线面角 Microsoft Word 文档
地球与地球仪知识点总结(word文档物超所值)
一、地球与地球仪一、地球概况二、地球仪——地球的模型1、地轴、两极、赤道地轴—①地球自转的假想轴②通过地心，连接地球南北两极，垂直与赤道平面③倾斜方向不变，北端始终指向北极星，与水平面成66°34′的夹角两极—地轴和地球表面的交点。
北极：地轴指向北极星附近（即北方）的一点。
南极：与北极相反的一点。
赤道—地球上的最大圆，与地轴垂直。
2、经线和纬线经线纬线概念连接南北两极的线同赤道平行的线形状半圆圈，且都不平行自成圆圈，且都平行方向指示南北方向指示东西方向特点长度都相等(2万千米)都不等，自赤道向两极渐短3、经度和纬度经度纬度含义该点所在经线平面与本初子午线平面间的面面角本地点到球心的连线与赤道平面的夹角(线面角)划分以本初子午线为起始线（0°经线）以东为东经（E ），以西为西经（W ），各180°以赤道为起始线（0°纬线）从赤道向南为南纬（S ）,向北为北纬（N ），各90°经纬度的划分变化规律东经度是向东增大西经度是向西增大北纬向北极点方向（向北）增大南纬向南极点方向（向南）增大特殊经、纬线0°、180°经线东西经分界线；20°W 、160°E 东西半球分界线赤道、南北极圈、回归线、30°60°纬线（划分高中低纬）划分半球20°W 向东至160°E 为东半球160°E 向东至20°W为西半球赤道划分南北半球；低、中、高纬的划分，热带、温带、寒带的纬度划分定距离同一经线上纬度相差1度的水平距离约111千米赤道上经度相差1度的水平距离约为111千米定位置地球仪上，经纬线相互交织，构成经纬网，可确定任何一点的位置作用定方向指示南北方向指示东西方向经度与纬度图★东西半球的划分图示法1）海陆轮廓法国际上习惯用20°W 和160°E 组成的经线圈作为划分东、西半球的界线，因为这一经线圈基本上在大洋中通过，20°W 经线通过大西洋，160°E 经线通过太平洋，避免了把非洲和欧洲的一些国家分在两个半球上。
数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案
立体几何中的向量方法——空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。
二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。
三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。
认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。
教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 五、教学手段：借助多媒体辅助教学 六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的X 围分别是什么？2、两向量夹角的X 围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义 （2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 提问学生，学生一一作出回答。
教师备课教学经常用到的10种软件
教师备课教学经常用到的10种软件一、WPSOffice 2010 个人版下载地址：/soft/23453.html运行环境：Win7/Windows Vista/Win2003/WinXP/Win2000/WinNT软件介绍：WPSOffice对个人用户永久免费，包含WPS文字、WPS表格、WPS演示三大功能模块，与MS Office无障碍兼容。
1.前所未有的性能提升2.注重细节，表格操作更加人性化3.全角度保护文档安全和账号隐私4.在线素材库兼收并蓄5.精致模板尽享方寸空间，smart办公胜人一筹6.无限扩展的网络应用，让办公环境更个性7.更高效的协作方式8.在线支持，享受专业服务二、MathType6.0公式编辑器（汉化版）下载地址：/soft/3683.html运行环境：Win2003/WinXP/Win2000/WinNT/Win9x软件介绍：MathType是一个强大的数学公式编辑器，与常见的文字处理软件和演示程序配合使用，能够在各种文档中加入复杂的数学公式和符号。
MathType 与常见文字处理工具紧密结合，支持OLE (对象的链接与嵌入)，可以在任何支持OLE 的文字处理系统中调用(从主菜单中选择"插入->对象" 在新对象中选择"MathType 5.0Equation" )，帮助用户快速建立专业化的数学技术文档。
MathType 汉化版修正了部分对中文的支持，这个版本对Word 或WPS 文字处理系统支持相当好。
实现所见即所得的工作模式，它可以将编辑好的公式保存成多种图片格式或透明图片模式，可以很方便的添加或移除符号、表达式等模板(只需要简单地用鼠标拖进拖出即可)，也可以很方便地修改模板。
总之，功能多多，熟练使用了就知道它的强大了。
MathType 可用在编辑数学试卷、书籍、报刊、论文、幻灯演示等方面，是您编辑数学资料的得力工具。
三、实用汉字转拼音V4.7下载地址：/soft/25080.html运行环境：Win7/Win2003/WinXP/Win2000/WinNT/Win9x软件介绍：1.屏幕抓词,很实用的功能.2.日语假名注音.例如:春をー愛するー人はー心清きーーー人ーはるをあいするひとはこころきよきひと3.假名罗马拼音注音.例如:Ha Ru Wo A I Su Ru Hi To Wa Ko Ko Ro Ki Yo Ki Hi Toはるをあいするひとはこころきよきひと4.同音字的功能.例如:在宿舍看了一宿关于星宿的书Zài SùShě Kàn Le Yī Xiǔ Guān YúXīnɡXiùDe Shū5.支持简繁体及一部分冷僻字汉字拼音Zhī ChíJiǎn Fán Tǐ JíYíBùFèn LěnɡPìZìHàn ZìPīn Yīn6.左(Zuo)右(You)拼(Pin)音(Yin)输(Shu)出(Chu)Zuo(左)You(右)Pin(拼)Yin(音)Shu(输)Chu(出)7.声调为数字输出Shenɡ1 Diɑo4 Wei2 Shu4 Zi4 Shu1 Chu1试试这个工具吧!ShìShìZhèGèGōnɡJùBɑ!四、3D数学教学平台下载地址：/soft/softdown.asp?softid=78996运行环境：Win2003/WinXP/Win2000/WinNT/Win9x软件介绍：《3D数学教学平台》：一个设计数学课件的工具,可方便绘制点线面构成的3D几何图形并可以3D旋转,还可以绘制表达式函数曲线。
(word完整版)高二空间向量知识点归纳总结,推荐文档
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则3. 共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a ±4. 共面向量 ：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b rr 不共线，p r与向量,a br r 共面的条件是存在实数,x y 使。
