
考点全通关 8
三角函数的图象和性质考点二 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质
2.变换作图法作y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象
由上可知函数y=sin x到y=Asin(ω x+φ )的图象的变换途径为:相位变换→周期变化
→振幅变换,或周期变换→相位变化→振幅变换.
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考点全通关 11
三角函数的图象和性质
通关秘籍
2.速率是瞬时速度的大小,但平均速率不是平均速度的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平均速度的大小没有对应关系.
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高考复习讲义
考点全通关 5
三角函数的图象和性质考点二 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质
1.五点法作y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的简图

2011年高考试题——数学文(江西卷)解析版

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B解析： ()iyi x x y iy i xi i y i i x +=+∴==∴+=-+=-22,12,222.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂答案：D 解析：{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ,()(){}6,5=⋂N C M C U U 3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2-答案：C 解析：()()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴≠+>+∴≠+,00,21112,012,012log 21x x x x4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A 解析： 1,0,0'===e x e y x5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.24答案：B 解析：20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.49答案：B 解析：()()()()()()343***2011,200922011168075,24014,3433,492,7=∴=-=====f f f f f x f x7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni iix x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。

2011—2020年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形汇编

2011-2020新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2019，11】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（） A.6 B.5 C.4 D.3 【2019，7】tan 255︒=（）A. 23-23-+23 D.23 【2018，8】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（） A ．()f x的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 B ．C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x的最小正周期为2π，最大值为4【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称二、填空题【2019，15】函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________．【2018，16】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角 45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．三、解答题【2020，18】.ABC ∆的内角的对边分别为a ，b ，c ，已知150B =︒.（1）若a =，b =ABC ∆的面积；（2）若sin A C =C .【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ．。

2011年三角函数(文科)学生版

三角函数1.课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y ＝________.2.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.453.大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.4.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 35.大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 若cosα＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tanα＝________.6.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．7.课标文数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f(x)的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 38.课标文数15.C4[2011·安徽卷] 设f(x)＝asin2x ＋bcos2x ，其中a ，b ∈R ，ab≠0.若f(x)≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则：①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ④f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )．⑤存在经过点(a ，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．9.大纲文数7.C4[2011·全国卷] 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．910.课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f(x)＝3sinx －cosx ，x ∈R .若f(x)≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k ∈Z11.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC.(1)求角C 的大小； (2)求3sinA －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．12.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称13.课标文数6.C42011·山东卷若函f(x)＝sinωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．314.课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f(0)的值是________．15.课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f(x)取得最大值，则( )A ．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B ．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D ．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数16.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称17.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cosA, 求A 的值； (2)若cosA ＝13，b ＝3c ，求sinC 的值．18.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 319.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.4520.课标数学7.C6[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tanx tan2x的值为________．21.课标文数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．22.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cosA, 求A 的值； (2)若cosA ＝13，b ＝3c ，求sinC 的值．23.课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2， 1＋2cos(B ＋C)＝0，求边BC 上的高．24.课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝________.25.大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB. (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c.26.课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．27.课标文数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C)的值．28.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC.(1)求角C 的大小； (2)求3sinA －c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．29.课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB ＋bcos 2A ＝2a.(1)求ba ； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B.30.课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．31.课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA －2cosC cosB ＝2c －ab.(1)求sinC sinA 的值；你(2)若cosB ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．32.大纲文数8.C8[2011·四川卷] 在△ABC 中，sin 2A≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π33.课标文数5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosA ＝bsinB ，则si nAcosA＋cos 2B ＝( )34.大纲文数8.C8[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sinA ＝4sinB ＝3sinC ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111635.课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，求f(θ)的值；(2)若点P(x ，y)为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x≤1，y≤1上的一个动点试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．36.课标文数17.C9[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3acosA ＝ccosB ＋bcosC.(1)求cosA 的值； (2)若a ＝1，cosB ＋cosC ＝233，求边c 的值．37.大纲文数18.C9[2011·四川卷] 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2.求证：[f(β)]2－2＝0.38.课标文数16.C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知B ＝C,2b ＝3a.(1)求cosA 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．39.大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x ＋π)cosx(x ∈R )． (1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．。

