人教版高中数学B版配套教学设计必修第一册第四章最新完整版

4.2.1 对数运算教学课时：第1课时教学目标：1.通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性，理解对数的概念，及常用对数和自然对数；2.通过观察分析得出了解对数运算与指数运算互逆关系，掌握对数式与指数式的互化，理解对数的性质；3.通过教学培养学生类比、分析、转化、抽象概括能力，提高理解和运用数学符号的能力．教学重点：引入对数的定义，熟练掌握指数式与对数式的互化．教学难点：理解对数的概念和性质．教学过程：一、情境与问题请学生根据所学的指数函数的知识完成下表：（表格是开放性的，学生可以填写自己认为正确的数字）观察学生填表，教师再给出示范：尝试与发现：（1）若1232x =，则x = ；（解答：5-）（2）若23x =，则x = ？；（教师引导学生观察指数函数的图像寻找、估计方程中x 的大小）（3）在函数xy a =（0a >且1a ≠）中，我们将幂指数x 叫做以a 为底y 的对数.因此，（1）中5-是以2为底132的对数，那么，（2）中x 是以2为底3的对数.思考2: 满足23x=的x 的值，我们用2log 3表示，即2log 3x =，并叫做“以2为底3的对数”.那么满足216x=，48x=的x 的值可分别怎样表示？思考3: 一般地，如果xa N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做什么？怎样表示？【设计意图】回顾指数函数的概念，根据指数函数的图像和性质，列表研究方程中未知数的各种情形，引入对数的概念，激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．二、新课讲授 1.对数的定义一般地，如果ba N =)1,0(≠>a a ，那么数b 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作：log a N ，即log a b N =，其中，a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式思考4：（1）在对数log a N 中N 有范围限定吗? 为什么？（2）log (2)a -、2log 0有没有意义？说明：（1）注意底数的限制0>a ，且1≠a ；（2）负数和零没有对数；（3）注意对数的书写格式．【设计意图】正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 2.对数式与指数式的互化N a x= ⇔ x N a =log指数式⇔对数式幂底数 ← a →对数底数指数 ← x → 对数幂← N → 真数我们可以由指数式得到对数式，也可以由对数式得到指数式：把下列指数式改写成对数式：2749=，051=，12193-=把下列对数式改写成指数式：21log 38=-，43log 82= 3.深入理解对数的定义（1）对数式书写的格式，体会()log 1a x +与log 1a x +的区别；（2）对“log ”的理解：就像我们在初中阶段引入“ ，sin ”等数学符号一样，是一个新的数学运算符号；（3）回想：5的数学含义： ①它表示一个非负实数；②它的平方等于5；同理，2log 3这一数学符号的含义：① 它表示一个实数；② 以2为底，这个实数做指数所得的幂的值恰好为3.同理，log a N 这一数学符号的含义：① 它表示一个实数；② 以a 为底，这个实数做指数所得的幂的值恰好为N . （4）实质上，对数表达式是指数式的另一种表达形式. 4.两个重要对数思考5: 满足10xN =， e xN =（其中e=2.7182818459045…）中的x 的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？说明：（1）常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；（2）自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．求值：lg 0.01= ；lg100= ；ln10= .【设计意图】学会表达特殊底的对数，并感受对数的大小，为以后对数运算的准确作好准备．三、探究活动、感悟数学 1.求下列各式的值：（1）3log 1= （2）0.5log 1= （3）ln1=发现结论：1的对数是零：01log =a 2.求下列各式的值：（1）3log 3= （2）0.3log 0.3= （3）ln e =发现结论：底数的对数是1：1log =a a 3.求下列各式的值：（1）43log 3= （2）20.9log 0.9=（3）8ln e =发现结论：对数恒等式：n a na =log4.求下列各式的值：（1）2log 32=（2）7log 0.67= （3）0.4log 890.4=发现结论：对数恒等式：N a Na =log【设计意图】让学生独立思考完成对数性质的研究，归纳总结：（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：n a na =log ；（5）对数恒等式：N aNa =log ．四、课堂练习1.计算下列各式的值：（1）2log2= （2）0.5log 112⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）43log 81= （4）5321log log 1log 33235-+=（5）()21log21-+=2.求下列各式中x 的值（1）()22log 20x -= （2）()()2221log3211xx x -+-=（3）()234log log log 0x =⎡⎤⎣⎦思考6：生物机体内碳14大约以每年0.012%衰减，湖南长沙马王堆文物出土时碳14的残余量约是原始含量的76.7%，试推测马王堆古墓距今有多少年？【设计意图】建立对数模型，解决实际问题，让整节课从问题开始，又回到问题解决中去，使学生在课堂上不断思考新的问题，学会对数学概念展开学习的方法.五、对数的文化意义对数发明是17世纪数学史上的重大事件，为对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。

伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。

布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。

对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？我们将会发现，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。

这些都非常有趣。

在下一节课我们还将一起来探究对数的运算。

六、课堂小结1.引入对数的必要性，关键是对数定义；2.指数与对数的关系，重点指数式与对数式互换；3.对数的基本性质，学会求值4.本节课知识导图：六、布置作业1.阅读课本第17页拓展阅读“对数发明起源的简介”和第18页拓展阅读“素数个数与对数” ；2.课本第19页习题B.4.2.2 对数运算法则教学课时：第2课时教学目标：1.体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，掌握对数的运算法则，并会简单应用；2.理解用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，掌握对数的综合运算；3.了解对数的发现历史以及对简化运算的作用，经历数学运算法则的发现、论证、提炼过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．教学难点：对数的运算法则和换底公式的熟练运用．教学过程：一、情境与问题回顾：根据所学的指数函数的知识完成下表：（上节课的表格）学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算法则，并引导学生类比、推导其他运算法则.组织学生论证猜想，具体要求：（1）请各组同学选一个猜想的命题，判断它的正确性，并给出证明（2）各组派一名代表的同学汇报【设计意图】体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，是学生经历数学运算法则的发现、论证、提炼的过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养．二、对数的运算法则探究一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+ 证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =qN a =所以，M N ⋅=p q a a ⋅p qa+=()log a M N p q ⇒⋅=+即证得 ()log log log a a a M N M N ⋅=+性质一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+ 文字语言：积的对数等于对数的和，即同底的对数相加，底不变，真数相乘. 错误认识：“某同学认为：()log loglog a a a M N M N ⋅=⋅”，请问错在哪里？证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pMa =qN a =文字语言：商的对数等于对数的差同底的对数相减，底不变，真数相除. 探究三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =证明：设log ,a M p =由对数的定义可以得： ,pM a =所以，n npM a=log n a M np ⇒=即证得 log log na a M n M =性质三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =文字语言：一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.错误认识：“某同学认为：log log n na a M M =（）”，请问错在哪里？总之，对数的运算法则：()0,100a a M N >≠>>，，log a N 【设计意图】通过小组讨论、论证猜想、小组汇报等环节，使学生个科学的态度研究数学问题和数学法则，引导学生用自然语言叙述上面的三个运算法则，通过展示错误的运算，提醒学生正确掌握对数的运算性质．三、课堂练习题型一对数运算性质的应用练习：求下列各式的值（3）22(lg 5)2lg 2(lg 2)+-说明：（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”……；（2）有时可逆向运用公式；（3）真数的取值必须是(0,＋∞)；（4）注意正确理解对数的运算法则.【设计意图】在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算法则，在练习中反馈学生对对数运算法则掌握的情况，巩固所学知识．思考2：（1）对数运算性质的实质是什么？（2）运用对数运算性质时应注意什么？对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．运算性质只有当M ＞0，N ＞0，a ＞0且a ≠1时才有意义．思考3：已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg5≈0.699，试计算：lg5lg 2=+lg5lg 2=- lg5lg 2=⨯ lg5lg 2=÷ 2log 5=问题：对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？【设计意图】深入研究对数的运算法则，针对同底的对数运算与不同底的对数运算进行分类讨论，启发学生将不同底对数转化为同底的对数运算的想法，引出换底公式.四、换底公式证明：设log ,a N p =由对数的定义可以得：,p N a =注意：（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行计算、化简或证明；（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数.重要公式：换底公式常见的两种变形：（1）log log 1a b b a ⋅=，表示真数与底数互换，所得对数值与原对数值互为倒数；（2）log log n mN N mMM n=，表示对数的底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数的m n倍. 【设计意图】学生根据对数的定义推导对数的换底公式，了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．五、强化练习题型二换底公式的应用求值：()()3948log 2+log 2log 3+log 3⋅ 练习：求下列各式的值（2）248525125log 125log 25log 5)(log 2log 4log 8)++++（拓展：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ；（2）log a ．题型三对数的综合应用求值：（1）2102,103,100;aba b-==已知求【设计意图】利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．六、课堂小结1. 对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：（1）“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数；（2）“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理．选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)在计算对数值时经常用到．七、布置作业课本第23页练习A第1.2.3题；B第1—6题.4.2.3 对数函数的性质与图象教学课时：第1课时教学目标：1.通过对运算与函数概念的对比引出对数函数概念，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题过程中的成功感受，激发学习兴趣；2.从具体函数入手研究函数图象性质并提炼总结得到对数函数的图象和性质，培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神；3.初步应用对数函数的单调性解决问题，了解对数模型在生活中的应用，提升数学运算和数学建模等核心素养．教学重点：对数函数的概念、图象和性质．教学难点：底数a 对对数函数的图象和性质的影响．教学过程：一、情境与问题思考1：什么是函数？什么是运算？函数与运算具有什么关系？思考2：变量x 与y 之间在对数运算的作用下是否可以建立函数关系？为什么? 我们如何给对数函数下个定义呢？在给出定义过程中需要解决的问题：1.在对数运算的作用下形成正实数集到实数集的一一对应关系。

