质点动力学基本方程图文
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
§3.3 质点系的动力学方程(YBY
§3.3 质点系的动力学方程 一、质点组的动力学方程。 1、质点系的动力学方程为简单计，研究两个质点构成的质点系
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
2021
12
五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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6
三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
2021
5
Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
2021
27
1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
第二章非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
质点动力学的基本方程课件名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件
st 0
k( st x)
st
st
O
x
mg
x
x
O
mg
x
第16页
质点系运动微分方程 内力 外力 质点系内力系主矢和对任一点主矩都等于零。
设质点系由 n 个质点所组成，将每一个质点 所受力分为外力协力 ，内Fi 力协力 。 Fi 对于每一个质点
矢量形式质点系运动微分方程。
第17页
d
( mi i ) Fi
A
A
B
C
O
b
c
FN
FT
x
M
o
G
h h
第15页
例9-5卷扬机钢丝绳绕过固定滑轮后悬吊着质量m=15t重物匀速下
降，速度0=20m/min。因为滑轮发生故障，钢丝绳上端突 然被卡住。这时，因为钢丝绳含有弹性，重物将发生上下
振动。设钢丝绳悬垂段弹簧刚度系数k=5.78MN/m, 试求因 为重物振动所引发刚丝绳最大拉力。
F ma
质量—— 质点惯性量度。
Ma
F
重力加速度g——物体仅受重力作用而自由降落。
表示了质点加速度、所受力以及质量之间关系。
第4页
第三定律（作用与反作用定律） ——两质点间相互作用力，总是大小相等，方向相反， 沿着两点连线分别作用在两质点上。
第5页
第四定律（力独立作用定律） ——若质点同时受到几个力作用，则其加速度等于各 力分别作用于该质点时所作用各加速度矢量和。
d
( mi i ) Fi
Fi
( i 1,2,,n )
dt
本章小结
第18页
提议
用MATLAB求解理论力学问题。
第19页
9-24 9-26 9-29
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m
20第5章第二十讲 质点动力学
第五章质点动力学动力学的任务•研究物体机械运动一般规律动力学基本线索动力学内容•质点动力学、动力学普遍定理、刚体动力学、动静法、分析力学物体机械运动状态改变量力对物体机械作用量动力学两类问题第一类问题•已知运动，求力第二类问题•已知力，求运动舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞若已知初速度、飞离甲板的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。
若已知推力和跑道长度，则需要多大的初速度和多长时间才能达到飞离甲板所需速度。
ABv1v2载人飞船的交会与对接质点动力学(dynamics of a particle)本章研究质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程。
1.惯性系质点动力学基本方程2.非惯性系质点动力学基本方程3.地球自转对质点运动的影响1.惯性系质点动力学基本方程质点动力学基本方程（牛顿第二定律）（1683-1727）1. 惯性系质点动力学基本方程•矢量形式•直角坐标形式xy质点运动微分方程∑∑∑===iizi iyi ixF zm F ym F xm1.惯性系质点动力学基本方程•自然坐标形式•极坐标形式？质点运动微分方程∑∑∑===bi ni τi FF sm F s m 02ρ1. 惯性系质点动力学基本方程求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下1.确定研究对象，选择适当的坐标系；2.进行受力分析，画受力图；3.进行运动分析，计算运动参数；4.列出质点的运动微分方程，分清是第一类问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解；对第一类问题，需要确定加速度，对第二类问题，加速度方向要和投影轴方向一致，并写出初条件。
5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。
【例】圆锥摆。
质量为1kg 的重物，被绳限制在水平面内作圆周运动，成为锥摆形状；绳长l =30cm ，与铅垂线角度θ=60°。
求：速度v 及张力T 的大小。
1. 惯性系质点动力学基本方程G解：以小球为研究的质点，作用力：重力G ，绳子拉力T 。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0