11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
第11章动量定理
∑
i =1
n
Fi ( e ) dt = ∑ dI i( e )
i =1
n
dp =
∑
n
i =1
d I i( e )
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和
d (∑ mi vi ) = ∑ Fi ( e ) dt
i =1 i =1
n
n
质点系动量定理的微分形式
n d p = ∑ Fi ( e ) dt i =1
应用动量定理解题的步骤
1）取研究对象 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）运动分析，表达动量； 4）应用质点或质点系动量定理的微分形式和积分形式列出 运动和力关系 5）求解未知力。
例 ： 一个网球质量为 0.125 kg, 飞来的初始速度为 v0 =2.5j-2 k m/s, 球拍施加变力为F=5t i N，作用时 间为 0.5s后，网球飞回，求飞出时的速度。 解： 1) 取网球为研究对象 2）受力分析 外力有重力mg , F 3）运动分析 网球初始动量： p 0 = 网球末动量： 4） 质点动量定理
p x = m2 v2 + m3 v3 cosθ = 2.707m3 v
py = −m1v1 + m3v3 sinθ = −3.293m3v
px ( p, i ) = arccos = −50.58 p py ( p, j ) = arccos = −140.58 p
3、动量分析 、
dri d p = ∑ mi vi = ∑ mi = ∑ mi ri dt dt
n
n
∑
i =1
n
d (mi vi ) = ∑ Fi dt + ∑ Fi(i) dt
理论力学 第11章 质点运动微分方程
必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
质点动力学
所以太阳系是一个惯性系。
地球有公转和自转，所以地球只能看作一 个近似的惯性系。
五、应用牛顿定律解题
例1、水平面上有一质量为51kg的小车D，其上有一 定滑轮C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量为 m1=5kg和m2=4kg的物体A 和B。其中物体A在小车的 水平面上，物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如 图所示。各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作 用在小车上，才能使物体A与小车D之间无相对滑动。 （滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
2. F 是作用在质点上各力的矢量和。 3. 在一般情况下力F 是一个变力
常见的几中变力形式：
F = F ( x ) = - kx F = F (t ) F = F ( v ) = - kv
弹性力 打击力 阻尼力
4. 要注意定律的矢量性。 5. 牛顿第二定律的投影形式： 直角坐标系中 自然坐标系中
自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说“让牛顿降生吧”， 一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了， 上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”， 就恢复到现在这个样子。
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，
建立了动力学三大定律和万有引力定律。
其实，没有后者，就不能充分显示前者
的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推
第一定律Nawton first law（惯性定律）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
第二定律
宏观低速运动中 视为常量 m dP d F＝ (mv ) ma ＝ dt dt
注意
1. 上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量 都是同一时刻的物理量。
上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
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略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
§11-3 质点的运动微分方程
将动力学基本方程 maF表示为微分形式的方程， 称为质点的运动微分方程。
质点运动微分方程的矢量形式
质点动力学第二定律
maF
m
d
2
r
dt 2
Fi
1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
md2x dt2
Fix;
d2y
d2z
md2tFiy;md2tFiz
式中，x x (t)y ; y (t)z; z(t)为质点直角坐标 形式的运动方程
力的作用是改变物体机械运动的原因，动力学就 是从因果关系上论述物体的机械运动。机械运动变 化是力对物体作用的结果。
在静力学、运动学两篇中曾讨论过： 当作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处于平 衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是静 力学的两个基本任务；
不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观 点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。
⑵ 对于相同质量的质点，作用力大，其加速度也大；
⑶ 用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则质量 大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。
质量是质点惯性的度量。
§11-2 动力学的基本定律
重力加速度 g — 在重力作用下得到的加速度
一般取9.80m/s2来自由第二定律得Pmg
物体所受的重力
重力加速度
牛顿三定律
第二定律(力与加速度之间的关系定律)
d
(mv)
F
mdv
F
dt
dt
maF
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力 的大小，加速度的方向与力的方向相同。
当质点上受到多个力的作用时, F 应为此汇交力系 的合力。
§11-2 动力学的基本定律
质点动力学的基本方程
maF
⑴ 质点在力作用下有确定的加速度，使质点运动状态 发生改变;
第三篇 动力学
动力学 引言
本章重点、难点
⒈重点
建建立立质质点点运运动动微微分分方方程程。。 质质点点动动力力学学第第二二类类基基本本问问题题的的解解法法。。
⒉难点
对对质质点点运运动动微微分分方方程程进进行行变变量量变变换换后后再再积积分分 的的方方法法。。
什么是动力学?
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
§11-3 质点的运动微分方程
2、质点运动微分方程在自然轴上的投影
ab 0 aatann
(+)
mat Fi ;
man Fin
m
v2
;
a
Fib 0
b
F
n
m
§11-4 质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力 (需要求导) 第二类问题：已知力求运动 (需要求积分) 混合问题：第一类与第二类问题的混合
§11-4 质点动力学的两类基本问题
一、第一类问题
已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点：
⑴ 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点
⑵ 受力分析,画受力图 ⑶ 进行运动分析 分析质点运动的特征量 ⑷ 建立坐标系，列出适当形式的质点运动微分方程 ⑸ 求解未知量
例11-1 以匀角速度ω转动的曲柄OA=r,AB=l,滑块质量为m,忽
这说明古典力学的应用范围是有限有。如果物体运动的速 度接近光速或研究的是微观离子的运动，则要用相对论力学或 量了力学分析研究。
但在一般的工程技术问题中，物体大多是宏观物体，且速 度远小于光束，所以用以牛顿运动定律为基础的古典力学的理 论来解决，可以得到足够精确的结果。
本章根据牛顿基本定律得出质点动力学的基本方程，运动 微积分方法，解决单个质点的动力学的两个基本问题。
力的单位：N（牛顿）
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第三定律(作用与反作用定律) 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方
向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体 之上。
既适用于平衡的物体，也适用于任何运动的物体。 惯性参考系：三个定律均适用的参考系
在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相 对于地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系。
航空航天器 的姿态控制
第十一章 动力学的基本方程
本章内容及分析思路
根据动 力学基 本定律
质点动力 学的基本
方程
求解质点 的动力学
问题
第11章 质点动力学的基本方程
11.1 导学 11.2 动力学的基本定律 11.3 质点的运动微分方程 11.4 质点动力学的两类基本问题
§11-1 导学
以牛顿运动定律为基础的动力学称为牛顿力学或古典力学。 牛顿定律是以实验为根据的，它只适用于某些参考系。凡是牛 顿定律适用的参考系称为惯性参考系。相对于惯性参考系静止 或作匀速直线参考系都是惯性参考系。科学技术的进一步发展 表明，只有宏观物体的速度远小于光速时，古典力学才是正确 的。