高一数学平面向量单元测试卷
人教A版必修四高一数学平面向量单元测试卷人教版.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高一数学平面向量单元测试卷考试时间:120分钟 满分:150分一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1.在平行四边形ABCD 中,,,,d OD c OC b OB a OA ====则下列运算正确的是 ( )0)(0)(0)(0)(=+--=--+=-+-=+++d c b a D d c b a C d c b a B d c b a A2.下面给出的关系式中正确的个数是 ( )3)(2)(1)(0)()5();())(4(;)3(;)2(;00)1(22D C B A b a b a c b a c b a a a a b b a a ⋅≤⋅⋅=⋅=⋅=⋅=⋅3、在四边形ABCD 中,,,,b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线,则四边形ABCD 是:…………………………………………………………………( )(A )梯形 (B )矩形 (C )菱形 (D )正方形 4、两点P (4,-9),Q (-2,3),y 轴与直线PQ 交于M 且MQ PM λ=则λ为:( )(A)31 (B)21(C) 2 (D) 3 5、),4,3(),1,2(==b a 则向量a在向量b 方向上的投影为: ……………………( )(A )52 (B )2 (C )5 (D )106、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++,则点P 与ΔABC 的关系是: ……………………………………………………………( ) A 、P 在ΔABC 内部 B 、P 在ΔABC 外部C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上7、若θ的夹角与,则,,b a b a b a721=+==的余弦值为:………………( )(A )21-(B )21 (C )31(D )以上都不对 8、 ABCD 的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是:( )A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)9、△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则BC AB ⋅的值为:………………( )(A )19(B )-19(C )-18(D )-1410、在ΔABC 中,c AB =,a BC =,b CA =,给出下列命题:①若0>⋅b a ,则ΔABC 为钝角三角形 ②若0=⋅b a , 则ΔABC 为直角三角形 ③若c b b a ⋅=⋅, 则ΔABC 为等腰三角形 ④若0)(=++⋅c b a c ,则ΔABC 为正三角形;其中真命题的个数是:…………………………………………………………( ) A .1 B . 2 C . 3 D .4 二、填空题:(本大题共5小题,每小题4分,共20分).11、在菱形ABCD 中,(AB +AD )·(AB -AD )= 。
高一数学平面向量单元测试题

高一数学平面向量单元测试题一、选择题: 本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,3,2,==⊥b a b a ρρρρ且b a ρρ23+与b a ρρ-λ垂直,则实数λ的值为---------( )A . ;23-B . ;23C . ;23± D . ;12.已知A 、B 、C 三点共线,O 是这条直线外一点,设,=,=,=且存在实数m ,使30ma b c -+=r r r r成立,则点A 分BC 的比为 ------( )A . 31-B . 21- C . 31 D . 213.已知向量(2,2),(4,1)OA OB ==u u u r u u u r ,在x 轴上有一点P ,使AP BP u u u r u u u rg 有最小值,则点P 的坐标为( ) (3,0)A - B .(2,0) C . (3,0) D .(4,0)4.已知向量(6,4),(0,2),,a b OC a b λ===+r r u u u r r r 若点C 在函数sin 12y x π=的图象上,则实数λ的值为( ) A 52 B 32 C 52- D 32-5.在△ABC 中,若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos 2B +cosB +cos (A -C )=1,则 ( )A 、a 、b 、c 等比B 、a 、b 、c 等差C 、a 、c 、b 等比D 、a 、c 、b 等差6.已知函数y =-3cos (2x +π3)+4按向量a →平移后所得图象表示的函数y =f (x )是奇函数,则向量a →可以是( ) A 、(-π6,-4)B 、(-π12,-4) C 、(π6,4) D 、(-π12,4)7.在∆ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ccb A 22cos 2+=,则∆ABC 的形状为( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形8.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,若a +c =2b ,则cot A 2·cot C2=( )A 、-2B 、-3C 、2D 、39.O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则ABC ∆的形状是( ) A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 斜三角形10.已知向量a r ≠e r ,|e r |=1,对任意t ∈R ,恒有|a r -t e r |≥|a r -e r|,则 ( )(A ) a r ⊥e r (B ) a r ⊥(a r -e r ) (C ) e r ⊥(a r -e r ) (D ) (a r +e r )⊥(a r -e r ) 11.在OAB ∆中,=,=,M 为OB 的中点,N 为AB交点,则=AP ( )A .3132-B .3132+-C .3231-D .3231+-12.在同一个平面上有ABC ∆及一点O满足关系式:222222OA BC OB CA OC AB +=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则O为ABC ∆的( ) A .外心 B .垂心 C .重心 D .内心二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中横线上.A13、已知),3(λ=a ρ,)3,4(-=b ρ,若a ρ与b ρ的夹角为锐角,则λ的取值范围为________ 14.在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的得边长,若B aC B A c b a sin 3)sin sin )(sin (=-+++,则=C .15.在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则a =______.16.在△ABC 中,BC 边上的中线长为m a ,用三边a 、b 、c 表示m a ,其公式是__________. 17.若 a 、b 、c 为△ABC 的三边,其面积S △ABC =123,bc =48,b -c =2,则a=_________. 三.解答题(共32分)18.(10分)已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3, 且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为θ.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最值及相应的θ的值. 19.(10分) 某市现有自市中心O 通往正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A 、B 两点,使环城公路在A 、B 间为直线段,要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ,且使A 、B 间距离|AB |最小,请你确定A 、B 两点的最佳位置.20.(12分)已知向量a →=(cos 32x ,sin 32x ),b →=(cos x 2,-sin x 2),其中x ∈[0,π2](1)求a →·b →及|a →+b →|;(2)若f (x )=a →·b →-2λ|a →+b →|的最小值为-32,求λ的值A O B30°[参考答案]13、4λ<且94λ≠-14.60ο15.605 16.222)(221a c b -+17.a =213或237.18.解:(Ⅰ),6cos ||||=⋅=⋅θBC AB BC AB ① ,sin ||||21θS ⋅=② ②÷①得:,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3,得,3tan 33≤≤θ-----2分 ,1tan 33≤≤θ ∴ ]4,6[ππθ∈.--------------------------------------5分 (Ⅱ)θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f =2θθ2cos 2sin ++=)42sin(22πθ++.]43,127[42πππθ∈+.--------------------------------8分当6,12742πθππθ==+时,2325)(max +=θf ; 当4,4342πθππθ==+时,3)(min =θf .------------------------------------------10分19.作OC ⊥AB 于C ,并设∠AOC =α,于是|AB |=|AC |+|BC |=10tan α+10tan (120°-α)=10[sin αcos α+sin (120°-α)cos (120°-α)]=10sin 120°cos αcos (120°-α)=5312[cos 120°+cos (2α-120°)] =103cos (2α-120°)-12当cos (2α-120°)=1,即2α-120°=0°,也即α=60°时,|AB |最小,可求得,此时|OA |=|OB |=20(km )满足条件.20、(1)a →·b →=cos 32xcos x 2-sin 32xsin x2=cos 2x ,|a →+b →|=2+2cos 2x =2cosx(2)f (x )=a →·b →-2λ|a →+b →|=cos 2x -4λcosx =2cos 2x -1-4λcosx =2(cosx -λ)2-2λ2-1注意到x ∈[0,π2],故cosx ∈[0,1],若λ<0,当cosx =0时f (x )取最小值-1。
《平面向量》单元测试卷(解析版)

b
1,
a
b
1,则 a 与 b
的夹角为(
)
A.
