圆的对称性

圆的对称性 关键问答 ①在同圆或等圆中，假设两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都具有什么关系？

②弧、弦、圆心角之间的相等关系成立的前提是什么？ 1.①以下命题中正确的有( )

(1)相等的圆心角所对的弧相等；(2)圆是中心对称图形；(3)长度相等的两条弧是等弧；(4)圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图3－2－1，AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE的度数是( )

图3－2－1 A．40° B．60° C．80° D．120°

3．②如图3－2－2，ABD︵＝BDC︵，假定AB＝3，那么CD＝________．

图3－2－2 命题点 1 应用圆的对称性解题 [热度：81%] 4.③如图3－2－3所示，三个大小不同的圆的圆心都为O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，

那么图中阴影局部的面积为________cm2.

图3－2－3 方法点拨 ③求解不规那么图形的面积，解题的关键是将不规那么图形转化为规那么图形. 5．学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在下面种植三种不同的花，如图3－2－4，你以为契合设计要求的图案是________．(将一切契合设计要求的图案的序号都填上)

图3－2－4 命题点 2 圆心角、弧、弦之间的关系 [热度：74%] 6.④如图3－2－5，在⊙O中，AB＝2CD，那么( )

图3－2－5

A.AB︵>2CD︵ B.AB︵<2CD︵

C.AB︵＝2CD︵ D.AB︵与2CD︵的大小关系不能确定

易错警示 ④留意弧与弦的对应关系. 7．如图3－2－6，C，D为半圆的三等分点，那么以下说法正确的有( ) 图3－2－6

①AD︵＝CD︵＝BC︵；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

8．如图3－2－7，在三个等圆上各有一条劣弧：AB︵，CD︵，EF︵，假设AB︵＋CD︵＝EF︵，

那么AB＋CD与EF的大小关系是( )

图3－2－7 A．AB＋CD＝EF B．AB＋CD＜EF C．AB＋CD＞EF D．大小关系不确定 命题点 3 应用圆心角、弧、弦之间的关系停止计算或证明 [热度：100%] 9.⑤如图3－2－8，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，假定BC＝CD＝DA＝4

cm，那么⊙O的周长为( )

图3－2－8 A．5π cm B．6π cm C．8π cm D．9π cm 解题打破 ⑤应用同圆中，等弦所对的圆心角相等，再结合圆的性质，即可处置. 10.⑥⑦形如半圆的量角器的直径为4，把它放在如图3－2－9所示的平面直角坐标系中(量 角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，衔接60°和120°刻度线的端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，那么点A的坐标为( )

图3－2－9 A．(－1，3) B．(0，3) C．(3，0) D．(1，3) 方法点拨 ⑥留意坐标、线段长度、角度三者之间的相互转化． 拓展探求 ⑦假设将条件〝衔接60°和120°刻度线的端点〞改为〝衔接45°和135°刻度线的端点〞，那么结果又是多少？

11．如图3－2－10，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点．假定ABD︵的度数是150°，

∠A＝65°，∠D＝60°，那么BC︵的度数是( ) 图3－2－10 A．25° B．40° C．50° D．55° 12．半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，那么∠BAC的度数是________．

13.⑧⑨2021·牡丹江如图3－2－11，在⊙O中，AC︵＝ CB︵，CD⊥OA于点D，CE⊥OB

于点E，求证：AD＝BE.

图3－2－11 解题打破 ⑧衔接OC，你能失掉OD＝OE吗？ 方法点拨 ⑨证明两条线段相等的方法：(1)证明三角形全等；(2)证明等腰三角形；(3)应用相等线段的和(或差)证明.

14.如图3－2－12，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点． (1)衔接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD； (2)⑩假定P是圆周上异于六等分点的动点，衔接PB，PD，PF，写出这三条线段长度的

数量关系(不用说明理由)． 图3－2－12 易错警示 ⑩需思索点P的位置状况. 15．：如图3－2－13，P为⊙O的直径AB上的一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB.

