第四章 习题课

第四章 习题课

这一章介绍的几个基本定理对微分方程理论、考察描述物理问题的完整性以及近似计算都是非常有意义的。

定理1.4.1 （毕卡定理）设有一阶微分方程的初值问题（Cauchy 问题）

(),,

dy f

x y dx

= （4.2.1）

()00y x y = （4.2.2） 其中(),f x y 在矩形域

00:,D x x a y y b -≤-≤ 上连续；对变量y 满足Lipschitz 条件, 则初值问题（4.2.1）（4.2.2）在区间

[]00,I x h x h =+-上有并且只有一个解，其中常数

()(),m i n ,,m a x ,.

x y D

b h a M f

x y

M ∈

⎛⎫

==

⎪

⎝

⎭

而 注意这里给出的存在唯一性定理是局部的，它只肯定了解在区间0x x h -≤上存在性唯一性，而确定此区间大小的数()(),m in ,

m ax ,x y G b h a M f x y M ∈⎛

⎫

⎪⎝⎭

=等于，越

大，h 越小。这是不能令人满意的。因此就有了解的延拓定理：

定理4.3.1 （延拓定理）如果方程（4.3.1）的右端函数(),f x y 在（有界或无界）的区域G 内连续，且关于y 满足局部的Lipschitz 条件，则对于G 内的任意一点()00,x y ，方程（4.3.1）的以()00,x y 为初值的解均可以向左右延拓而得到

最大存在区间为()()()*

,00y x x x αβϕβα=→-→+的饱和解

，且当或时，积

分曲线上的点()()*,x x ϕ将无限接近区域G 的边界.G ∂ 推论 若(),f x y 在区域:,G a x b y <<<+∞

内连续，允许,a b =-∞=+∞，

则方程（4.3.1）的以()00,x y 为初值的饱和解()(),y y x αβ=的存在区间 必属于

下列情形之一：

()()()

()()()1=;

2,00lim .

a b a b x x y x αβαβαβ=<<→+→-=∞

从以上定理可见，微分方程解的存在唯一性与初值密切相关，那么就提出问

题：当初值发生变化时，解如何变化？为此将初值问题

()()00,,dy

f x y dx

y x y

⎧=⎪

⎨⎪=⎩

解写成()00,,y x x y ϕ=，我们有

定理4.4.1 （解对初值的连续依赖定理）假设函数(),f x y 在某个区域G 内连续，且关于y 满足局部Lipschitz 条件（Lipschitz 常数为L ），

()()0000,,,,x y G y x x

y ϕ∈=是方程（4.3.1）满足初始条件00()y x y =的解，它于区间a x b ≤≤上有定义0()a x b ≤≤，那么，对于任给的0,ε>必能找到正数

(),,a b δδε=，使得当

()()22

21010x x y y δ-+-≤ 时，方程（4.3.1）满足条件

11()y x y =的解()11,,y x x y ϕ=在区间

a x

b ≤≤上也有定义，并且

()

()110

0,,,,,x x y x x y a

x b

ϕϕε-<≤≤。 这个定理表明：当初值的变化很小时，初值问题解的变化也很小。这样就有

定理4.4.2 （解对初值的连续性定理）若函数(),f x y G 在区域内连续，且关于y 满足局部Lipschitz 条件，则方程（4.3.1）的解()00,,y x x y ϕ=作为

00,,x x y 的函数，在它的存在范围内是连续的。

进一步我们还有

定理4.4.5 （解对初值的可微性定理）若函数(),f f x y y

∂∂以及

都在区域G 内

连续，则方程（4.3.1）的解()

00,,y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数，在它的存在范围内是连续可微的。

证明 由

f y

∂∂在区域G 内连续，可以推知(),f x y 在G 内关于y 满足局部

Lipschitz 条件。因此，在定理的条件下，解对初值的连续性定理成立，即()

00,,y x x y ϕ=在它的存在范围内关于()00,,x x y 是连续的。下面进一步证明对于函数()

00,,y x x y ϕ=的存在范围内任一点偏导数0

,

,

x

x y ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂存在

且连续。

先证

x ϕ∂∂存在且连续。

设由初值()(

)()0

00000

,,x

x y x y x αα∆≤+∆，为足够小的正数和所确定

的方程的解分别为

()

(

)000

0,,,,y y x x y x x x

y ϕψϕϕ+∆≡≡==和

即

()()0

00

00,,x x x x x y f

y f

dx x dx x ϕϕψ

ψ+∆+

+

==⎰

⎰

和

于是

()()()()()

()00

000

,,,,x x x x

x

x x x x x f

dx f

f

f

dx y

x x dx

x x dx

ψ

ϕ

ψϕψϕψϕϕθψ+∆+∆--=

-

∂+-∂+=-⎰

⎰

⎰

⎰

其中01θ<<。注意到

f y

∂∂及ϕψ和的连续性，我们有