6
B.
4
C.
3
D. 2 3
【答案】D
【解析】
由 a 2,0 得: a 2
cos
a,
b
aa
b b
1 2
a,
b
0,
a,
b
2
3
本题正确选项: D
5.(2018·浙江高一期末)已知
M(3,-2),N(-5,-1),且
MP
1
MN
,则
OB
2,
OC
10
,
OA
与
OB
的夹角为
120
,
OA
与
OC
的夹角为
60
,
用 OA 与 OB 表示 OC .
【答案】 OC 10OA 5OB
【解析】
以
O
为坐标原点,向量
OA
所在直线为
x
轴,建立平面直角坐标系如下图所示.则
OA
1,
0
,
OB
1,
3 , OC
5, 5
3
,设 OC OA OB ,则 5,5
3
,
3
5 5
3
3
,
解得:
10
,
5
OC
10OA
5OB
,
故得解.
r
18.已知向量 a 2,3 , b 5, 6 ,求:
(1) a b 的值;
(2) a b 的值;
(3) a 与 b 的夹角.
【答案】(1) 8 (2) 58 (3) arccos 8 793 793
江苏省淮安中学高一数学《平面向量》单元测试(1)

选择题江苏省淮安中学高一数学《平面向量》单元测试(1)1、下列命题:(1)方向不同的两个向量不可能是共线向量;(2)长度相等的向量是相等向量;(3)平行且模相等的两个向量是相等向量;(4)若0a ≠r r 且2a b =r r ,则,a b r r 共线,其中正确命题的个数是 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、在△ABC 中,,BC a CA b ==u u u r r r ,则AB u u u r等于 ( )A 、a b +r rB 、()a b -+r rC 、a b -r rD 、b a -r r3、P 、Q 分别为四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点,,BC a DA b ==u u u r r u u u r r,则PQ =u u u r( )A 、()12a b +r r B 、()12a b -+r r C 、()12a b -r r D 、()12a b --r r4、某人先按位移向量a r :“向东走3km ”,接着再按位移向量b r :“向北走3km ”,则a b+r r表示 ( ) A 、向东南走32km B 、向东北走32km C 、向东南走33km D 、向东北走33km 5、已知非零向量a r 、b r 满足a b a b +=-r r r r,则a r 、b r 满足 ( )A 、方向相反B 、方向相同C 、模相等D 、互相垂直6、若M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与AB u u u r共线的是 ( )A 、AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r B 、MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r C 、AM BM MC ++u u u u r u u u u r u u u u rD 、3AM AC +u u u u r u u u r 7、已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C ),则AP u u u r等于( )A 、()(),0,1AB AD λλ+∈u u u r u u u r B 、()2,2AB BC λλ⎛+∈ ⎝⎭u u u r u u u rC 、()(),0,1AB AD λλ-∈u u u r u u u r D 、()2,AB BC λλ⎛-∈ ⎝⎭u u u r u u u r8、在四边形ABCD 中,2,4,53,AB a b BC a b CD a b =+=--=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r其中,a b r r 不共线,则四边形ABCD 为 ( )A 、平行四边形B 、矩形C 、梯形D 、菱形9、设,a AB CD BC DA b =+++r u u u r u u u r u u u r u u u r r为任一非零向量,则下列结论中正确的有 ( )①//a b r r ;②a b a +=r r r ;③a b b +=r r r ;④a b a b +<+r r r r ;⑤a b a b +=+r r r rA 、①②B 、①③C 、①③⑤D 、③④⑤10、D 是△ABC 中BC 边上一点,且13BD BC =,设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ,则AD u u u r 等于( )A 、()13a b -r rB 、()13b a -r rC 、()123a b +r rD 、()123a b -r r11、已知12,e e u r u r不共线,则下列各组,a b r r 中,共线的有 ( )①123,6a e b e ==-r u r r u r ; ②2112,22a e e b e e =-=-r u r u r r u r u r ;③1212116,22a e eb e e =-=-r u r u r r u r u r; ④1212,33a e e b e e =-=+r u r u r r u r u rA 、②B 、②③④C 、①③④D 、①②③④12、下列五个命题:①单位向量都相等;②若AB CD =u u u r u u u r ,则AB CD =u u u r u u u r且AB //CD ;③若四边形ABCD 为平行四边形,则AB CD =u u u r u u u r ;④若,,a b b c ==r r r r 则a c =r r ;⑤若//,//,//,a b b c c d r r r r r u r则//a d r u r其中真命题的个数为 ( )A 、0B 、1C 、2D 、3 二、填空题13、化简OP QP PS SP -++=u u u r u u u r u u u r u u u r14、若两向量,a b r r 满足a b a b +=+r r r r,则,a b r r 应满足的条件为15、设A 、B 为两定点,且AP t AB =u u u r u u u r ,t R ∈,用,OA OB u u u r u u u r表示OP u u u r ,则有OP u u u r = 16、已知正方形ABCD 的边长为1,设,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r则向量23a b c ++r r r 的模等于三、解答题17、如图,P 、Q 是△ABC 边BC 上两点,且BP QC =,求证:AB AC AP AQ +=+u u u r u u u r u u u r u u u r。
高中数学 第六章 平面向量初步单元测试卷知识基础练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修

第六章单元测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.如图,在⊙O 中,向量OB →,OC →,AO →是( ) A .有相同起点的向量 B .共线向量 C .模相等的向量 D .相等的向量2.若O(0,0),B(-1,3),且OA →=3OB →,则点A 的坐标为( ) A .(3,9) B .(-3,9)C .(-3,3)D .(3,-3)3.点O 为正六边形ABCDEF 的中心,则可作为基底的一对向量是( ) A .OA →,BC →B .OA →,CD → C .AB →,CF →D .AB →,DE →4.如图,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC ,则OA →+BC →+AB →等于( )A .CD →B .OC → C .DA →D .CO →5.若A(x ,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x 的值为( ) A .-3 B .-1 C .1 D .36.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa +b 与c 共线,则实数λ等于( )A .-2B .-1C .1D .27.O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →=OA →+λ(AB →+AC →),λ∈(0,+∞),则P 的轨迹一定过△ABC 的( )A .外心B .垂心C .内心D .重心8.在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN →=12NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=mAB →+29AC →,则实数m 的值为( )A.19B.13C .1D .3 二、多项选择题(本题共4小题,毎小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列命题不正确的是( ) A .单位向量都相等B .若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量C .|a +b |=|a -b |,则a ⊥bD .若a 与b 是单位向量,则|a |=|b |10.已知a =(1,2),b =(3,4),若a +k b 与a -k b 互相垂直,则实数k =( ) A. 5 B.55 C .- 5 D .-5511.在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =2CD ,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,AC 与BD 交于M ,设AB →=a ,AD →=b ,则下列结论正确的是( )A.AC →=12a +bB.BC →=-12a +bC.BM →=-13a +23bD.EF →=-14a +b12.