《理论力学》第九章 质点动力学 习题解
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
理论力学练习册及答案
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
解：将力系向A点简化，并过A点建立如图所示坐标系。
由矢量式可得力系简化的最终结果为力螺旋，
作用点为：
3-2.已知A（1，0，1），B（0，1，2）（长度单位为米），F= kN。求力F对x、y、z轴的矩？
解：
3-3.如图所示，长方体边长为a、b、c，力F沿BD，试计算力F对AC轴之矩MAC(F)
解：力F对C点的矩为：
4-3.置于铅垂面内的均质正方形簿板重P= 100kN，与地面间的摩擦系数f= 0.5，欲使簿板静止不动，求作用在点A的力F的最大值？
4-4.折梯放在水平地面上，其两脚与地面的摩擦系数分别为fA= 0.2，fB= 0.6，折梯一边AC的中点D上有一重为P= 500N的重物，折梯重量不计，问折梯能否平衡？如果折梯平衡。试求出两脚与地面间的摩擦力。
第六章 刚体基本运动
6-1．在如图所示中，已知ω、。在图上标示出A、B两的速度、加速度。
6-2．在如图所示的平面机构中，半径为r的半圆盘在A和B处与杆铰接，已知 ， ,曲柄O1A以匀角速度ω转动。求图示瞬时圆盘上M点的速度和加速度。
6-3．在如图所示的平面机构中，齿轮1紧固在杆AC上， ,齿轮1与半径为r2的齿轮2啮合，齿轮2可绕O2轴转动，。设 ， ，试确定 时，轮2的角速度和角加速度。
解：动点取曲柄OA上A点，
理论力学课件 第九章动量定理,质点和质点系动量定理
5、解方程。
ω
O2
e
O1 θ
例9-3 如图所示，电动机外壳固
定在水平基础上，定子、转子的
质量分别为m1、m2。设定子质心 位 于 转 轴中 心 O1 ， 由 于 制 造 误 差，转子质心O2 到O1的距离为
e，已知转子以匀角速度ω 转
动。求： 基础对电机总的水平和
铅垂反力
偏心转子
解：1、研究对象
如何建立受力和运动的关系？
建立运动特征量的变化与 力系作用量的关系
第9章 动量定理
第9章 动量定理
现代跳高为什么采用背越式？
9.1 质点和质点系动量定理
一、基本概念
1 质心
∑ rvC =
m i rvi m
∑ xC =
mi xi m
∑ yC =
mi yi m
∑ zC =
mi zi m
9.1 质点和质点系动量定理
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx = −m2ω2e cosωt Fy = −m2ω 2e sin ωt + (m1 + m2 )g
由主动力直接引起的静约束力
Fx静 = 0
Fy静 = (m1 + m2 )g
由质点系运动引起的动约束力
vy
ω
O2
e
O1 θ m2 g
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx动 = −m2ω 2e cosωt
9.1 质点和质点系动量定理
思考题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长
为L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向
如图），求该瞬时系统的动量。
理论力学 质点动力学
第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。
突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。
9 质点动力学的基本方程自测题
Page 1 of 2 Created by JiangFang, School of Technology, BJFU（a ）（b ）（c ）xO第九章 质点动力学的基本方程 自测题1. 判断正误（1）只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就可以确定。
（ ） （2） 一个质点只要有运动，就一定有力的作用，而且运动方向就是它受力的方向。
（ ） （3）在同一地点、同一坐标系内，以相同大小的初速度0v 斜抛两质量相同的小球，若不计空气阻力，则两者的运动微分方程一定相同。
（ ） （4）质点受到的力越大，其运动的速度就越大。
（ ） （5）在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或匀速直线运动状态。
（ ）2. 选择题（1）求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来 。
A ．分析力的变化规律 B. 建立质点运动微分方程 C. 确定积分常数 D. 分离积分变量（2）三个质量相同的质点，在相同的力F 作用下。
若初始位置都在坐标原点O （如图所示），但初速度不同，则三个质点的运动微分方程 ， 三个质点的运动轨迹 。
A ．相同 B. 不同 C. 无法确定（3） 距地面高为H 的质点M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离l 与成正比。