y x +=（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使z y x ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{},,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第8章第5讲 直线、平面垂直的判定及性质 Word版含解析
姓名，年级：时间：第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的错误!任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的错误!两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α（3）直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线错误!平行⇒a∥b2．平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是错误!直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的错误!垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β(3）平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于错误!交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α3．直线与平面所成的角（1）定义:平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°]．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的错误!两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2）二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱错误!垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．直线与平面垂直的五个结论（1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l ⊂α，m⊂β,下列结论正确的是( ）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确;当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β,l⊂α时,α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α,m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.2．（2019·浙江杭州模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l,∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3．（2019·广东五校诊断考试)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n,n⊂β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n答案B解析A项，若α⊥β,m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n相交或m，n为异面直线,故不正确；C项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α,β有可能相交但不垂直，故不正确；D项,若α∥β，m⊂α，n⊂β,则m，n有可能是异面直线,故不正确，故选B.4．若a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面,则a ⊥b的一个充分不必要条件是( ）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β,a⊂α,b⊂βC．a⊥α,b∥αD．a⊥α,b⊥α答案C解析对于A，B，直线a，b可能是平行直线,相交直线，也可能是异面直线;对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；对于D,一定能推出a∥b.故选C.5．(2019·江西南昌模拟）如图，在四面体ABCD中,已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在（)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC ⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.6．(2019·沈阳模拟）已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB;④AB⊥BC。
2020高三数学文北师大版一轮教师用书：第7章 第5节 垂直关系 Word版含解析.doc
第五节 垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第104页) [基础知识填充]1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任何直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥ba ∩b ＝O a αb α⇒l ⊥α2． (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理⎭⎬⎫l ⊥αl β⇒α⊥β⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝a l ⊥a l β⇒l ⊥α1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α，m β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥mA [∵l ⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥nC [∵α∩β＝l ，∴l β.∵n ⊥β，∴n ⊥l .]4．如图7-5-1，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.【导学号：00090253】图7-5-14 [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ， 则△P AB ，△P AC 为直角三角形．由BC ⊥AC ，且AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC ．因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．]5．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________． a [如图所示，取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO ，则∠A ′OC 是二面角A ′-BD -C 的平面角．即∠A ′OC ＝90°，又A ′O ＝CO ＝22a ，∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为A ．](对应学生用书第105页)如图AB ⊥AD ，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：图7-5-2(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴P A⊥CD．又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC．而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB．又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD平面P AD，∴AB⊥PD．又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[规律方法]1．证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质．[变式训练1] 如图7-5-3所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．图7-5-3(1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)证明：EF ⊥平面P AB ．[证明] (1)因为AB ⊥平面P AD ，PH 平面P AD ，所以PH ⊥AB ． 因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD ． 因为AB ∩AD ＝A ，AB ，AD 平面ABCD ， 所以PH ⊥平面ABCD ．(2)如图所示，取P A 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB ． 又因为DF 綊12AB ， 所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形， 所以EF ∥MD ．因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A ． 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB ．因为P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB，所以EF⊥平面P AB．(2017·，G，H分别为AC，BC的中点．图7-5-4(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH. 1分在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD∥平面FGH. 5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．6分由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE. 10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2](2017·全国卷Ⅰ)如图7-5-5，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。
地球概论复习题(word文档良心出品)
一、名词解释1.恒星时：以春分点为参考点，由春分点的周日视运动所确立的时间，称为恒星时。
2.宇宙：有两方面的含义：哲学上的宇宙是天地万物的总称，是无限的宇宙。
时间上是无始无终的，空间上是无边无际的。
科学的宇宙是指总星系。
空间尺度100多亿光年，起源于150亿年前的大爆炸。
3.回归年:以春分点为参考点，太阳沿黄道连续二次经过春分点所需的时间为回归年。
4.太阳回归运动：是太阳直射点在南北回归线之内有规律的移动。
5.朔望月:即月相变化的周期，也就是从朔到望或从望到朔的时间叫朔望月。
6.天文单位：地球与太阳的平均距离，常被用作太阳系范围内计量距离的单位7.经度:是一种两面角，是本地子午线平面和本初子午线平面的夹角。
纬度:是线面角，是本地法线和赤道平面的夹角。
8.历法：推算年月日的时间长度，协调它们的关系，制定一定的时间序列法则。
9.天球：天球就是以观测者为球心，以无限大为半径所描绘出的假想球面。
10.引潮力：又称“起潮力”，引起地球上潮汐现象的力。
来源于月球和太阳。
11.秒差距：即周年视差为1″的恒星的距离，用符号PC表示。
12.潮汐：午前和午后的一次海水上涨现象。
13.太阳高度角:是指太阳对于地平的高度角。
14.太阳日:某地经线连续两次与日地中心连线相交的时间间隔。
24小时15.日食:地球上某些地区有时看到太阳表面全部或部分被遮掩的现象。
16月食:地球上看见满月出现部分或全部月面变暗的现象。
食限: 日月食的发生，要求日月相合（或相冲）于黄白交点或附近。
这个附近有一定的限度，它就是食限。
17食季：是有可能发生日月食的一段时间，它同食限相联系。
太阳经过食限的这段时间就被叫做食季。
一、主要概念1、宇宙：有两方面的含义：哲学上的宇宙是天地万物的总称，是无限的宇宙。
时间上是无始无终的，空间上是无边无际的。
科学的宇宙是指总星系。
空间尺度100多亿光年，起源于150亿年前的大爆炸。
2、经度：是一种两面角：一个是本地子午线平面，另一个是本初子午线平面。
正四面体的性质及应用