如果e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( ) A .λe 1+μe 2(λ,μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B .对于平面α内任一向量a ,使a =λe 1+μe 2的实数对(λ,μ)有无穷多个C .若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1+μ1e 2=λ(λ2e 1+μ2e 2)D .若实数λ,μ使得λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,直线l 上依次有五个点A ,B ,C ,D ,E ,满足AB =BC =CD =DE ,如果把向量AB →作为单位向量e ,那么直线上向量DA →+CE →=________.(结果用单位向量e 表示)14.已知向量a =(-1,2),b =(λ,-1),则|a |=________,若a ∥b ,则λ=________.(本题第一空2分,第二空3分)15.已知直角坐标平面内的两个向量a =(1,3),b =(m,2m -3),使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c =λa +b ,则m 的取值X 围是________.16.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →=mAM →,AC →=nAN →,则m +n 的值为________.四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知点A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c . (1)求3a +b ;(2)当向量3a +b 与b +k c 平行时,求k 的值.18.(12分)如图所示,已知在△OAB 中,点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点,点D 是把OB →分成2:1的一个内分点,DC 和OA 交于点E ,设OA →=a ,OB →=b .(1)用a 和b 表示向量OC →,DC →; (2)若OE →=λOA →,某某数λ的值.19.(12分)已知点A (-1,2),B (2,8)以及AC →=13AB →,DA →=-13BA →,求点C ,D 的坐标和CD→的坐标.20.(12分)已知两个非零向量a 和b 不共线,OA →=2a -3b ,OB →=a +2b ,OC →=k a +12b . (1)若2OA →-3OB →+OC →=0,求k 的值; (2)若A ,B ,C 三点共线,求k 的值.21.(12分)已知O ,A ,B 是平面上不共线的三点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →+CB →=0,(1)用OA →,OB →表示OC →;(2)若点D 是OB 的中点,证明四边形OCAD 是梯形.22.(12分)平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),某某数k ;(3)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b ),且|d -c |=1,求向量d .第六章单元测试卷1.解析:由题图可知OB →,OC →,AO →是模相等的向量,其模均等于圆的半径,故选C. 答案:C2.解析:OA →=3(-1,3)=(-3,9),根据以原点出发的向量终点坐标等于向量坐标,所以点A 的坐标为(-3,9),故选B.答案:B3.解析:由题图可知,OA →与BC →,AB →与CF →,AB →与DE →共线,不能作为基底向量,OA →与CD →不共线,可作为基底向量.答案:B4.解析:OA →+BC →+AB →=OA →+AB →+BC →=OB →+BC →=OC →. 答案:B5.解析:AB →∥BC →,(1-x,4)∥(1,2),2(1-x )=4,x =-1,故选B. 答案:B6.解析:由题中所给图像可得2a +b =c ,又λa +b 与c 共线,所以c =k (λa +b ),所以λ=2.故选D.答案:D7.解析:令D 为线段BC 的中点,则OP →=OA →+λ(AB →+AC →)=OA →+2λAD →,则AP →=2λAD →,故A ,D ,P 三点共线,则点P 的轨迹过△ABC 的重心.答案:D 8.解析:如图,因为AN →=12NC →,所以AN →=13AC →,AP →=mAB →+29AC →=mAB →+23AN →,因为B ,P ,N 三点共线, 所以m +23=1,所以m =13,故选B. 答案:B9.解析:单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b =0时,a 与c 可以为任意向量;|a +b |=|a -b |,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.故选AB.答案:AB10.解析:a 2=5,b 2=25,且a +k b 与a -k b 垂直,∴(a +k b )(a -k b )=a 2-k 2b 2=5-25k 2=0,解得k =±55.故选BD.答案:BD11.解析:由题意可得,AC →=AD →+DC →=b +12a ,故A 正确;BC →=BA →+AC →=-a +b +12a =b -12a ,故B 正确;BM →=BA →+AM →=-a +23AC →=-a +23b +a ×13=23b -23a ,故C 错误;EF →=EA →+AD →+DF →=-12a +b +14a =b -14a ,故D 正确.答案:ABD12.解析:由平面向量基本定理可知,A ,D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C ,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e 1+μ1e 2为非零向量,而λ2e 1+μ2e 2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.故选B ,C.答案:BC13.解析:由题意得,DA =3AB ,CE =2AB ,可得DA →=-3AB →,CE →=2AB →,故可得DA →+CE →=-3AB →+2AB →=-AB →=-e ,故直线上向量DA →+CE →的坐标为-1.答案:-114.解析:向量a =(-1,2),b =(λ,-1),则|a |=(-1)2+22=5;当a ∥b 时,(-1)×(-1)-2λ=0,解得λ=12.故答案为:5,12.答案:51215.解析:根据平面向量基本定理知,a 与b 不共线,即2m -3-3m ≠0,解得m ≠-3.所以m 的取值X 围是{m ∈R |且m ≠-3}. 答案:{m |m ∈R 且m ≠-3}16.解析:连接AO (图略),∵O 是BC 的中点, ∴AO →=12(AB →+AC →).又∵AB →=mAM →,AC →=nAN →,∴AO →=m 2AM →+n 2AN →.又∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2+n2=1,则m +n =2.答案:217.解析:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b =3(5,-5)+(-6,-3)=(9,-18). (2)b +k c =(-6+k ,-3+8k ), ∵3a +b 与b +k c 平行,∴9×(-3+8k )-(-18)×(-6+k )=0, ∴k =32.18.解析:(1)依题意,点A 是BC 中点,∴2OA →=OB →+OC →, 即OC →=2OA →-OB →=2a -b ,DC →=OC →-OD →=OC →-23OB →=2a -b -23b =2a -53b .(2)若OE →=λOA →,则CE →=OE →-OC →=λa -(2a -b )=(λ-2)a +b . ∵CE →与DC →共线.∴存在实数k ,使CE →=kDC →. ∴(λ-2)a +b =k ⎝⎛⎭⎫2a -53b ,解得λ=45. 19.解析:设点C ,D 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 得AC →=(x 1+1,y 1-2),AB →=(3,6), DA →=(-1-x 2,2-y 2),BA →=(-3,-6). 因为AC →=13AB →,DA →=-13BA →,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+1=1,y 1-2=2和⎩⎪⎨⎪⎧-1-x 2=1,2-y 2=2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1=0,y 1=4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2=-2,y 2=0,所以点C ,D 的坐标分别是(0,4),(-2,0), 从而CD →=(-2,-4).20.解析:(1)∵2OA →-3OB →+OC →=0,∴2(2a -3b )-3(a +2b )+k a +12b =(1+k )a =0,∵a ≠0,∴k +1=0, ∴k =-1.(2)∵A ,B ,C 三点共线,∴BC →=λAB →, ∴OC →-OB →=λ(OB →-OA →), ∴(k -1)a +10b =-λa +5λb , ∵a ,b 不共线,∴由平面向量基本定理得,⎩⎪⎨⎪⎧k -1=-λ,10=5λ,解得k =-1.21.解析:(1)因为2AC →+CB →=0, 所以2(OC →-OA →)+(OB →-OC →)=0, 2OC →-2OA →+OB →-OC →=0, 所以OC →=2OA →-OB →.(2)证明:如图,DA →=DO →+OA →=-12OB →+OA →=12(2OA →-OB →).故DA →=12OC →.故四边形OCAD 为梯形. 22.解析:(1)∵a =m b +n c , ∴(3,2)=(-m +4n,2m +n ),∴⎩⎪⎨⎪⎧-m +4n =3,2m +n =2,∴⎩⎨⎧m =59,n =89.(2)∵(a +k c )∥(2b -a ),又a +k c =(3+4k,2+k ),2b -a =(-5,2), ∴2(3+4k )+5(2+k )=0,即k =-1613.(3)∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4), 又(d -c )∥(a +b ),|d -c |=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=1,解得⎩⎨⎧x =4+55,y =1+255或⎩⎨⎧x =4-55y =1-255.所以d =⎝⎛⎭⎫4+55,1+255或d =⎝⎛⎭⎫4-55,1-255.。