图3－2－13 求证：(1)CD＝EF；

(2)CE︵＝DF︵. 16．⑪：如图3－2－14，点A是半圆上的一个三等分点，B是AN︵的中点，P是直径

MN上一动点，⊙O的半径为1，那么AP＋BP的最小值为________．

图3－2－14 解题打破 ⑪(1)如何将两线段之和最小的效果转化为〝两点之间线段最短〞的效果？(2)如何计算两点之间的距离？

17．如图3－2－15，A，B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是劣弧AB的中点． (1)试判别四边形OACB的外形，并说明理由； (2)延伸OA至点P，使得AP＝OA，衔接PC，假定圆O的半径R＝2，求PC的长． 图3－2－15

18.⑫如图3－2－16，∠AOB＝90°，C，D是AB︵的三等分点，衔接AB与OC，OD区

分交于点E，F.求证：AE＝BF＝CD.

图3－2－16 解题打破 ⑫衔接AC，BD，先证明AC＝AE，BD＝BF，再结合AC＝CD＝BD即可处置效果.

详解详析 1．C 2．B [解析] ∵D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°，∴∠AOE＝60°.应选B.

3．3 [解析] ∵ABD︵＝BDC︵，∴ABD︵－BD︵＝BDC︵－BD︵，即AB︵＝CD︵，∴CD＝AB＝3.

4．π [解析] 依据圆的对称性可得图中阴影局部的面积正好是大圆面积的14，

故阴影局部的面积为14π(4÷2)2＝π(cm2)．

5．②③④ [解析] ②和③都是先把圆三等分，然后依据圆的旋转不变性，在每一局部外做了相反的图形；④是把圆六等分，每一种占其中的2份．故②③④契合要求．

6．A [解析] 如图，把2CD︵作出来，变成一段弧，然后比拟2CD︵与AB︵的大小．

作DE︵＝CD︵，那么CE︵＝2CD︵.

∵在△CDE中， CD＋DE>CE， ∴2CD＞CE. ∵AB＝2CD，∴AB＞CE，

∴AB︵＞CE︵，即AB︵>2CD︵.

7．A [解析] ∵C，D为半圆的三等分点，

∴AD︵＝CD︵＝BC︵.

依据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，等弧所对的弦相等知AD＝CD＝BC，∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°.

又∵AO＝OD＝OC＝OB， ∴△AOD≌△COD≌△COB， ∴四种说法都正确．应选A.

8．C [解析] 在EF︵上取一点M，使EM︵＝AB︵，那么FM︵＝CD︵，∴AB＝EM，CD＝FM.

在△MEF中，FM＋EM ＞EF，∴AB＋CD＞EF.

9．C [解析] 衔接OD，OC. ∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4 cm，

∴DA︵＝CD︵＝BC︵， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°. 又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4 cm， ∴⊙O的周长＝2×4π＝8π(cm)． 10．B [解析] 衔接OQ，OP，那么∠POQ＝120°－60°＝60°.又∵OP＝OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ＝OP＝OQ＝12×4＝2，∠OPQ＝∠OQP＝60°.又∵∠QAO＝90°，∴AQ＝OQcos60°＝1.在Rt△AOQ中，由勾股定理可得OA＝22－12＝3，∴点A的坐标为()0，3.应选B.

11．B [解析] 衔接OB，OC. ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形． ∵∠A＝65°，∠D＝60°， ∴∠1＝180°－2∠A＝180°－2×65°＝50°，∠2＝180°－2∠D＝180°－2×60°＝60°.

∵ABD︵的度数是150°，∴∠AOD＝150°， ∴∠3＝∠AOD－∠1－∠2＝150°－50°－60°＝40°，

即BC︵的度数是40°. 12．105°或15° [解析] 易得∠OAC，∠OAB的度数，那么∠BAC的度数应为∠OAC与∠OAB度数的和或差．

如图，衔接OC，OA，OB. ∵OC＝OA＝AC＝5， ∴△OAC是等边三角形，∴∠OAC＝60°. ∵OA＝OB＝5，AB＝52， ∴OA2＋OB2＝50＝AB2， ∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°. 点C的位置有两种状况，如图①， ∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝60°＋45°＝105°； 如图②，∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝60°－45°＝15°.