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载正四面体的性质及应用地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 正方体的棱长为．∴ 正方体的内切球半径．∴ ．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴ ．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵ EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴ ．∴ CE 与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC1、DD1为该球的直径．连结C1D1，交AB于点M，连结MC．∵ MC⊥AB，MD1⊥AB，∴ ∠CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角．设正方体棱长为a，在中，．∴ 平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不成立的是②．①面；②面面；③面；④面面．2.正四面体中，与平面所成角的余弦值为．3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值为A．4 B．C．D．2选：．44.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；②已知：指数函数过点，则；③已知正四面体的边长为，则其外接球的体积为；④已知函数的值域是，，则的值域是，；⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．其中正确的序号是①③．555555555.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．选：．6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线和所成角的正弦值为A．B．C．D．选：．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案．7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是A．B．C．D．选：．8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面和平面的距离分别为，，则的最小值为．【考点】：基本不等式及其应用【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，，．由，可得．同理可得：．代入利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，．，．同理可得：．，当且仅当时取等号．故答案为：．9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列结论中，正确的个数有（1）；（2）若为中点，则与所成角为；（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面垂直；：平面与平面垂直【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．【解答】解：（1）连接、正中，为的中点同理，结合平面，而平面，故（1）是正确的；（2）取中点，连接、中，、分别是、的中点，．、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角设正四面体棱长为，在中，则中在中，，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；（3）由（1）的证明知：平面平面平面平面，故（3）正确；（4）若有，根据（1）的结论，因为、相交于点，所以平面中，，可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，的最大值是锐角，不可能是直角，因为平面，与不能垂直，以上结论与平面矛盾，故不论在线段上的何处，都不可能有．因此不存在点，使得过的平面与垂直．综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：①正四面体的体积为；②正四面体的表面积为；③内切球与外接球的表面积的比为；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为②③④．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】①正四面体的高，体积为，计算即可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得，即可判断出正误；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简即可判断出正误．【解答】解：①正四面体的高，体积为，因此不正确；②正四面体的表面积为，正确；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得．，因此表面积的比为，正确；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简可得：，即为正四面体的高，均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。
画布上的乐师-----康定斯基Microsoft Office Word 文档
画布上的乐师——康定斯基更新时间：2012-12-05 有效期至：长期有效浏览次数：73 返回列表画布上的乐师——康定斯基画家·印象：康定斯基的世界康定斯基（1866——1944年）是抽象主义艺术的理论家和实践者。
他出生于莫斯科，早年学习法律和民族史。
30岁去德国慕尼黑学习绘画，此后在德国、法国和苏联从事美术活动。
曾组织“青骑士”画派，后任德国包豪斯学院教授。
他很少停留在固定的绘画模式是，总是不断思考、审视、推进自己的创作，并且不断研究绘画的“理论”与“实验”，《艺术的精神性》，《点线面》都是探讨艺术性灵的力作。
康定斯基是个个性奔放的人。
他认为抽象艺术源自人的内存精神和心理世界，是富于情感与情绪的自然流动，所以他直接以点、线、面、色块等纯抽象的造型因素来表达感情，他受音乐的启发，强调即兴式的情感宣泄，有着澎湃的激情。
被誉为“热抽象”艺术，享有“画布上的乐师”美称。
放大镜：抽象派就是画家抛开具体象造型表现语言，脱离人的视觉经验去寻找创造力，用单纯的点、线、面、色去表现“纯精神世界”或是一种情感，或是一种情绪。
通常以康定斯基为代表的抒情抽象美术，重色彩的丰富性和各种造型语言的运用，达到音乐的和谐，因此称“热抽象”。
发现·故事：关于这些画1908年的一天，画家康定斯基在日落回到家中，看到一抹夕阳照在墙角的一幅画上，他突然发现了一幅难以形容的炽热美妙的画面，除了形式和色彩以外，什么也没看见。
到第二天他才发觉是他的一幅作品倒置在墙边。
这使他明白：没有具体形象，纯粹的色彩同样感人。
从而开始创作一系列现代抽象绘画作品。
康定斯基具有很深的音乐修养，他常常把绘画的形式要素（点、线、色彩等）相比较，力求把画面中的色彩，线条和开头处理得如同乐谱上的音符一样。
他甚至把绘画比作是视觉的音乐，他的画也体现了很强的音乐性。
欣赏他的作品，有如欣赏一首现代交响乐曲。
《抒情诗》作者用笔非常的冼练和简化，寥寥几笔己完全表达出马与骑士的一跃。
安徽省江南十校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷 Word版含解析