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人教版指数-【新教材】(2019)高中数学必修第一册教育课件

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一
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新高考新教材
高中数第一册第四章指数函数与对数函数

《2.2.2不等式的解集》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人教B版2019必修第一册

《2.2.2 不等式的解集》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 学生能够理解不等式的解集的概念和定义。

2. 学生能够掌握不等式解集的求法，并能够运用不等式解集解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

二、教学重难点1. 教学重点：不等式解集的概念和求法。

2. 教学难点：不等式解集在实际问题中的应用。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图板等。

2. 准备教学材料：不等式题目、实际应用案例等。

3. 设计教学流程：引入不等式解集的概念，讲解不等式解集的求法，通过实际应用案例进行讲解和练习。

4. 准备学生活动：组织学生分组讨论，交流不等式解集的求法，并回答教师的问题。

5. 准备评估方法：设计练习题和实际应用案例，用于评估学生对不等式解集的理解和应用能力。

四、教学过程：本节课是高中数学课程《2.2.2 不等式的解集》教学设计方案（第一课时），以下是具体的教学过程：1. 导入新课：首先，我会向学生介绍本节课的主题——不等式的解集，并解释它在数学中的重要性和应用。

通过简单的例子，让学生了解不等式的基本概念和性质，为接下来的学习打下基础。

2. 展示教学目标：明确告诉学生本节课的目标是掌握不等式的解集的求法，并能够解决相关问题。

这样可以让学生在学习过程中有明确的方向。

3. 讲解不等式的解集求法：这是本节课的重点。

我将通过具体的例子，引导学生了解如何求不等式的解集。

为了让学生更好地理解，我会结合图形和数轴，让学生直观地看到不等式的解集位置。

同时，我也会介绍一些常见的不等式类型，如一次不等式、二次不等式等，并讲解它们的解法。

4. 课堂互动：鼓励学生提出自己的问题和观点，与大家共同讨论。

通过互动，可以激发学生的学习兴趣，加深学生对知识点的理解。

5. 练习与反馈：提供一些练习题，让学生动手实践，检验学生对知识的掌握程度。

根据学生的反馈，我会及时调整教学进度和教学方法，确保所有学生都能跟上教学节奏。

【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：第一章章末检测B(含答案解析)