高一数学平面向量单元测试题

智才艺州攀枝花市创界学校高一数学平面向量单元测试题一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题4分,一共48分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直,那么实数λ的值是---------〔〕A .;23-B .;23C .;23±D .;1 2.A 、B 、C 三点一共线,O 是这条直线外一点,设,a OA =,b OB =,c OC =且存在实数m ,使30ma b c -+=成立,那么点A 分BC 的比为------〔〕A .31-B .21-C .31D .21 3.向量(2,2),(4,1)OA OB ==,在x 轴上有一点P ,使AP BP 有最小值,那么点P 的坐标为〔〕(3,0)A -B .(2,0)C .(3,0)D .(4,0)4.向量(6,4),(0,2),,a b OC a b λ===+假设点C 在函数sin12y x π=的图象上,那么实数λ的值为〔〕A52B 32C 52-D 32- 5.在△ABC 中,假设a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos 2B +cosB +cos (A -C )=1,那么 ()A 、a 、b 、c 等比B 、a 、b 、c 等差C 、a 、c 、b 等比D 、a 、c 、b 等差6.函数y =-3cos (2x +)+4按向量平移后所得图象表示的函数y =f (x )是奇函数,那么向量可以是()A 、(-,-4)B 、(-,-4)C 、(,4)D 、(-,4)7.在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ccb A 22cos2+=,那么ABC 的形状为〔〕 A .正三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形8.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,假设a +c =2b ,那么cot =()A 、-2B 、-3C 、2D 、39.O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=,那么ABC ∆的形状是()A 正三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 斜三角形10.向量a ≠e ,|e |=1,对任意t ∈R ,恒有|a -t e |≥|a -e |,那么()(A )a ⊥e (B )a ⊥(a -e )(C )e ⊥(a -e )(D )(a +e )⊥(a -e ) 11.在OAB ∆中,a OA=,b OB =,M 为OB 的中点,N 为AB 的中点,P 为ON么=AP 〔〕A .b a 3132-B .b a 3132+-C .b a 3231-D .b a 3231+-12.在同一个平面上有ABC ∆及一点O满足关系式:222222OA BC OB CA OC AB +=+=+,那么O为ABC ∆的〔〕A .外心B .垂心C .重心D .内心二、填空题:本大题一一共5小题,每一小题4分,总分值是20分.把答案填在题中横线上.13、),3(λ=a ,)3,4(-=b ,假设a 与b的夹角为锐角,那么λ的取值范围为________14.在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的得边长,假设B aC B A c b a sin 3)sin sin )(sin (=-+++,那么=C .15.在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,那么a =______.16.在△ABC 中,BC 边上的中线长为m a ,用三边a 、b 、c 表示m a ,其公式是__________. 17.假设a 、b 、c 为△ABC 的三边,其面积S △ABC =123,bc =48,b -c =2,那么a=_________. 三.解答题〔一共32分〕18.〔10分〕△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3,且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为θ.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最值及相应的θ的值.19.(10分)某现有自中心O 通往正向和北偏西30°方向的两条主要公路,为理解决该交通拥挤问题,政府决定修建一条环城公路,分别在正向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A 、B 两点,使环城公路在A 、AB 间为直线段,要求AB 路段与中心O 的间隔为10km ,且使A 、B 间间隔|AB |最小,请你确定A 、B 两点的最正确位置.20.(12分)向量=(cosx ,sinx ),=(cos ,-sin ),其中x ∈[0,] (1)求·及|+|;(2)假设f (x )=·-2λ|+|的最小值为-,求λ的值[参考答案]13、4λ<且94λ≠-14.60ο15.60516.222)(221a c b -+17.a =213或者237. 18.解:〔Ⅰ〕,6cos ||||=⋅=⋅θBC AB BC AB ①,sin ||||21θBC AB S ⋅=② ②÷①得:,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3,得,3tan 33≤≤θ-----2分 ,1tan 33≤≤θ∴]4,6[ππθ∈.--------------------------------------5分 〔Ⅱ〕θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f =2θθ2cos 2sin ++=)42sin(22πθ++.]43,127[42πππθ∈+.--------------------------------8分 当6,12742πθππθ==+时,2325)(max +=θf ;当4,4342πθππθ==+时,3)(min =θf .------------------------------------------10分 19.作OC ⊥AB 于C ,并设∠AOC =α,于是|AB |=|AC |+|BC |=10tan α+10tan (120°-α) =10[]===当cos (2α-120°)=1,即2α-120°=0°,也即α=60°时, |AB |最小,可求得,此时|OA |=|OB |=20(km )满足条件. 20、(1)·=cosxcos -sinxsin =cos 2x ,|+|==2cosx(2)f (x )=·-2λ|+|=cos 2x -4λcosx =2cos 2x -1-4λcosx =2(cosx -λ)2-2λ2-1AOB30° AOB30°Cα注意到x∈[0,],故cosx∈[0,1],假设λ<0,当cosx=0时f(x)取最小值-1。
第六章平面向量初步单元测试题(新高考模式)— 高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
平面向量初步一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a ,b 是两个非零向量,AO →,BO →分别是与a ,b 同方向的单位向量,则以下各式正确的是( )A .AO →=BO →B .AO →=BO →或AO →=OB →C .AO →=OB →D .|AO →|=|BO →|2.已知点A (2,3),B (-2,6),C (6,6),D (10,3),则以ABCD 为顶点的四边形是( )A .梯形B .邻边不相等的平行四边形C .菱形D .两组对边均不平行的四边形3.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则|a +b|等于( )A .(0,6)B .6C . 6D .(6,-2)4.已知向量a =(1,-2),b =(m,4),且a ∥b ,那么2a -b =( ) A .(4,0) B .(0,4) C .(4,-8)D .(-4,8)5.在重600 N 的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A .300 3 N,300 3 NB .150 N,150 NC .300 3 N,300 ND .300 N,300 N6.已知e 1≠0,λ∈R ,a =e 1+λe 2,b =2e 1,若a ∥b ,则( ) A .λ=0 B .e 2=0 C .e 1∥e 2D .e 1∥e 2或λ=07.