2024年“江南十校”高二年级联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 等差数列中，，，则（）A. B. C. 0D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的性质求解即可.【详解】由等差数列性质得：，即，又，即，故．故选：C2. 安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后，每天石斛的销售量（单位：盒），估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为（ ）（附：若随机变量，则，，）A. 205B. 246C. 270D. 286【答案】A{}n a 12318a a a ++=53a =8a =2-1-2318a =26a =8252a a a +=866a +=80a =()~2000,2500X N ()2~,X N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()22P X μσμσ-≤≤+0.9545≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈【解析】【分析】由题意可得，进而由可得结论.【详解】由，所以，所以销售量约在1950到2050盒的概率为，所以由可知大约有205天．故选：A.3. 已知，，圆M 经过A ，B 两点，且圆的周长被x 轴平分，则圆M 的标准方程为（ ）A B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意，中点为，所以线段的中垂线为，令得，所以，半径，所以圆M 的标准方程为．故选：B.4. “一带一路”2024国际冰雪大会中国青少年冰球国际邀请赛在江苏无锡举行，现将4名志愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务，则不同的分配方案种数是（ ）A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】B【解析】【分析】先将4人分成3组，一组2人，一组1人，一组1人，再分配.【详解】将4人分成3组，一组2人，一组1人，一组1人，分法有种，再分配给3个.2000,50μδ==0.6827300204.81⨯=(2000,2500)X N 2000,50μδ==()0.6827P X μδμδ-≤≤-=0.6827300204.81⨯=()4,0A (B 22532x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝()2224x y -+=224x y +=()2214x y -+=AB x ABk ==AB 52⎛ ⎝AB 52y x ⎫-=-⎪⎭0y =2x =()2,0M 2r =()2224x y -+=24C不同场馆有，所以不同的分配方案种数种．故选：B.5. 在棱长均相等的正三棱柱中,E 为棱AB 的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】本题线面角的定义,作出线面角,根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长,进而求出正弦值.【详解】过E 作,F 为垂足,连接,则为直线与平面所成角,设三棱柱的棱长为2,则,∴故选：A33A 2343C A 36⋅=111ABC A B C -1B E 11BB C C 13EFBC ⊥1B F 1EB F ∠1B E 1B C EF =1B E =1sin EB F ∠=6. 已知是各项均为正数的等比数列，若，，，则数列的最小项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设公比为，可得，可求的通项公式，进而可得，进而可得时，，可得结论.【详解】由，，是各项均为正数的等比数列，设其公比为，则有，解得或（舍去），所以，，由得，所以时，，又，，，故最小．故选：B.7. 已知抛物线的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于P ，Q 两点，若，则直线l 倾斜角的正弦值为（ ）A.B.C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义作出图象，结合几何关系求出即可.{}n a 13a =339S =3nn a b n={}n b 2b 3b 5b 7b q 233339q q ++={}n a 33n n b n=3n ≥1n n b b +≥13a =339S ={}n a q 233339q q ++=3q =4q =-3nn a =33n n b n =31311n nb n b n +⎛⎫=> ⎪+⎝⎭2n >3n ≥1n n b b +≥13b =298b =31b =3b 24x y =2FP QF =1312【详解】过P ，Q 分别作，垂直于准线，垂足分别为，，过Q 作，垂足为R ，设，则，，．故选：A.8. 已知函数，若在上单调，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数在上单调，只要函数在上单调，对函数求导，代特殊值求得，结合函数在上单调，可知在上恒成立，即可知，确定值并检验即可求解.【详解】因为，且，所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调；又，且，又函数在上单调，故函数在上只能单调递减，PP 'QQ 'P 'Q 'QR PP '⊥FQ r =2FP r =QQ r '=1sin 33PR r PR r PQR PQr =⇒∠===()sin cos f x a x x x =+()f x []π,π-[]0,1[)1,-+∞(],1-∞-{}1-()f x []π,π-()f x []0,πππ022f ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭[]0,π[]0,π()0f x '≤()()()010π10f a f a ⎧=+≤⎪⎨=-+≤''⎪⎩a[]π,πx ∈-()()()()sin cos sin cos f x a x x x a x x x f x -=---=--=-()f x ()f x []π,π-()f x []0,π()()1cos sin f x a x x x =+-'ππ022f ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭()f x []0,π()f x []0,π由，即，解得，当时，，时，，，故有在上恒成立，经检验知，时符合题意．故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的单调性，判断出导数的取值情况，由此确定值并检验.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数，下列关于的说法正确的是（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 有且仅有一个零点D. 存在极大值点【答案】BC 【解析】【分析】利用导数的正负的单调性和极值，即可判断ABD ；令可判断D.【详解】对于AB ，由题意知函数的定义域为，所以，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故A 错误.B 正确；对于D ，由上可知，是的极小值点，无极大值点.