2011年湖北高考真题数学文科试卷及答案解析

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5U A B ===则()UA B = ( )A ．{}6,8B ．{}5,7C ．{}4,6,7D ．{}1,3,5,6,8【测量目标】集合的补集和并集.【考查方式】用列举法表示集合的全集和两个子集，求两个子集并集的补集. 【参考答案】A 【试题解析】先求出AB ={1,2,3,4,5,7}，再求()UA B ={}6,82．若向量()()1,2,1,1==-a b ，则2+a b 与-a b 的夹角等于 ( )A ．π4-B ．π6C ．π4D ．3π4【测量目标】平面向量的夹角.【考查方式】给定两个向量，求两向量相加和向量相减的夹角. 【参考答案】C【试题解析】分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出，()23,3+=a b ，()0,3-=a b 求2+=a b =3-=a b 得cos 2-a +b,a b =()()22+-+-a b a b a b a b=2，所以2+a b 和-a b 得夹角为π4，故选C. 3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e xf xg x +=，则()g x = ( ) A ．e e xx-- B ．()1e e 2x x -+ C ．()1e e 2x x -- D ．()1e e 2x x -- 【测量目标】函数的奇偶性的综合应用.【考查方式】一个奇函数和一个偶函数，给出奇函数和偶函数和的表达式求解奇函数的表达式.【参考答案】D 【试题解析】()f x 为定义域在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=又()g x 为定义在R上的奇函数()()g x g x ∴-=-由()()e xf xg x +=()()f x g x ∴-+-=e x-()()1e e 2x x g x -∴=- 4．将两个顶点在抛物线()220y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 ( ) A ．n =0B ．n =1C ．n =2D ．3n【测量目标】抛物线的简单几何性质. 【考查方式】三角形的两点在抛物线上，一点在焦点上求三角形是正三角形的个数. 第4题图【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，所以正三角形的个数记为n ，n =2，所以选C ．5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[)10,12内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出样本频率直方图，计算某区间内的频数.【参考答案】B 【试题解析】因为组距为2，所以[)10,12的频率为0．18，所以频数为200×0．18=36 第5题图 6．已知函数()3sin cos ,f x x x x =-∈R ，若()1f x ，则x 的取值范围为 ( )A ．π|2π+2π+π,k 3x k xk ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ZB ．π|π2ππ,3x k xk k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ZC ．π5π|2π2π,66x k xk k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z D ．π5π|ππ,66x k xk k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 【测量目标】三角函数的定义域、值域.【考查方式】给定三角函数的表达式和函数的值域求函数的定义域. 【参考答案】A3cos 1x x-得π1sin 62x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则π5π2π2π66k x k ++，解得π2π2ππ,3k x k k ++∈Z ，所以选A ．7．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ，下列说法中最合适的是 ( ) A ．1V 比2V 大约多一半 B ．1V 比2V 大约多两倍半C ．1V 比2V 大约多一倍D ．1V 比2V 大约多一倍半【测量目标】球的体积公式和正方体的体积公式【考查方式】有圆和圆的内接正方体，求圆与正方体的体积比. 【参考答案】D【试题解析】设球的半径为r ，所以球的体积为1V =34π3r ，球的内接正方体的对角线就是球的直径，所以正方体的棱长为3正方体的体积为323V = ⎪⎝⎭，123πV V =≈2．6 8．直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ⎧⎪⎪⎨--⎪⎪+⎩表示的平面区域的公共点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【测量目标】线性规划【考查方式】给出目标函数和可行域方程组求目标函数与可行域的公共点.【参考答案】B【试题解析】如图直线2x +y -10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 ( )A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升【测量目标】等差数列通项公式【考查方式】给出前四项和5,6,7三项的和求第5项. 【参考答案】B【试题解析】由题意 143432a d ⨯+=, 11986596422a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11322a =，d =766，所以易求a 5=6766．10．若实数a ，b 满足0,0a b，且0ab =，则称a 与b 互补，记(),,a b a b ϕ=-那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的 ( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【测量目标】命题的充分，必要条件.【考查方式】给出一新的命题和一条件，判断命题和条件的关系. 【参考答案】C【试题解析】若(),a b a b ϕ=-（a +b ）两边平方解得ab =0，故a ，b 至少有一为0，不妨令a =0则可得|b |-b =0，故b0，即a 与b 互补，而当a 与b 互补时，易得ab =0a b -=0，即(),a b ϕ=0，故(),a b ϕ=0是a 与b 互补的充要条件．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家．【测量目标】分层抽样【考查方式】分层抽样中从某一层中应该抽取的样本数. 【参考答案】20【试题解析】大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．共有超市200+400+1400=2000按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是1002000=120，中型超市要抽取400×120=20家12．