章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合A 、B 、C 满足A∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( ) A ．ACB ．C AC ．A ⊆CD ．C ⊆A2．已知函数y ＝1－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∩(－12，1]D ．(－∞，－12)∪(－12，1]3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P*Q ＝{z|z ＝ab(a ＋b)，a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P*Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C ．12D ．184．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x→x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．45．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法6．设全集U ＝{(x ，y)|x ，y ∈R}，集合M ＝{(x ，y)|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y)|y≠x ＋1}，则∁U (M ∪N)等于( )A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{(x ，y)|y ＝x ＋1}7．已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在(－∞，0)上是增函数，则f(－34)与f(a 2－a ＋1)的大小关系为( )A ．f(－34)<f(a 2－a ＋1)B ．f(－34)>f(a 2－a ＋1)C ．f(－34)≤f(a 2－a ＋1)D ．f(－34)≥f(a 2－a ＋1)8．函数f(x)＝cx 2x ＋3(x≠－32)，满足f[f(x)]＝x ，则常数c 等于( )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．5或－39．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－310．已知函数f(x)＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( ) A ．f(1)≥25 B ．f(1)＝25 C ．f(1)≤25D ．f(1)>2511．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x≥0，x ＋6， x<0则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)12．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 (x≥2)2x (x<2)，已知f(x 0)＝8，则x 0＝________.14．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x 2，则f(7)＝________.15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a≥ba ，a<b ，则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域为________．16．函数f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f(x 3)＝12f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)，则f(13)＋f(18)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x|x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U}，求q 的值及∁U A.18．(12分)讨论函数f(x)＝x ＋ax (a>0)的单调区间．19．(12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(xy)＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式f(x ＋3)－f(1x )<2.20．(12分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20， 0<t<25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t≤30，t ∈N.该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t≤30，t ∈N)．(1)求这种商品的日销售金额的解析式；(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？21．(12分)已知13≤a≤1，若函数f(x)＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)在区间[13，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．22．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：①当x∈R时，其最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立；②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立．章末检测(B)1．C [∵A∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]2．D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠－12且x≠2.故选D.] 3．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P*Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]4．D [∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1. 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝4.]5．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab)2，ab 为正整数，所以(ab)2属于M ，即a 2、b 2的积属于M.故选C.]6．B [集合M 表示直线y ＝x ＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N 表示直线y ＝x ＋1外的点，所以M ∪N 表示直线y ＝x ＋1外的点及两条射线，∁U (M ∪N)中的元素就是点(2,3)．]7．D [设x 1>x 2>0，则－x 1<－x 2<0， ∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(－x 1)<f(－x 2)，又∵f(x)是R 上的偶函数， ∴f(x 1)<f(x 2)，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数．又∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∴f(a 2－a ＋1)≤f(34)＝f(－34)．]8．B [cf(x)2f(x)＋3＝x ，f(x)＝3x c －2x ＝cx2x ＋3，得c ＝－3.]9．D [因为奇函数f(x)在x ＝0处有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.∴f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]10．A [函数f(x)的增区间为[m 8，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以m8≤－2，m≤－16，f(1)＝4－m ＋5≥25.]11．A [易知f(1)＝3，则不等式f(x)>f(1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x ＋6>3，解得－3<x<1或x>3.]12．B [由f(x)是偶函数，得f(x)关于y 轴对称，其图象可以用下图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.] 13. 6解析 ∵当x≥2时，f(x)≥f(2)＝6，当x<2时，f(x)<f(2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6. 14．－2解析 ∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.15．(－∞，1]解析由题意知x ⊙(2－x)表示x 与2－x 两者中的较小者，借助y ＝x 与y ＝2－x 的图象，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．16.34解析由题意得f(1)＝1－f(0)＝1， f(13)＝12f(1)＝12，f(12)＝1－f(12)，即f(12)＝12，由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当13≤x≤12时，f(x)＝12，则f(38)＝12，又f(13×38)＝12f(38)＝14，即f(18)＝14.因此f(13)＋f(18)＝34.17．解设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6. 当q ＝4时，A ＝{x|x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}， ∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f(x 2)－f(x 1)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－a x 1x 2.当0<x 1<x 2≤a 时，有0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a<0.∴f(x 2)－f(x 1)<0，即f(x)在(0，a)上是减函数．当a ≤x 1<x 2时，有x 1x 2>a ，∴x 1x 2－a>0. ∴f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x)在[a ，＋∞)上是增函数．∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－a]上是增函数，在[－a ，0)上是减函数．综上所述，f(x)在区间(－∞，－a]，[a ，＋∞)上为增函数，在[－a ，0)，(0，a]上为减函数．19．解 (1)令x ＝y≠0，则f(1)＝0. (2)令x ＝36，y ＝6，则f(366)＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，故原不等式为f(x ＋3)－f(1x )<f(36)，即f[x(x ＋3)]<f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01x >00<x(x ＋3)<36⇒0<x<153－32. 20．解 (1)设日销售金额为y(元)，则y ＝p·Q.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)(－t ＋100)(－t ＋40)＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800， 0<t<25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000， 25≤t≤30，t ∈N. (2)由(1)知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800t 2－140t ＋4 000＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900， 0<t<25，t ∈N ，(t －70)2－900， 25≤t≤30，t ∈N. 当0<t<25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900(元)；当25≤t≤30，t ∈N ，t ＝25时，y max ＝1 125(元)．由1 125>900，知y max ＝1 125(元)，且第25天，日销售额最大．21．解 (1)∵13≤a≤1，∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1a ∈[1,3]．∴f(x)有最小值N(a)＝1－1a.当2≤1a ≤3时，a ∈[13，12]，f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a －1；当1≤1a <2时，a ∈(12，1]，f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a －5；∴g(a)＝⎩⎨⎧a －2＋1a (13≤a≤12)，9a －6＋1a (12<a≤1).(2)设13≤a 1<a 2≤12，则g(a 1)－g(a 2)＝(a 1－a 2)(1－1a 1a 2)>0， ∴g(a 1)>g(a 2)，∴g(a)在[13，12]上是减函数．设12<a 1<a 2≤1，则g(a 1)－g(a 2)＝(a 1－a 2)(9－1a 1a 2)<0，∴g(a 1)<g(a 2)， ∴g(a)在(12，1]上是增函数．∴当a ＝12时，g(a)有最小值12.22．解 (1)在②中令x ＝1，有1≤f(1)≤1，故f(1)＝1.(2)由①知二次函数的开口向上且关于x ＝－1对称，故可设此二次函数为f(x)＝a(x ＋1)2(a>0)，又由f(1)＝1代入求得a ＝14，故f(x)＝14(x ＋1)2.(3)假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m]，就有f(x ＋t)≤x. 取x ＝1，有f(t ＋1)≤1，即14(t ＋2)2≤1，解得－4≤t≤0.对固定的t ∈[－4,0]，取x ＝m ，有f(t ＋m)≤m ，即14(t ＋m ＋1)2≤m ，化简得m 2＋2(t －1)m ＋(t 2＋2t ＋1)≤0，解得1－t －－4t ≤m≤1－t ＋－4t ，故m≤1－t ＋－4t ≤1－(－4)＋－4×(－4)＝9， t ＝－4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x －4)－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －1)(x －9)≤0，所以m 的最大值为9.。