如图,已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →=a ,BE→=b ,则BC →等于( )A .43a +23bB .23a +43bC .23a -43bD .-23a +43b8.设0≤θ<2π,已知两个向量OP 1→=(cos θ,sin θ),OP 2→=(2+sin θ,2-cos θ),则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A . 2B . 3C .3 2D .2 3二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中正确的是( )A .AB →=DC → B .AD →+AB →=AC → C .AB →-AD →=BD →D .AD →+CB →=010.已知点P 为△ABC 所在平面内一点,且P A →+2PB →+3PC →=0,如果E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,则下列结论中正确的是( )A .向量P A →与PC →可能平行 B .向量P A →与PC →不可能垂直 C .点P 在线段EF 上D .PE ∶PF =2∶111.下列命题正确的是( ) A .若|a |=|b |,则a =bB .若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C .若a =b ,b =c ,则a =cD .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c12.设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A .若AM →=12AB →+12AC →,则点M 是边BC 的中点 B .若AM →=2AB →-AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →=-BM →-CM →,则点M 是△ABC 的重心D .若AM →=xAB →+yAC →,且x +y =12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________.14.下列命题中正确命题的个数为________个. ①在△ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0;②若AB →+BC →+CA →=0,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点; ③若a ,b 均为非零向量,则|a +b|与|a|+|b|一定相等.15.在直角坐标系xOy 中,已知点A (3,3),B (5,1),P (2,1),M 是坐标平面内的一点.(1)若四边形APBM 是平行四边形,则点M 的坐标为________;(2)若P A →+PB →=2PM →,则点M 的坐标为________.(本题第一空2分,第二空3分)16.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →=xAB →+(1-x )AC →,则x 的取值范围是________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知P 是△ABC 内一点,且AP →+2BP →+3CP →=0,设Q 为CP 的延长线与AB 的交点,令CP →=p ,用p 表示CQ →.18.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点M 是边BC 的中点,点N 在边AC 上,且AN =2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP ∶PM 的值.19.(本小题满分12分)设OA →=(2,-1),OB →=(3,0),OC →=(m,3). (1)当m =8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件.20.(本小题满分12分)设e 1,e 2是正交单位向量,如果OA →=2e 1+m e 2,OB →=n e 1-e 2,OC →=5e 1-e 2,若A ,B ,C 三点在一条直线上,且m =2n ,求m ,n 的值.21.(本小题满分12分)已知e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量,AB →=2e 1+e 2,BE →=-e 1+λe 2,EC →=-2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e 1=(2,1),e 2=(2,-2),求BC →的坐标;(3)已知点D (3,5),在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.22.(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ,BC →=2AD →,且AB =CD =DA =2,AD →=a ,BA →=b ,M 是CD 的中点.(1)试用a ,b 表示BM →;(2)AB 上有点P ,PC 和BM 的交点Q ,PQ ∶QC =1∶2,求AP ∶PB 和BQ ∶QM .一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a ,b 是两个非零向量,AO →,BO →分别是与a ,b 同方向的单位向量,则以下各式正确的是( )A .AO →=BO →B .AO →=BO →或AO →=OB →C .AO →=OB →D .|AO →|=|BO →|D [因为a 与b 方向关系不确定且a ≠0,b ≠0,又AO →与a 同方向,BO →与b 同方向,所以AO →与BO →方向关系不确定,所以A ,B ,C 项均不对.又AO →与BO →均为单位向量,所以|AO →|=|BO →|=1.]2.已知点A (2,3),B (-2,6),C (6,6),D (10,3),则以ABCD 为顶点的四边形是( )A .梯形B .邻边不相等的平行四边形C .菱形D .两组对边均不平行的四边形B [因为AD →=(8,0),BC →=(8,0),所以AD →=BC →,因为BA →=(4,-3),所以|BA →|=5,而|BC →|=8,故为邻边不相等的平行四边形.]3.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则|a +b|等于( )A .(0,6)B .6C . 6D .(6,-2)B [因为|e 1|=|e 2|=1,e 1与e 2垂直,设e 1=(1,0),e 2=(0,1),则a =(3,2),b =(-3,4).所以|a +b |=(3-3)2+(2+4)2=6.]4.已知向量a =(1,-2),b =(m,4),且a ∥b ,那么2a -b =( )A .(4,0)B .(0,4)C .(4,-8)D .(-4,8)C [由a ∥b 知4+2m =0,∴m =-2,2a -b =(2,-4)-(-2,4)=(4,-8).故选C .]5.在重600 N 的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A .300 3 N,300 3 NB .150 N,150 NC .300 3 N,300 ND .300 N,300 NC [如图,作矩形OACB ,使∠AOC =30°,∠BOC =60°. 在△OAC 中,∠ACO =∠BOC =60°,∠OAC =90°,所以|OA →|=|OC →|cos 30°=300 3 N ,|AC →|=|OC →|sin 30°=300 N ,|OB →|=|AC →|=300 N .故选C .]6.已知e 1≠0,λ∈R ,a =e 1+λe 2,b =2e 1,若a ∥b ,则( ) A .λ=0 B .e 2=0 C .e 1∥e 2D .e 1∥e 2或λ=0D [∵a ∥b ,∴存在实数k ,使得a =k b 成立,∴e 1+λe 2=k ·2e 1,∵e 1≠0,∴e 1∥e 2,或λ=0,故选D .]7.如图,已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →=a ,BE →=b ,则BC →等于( )A .43a +23bB .23a +43bC .23a -43bD .-23a +43bB [BC →=2BD →=2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →+13AD →=43BE →+23AD →=23a +43b .]8.设0≤θ<2π,已知两个向量OP 1→=(cos θ,sin θ),OP 2→=(2+sin θ,2-cos θ),则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A . 2B . 3C .3 2D .2 3C [∵P 1P 2→=OP 2→-OP 1→=(2+sin θ-cos θ,2-cos θ-sin θ),∴|P 1P 2→|=(2+sin θ-cos θ)2+(2-cos θ-sin θ)2 =10-8cos θ≤3 2.]二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中正确的是( )A .AB →=DC → B .AD →+AB →=AC → C .AB →-AD →=BD →D .AD →+CB →=0ABD [在平行四边形ABCD 中,根据向量的减法法则知AB →-AD →=DB →,所以结论中错误的是C .A 、B 、D 均正确.]10.已知点P 为△ABC 所在平面内一点,且P A →+2PB →+3PC →=0,如果E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,则下列结论中正确的是( )A .向量P A →与PC →可能平行 B .向量P A →与PC →不可能垂直 C .