18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为__________．（结果用数值表示）【测量目标】二项式定理.【考查方式】给定二项式，求展开式中某项的系数. 【参考答案】17【试题解析】二项展开式的通项为1r T +=3182181C 3rrr x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，令18－32r =15得r =2，所以展开式中含x 15的项的系数为22181C 173⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________．（结果用最简分数表示）【测量目标】事件发生的概率【考查方式】产品中有次品，求随机抽样抽到次品的概率. 【参考答案】28145【试题解析】227230C 281C 145p =-=． 14．过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________．【测量目标】直线和圆的位置关系【考查方式】过定点的直线与圆相交且弦长确定求直线的斜率. 【参考答案】1或177【试题解析】设直线斜率是k ，直线方程为()21y k x +=+，由题意得圆心到直线的距离为d==2，得k =1或17715．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍．【测量目标】对数运算，函数模型.【考查方式】由实际生活引出对数函数，并提出实际问题. 【参考答案】6，10000【试题解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0．01，则M =lg A －lg A 0=lg1000－lg0．001=3－（－3）=6．设9级地震的最大振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9=lg x +3,5=lg y +3，解得x =106，y =102，所以62101000010x y ==．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,cos 4a b C === （I ）求△ABC 的周长；（II ）求()cos A C -的值．【测量目标】余弦定理，两角差的余弦，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出三角形两边和一角的余弦值，求三角形周长和两角差的余弦值.【试题解析】（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=（步骤1）ABC ∴△的周长为122 5.a b c ++=++=（步骤2）（Ⅱ）1cos ,sin 4C C =∴===sin 4sin 28a C A c ∴===（步骤3）,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===（步骤4）7111cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C ∴-=+=⨯+=（步骤5）17．（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的345b b b 、、．（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列．【测量目标】等差数列等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式【考查方式】由等差数列的等差中项得等比数列中的三项，求等比数列的通项和关于前n 项和的证明.【试题解析】（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+ 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得（步骤1）所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去）故{}n b 的第3项为5，公比为2．（步骤2）由22311152,52,.4b b b b ===即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --==(步骤3)（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==--，即25524n n S -+=（步骤4）所以1112555524, 2.542524n n n nS S S -+-++===+ 因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列．（步骤5）18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22AE =,2BF =．（I ）求证：1CF C E ⊥；（II ）求二面角1E CF C --的大小．【测量目标】两条直线的位置关系和二面角.【考查方式】正三棱柱中给出底边和侧棱长侧棱上点的位置，证明线线垂直和求二面角大小. 【试题解析】（Ⅰ）由已知可得221132,2(22)23CC CE C F ===+=222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+=（步骤1）于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=所以11,C E EF C E CE ⊥⊥又1,.EF CE E C E CEF =⊥所以平面由1,.CF CEF CF C E ⊂⊥平面故（步骤2）（Ⅱ）在△CEF 中，由（Ⅰ）可得6,23EF CF CE ===于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥（步骤3）又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EFC E E =，所以CF ⊥平面C 1EF ，又1C F ⊂平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F ．于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角．（步骤4）由（Ⅰ）知△1C EF 是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=︒，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒．（步骤5） 19．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（I ）当0200x 时，求函数v （x ）的表达式；（II ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【测量目标】分段函数模型.【考查方式】从实际问题中提出问题，求函数表达式，在特定的定义域内求解函数的最大值.