量子力学第二版第六章散射习题答案周世勋

量子力学第二版第六章散射习题答案周世勋

第六章散射

1.粒子受到势能为％）=个的场的散射，求S分波的微分散射截面。

［解］为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第z个分波的相角位移可是表示在犊力场中的矢径波函数&和在没有散射势时的矢径波函数J在 i时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：

£做2等〕用=0

其中人是波函数的径向部分，而

心御⑴汽E

令⑴宁，不难把矢径波动方程化为

(+1) 2 pa

再作变换得

这是一个贝塞尔方程，它的解是

/(r) = AJ p (kr) + BN p (kr) ，(.if 2g

其中"一屮+£+矿 注意到 N”(")在一0时发散，因而当，_0时波函

数

D _Np

不符合波函数的标准条件。所以

必须有B = 0

故

R,=A-Lj r (kr)

现在考虑波函数《在,TS 处的渐近行为，以便和力 在一s 时的渐近行为比较，而求得相角位移叽 由于：

当可很小时，即&

较小时，把上式展开，略去高

r （r ） + -/V ） +

r

次项得到

故 5% 微分散射截面为

又因

严-1 = 2询

f ⑹= ^7-E （2/ + 1）（"吞一

l ）£（cos&） 2ik /.（）

2 pa -沅

兀 2/ + 1 £（cos&）

注意到 、

f

1 x 丄工 斤口八"丿

1 x

斥（COS&）当叶» \/ ZL P t （COS0）当r x

如果取单位半径的球面上的两点来看 贝!| ,厂1,即有

1

工

J2（l-cg 驾恥。心

] 2sin —

2

、E

f ⑹刖=“ I % =咤曲°-do

用4S 就 肝E 2

2

由此可见，粒子能量E 愈小，则。较小的波对微分

散射截面的贡献愈大；势能常数&愈大，微分散 射截面也愈大。

的场的散射，若久 ＞。，求散射截面。

需要考虑S 分波。

其中

处，则有*

而波函数是 2.慢速粒子受到势能为

5 当旷＜" 0,

当广＞

,所以只 x + 。处，方程为7

/ 0 + 1 丿

r~

其中

宀 2“(/-E)

Tr

在八"的情况下,

只故虑S 分波，即心。的情况,

上面两个方程变为

r

其解分别为

当r〉° 时，勺=Bsin(R+ %)

当r

由于在—0时，凡诗有限，但

cosMr >1

A' = 0 x0 = Ashk'r (r < a)

在一处，波函数心及其微商必须连续，因此得出Ashk'u = Bsin 伙d + Q))

A AR R

—k9chk9a一— shka = —k cotga + ^)-— s in 伙a + 4)) a cT a cT 用前式除后式可得

k f CQ\hk f a = k cot(如+4))

因此s分波的辐射截面是

'好1

吕砂也-ka

-7

k-g 可以近似地认为

S 晋 这时有 tghka = tghk^a

z \2

妙3 1

< « )

假如久T",相当于在受到球形无限深势阱散射的 情况，这时由于

・•. Q ）=4兀/

3.只考虑S 分波，求慢速粒子受到势能"2产的 场散射时的散射截面。

［解］当只考虑/=0,即S 分波时，令R 弋, 则x 满足的方程是：

―缪刍=0

当 &TR

Al

当速度较小时，

为了解此方程，作如下代换，令川）=屁（" 由于

/ = ^7r （r ） + l-L/（r ）

e 仍3+牛_存（"-%

可将原方程化为

仍"+纟_彳器护去卜。 即 厂+£_/

（器土+右）=0

为了化简方程，再作变换，令

df _芬犹—df 应1 -(If 力

方程可以化为

注意到

■ ■ ■ =1

£/=A 冋方严座“ ______________________

dr 1

〃貞 dg J2“a 勺)dr J2“a

—籍+冯楊箔牛 咚+丄堂+h

1 辱丿

这是％阶的贝塞尔方程，它的解是

21力d

式中汕表示第一类汉克尔函数，按定义为

=丄一[宀 一 J_p （^]

sin pn 卩

当gvvl 时，几⑷=2"厂（〃 + 1） 当『T8,纟TO 时

当厂很大时,

f

rr

< 2“a

另一方面

R = C sin 伙厂一 °) *( cosQ-°)=常数 sin(&/—q ))

1 kr

2 r rJ r

=常数G

尺=空=常数

r

+冬

/•

硏")

» ------ ・兀 sin

— 2

珂I) 2

-1 (\

22

r - U

X = y/7f(r) = y[7H^\i