A ．HB.C. 2H D. 3HPage 2 of 2 Created by JiangFang, School of Technology, BJFUxO（4）一铅垂上抛的小球，可视为质点，已知质量为m ，空气阻力v R k −=(k 为常数)，则对图示坐标轴Ox ，小球的运动微分方程为 。
A. x k mg x m−= B. x k mg x m −−= C. x k mg x m+−= D. x k mg x m +=（5）如图，已知A 物重20N ，B 物重30N ，不计滑轮C 、D 的质量，并忽略各处的摩擦，则绳水平段的拉力为 。
理论力学质点动力学的运动方程
消去t, 得轨迹方程 由初始条件：t＝0时，q0＝0，
代入上式得
如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。
分析: 由(1)、(2)式可得:
3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成
角。
作用下从甲板上起飞
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
这是第二类基本问题。
例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的 小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
初始条件为
a a t 0 :x 0 y 0 0 ,v 0 x v 0 c o s,v 0 y v 0 s i n
确定出积分常数为：
a a C 1 v 0 c o s,C 2 v 0 s i n ,C 3 C 4 0
于是物体的运动方程为：
xv0tcoas
y
v0t
1 2
gt2
轨迹方程为：
有 mr 2 F l 2 r2 l
得 F mr 2 2 l 2 r 2
这属于动力学第一类问题。
例10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 F eE 作用。
习题第9章5答案
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
第9章 质点系动量定理
2
质点系动量定理
质点系整体运动状 态的物理量（动量 、动量矩、动能）
质点系动力 学普遍定理
作用于质点系的力 系特征量（主矢、 主矩、功）
质点系动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定 理、动能定理及其推论。
3
质点系动量定理
二、质点系的质心
磅秤指示数会不会发生变化
9
质点系动量定理
隔板
抽去隔板后将会
水池
？ 发生什么现象
水
光滑台面
10
质点系动量定理
偏心转子电机
？ 为什么会左右运动 ？ 这种运动有何规律 ？ 会不会上下跳动 ？ 有何工程应用
11
质点系动量定理
§9-1 动量定理
一、动量
1.质点的动量 ——质点的质量与速度的乘积 mv。
z 瞬时矢量；
倾角均为45°。则此时机构的动量 p大小为（ ）。
31
质点系动量定理
§9-2 质心运动定理
∑ 质点系的动量定理： d p = F e dt
将 p = m v C 代入，并当质点系质量不变时，有
∑ m aC = F e
或
——质心运动定理
∑ m &r&C = F e
即：质点系的质量与其质心加速度的乘积，等于作用于
质点系动量定理
理论力学
基 础 部 分 — 动力学
第9 章 质点系动量定理
2012年11月13日
1
质点系动量定理
质点系动力学普遍定理概述
一、质点系动力学普遍定理的特征
理论上： n个质点构成的质点系动力学问题，可通过 建立3n个微分方程联立求解。
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1 第九章 质点动力学 习题解 [习题9-1] 质量为kgm2的质点沿空间曲线运动，其运动方程为：324ttx，ty5，24tz。求st1时作用于该质点的力。
解： （1）求加速度 23238)4(ttttdtddtdxvx
tttdtddtdvaxx68)38(2 )/(2168|221smatx
5)5(tdtddtdyvy
0)5(dtddtdvayy
0|1tya 344)2(ttdtddtdzvz
2312)4(ttdtddtdvazz
)/(12112|221smatz
（2）求作用在质点上的力 )(422|1NmaFtxx
)(002|1NmaFtyy
)(24122|1NmaFtzz
力的大小： )(331.242404222222NFFFFzyx 力的方向角： 2
054.80331.244arccosarccos
F
Fx
090331.240arccosarccos
F
Fy
046.9331.2424arccosarccos
F
Fz
力的作用点： )(3114|321mxt
)(515|1myt
)(121|41mzt
即在F作用点在M（3，－5，－1）。