【试题解析】（Ⅰ）当020,()60x v x =时；当20200,()x v x ax b =+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得（步骤1）故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩（步骤2）（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩（步骤3）当020,()x f x 时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；（步骤4）当20200x时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．（步骤5）所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000.3（步骤6）综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．（步骤7）20．（本小题满分13分）设函数()()3222,32f x x ax bx a g x x x =+++=-+，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l ．（I ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x mx +=有三个互不相同的实根0、12x x 、，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()()1f x g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围．【测量目标】导数的几何意义，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出两函数的表达式，某点切线相同求该店切线方程.构造新的函数求解不等式.【试题解析】（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线，故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====（步骤1）由此得8820,2,1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩解得所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ，故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根．（步骤3）所以194(2)0,.4m m ∆=-->>-即又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，（步骤4）特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由根与系数的关系，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x x x ∈-->有（步骤5）则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--+-=又所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0．（步骤6）于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，综上，m 的取值范围是1(,0).4-（步骤7）21．（本小题满分14分）平面内与两定点()1,0A a -、()()2,00A a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，如上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(+∞-∈ m ，对应的曲线为2C ，设12,F F 是2C 的两个焦点．试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△12F NF 的面积2S m a =．若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由．【测量目标】圆锥曲线的轨迹问题.【考查方式】由圆锥曲线的定义命题，讨论a 范围不同时圆锥曲线的形状，当圆锥曲线为圆和焦点为12((F F -的曲线下的综合证明. 【试题解析】（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a =⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±，（步骤1）又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=（步骤2）当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆；（步骤3）当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；（步骤4）当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；（步骤5）当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线．（步骤6）（II ）由（I ）知，当m =－1时，C 1的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，C 2的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，（步骤7） C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <由②得0||y =当150,0,2a m -<<即或1502m +<时，存在点N ，使S =|m|a 2；（步骤8） 1,2a m >即-1<<或12m +>时，不存在满足条件的点N ，（步骤9）当115,00,22m ⎡⎫⎛+∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦时，由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-，可得22221200(1),NF NF x m a y ma =-++=-（步骤10）令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ==-=-可得，从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-，于是由2||S m a =，可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即（步骤11）综上可得：① ②当1,02m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当10,2m ⎛∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当115(1,(,)22m +-+∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N ．（步骤12）。

