抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程典型学案
2.3.1抛物线及其标准方程（一）抛物线的定义：观察实验：（用几何画板画图）点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 的几何条件吗？抛物线定义：平面内到定点F 和定直线l （ ）距离 的点的轨迹叫抛物线。
定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 。
注意：（二）抛物线的标准方程任务一：类比椭圆、双曲线求标准方程的过程，建立适当的坐标系推导抛物线的方程。
（设焦点F 到准线l的距离为p ，即|KF|=p ）任务二：以此类推其它形式的抛物线的标准方程，请填写下表说明：（1）p 的几何意义：（2）焦点位置：(三)典例分析例１：已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程。
图形 标准方程焦点坐标准线方程22y px =(0)p >,02p ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-l FK MN变练：（1）已知抛物线的标准方程是280x y +=，求它的焦点坐标和准线方程。
（2）二次函数214y x =的图像是抛物线吗？若是，指出它的焦点坐标和准线方程。
例2：已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程。
变练：求下列条件的抛物线的标准方程：（1）准线方程是14x =-； （2）焦点到准线的距离是2；（3）抛物线的焦点在x 轴上，且过点(－3,2)；（4）焦点在直线3x-4y-12=0上总结：已知抛物线的标准方程 ⇔ 求其焦点坐标和准线方程 （先定位后定量） （四）练习测评1.双曲线13222=-my x 的左焦点在抛物线mx y 82=的准线上，求实数m2.若动圆与圆1)2(22=+-y x 相外切，又与直线01=+x 相切，求动圆圆心的轨迹方程.3.抛物线x y 42=上的一点M 到焦点的距离为2，则点M 到准线的距离是_______,点M 的坐标是____.变式：已知抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （m,3）到焦点F 的距离为5，求m 、抛物线方程及其准线方程. （五）l M d MF -=的应用 （1）转化MF为l M d -1.已知点P 是抛物线x y 42=上的一动点，F 为焦点，点A （2,1），求PF PA +的最小值.，并且此时点P的坐标.变式。
抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程学案知识目标：1. 能从数学实验中抽象出抛物线的模型并总结出抛物线的定义；2. 会利用坐标法推导抛物线的标准方程；3. 能利用数形结合的思想方法准确得出焦点、准线、方程的对应关系。
过程与方法：掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、分析、计算能力。
情感态度价值观：通过数学抽象、直观想象、数学运算逐渐形成数学核心素养。
重点：抛物线的定义及标准方程。
难点：从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义一、创设情景，引入新课在初中我们已经从函数的角度学习了抛物线，日常生活中也有美丽的抛物线的实例，然后抛出问题，以问题为引领开始教学。
二、新课探究探究一：抛物线定义实验一：学生动手操作实验实验二：学生观察画抛物线的过程（反复演示后），请学生归纳抛物线的定义，并思考抛物线有怎样的几何特征，教师总结。
探究二：求抛物线的标准方程1．学生思考讨论建系的各种形式。
2．学生根据定义求抛物线的标准方程。
3．学生讨论得出抛物线四种形式，完成下表。
1三、例题讲解例1、（1）已知抛物线的标准方程是xy2=6，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y =-x26,求它的焦点坐标和准线方程（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程四、小结1.抛物线的定义。
2.抛物线的标准方程。
五、目标测试、1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=14 -；（3）焦点到准线的距离是2。
2、求下列抛物线的焦点坐标和焦点坐标：（1）y2 = 20x （2）x2=12y2 2六、作业2。
2.4.1抛物线及其标准方程学案
§２．4.1抛物线及其标准方程学习目标掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．学习过程一、新课导学预习１.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的.预习2.定点F到定直线l的距离为.建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：图形标准方程焦点坐标准线方程22y px=,02p⎛⎫⎪⎝⎭2px=-预习３.试一试:写出适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点是(30);F，(2)准线方程是14;x=-(３）焦点到准线的距离是2.二、典型例题例1（１)已知抛物线的标准方程是24y x=，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是(0,1)F-,求它的标准方程．小结：例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为5m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．小结：变式：某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米,一木船宽４米,高2米，载货的木船露在水面上的部分为０.75米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航？例３ 已知点P 是抛物线x y 22=上的一动点,求点P 到点A (0，2）的距离与P 到焦点的距离之和的最小值变式:若将点(0，2)改为点A （３,2),求PF PA +的最小值．1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1）22;x y = （2)220.y x +=2.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是 ． 3.一抛物线焦点在直线042=--y x 上，则抛物线方程为 .4.直线04=-+y ax 与抛物线px y 22=的一个 公共点(1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离 等于 ．5.已知抛物线y x 42=，过焦点F ,倾斜角为4π的直线交抛物线于B A ,两点，则线段AB 的长为（ )A ．８ B.42 C ．6D.32６.以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所 得的线段）为直径的圆与抛物线的准线的位置关 系是( )A.相离B.相切C.相交D.不能确定7.求以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程.8.已知抛物线()022>=p px y 上的一点,M 到定点)4,27(A 和焦点F 的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程9.A 、B 是抛物线()022>=p px y 上的两点,满--足()为原点O OB OA ⊥，求证：A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值.。
学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区 核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程 焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程 思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？ 讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等 焦点 准线 问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ． 课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)． 思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解． 讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110， 准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ； 当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项． 思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值． 讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用 讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)． 练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用 讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上， 得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。
抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程学案教学目标：1、知识与技能：理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。
明确拋物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。
2、过程与方法：熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。
3、情感、态度与价值观：引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识、合作学习的意识，发展数学应用意识，认识数学的应用价值。
重点：抛物线的定义和标准方程．难点：拋物线概念的形成及抛物线标准方程的推导过程。
教学方法：启发引导式。
教学过程：一、创设情景，引入新课在初中我们已经从函数的角度学习了抛物线，今天我们将从曲线和方程的角度继续学习抛物线。
先向学生展示日常生活中抛物线的实例，然后向学生展示抛物线图形的形成过程。
二、新课探究探究一：抛物线定义学生观察画抛物线的过程（反复演示后），请学生归纳抛物线的定义，并思考抛物线有怎样的几何特征，教师总结。
探究二：求抛物线的标准方程1．学生思考讨论建系的各种形式。
2．学生根据定义求抛物线的标准方程。
3．学生讨论得出抛物线四种形式，完成下表。