点P 在线段EF 上D .PE ∶PF =2∶1CD [由E 为AC 的中点,F 为BC 的中点,可得PE →=12(P A →+PC →),PF →=12(PB →+PC →),P A →+2PB →+3PC →=0,即(P A →+PC →)+2(PB →+PC →)=0,可得PE →+2PF →=0,可得P 在线段EF 上,且PE ∶PF =2∶1,向量P A →与PC →不可能平行,可能垂直,则CD 正确.AB 错误.]11.下列命题正确的是( ) A .若|a |=|b |,则a =bB .若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C .若a =b ,b =c ,则a =cD .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cBC [A 不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. B 正确,由AB →=DC →得|AB →|=|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,所以四边形ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则AB →∥DC →且方向相同,且|AB →|=|DC →|.因此,AB →=DC →.故“AB →=DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件.C 正确,因为a =b ,所以a ,b 的长度相等且方向相同;又b =c ,则b ,c 的长度相等且方向相同,所以a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .D 不正确,当b =0时不成立.]12.设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A .若AM →=12AB →+12AC →,则点M 是边BC 的中点 B .若AM →=2AB →-AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →=-BM →-CM →,则点M 是△ABC 的重心D .若AM →=xAB →+yAC →,且x +y =12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 ACD [若AM →=12AB →+12AC →,则点M 是边BC 的中点,故A 正确;若AM →=2AB →-AC →,即有AM →-AB →=AB →-AC →,即BM →=CB →, 则点M 在边CB 的延长线上,故B 错误;若AM →=-BM →-CM →,即AM →+BM →+CM →=0,则点M 是△ABC 的重心,故C 正确;若AM →=xAB →+yAC →,且x +y =12,可得2AM →=2xAB →+2yAC →,设AN →=2AM →,由图可得M 为AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12,故D 正确,故选ACD .]三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________.-1 [∵a =(2,-1),b =(-1,m ),∴a +b =(1,m -1). ∵(a +b )∥c ,c =(-1,2),∴2-(-1)·(m -1)=0. ∴m =-1.]14.下列命题中正确命题的个数为________个. ①在△ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0;②若AB →+BC →+CA →=0,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点; ③若a ,b 均为非零向量,则|a +b|与|a|+|b|一定相等. 1 [①真命题;②假命题,当A ,B ,C 三点共线时,也可以有AB →+BC →+CA →=0; ③假命题,只有当a 与b 同向时才相等.]15.在直角坐标系xOy 中,已知点A (3,3),B (5,1),P (2,1),M 是坐标平面内的一点.(1)若四边形APBM 是平行四边形,则点M 的坐标为________;(2)若P A →+PB →=2PM →,则点M 的坐标为________.(本题第一空2分,第二空3分)(1)(6,3) (2)(4,2) [(1)设M (x ,y ),则AP →=(-1,-2),MB →=(5-x,1-y ). 因为四边形APBM 是平行四边形,所以AP →=MB →,所以(-1,-2)=(5-x,1-y ),所以⎩⎨⎧ 5-x =-1,1-y =-2,解得⎩⎨⎧x =6,y =3,所以点M的坐标为(6,3).(2)P A →=(1,2),PB →=(3,0), PM →=(x -2,y -1), 因为P A →+PB →=2PM →,所以(1,2)+(3,0)=2(x -2,y -1), 所以(4,2)=(2(x -2),2(y -1)), 所以⎩⎨⎧ 2(x -2)=4,2(y -1)=2,解得⎩⎨⎧x =4,y =2,所以点M 的坐标为(4,2).]16.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →=xAB →+(1-x )AC →,则x 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0 [设CO →=yBC →, ∵AO →=AC →+CO →=AC →+yBC → =AC →+y (AC →-AB →) =-yAB →+(1+y )AC →.∵BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合), ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13,∵AO →=xAB →+(1-x )AC →, ∴x =-y ,∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0.]四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知P 是△ABC 内一点,且AP →+2BP →+3CP →=0,设Q 为CP 的延长线与AB 的交点,令CP →=p ,用p 表示CQ →.[解] ∵AP →=AQ →+QP →,BP →=BQ →+QP →, ∴(AQ →+QP →)+2(BQ →+QP →)+3CP →=0, 即AQ →+3QP →+2BQ →+3CP →=0.又∵A ,Q ,B 三点共线,C ,P ,Q 三点共线, ∴设AQ →=λBQ →,CP →=μQP →. ∴λBQ →+3QP →+2BQ →+3μQP →=0, ∴(λ+2)BQ →+(3+3μ)QP →=0, 又∵BQ →,QP →为不共线的向量, ∴⎩⎨⎧λ+2=0,3+3μ=0. 解得λ=-2,μ=-1,∴CP →=-QP →=PQ →,故CQ →=CP →+PQ →=2CP →=2p .18.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点M 是边BC 的中点,点N 在边AC 上,且AN =2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP ∶PM 的值.[解] 设BM →=e 1,CN →=e 2,则AM →=AC →+CM →=-3e 2-e 1, BN →=BC →+CN →=2e 1+e 2.∵A ,P ,M 和B ,P ,N 分别共线,∴存在实数λ,μ,使得AP →=λAM →=-λe 1-3λe 2,BP →=μBN →=2μe 1+μe 2.故BA →=BP →-AP →=(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2. 而BA →=BC →+CA →=2e 1+3e 2, 由平面向量基本定理,得⎩⎨⎧λ+2μ=2,3λ+μ=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=45,μ=35.∴AP →=45AM →,∴AP ∶PM =4∶1.19.(本小题满分12分)设OA →=(2,-1),OB →=(3,0),OC →=(m,3). (1)当m =8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件. [解] (1)当m =8时,OC →=(8,3),设OC →=λ1OA →+λ2OB →, ∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1), ∴⎩⎨⎧2λ1+3λ2=8,-λ1=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1=-3,λ2=143,∴OC →=-3OA →+143OB →.(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,则有AB →与AC →不共线, 又AB →=OB →-OA →=(3,0)-(2,-1)=(1,1), AC →=OC →-OA →=(m,3)-(2,-1)=(m -2,4), 则有1×4-(m -2)×1≠0,∴m ≠6.20.(本小题满分12分)设e 1,e 2是正交单位向量,如果OA →=2e 1+m e 2,OB →=n e 1-e 2,OC →=5e 1-e 2,若A ,B ,C 三点在一条直线上,且m =2n ,求m ,n 的值.