故D 错误；令，得，当时，，故为的唯一零点，故C 正确．()()()010π10f a f a ⎧=+≤⎪⎨=-+≤''⎪⎩11a a ≤-⎧⎨≥-⎩1a =-1a =-()sin f x x x '=-[]0,πx ∈0x -≤sin 0x ≥()sin 0f x x x '=-≤[]0,πx ∈1a =-a ()()1e xf x x =-()f x ()f x ()0,1()f x ()1,+∞()f x ()f x ()f x ()0f x =()()1e xf x x =-R ()()e 1e e xxxf x x x =+-='()0f x '=0x =0x <()0f x '<()f x (),0∞-0x >()0f x '>()f x ()0,∞+0x =()f x ()0f x =1x =1x <()0f x <1x =()f x故选：BC10. 现有甲、乙两个盒子，各装有若干个大小相同的小球（如图），则下列说法正确的是（ ）A. 甲盒中一次取出3个球，至少取到一个红球的概率是B. 乙盒有放回的取3次球，每次取一个，取到2个白球和1个红球的概率是C. 甲盒不放回的取2次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是D. 甲盒不放回的多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也取到白球的概率是【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项利用超几何分布求概率公式即可计算；B 根据二项分布求概率公式计算即可；C 选项、D 选项利用全概率公式与条件概率公式即可求解.【详解】对于A ，记“甲盒中取3球至少一个红球”，则，故A 正确；对于B ，记“乙盒有放回的取3次球，取到2个白球”，则，故B 正确；对于C ，记“甲盒不放回第i 次取到红球”，则，故C 正确.对于D ，，故D 不正确.故选：ABC.1621381337A =()3639C 161C 21P A =-=B =()32313C 28P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭=i A ()()()()()()21212121121||P A P A A A P A P A A P A P A A =+=⋅+⋅3263198983=⨯+⨯=()()()312312126544987|65798P A A A P A A A P A A ⨯⨯===⨯11. 达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化为图3所示的几何体，图3中每个正方体的棱长为1，E ，F 为棱，AB 的中点，则（ ）A. 点P 到直线CQ 的距离为2B. 直线平面C. 平面和平面D. 平面截正方体【答案】ABD 【解析】【分析】由余弦定理可求得，可求P 到CQ 的距离的距离，判断A ；以点D为坐标原点，以DA ，DC ，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，利用向量法平面，判断B ；结合B ，可求得到平面的距离，到平面的距离，可求得平面与平面的距离，判断C ；连接并延长交CD 延长线于U ，连接UF 交AD于V ，交CB 的延长线于W ，可得截面为，求得截面的周长判断D.【详解】由勾股定理可得，由余弦定理得，得，P 到CQ 的距离为，所以A 正确；选项B ：如图，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，1DD 1AC ⊥1A BD1A BD 11B CD 1C EF 1111ABCD A B C D -45PCQ ∠=︒1DD 1AC ⊥1A BD A 1A BD 1C 11B CD 1A BD 11B CD 1C E 1EVFXC PQ ==PC 3QC ==222cos 2PC QC PQ PCQ PC QC +-∠==45PCQ ∠=︒sin 452PC ⋅︒=1DD则，，，，，∴，设平面的法向量分别为，所以 ，∴，所以平面，故B 正确；选项C ：由B 可知平面，同理可证平面，易求，设到平面的距离为，由，可得，所以，解得，所以到平面到平面所以平面与平面C 不正确；选项D ：连接并延长交CD 延长线于U ，连接UF 交AD 于V，交CB 的延长线于W ，，，，，的()0,0,0D ()1,0,0A ()10,1,1C ()11,0,1A ()1,1,0B ()11,1,1AC =-1A BD (),,m x y z =()()()()()11,0,1,,01,1,11,1,0,,0DA m x y z x z m DB m x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⇒=--⎨⋅=⋅=+=⎪⎩1AC m ∥1AC ⊥1A BD 1AC ⊥ 1A BD 1AC ⊥11B D C 1AC =A 1A BD d 11A A BD A ABD V V --=1111133A BD A ABD S d S AA -=V V g g 1111sin 601113232d ⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯d =A 1A BD 1C 11B CD 1A BD 11B CD =1C E 1C E ==152263ED EV DV ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩1312AV VF AF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩1214FB FX BX ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，所以D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：求点到面的距离，常用等体积法转化为一个面上的高的方法处理，求截面周长，关键是作出截面图形.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 展开式中的常数项为______．【答案】135【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解.【详解】展开式的通项为，令，所以常数项为，故答案为：13513. 已知函数，其中，若是的极小值点，则实数a 的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求导可得，由是的极小值点，结合已知可得，求解可得实数的取值范围.