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)；单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性奇偶奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

2011年天津高考数学文科试卷(带答案)

2011天津高考数学文科一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位,复数13i1i-=- ( )． A ．2i - B ．2i + C ．12i -- D ．12i -+【测量目标】复数的代数形式四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，对其进行化简. 【参考答案】A 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩………则目标函数3z x y =-的最大值为 ( ).A ．4-B ．0C ．43D ．4【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】考查了二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 【参考答案】D【试题解析】画出可行域为图中的ABC △的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 ( )．A ．0.5B ．1C ．2 D.4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 ( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件，充分条件的关系及集合的概念【参考答案】C【试题解析】{0A B x x =∈<R 或}2x >，(){}{20=0C x x x x x =∈->∈<R R 或}2x >所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ．5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 【测量目标】对数函数化简与求值.【考查方式】考查了对数函数的运算性质与单调性，利用中间值判断对数的大小. 【参考答案】B【试题解析】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>．所以a c b >>．故选B ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【测量目标】圆锥曲线之间的位置关系.【考查方式】考查了双曲线与抛物线的定义、标准方程，知道其简单的几何性质. 【参考答案】B【试题解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-，所以4p =．(步骤1)又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =．(步骤2) 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =(步骤3)7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，π<πϕ-…．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则 ( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】考查了正弦函数的性质（如单调性，最值，周期等）【参考答案】A【试题解析】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(步骤1) 其增区间满足πππ2π2π2332x k k -+++剟，k ∈Z ．(步骤2) 解得5π6ππ6π2k x k -++剟，k ∈Z ．(步骤3)取0k =得5ππ2x -剟，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．(步骤4) 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧⊗=⎨->⎩…设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】考查了给一个新公式结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系. 【参考答案】B【试题解析】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--=⎨-<->⎩或剟(步骤1)画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,2B ，()1,1C --，()1,2D --．(步骤2)从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．(步骤3)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的概念及交集运算. 【参考答案】3【试题解析】解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了学会掌握三视图的画法及几何体的体积计算公式. 【参考答案】4【试题解析】几何体是由两个长方体组合的．体积为1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈N +．若316a =，2020S =，则10S 的值为．【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和公式. 【考查方式】考查了已知等差数列求前n 项和. 【参考答案】110【试题解析】设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +…，则39ab+的最小值为．【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题及对数函数运算性质. 【参考答案】18【试题解析】因为22log log 1a b +…，则2log 1ab …，2ab …，24a b …3918a b +=厖，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为．【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】考查了直线与圆的位置关系及运用代数方法解决几何问题的思想.【参考答案】2【运算性质】因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =．由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ===，所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE === ．所以2CE =． 14．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为．【测量目标】平面向量在平面几何的应用.【考查方式】考查了几何与代数相结合求解最值问题【参考答案】5【试题解析】解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．(步骤1)35PA PB += ，(步骤2)当且仅当34cy =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．(步骤3)解法2 ．以相互垂直的向量，为基底表示3PA PB +，得()533332P A P B D A D P P C C B D A P C D P +=-++=+- ．(步骤1) 又P 是腰DC 上的动点，即PC 与共线，于是可设PC DP λ=，有53(31)2PA PB DA DP λ+=+- ．所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⎣⎦(步骤2) 即 ()()22222533125314PA PB DA DP DP λλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦ ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即13PC DP = 时，所以3PA PB +有最小值5．(步骤3)解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①(步骤1)因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②(步骤2)（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”）设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=．设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，(步骤3)于是()22252544PE a b =+- …，于是25PE …，当且仅当a b =时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=…，所以3PA PB +有最小值5．(步骤4)三、解答题：本大题共6小题，共80分。

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2011年高考题（三角函数文科）
化简、性质
1．（全国卷课标卷文11）设函数)4
2cos()42sin()(ππ+++=x x x f ，则( ) A ．)(x f y =在)2,0(π上单调递增，其图象关于直线4
π=x 对称； B ．)(x f y =在)2,0(π上单调递增，其图象关于直线2
π=x 对称； C ．)(x f y =在)2,0(π上单调递减，其图象关于直线4
π=x 对称； D ．)(x f y =在)2,0(π上单调递减，其图象关于直线2
π=x 对称
5．（北京卷文15）已知1)6
sin(cos 4)(-+=πx x x f ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求)(x f 在区间]4
,6[ππ-
上的最大值和最小值．
8．（安徽卷文15）设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中a ，R b ∈，0≠ab ，若)(x f ≤|)6
(|πf 对一切 R x ∈恒成立，则 ①0)12
11(=πf ； ②|)5
(||)107(|ππf f <； ③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；
④)(x f 的单调递增区间是]3
2,6[πππ
π++k k (Z k ∈)； ⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图象不相交．以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)
8．（湖北卷文6）已知函数x x x f cos sin 3)(-=，R x ∈．若)(x f ≥1，则x 的取值范围为( ) A ．32|{ππ+
k x ≤x ≤ππ+k 2，Z k ∈} ； B ．3|{π
π+k x ≤x ≤ππ+k ，Z k ∈} ；
C ．62|{ππ+
k x ≤x ≤652ππ+k ，Z k ∈} ； D ．6|{π
π+k x ≤x ≤6
5ππ+k ，Z k ∈}
8．（重庆卷文18）设函数x x x x x f cos )cos(3cos sin )(π+-=(R x ∈)．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图象按向量)2
3,4(π=b 平移后得到函数)(x g y =的图象，求)(x g y =在]4
,0[π上的最大值．
8．（四川卷文18）已知函数)4
3cos()47sin()(ππ-++=x x x f ，R x ∈．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知54)cos(=-αβ，54)cos(-=+αβ，βα<<0≤2π，求证：02)]([2=-βf ．
8．（上海卷文4）
函数x x y cos sin 2-=的最大值为。