[解] 以O 为原点,e 1,e 2的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy (图略),则OA →=(2,m ),OB →=(n ,-1),OC →=(5,-1), 所以AC →=(3,-1-m ),BC →=(5-n,0),又因为A ,B ,C 三点在一条直线上,所以AC →∥BC →,所以3×0-(-1-m )(5-n )=0,与m =2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn -5m +n -5=0,m =2n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-12或⎩⎨⎧m =10,n =5.21.(本小题满分12分)已知e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量,AB →=2e 1+e 2,BE →=-e 1+λe 2,EC →=-2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e 1=(2,1),e 2=(2,-2),求BC →的坐标;(3)已知点D (3,5),在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.[解] (1)AE →=AB →+BE →=(2e 1+e 2)+(-e 1+λe 2)=e 1+(1+λ)e 2.因为A ,E ,C 三点共线,所以存在实数k ,使得AE →=kEC →, 即e 1+(1+λ)e 2=k (-2e 1+e 2), 得(1+2k )e 1=(k -1-λ)e 2.因为e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量, 所以⎩⎨⎧1+2k =0,λ=k -1,解得k =-12,λ=-32.(2)BC →=BE →+EC →=-3e 1-12e 2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)因为A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD →=BC →.设A (x ,y ),则AD →=(3-x,5-y ),因为BC →=(-7,-2),所以⎩⎨⎧3-x =-7,5-y =-2,解得⎩⎨⎧x =10,y =7,即点A 的坐标为(10,7).22.(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ,BC →=2AD →,且AB =CD =DA =2,AD →=a ,BA →=b ,M 是CD 的中点.(1)试用a ,b 表示BM →;(2)AB 上有点P ,PC 和BM 的交点Q ,PQ ∶QC =1∶2,求AP ∶PB 和BQ ∶QM . [解] (1)BM →=12(BD →+BC →) =12(BA →+AD →+2AD →)=32a +12b .(2)设BP →=tBA →,则BQ →=BC →+CQ →=BC →+23CP →=2AD →+23(CB →+BP →)=23tBA →+23AD →=23(a +t b ).设BQ →=λBM →=3λ2a +λ2b ,由于BA →,AD →不共线,则有⎩⎪⎨⎪⎧3λ2=23,λ2=23t ,解方程组,得λ=49,t =13.故AP ∶PB =2∶1,BQ ∶QM =4∶5.。
(完整)高一平面向量测试题
高一数学平面向量测试题出题人:宋健民 出题时间:2021年1月14日〔本试卷共20道题,总分150 时间120分钟〕一、选择题〔此题有10个小题,每题5分,共50分〕1.“两个非零向量共线〞是这“两个非零向量方向相同〞的 〔 〕A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件2.如果向量(,1)a n =与(4,)b n =共线 ,且方向相反,那么n 的值为〔 〕A .2±B .2-C .2D .03.向量a 、b 的夹角为60,||3a =,||2b =,假设(35)()a b ma b +⊥-,那么m 的值为〔 〕A .3223B .2342C .2942D .42294.a =(1,-2),b =(1,x),假设a ⊥b ,那么x 等于 〔 〕A .21 B. 21- C. 2 D. -2 5.以下各组向量中,可以作为基底的是 〔 〕 A )1,2(),0,0(21-==e e B )9,6(),6,4(21==e e C .)4,6(),5,2(21-=-=e e )43,21(),3,2(21-=-=e e6.向量a,b 的夹角为 120,且|a|=2,|b|=5,那么〔2a-b 〕·a = 〔 〕A .3 B. 9 C . 12 D. 137.点O 为三角形ABC 所在平面内一点,假设0=++OC OB OA ,那么点O 是三角形ABC 的( )A .重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心8.设a =(2,-3),b =(x,2x),且3a ·b=4,那么x 等于 〔 〕A .-3 B. 3 C. 31- D. 31 9.BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ,那么x+2y 的值为 〔 〕A .0 B. 2 C. 21 D. -2 10.向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直,且|a|≠0,|b|≠0,那么a 与b 的夹角为〔 〕A .6π B. 4π C. 3π D. 32π 二、填空题〔共4个小题,每题5分,共20分〕11.在三角形ABC 中,点D 是AB =,那么_______=⋅CB CA 12.设21,e e 是两个不共线的向量,那么向量b =)(21R e e ∈+λλ与向量a =212e e -共线的充要条件是_______________13.圆心为O ,半径为4的圆上两弦AB 与CD 垂直相交于点P ,假设以PO 为方向的单位向量为b ,且|PO|=2,那么PD PC PB PA +++=_______________14.O 为原点,有点A 〔d,0〕、B 〔0,d 〕,其中d>0,点P 在线段AB 上,且AB t AP =〔0≤t ≤1〕,那么OP OA ⋅的最大值为______________ 三、解答题15.〔12分〕设a,b 是不共线的两个向量,,2,,2b a CD b a BC kb a AB -=+=+=假设A 、B 、C 三点共线,求k 的值.16.〔12分〕设向量a ,b 满足|a|=|b |=1及|3a-2b|=3,求|3a+b |的值17.〔14分〕|a|=2,|b|=3,a 与b 夹角为 45,求使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角时,λ的取值范围18.〔14分〕向量a =(θθcos ,sin )〔R ∈θ〕,b =(3,3)〔1〕当θ为何值时,向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底〔2〕求|a -b |的取值范围18.(cos ,sin )a x x =,(sin 2,1cos2)b x x =-,(0,1)c =,(0,)x π∈⑴向量a 、b 是否共线?请说明理由.⑵求函数()||()f x b a b c =-+的最大值.20.向量a 、b 、c 、d 及实数x 、y 满足||||1a b ==,(3)c a x b =+-,d ya xb =-+假设a b ⊥,c d ⊥且||10c ≤.⑴求y 关于x 的函数关系式()y f x =及其定义域;⑵假设[1,2]x ∈时,不等式()16f x mx ≥-恒成立,求实数m 的取值范围.附加题〔可不做〕1.点P 分211P P 所成的比为-3,那么点1P分P P 2所成比为 〔 〕 A .34- B. 32- C. 21- D. 23- 2.点〔2,-1〕按向量a 平移后得〔-2,1〕,它把点〔-2,1〕平移到 〔 〕A .(2,-1) B. (-2,1) C. (6,-3) D. (-6,3))。
高一数学平面向量单元测试题2
一、选择题1.下列命题中正确的是( )A .OA OB AB -= B .0AB BA +=C .00AB ⋅=D .AB BC CD AD ++=2.设点(2,0)A ,(4,2)B ,若点P 在直线AB 上,且AB =2AP ,则点P 的坐标为( )A .(3,1)B .(1,1)-C .(3,1)或(1,1)-D .无数多个 3.若平面向量与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180,且53||=b ,则=( )A .)6,3(-B .)6,3(-C .)3,6(-D .)3,6(-4.向量(2,3)a =,(1,2)b =-,若ma b +与2a b -平行,则m 等于A .2-B .2C .21D .12- 5.若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥,(2)b a b -⊥ ,则a 与b 的夹角是( ) A .6π B .3π C .32π D .65π 6.设3(,sin )2a α=,1(cos ,)3b α=,且//a b ,则锐角α为( ) A .030 B .060 C .075 D .045二、填空题1.若||1,||2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与b 的夹角为 .2.已知向量(1,2)a →=,(2,3)b →=-,(4,1)c →=,若用→a 和→b 表示→c ,则→c =____。
3.若1a =,2b =,与的夹角为060,若(35)a b +⊥()ma b -,则m 的值为 . 4.若菱形ABCD 的边长为2,则AB CB CD -+=__________。
5.若→a =)3,2(,→b =)7,4(-,则→a 在→b 上的投影为________________。