【详解】因为函数的定义域为，求导得，111115344B C C X B X =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩5564++++=63x ⎛- ⎝63x ⎛- ⎝(){}3662613,0,1,2,3,4,5,6k k k k C x k ---∈36042k k -=⇒=()442613135C -=()()213ln 312f x x ax a x =-+-0a <3x =()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()()()13ax x f x x--'-=3x =()f x 13a-<a ()f x (0,)+∞()()()()()231313331ax a x ax x f x ax a x x x-+-+--'-=-+-==令，可得或，因为是的极小值点，又，所以，从而．所以实数的取值范围为.故答案为：14. 过双曲线的左焦点F 作渐近线的垂线，与双曲线及渐近线的交点分别为A ，B ，点A ，B 均在第二象限，且A 为线段FB 的中点，则______．【答案】1【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式计算出，进而得到，在根据双曲线的定义计算出，然后在中使用余弦定理即可求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线面角(直线和平面所成的角)
斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
例1：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 为AB 的中点； （1）1B C 与平面ABCD 所成角； （2）1BD 与平面1!DCC D 所成角； （3）求1BA 与面11A B CD 所成的角； （4）求1BD 与面11A B CD 所成的角； （5）求DE 与面11A B CD 所成的角 （6）求1B E 与面11ACC A 所成的角。
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.
解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO . 由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求.
在Rt EOA ∆中，1112
222
EO EF A D ===
，2215()122AE =+=，
10
sin 5
EO EAO AE ∠=
=
. 所以直线AE 与平面11ABC D 所成的角的正弦值为10
5
.
变式：直线a 是平面α的斜线，b 在平α内，已知a 与b 成60°的角，且b 与a 在平α内的射影成
45°角时，a 与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135°
9．如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,PA AD a ==2AB a =，E 是线段PD 上的点，F 是
A
B
C
D
1A
1B
1C
1D
αb
a
O
C
B
A
线段AB 上的点，且
1
2
PE BF ED FA ==．求直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.
例3． 如图，在矩形ABCD 中，33,3AB BC ==，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到C '点，且C '点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上。
求直线AB 与平面BC D '所成角的大小。
2.如图，已知四面体S ABC -的棱长都为a ，E 为SC 的中点，F 为AB 的中点。
（1）求BE 与SF 所成的角； （2）求BE 与平面ABC 所成的角。
2.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.
223 B.2
3
C.24
D.13 3.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧
掕垂直于底面，点D 是侧面
11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
5.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为(
)
A B C D 33
3 ⇒
A B
()C C ' D O
S A B C E
F
（A ）
34 (B) 54 (C) 74 (D) 34
6.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( ) （A ）
23 （B ）33 （C ）23
（D ）63
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC=2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧
面PAB ⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小;
186. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AC=BC=a ，P 是ABC ∆所在平面外一点，PA=PB=PC=2a 。
（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求PC 与ABC ∆所在平面所成的角。
17. （本题14分）如图，三棱锥P-ABC 的底面是正三角形，PC ⊥平面ABC 且PC=22,BC=2,D 是AP 的中点
（1） 求异面直线PB 与CD 所成的角；
（2） 求BD 与平面ABCD 所成角的正切值；
ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a ，P 是ABC 所在平面外的一点，PA=PB=PC=2a ，（1）
求证：平面PAB ⊥平面ABC 。
（2）求PC 与ABC 所在平面所成的角。
A
B C D
P Ｐ
Ｃ
Ｂ
A
如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
PD .求证：9．（12分）1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，AD
（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角.
P
A B
D C
2．(2007全国)四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知
45ABC ∠=︒，2AB =，22BC =，3SA SB ==．
（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值．
16．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600
的二面角，求直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。
S C
D
A
B
A
F
E
B D
C。