第九章质点动力学的基本方程
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
第9章 质点动力学的基本方程
PAG 15
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
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µ
m
t
PAG 20
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质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
第九章动力学微分方程(陆)案例
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
o r
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
|t0 0, |t0 0 c g / r
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
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gl
由式（1）知：a
dv dt
0
，而ｖ＞０，故重物作减速运动。
因此，在初始位置（刚刹车，φ＝０）时，重物的速度最
大，v vmax v0 ,cos 1 ，此时，绳索的张力Ｔ’获得最大值，
即
T' max
Tmax
P(1
v02 ) gl
刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知 Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此刹车前后瞬间动荷系数
分析：由题意→→动力学问题 →→质点动力学第一类基本问题， 先分析重物位于一般位置时。
解 取重物为研究对象，受
力如图所示。 取自然轴如图示，由式（9—5） 得重物的运动微分方程投影式为
m dv P sin
dt
v2 m
T
P cos
l
（1）
式中ｖ与φ均为变量。
（2）
由式（２）得:
T P(cos v 2 )
ax
d2x dt 2
b 2
cost
2 x
ay
d2y dt 2
d 2
sint
2
y
代入式(9—4)，
得作用在此质点上的力在 x、y 轴上的投影为
Fx m ax m 2 x Fy may m 2 y
t 从运动方程中消去时间 ，得此质点的轨迹方程
x2 y2 b2 d 2 1
合力可以表示为
F Fxi Fy j m2xi yj m2r
有 mr 2 F l2 r2 l
得 F mr2 2 l2 r2
这属于动力学第一类问题。
例9-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度
按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方r 向与电r 场强度 垂直,如图所示。质点在电场中受力 F e作E 用。已
知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
mar
r Fi
（9—3）
d2rr
r
或
m dt2 Fi
（9—3）’
式（10—3）’是矢量形式的微分方程。
1 、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r 设矢径 在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z ，
力 Fi 在轴上的投影分别为 Fxi , Fyi , Fzi ，则式 9 3
在直角坐标轴上的投影形式为:
高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响， 宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。
４．动力学的力学模型
（1）质点 ： 指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 （2）质点系：
指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 包括固体、弹性体和流体。
（3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。
Kd
T' max T'
1 v02 gl
〔讨论〕 起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。
〔补例3〕 质点M的质量为 m ,
运动方程是 x bcost, y d sint ,
其中 b、d、 为常量，
求作用在此质点上的力。
分析：由题意→→动力学问题→→ 质点动力学第一类基本问题。
解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
解得
再分离变量，运动起始条件为 t 0 时，x0 0 ，则有
积分得
这就是该物体下沉的运动规律。 由式(b)知，当 t 时，ebt 0 时，该物体下沉速度将
趋近一极限值
v g mg
b
称为物体在液体中自由下沉的极限速度。 应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。
[讨论] 另选坐标系，其原点O在液体底部，x 轴铅垂向上。
（4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。
第九章 质点动力学的基本方程
本章内容及分析思路
根据动 力学基 本定律
质点动力 学的基本
方程
求解质点 的动力学
问题
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不 是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向) 不变。
y
dy
eA
t
s in ktdt
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
cos kt
1
(c)
轨迹方程
y
eA m k2
cos
k v0
x
1
[讨论]如果 v0 0，则运动方程式(c)为x 0 ，y 式不变，
这是一个直线运动。
[补例4] 在均匀的静止液体中，质量为 m 的物体M 从液面处无初速下沉，如图a所示。假设液体阻力
Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
（9—5）
式中 Fti , Fni 和 Fbi分别是作用于质点的各力在切线、
主法线和副法线上的投影，而 为轨迹的曲率半径。
3 、质点动力学的两类基本问题
1) 第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.