新教材人教版高中数学必修第一册 1-4-2充要条件教学课件

[解析]
第十四页，共十八页。
（四）充要条件的探求与证明
【类题通法】探求充要条件的方法
(1) 探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，
即从充分性和必要性两方面说明．
(2) 将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的
例 1.
【解析】
【思维引导】分两个步骤进行判断: ①判断充分性p⇒q;
②判断必要性q⇒p.
第九页，共十八页。
（三）充要条件的判断
【类题通法】
1. 定义法
充分、必要条件的判断方法
若p⇒q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．若q⇒p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件．若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件。若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
第五页，共十八页。
（二）充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的_充__分__必___要__条__件____，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p 的___充_要__条__件_____．概括地说，如果________，那么p与q互为充要条件．
新教材人教版高中数学必修第一册 1.4.2充要条件教学课件
科目：数学适用版本：新教材人教版适用范围：【教师教学】
第一章集合与常用逻辑用语
1.4充分条件与必要条件第2课时
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高中数学人教B版2019必修第一册教案方程组的解集

方程组的解集【教学过程】一、新知初探1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．3．二元一（二）次方程组解集的表示方法为{（x ，y ）|（a ，b ），…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为{（x ，y ，z ）|（a ，b ，c ），…}，其中a ，b ，c 为确定的实数．二、初试身手1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是（）A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4答案：C解析：⎩⎨⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2（1－x ）＝4，去括号得，x －2＋2x ＝4．故选C ．2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为（）A ．{（x ，y ）|（2，3）}B ．{（x ，y ）|（3，2）}C ．{（x ，y ）|（－2，3）}D ．{（x ，y ）|（－2，－3）}答案：A解析：⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{（x ，y ）|（2，3）}，故选A ．3．已知A ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝5}，B ＝{（x ，y ）|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝（） A ．{（x ，y ）|（1，4）} B ．{（x ，y ）|（2，3）} C ．{（x ，y ）|（3，2）} D ．{（x ，y ）|（4，1）}答案：C解析：根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{（x ，y ）|（3，2）}．4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．答案：－1解析：两式相减可得结果x －y ＝－1．三、合作探究类型1：二元一次方程组的解集例1：求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.②（2）⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.②解：（1）由①，得y ＝4－x ．③ 把③代入②，得2x －3（4－x ）＝3．解这个方程，得x ＝3．把x ＝3代入③，得y ＝1．所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（3，1）}．（2）法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2．把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1．所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（2，1）}．法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1．把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（2，1）}．规律方法求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．跟踪训练1．求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.②（2）⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②解：（1）由②，得2y ＝3x －5．③把③代入①，得4x ＋4（3x －5）＝12，解得x ＝2．把x ＝2代入③，得y ＝12．所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12．（2）由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16．把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559．所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559．类型2：三元一次方程组的解集例2：求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③（2）⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③解：（1）法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎨⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（8，2，2）}．法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（8，2，2）}．法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤ 联立③⑤，得⎩⎨⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（8，2，2）}．（2）①×2－②，得x ＋8z ＝11，④①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤ 联立④⑤，得⎩⎨⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎨⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（3，2，1）}．规律方法求三元一次方程组解集的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解．跟踪训练2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3，③的解集．解：①＋②＋③，得2（x ＋y ＋z ）＝10，即x ＋y ＋z ＝5．④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（－1，2，4）}．类型3：待定系数法求函数的解析式例3：已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点（－1，2），（2，8），（5，158），求这个二次函数的解析式．思路点拨：把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12．因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12．规律方法解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式．跟踪训练3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点（1，4），（3，－20），（－1，－12），求这个二次函数的解析式．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1．类型4：二元二次方程组的解集例4：求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②（2）⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.②解：（1）由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0．解得x 1＝2，x 2＝6．把x 1＝2代入③，得y 1＝6．把x 2＝6代入③，得y 2＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（2，6），（6，2）}．（2）由①得（x －2y ）2＋（x －2y ）－2＝0，解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2，由⎩⎨⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.由⎩⎨⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪3，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178．规律方法求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．跟踪训练4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．解：∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎨⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎨⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32．类型5：方程组的实际应用例5：某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，从乙地到甲地需要2.3h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30km ，20km ，40km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？思路点拨：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h ．解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km 和z km ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km ．规律方法根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题．跟踪训练5．在中国古算术《张丘建算经》（约成书于公元5世纪）里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？（三种鸡都买）解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.② ②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x ．因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4，8，12．若x ＝4，则y ＝18，z ＝78；若x ＝8，则y ＝11，z ＝81；若x ＝12，则y ＝4，z ＝84．故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．四、课堂小结1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式．五、当堂达标1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是（）A ．{（x ，y ）|（1，2）}B ．{（x ，y ）|（1，0）}C ．{（x ，y ）|（－1，2）}D ．{（x ，y ）|（1，－2）} 答案：A解析：由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{（x ，y ）|（1，2）}．2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取（）A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对答案：B解析：根据系数特点，先消去y 最简便，故选B ．3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差（）A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升答案：B解析：设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎨⎧a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B ．4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________．答案：错误!解析：由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1，故可组成方程组为⎩⎨⎧xy ＝6，x －y ＝－1（答案不唯一）．。