[习题9-2] 某质量为kg5的质点在jtitF)2sin(100)2cos(90（F以N计）作用下运动，已知当0t时，cmx40，cmy50，00•x，scmy/100•。试求该质点的运动方程。 解：
由jtitF)2sin(100)2cos(90可知： )2cos(90tFx )2sin(100tFy )2cos(90tmaFxx
)2cos(9022tdtxdm )2cos(90522tdtxd )2cos(1822tdtxd )2()2cos(9tdtdt
dx 3
1)2sin(9Ctdtdx 1)2sin(9Ctx•
0)02sin(9|1100••CCxxt
)2sin(9tdtdx
)2()2sin(29tdtx
2)2cos(29Ctx )(04.0)()(5.429)02cos(29|22200mmCmCCxxt
)(46.45.404.02mC
)(46.4)2cos(29mtx )2sin(100tFy
)2sin(10022tdtydm )2sin(100522tdtyd )2sin(2022tdtyd )2()2sin(10tdt
dt
dy
3)2cos(10Ctdtdy 3)2cos(10Cty•
smsmCCyyt/1.0/)10()02cos(10|3300•• 1.0103C )/(9.93smC 9.9)2cos(10•ty 4
0v
030
m1地面
mg
Ox
y
9.9)2cos(10tdt
dy
dttdty9.9)2()2cos(5
49.9)2sin(5Ctty )(05.009.9)02sin(5|4400mCCyyt
)(05.09.9)2sin(5mtty
[习题9-3] 水管喷头从m1高处以sm/13的速度向外喷水，水管与水平线夹角为030。求水能达到的最大高度H及水平距离d。 解：水珠的受力如图所示。
)/(231330cos00smvvx
2313dtdx
12
313Ctx
002313|110CCxt
tx2313 tgtvvy8.95.630sin00 tdtdy8.95.6
229.45.6Ctty
)(109.405.6|2220mCCyt
19.45.62tty 水珠达到最高点时，竖向速度为0。 08.95.6tdtdyvy 5
)(663.08.9/5.6st 水珠所能达到的最大高度为： )(16.31633.09.4663.05.62maxmyH 水珠着地时所经过的时间为： 019.45.62tty
019.45.62tt 015.69.42tt 不合，舍去。),(139.0)(47.19.42)1(9.44)5.6(5.62sst
水珠所能达到的最大水平距离为： )(55.1647.12313maxmxd
x-t与y-t曲线
-2024681012141618
00.20.40.60.811.21.41.6tx/y
xy 6
ABm1030
C
Bv
Bm1030
C
Bv
ABT
gmB
ntAABT
gmA
ANAF
[习题9-4] 通过光滑圆环C的绳索将物体A与B相连，已知kgmA5.7，kgmB0.6，物体A与水平面的摩擦因素6.0f，在图示瞬时，物体B具有朝右上方的速度smvB/2。若在此时突然剪断墙与物体间的绳子，求该瞬时物体A的加速度Aa 解： （1）求AB间绳子的拉力 以B为研究对象，其受力如图所示。
nBinamF
CBvmgmTBBBAB2030cos
)(92.74)12866.08.9(6)30cos(202NCBvgmTBBAB 以A为研究对象，其受力如图所示。
)/(11.45.78.95.76.092.742smmfNTaAAABA （→）
[习题9-5] 倾角为030的楔形斜面以2/.4sma的加速度向右运动，质量为kgm5的小小球A用软绳维系置于斜面上，试求绳子的拉力及斜面的压力，并求当斜面的加速度达到多大时绳子的拉力为零？ 解： （1）求绳子的拉力T及斜面的压力N 以小球为研究对象，其受力如图所示。 7
A030
aA
030
a
NTG
xy
maTN0030cos30sin 452321TN 403TN…………(1)
030cos30sin00GNT
8.952321NT 983NT…………(2)
(1)代入(2)得： 98)340(3TT 98)3340TT
)(18.7434098NT )(44.5218.7732.140340NTN （2）求当斜面的加速度达到多大时绳子的拉力为零 maTN0030cos30sin
aTN52321 aTN103…………(1) 8
rzA
A
mg
n
tbz
'tF
'nF
NF
030cos30sin00GNT 8.952321NT 983NT…………(2)
(1)代入(2)得： 98310(3TaT 983310TaT
431098aT
令T＝0得： 031098a
)/(658.5310982sma 故，当)/(658.52sma时，绳子的拉力为零。 [习题9-6] 水平转台以匀角加速度从静止开始绕z轴转动，转台上与转轴距离为r处放置一质量为m的物块A，物块与转台间的摩擦因素为f，求经过多少时间后，物块开始在转台上滑动。
解： 以物块A为研究对象（抽象为一质点），其受力如图所示。 0mgFFNb