三、解答题1.求与向量(1,2)a =,(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标.2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.3.设非零向量,,,a b c d ,满足()()d a c b a b c =-,求证:a d ⊥4.已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,其中0αβπ<<<.(1)求证:a b + 与a b -互相垂直;(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等,求βα-的值(k 为非零的常数).参考答案一、选择题起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,OA OB BA -=;,AB BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量,0AB BA +=设(,)P x y ,由AB =2AP 得2AB AP =,或2AB AP =-,(2,2),(2,)AB AP x y ==-,即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ;(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -设(,2),0b ka k k k ==-<,而53||=3,(3,6)k b ==-=- (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-,则121128,2m m m -+=+=- 22222211220,20,,,cos 2a a b a a b b a b a b a b a b aθ-=-====== 0031sin cos ,sin 21,290,4523ααααα⨯==== 二、填空题 1.0120 221()0,0,cos 2a ba ab a a a b a b a b θ-+=+====-,或画图来做 2.(2,1)- 设c xa yb →=+,则(,2)(2,3)(2,23)(4,1)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,1x y x y x y -=+===- 3.238 (35)a b +22()3(53)50ma b ma m a b b -=+--=03(53)2cos 60540,823m m m +-⨯⨯-⨯==4.2 2AB CB CD AB BC CD AC CD AD -+=++=+==5.5 cos 65a b a bθ== 三、解答题1.解:设(,)c x y =,则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩,即22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(,22c=或()22-- 2.证明:记,,AB a AD b ==则,AC a b =+,DB a b =-222222()()22AC DB a b a b a b +=++-=+222222AC DB a b ∴+=+3.证明:[()()]()()()a d a a c b a b c a c a b a b c a =-=-()()()()0a c a b a c a b =-=a d ∴⊥4.(1)证明:222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+-=-=+-+= a b ∴+ 与a b -互相垂直(2)k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++; a k →-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=-- 21k a b k→+=+21a kb k →-=+=cos()0βα-=,2πβα-=…。
蓬安中学高一数学《平面向量》单元测试(二
蓬安中学高一数学《平面向量》单元测试(二)一、选择题: 本大题共12小题,每小题4分,共48分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B2.A3.C4.D5.A6.B7.B8.C9.B10.C11.B12.B二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分。
把答案填在题中横线上。
13.4λ<且94λ≠-14.60ο15.60516.222)(221a c b -+ 17.a =213或237。
三、解答题(共32分)18.解:(Ⅰ),6cos ||||=⋅=⋅θBC AB BC AB ①,sin ||||21θBC AB S ⋅=②②÷①得:,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3,得,3tan 33≤≤θ……2分 ,1tan 33≤≤θ ∴ ]4,6[ππθ∈.……5分 (Ⅱ)θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f =2θθ2cos 2sin ++ =)42sin(22πθ++.]43,127[42πππθ∈+.……8分 当6,12742πθππθ==+时,2325)(max +=θf ; 当4,4342πθππθ==+时,3)(min =θf ……10分 19.作OC ⊥AB 于C ,并设∠AOC =α,于是|AB|=|AC|+|BC|=10tan α+10tan (120°-α)=10[sin αcos α+sin (120°-α)cos (120°-α)]=10sin 120°cos αcos (120°-α)=5312[cos 120°+cos (2α-120°)] =103cos (2α-120°)-12当cos (2α-120°)=1,即2α-120°=0°,也即α=60°时,|AB|最小,可求得,此时|OA|=|OB|=20(km )满足条件。
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高一数学平面向量单元测试卷
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
1、下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A.a=(0,0) , b=(1,2) B. a =(1,-2), b=(-5,7)
C. a =(2,-3), b =(2,-3) D. a =(2,5), b =(21,45)
2、在四边形ABCD中,,,baCDbaBCbaAB3542且ba、不共线,则ABCD为( )
(A)梯形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形
3、设向量2,1a,)1,2(b,则baba等于( )
A、1,1 B、4,4 C、4 D、2,2
4、设cba、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①0)()(baccba;②baba;
③bacacb)()(不与c垂直;④)23()23(baba=2249ba 中真命题有
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ ( )
5、),4,3(),1,2(ba则向量a在向量b方向上的投影为( )
(A)52 (B)2 (C)5 (D)10
6、已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为3,那么向量m=a-4b的模为( )
A
2 B23 C6 D12
7、若的夹角与,则,,bababa721的余弦值为( )
(A)21 (B)21 (C)31 (D)以上都不对
8、ABCD的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是( )
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
9、△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则BCAB的值为( )
(A)19 (B)-19 (C)-18 (D)-14
10、已知向量a、b,且baAB2,baBC65,baCD27,
则一定三点共线的三点是( )
A、A、C、D B、A、B、C C、B、C、D D、A、B、D
11、若baba与,,12的夹角为060,且,,bmadbamc23dc,则m的值是( )
(A)0 (B)1或-6 (C)-1或6 (D)6或-6
12. 若向量),sin,(cos),sin,(cosba则ba与一定满足( )
(A)ba与的夹角等于 (B))(ba⊥)(ba (C)a∥b (D)a⊥b
二、填空题:(本大题共3小题,每小题5分,共15分).
13、在菱形ABCD中,(AB+AD)·(AB-AD)= 。
14、在三角形ABC中,设aAB,bAC,点D在线段BC上,且DCBD3,则AD用b,a表示
为 。
15、下列命题:①a·0=0;②0·a=0;③0-AB=BA;④|a·b|=|a||b|;
⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,c都有(a·b)c=a(b·c);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2
其中正确的是 (把正确的序号都填上)
三、解答题:
16. (12分)已知向量a=(2,1),(1)求与a平行的单位向量的坐标;(2)求与a垂直的单位向量的坐标;
(3)若,52||b且与a的夹角为32,求b。
17.(13分)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时:(1)求 a、b夹角的余弦值
(2)向量ka+b与a-3b垂直? (3) 向量ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
思考题:(20分)点D是△ABC的边BC的中点,E在AC上,且AE=2EC,
AD与BE相交与F,请用向量法说明AF与DF 关系。