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。

新教材4.1.1n次方根与分数指数幂教学设计（1）-人教A版高中数学必修第一册

第四章指数函数与对数函数教学过程教学设计意图核心素养目标4.1.1n次方根与分数指数幕本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幕》第1课时。

从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。

体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。

课程目标学科素养1.理解并掌握根式的概念、分数指数蓦的概念；2.理解根式与分数指数幕的互化；掌握有理数指数蓦的运算性质；3.培养勇于探索的精神,体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。

a.数学抽象：根式的概念；b.逻辑推理：根式与分数指数幕的互化；C.数学运算：根式的化简；d.直观想象：指数幕的运算法则；e.数学建模：将指数慕的运算性质推广到有理数的范围；重点：根式的概念、分数指数幕的概念;难点：根式与分数指数蓦的互化；有理数指数蓦的运算性质;多媒体(一)、温故知新1 .思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个.()⑵当 n£N*时，2.()(3>\/(兀一4)2=兀一4.()[答案]⑴"⑵X⑶X4(—2. ^16的运算结果是()A. 2 B. —2C±2 D. ±^24— 4i —A [716=7?=2.]3. 秫是实数，则下列式子中可能没有意义的是()C [当所<0时，饥没有意义，其余各式均有意义.]4.若？ = 一5,则 x=.—y[5 [若尸=—5,则 x=\]—5= — y[5.](二)、探索新知探究1 "次方根的概念问题例1 (1)27的立方根是； 16的4次方根是(2) 已知 *6=2 016,则工=.(3) 若折与有意义，求实数x 的取值范围为.(1) 3； ±2 (2)土呀2 016 (3)[-3, +»]解析：(1)27的立方根是3； 16的4次方根是±2.(2) 因为 *6=2 016,所以 x=±»2 016.(3) 要使折有有意义，贝懦要x+3>0,即x>-3.所以实数x 的取值范围是[—3, +oo).[规律方法]n 次方根的个数及符号的确定1. n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；2. n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.跟踪训练1.已知KR, neN*,给出下列4个式子：通过温故知新，帮助学生在学习了开平方和开立方概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。

高中数学北师大版(新)必修第一册第四章对数运算与对数函数学案换底公式

2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式，得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义，需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）．（２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．题型三对数函数的图象问题例３（１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】（１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。

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