2) 第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r 2 cos t cos 2 t
当 0时, ax r 2 1 ,且 0,
得 F mr 2 1
当 时,
2
ax r 2
且cos
l2 r2 l
F
1.96N
cos
1
2
v
Fl sin2
m
2.1m s
绳的张力与拉力F的大小相等。
例9-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
分析：1）由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类 基本问题。2）求质点的运动轨迹→→质点运动方程。
解: 取质点为研究对象，受力如图10-3所示。质点运动微分方程在 x 轴和 y 轴上的投影式
d2 x m dt 2
m dvx dt
0,
d2 y m dt 2
m dv y dt
eAcos kt
(a)
设 x、x仍按 x 轴的正向画出，则该物体的受力
图如图c所示。 运动微分方为程
或
运动起始条件为 t 0 时，x0 H ,v0 0 。 通过两次分离变量和积分，可得
(说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时， 宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、 加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、 加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设， 并画出其受力图，建立它的运动微分方程。
P a
g
，附加动压力。
超重。
如果加速度方向向下，总压力为:
FN'
P(1
a) g
当ａ=ｇ时，FN,=0
（２）求吊绳的拉力。
取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。 选坐标轴x，由式（9—4）得投影形式的质点运动微分方程
QP g a Td (Q P )
解得
a
a
Td
(Q
P)(1
) T (1 g
作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是 时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。
求质点的运动就是求式（9—4）或（9—5）的解， 一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。 可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运 动初始条件有关。
〔补例1〕 电梯如图所示。已知电梯的加速度 ａ＝常数、方向向上。电梯重量为Ｑ，放在电梯地 板上的物质重量为Ｐ，求： （1）物体对地板的压力； （2）电梯吊绳的拉力。
动力学 引言
１．动力学的研究对象
动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力
之间的关系。
２．动力学的主要内容
（1) 牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、 动能定理。
惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。 非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。
牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。 相对论力学或量子力学
分析：由题意→→动力学问题→→ 已知运动求作用力，故属于质点动 力学第一类基本问题。
解 （1）求物体对地板的压力
选取重物为研究对象， 进行受力分析和运动分析（如图b所示）。 建立直角坐标轴，列运动微分方程求解
P g
a
FN
P
或
FN
P(1
a )
g
FN'
式中FN’,为物体对地板的压力。
〔讨论〕 压力FN,由两部分组成：物体的重量Ｐ，静压力；
3) 第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需 要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类 基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称 为混合问题。
例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
由式（1）知：a
dv dt
0
，而ｖ＞０，故重物作减速运动。
因此，在初始位置（刚刹车，φ＝０）时，重物的速度最
大，v vmax v0 ,cos 1 ，此时，绳索的张力Ｔ’获得最大值，
即
T' max
Tmax
P(1
v02 ) gl
刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知 Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此刹车前后瞬间动荷系数
分析：由题意→→动力学问题 →→质点动力学第一类基本问题， 先分析重物位于一般位置时。
解 取重物为研究对象，受
力如图所示。 取自然轴如图示，由式（9—5） 得重物的运动微分方程投影式为
m dv P sin
dt
v2 m
T
P cos
l
（1）
式中ｖ与φ均为变量。
（2）
由式（２）得:
T P(cos v 2 )
ax
d2x dt 2
b 2
cost
2 x
ay
d2y dt 2
d 2
sint
2
y
代入式(9—4)，
得作用在此质点上的力在 x、y 轴上的投影为
Fx m ax m 2 x Fy may m 2 y
t 从运动方程中消去时间 ，得此质点的轨迹方程
x2 y2 b2 d 2 1
合力可以表示为
F Fxi Fy j m2xi yj m2r
有 mr 2 F l2 r2 l
得 F mr2 2 l2 r2
这属于动力学第一类问题。
例9-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度
按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方r 向与电r 场强度 垂直,如图所示。质点在电场中受力 F e作E 用。已
知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
mar
r Fi
（9—3）
d2rr
r
或
m dt2 Fi
（9—3）’
式（10—3）’是矢量形式的微分方程。
1 、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r 设矢径 在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z ，
力 Fi 在轴上的投影分别为 Fxi , Fyi , Fzi ，则式 9 3
在直角坐标轴上的投影形式为:
高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响， 宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。
４．动力学的力学模型
（1）质点 ： 指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 （2）质点系：
指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 包括固体、弹性体和流体。
（3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。
Kd
T' max T'
1 v02 gl
〔讨论〕 起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。
〔补例3〕 质点M的质量为 m ,
运动方程是 x bcost, y d sint ,
其中 b、d、 为常量，
求作用在此质点上的力。
分析：由题意→→动力学问题→→ 质点动力学第一类基本问题。
解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
解得
再分离变量，运动起始条件为 t 0 时，x0 0 ，则有
积分得
这就是该物体下沉的运动规律。 由式(b)知，当 t 时，ebt 0 时，该物体下沉速度将
趋近一极限值
v g mg
b
称为物体在液体中自由下沉的极限速度。 应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。
[讨论] 另选坐标系，其原点O在液体底部，x 轴铅垂向上。
（4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。
第九章 质点动力学的基本方程
本章内容及分析思路
根据动 力学基 本定律
质点动力 学的基本
方程
求解质点 的动力学
问题
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不 是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向) 不变。
y
dy
eA
t
s in ktdt
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
cos kt
1
(c)
轨迹方程
y
eA m k2
cos
k v0
x
1
[讨论]如果 v0 0，则运动方程式(c)为x 0 ，y 式不变，
这是一个直线运动。
[补例4] 在均匀的静止液体中，质量为 m 的物体M 从液面处无初速下沉，如图a所示。假设液体阻力
Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
（9—5）
式中 Fti , Fni 和 Fbi分别是作用于质点的各力在切线、
主法线和副法线上的投影，而 为轨迹的曲率半径。
3 、质点动力学的两类基本问题
1) 第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.
2) 第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r 2 cos t cos 2 t
当 0时, ax r 2 1 ,且 0,
得 F mr 2 1
当 时,
2
ax r 2
且cos
l2 r2 l
F
1.96N
cos
1
2
v
Fl sin2
m
2.1m s
绳的张力与拉力F的大小相等。
例9-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
分析：1）由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类 基本问题。2）求质点的运动轨迹→→质点运动方程。
解: 取质点为研究对象，受力如图10-3所示。质点运动微分方程在 x 轴和 y 轴上的投影式
d2 x m dt 2
m dvx dt
0,
d2 y m dt 2
m dv y dt
eAcos kt
(a)
设 x、x仍按 x 轴的正向画出，则该物体的受力
图如图c所示。 运动微分方为程
或
运动起始条件为 t 0 时，x0 H ,v0 0 。 通过两次分离变量和积分，可得
(说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时， 宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、 加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、 加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设， 并画出其受力图，建立它的运动微分方程。
P a
g
，附加动压力。
超重。
如果加速度方向向下，总压力为:
FN'
P(1
a) g
当ａ=ｇ时，FN,=0
（２）求吊绳的拉力。
取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。 选坐标轴x，由式（9—4）得投影形式的质点运动微分方程
QP g a Td (Q P )
解得
a
a
Td
(Q
P)(1
) T (1 g
作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是 时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。
求质点的运动就是求式（9—4）或（9—5）的解， 一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。 可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运 动初始条件有关。
〔补例1〕 电梯如图所示。已知电梯的加速度 ａ＝常数、方向向上。电梯重量为Ｑ，放在电梯地 板上的物质重量为Ｐ，求： （1）物体对地板的压力； （2）电梯吊绳的拉力。
动力学 引言
１．动力学的研究对象
动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力
之间的关系。
２．动力学的主要内容
（1) 牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、 动能定理。
惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。 非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。
牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。 相对论力学或量子力学
分析：由题意→→动力学问题→→ 已知运动求作用力，故属于质点动 力学第一类基本问题。
解 （1）求物体对地板的压力
选取重物为研究对象， 进行受力分析和运动分析（如图b所示）。 建立直角坐标轴，列运动微分方程求解
P g
a
FN
P
或
FN
P(1
a )
g
FN'
式中FN’,为物体对地板的压力。
〔讨论〕 压力FN,由两部分组成：物体的重量Ｐ，静压力；
3) 第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需 要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类 基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称 为混合问题。
例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,