三、例题讲解例1、（1）已知抛物线的标准方程是xy2=6，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y =-x26,求它的焦点坐标和准线方程（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程练习1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=14 -；（3）焦点到准线的距离是2。
2、求下列抛物线的焦点坐标和焦点坐标：（1）y2 = 20x （2）x2=1 2 y2 2四、小结1.抛物线的定义。
2.抛物线的标准方程。
五、作业。
学案10：2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．新知初探1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做 ．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ． 思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？初试身手1．抛物线x 2＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)D ．(0，－4)2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝184．抛物线y 2＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．规律方法1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．跟踪训练 1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8类型2 抛物线的定义的应用例2 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．规律方法抛物线定义的两种应用1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．类型3 抛物线的实际应用 [探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？例3 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法求抛物线实际应用的五个步骤 1.建立适当的坐标系. 2.设出合适的抛物线标准方程.3.通过计算求出抛物线的标准方程.4.求出需要求出的量.5.还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？课堂小结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．课堂检测1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．参考答案新知初探1．抛物线 焦点 准线思考1：[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 思考2：[提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．初试身手1．【答案】B【解析】抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．2．【答案】C【解析】由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4． 3．【答案】C【解析】由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116．4．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】由y 2＝－12x 知p ＝6，准线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ．(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y ． (3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ．跟踪训练 1．【答案】D类型2 抛物线的定义的应用例2 解：(1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±26． (2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF | ＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5． 此时y P ＝2， 代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y ． 跟踪训练2．(1)【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线，∴其最小值为 |AF |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172． (2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 类型3 抛物线的实际应用 [探究问题][提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．例3 解：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y ．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 跟踪训练3．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25，所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1．28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1．28)，此时B 点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．课堂检测1．【答案】A【解析】∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1．2．【答案】12【解析】将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所以其焦点是⎝⎛⎭⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝⎛⎭⎫14m 2，解得m ＝12． 3．【答案】4【解析】把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．4．解：因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴， 所以焦点A 的坐标为(12,0)或⎝⎛⎭⎫0，－365． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方程为y 2＝48x ； 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725，所以此抛物线方程为x 2＝－1445y ． 综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。
抛物线及其方程学案
2.3.1抛物线及标准方程（1）班别_________姓名_________学号_____成绩___________学习目标：1，理解并掌握抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。
2，明确抛物线标准方程中P 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题。
3，进一步体会坐标法，及数形结合、等价转化、分类讨论思想。
一.情境引入1. 初中学过的二次函数图像2.生活中的抛物线实例（课件展示）：赵州桥,汽车前灯，太阳灶二. 活动探究(一)探究抛物线的定义1，类比联想，提出课题,（1） 复习椭圆、双曲线的第二定义，离心率e 是什么范围？（2） 若离心率e=1会是什么图形呢？怎样验证？动画演示抛物线的形成过程思考：（1）当点N 在直线l 上运动时，总有___________，即动点M 到定点F 的距离和到定直线l 的距离___________（2）动点M 的轨迹是一条___________2， 抛物线的定义（1）.定义:平面内与一个定点F 和一条不经过定点F 的定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的___________，定直线l 叫做抛物线的___________（2）. 定义深化:(1) 定直线l 不经过定点F （若点F 在l 上，点M 的轨迹是什么？）(2) 定点F 到定直线l 的距离记为p （p >0）(二) 探究抛物线的标准方程1. 问题导引：①：求曲线方程的步骤是怎样的？②：比较椭圆与双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线的方程才能更简单？2. 小组合作探究：学生讨论建系方法，教师巡视，总结不同的方案，谁才是最恰当的建系方案呢？请同学自行验证。
请学生就其中之一板演，其余的由学生分组完成 问： 相比之下,那个方程更为简洁? 3，抛物线的标准方程：方程y2=2px 叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是(p/2,0),它的准线方程是x=-p/2.4，深入探索，完善体系一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同探究1：抛物线的开口方向还可能有几种情况？2：抛物线的标准方程还有哪几种形式，它们分别代表哪种开口方向？为什么？填写下表：标准方程的右边所含的变量（x 或y ）及系数的正负与抛物线的焦点位置有什么对应关系？【注意】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出： ①方程的一次项决定焦点的位置。
抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程学案学习目标：知道抛物线的定义，能推导出抛物线的标准方程；能根据条件求出抛物线的标准方程。
学习重点、难点重点：抛物线的定义及标准方程；难点：建立标准方程时坐标系的选取。
学习过程：一、复习回顾回顾椭圆及双曲线的定义和标准方程以及其推导过程：二、新课引入抛物线的定义：问题一：为什么在抛物线的定义中注明lF ，若点在定直线上，动点的轨迹又是什么？问题二：怎样建立坐标系，才能方便我们求出抛物线方程？标准方程的推导过程：问题三：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式，如果改变建系方式，又会得到什么样的方程？问题四：标准方程中P 的几何意义怎样理解？三、精讲点拨例1、已知抛物线的焦点是)0,3(F ，写出它的标准方程和准线方程。
练习题：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是)0,2(F ；（2）准线方程是23-=x例2已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。
练习题：（1）求焦点在x 轴正半轴上，并且经过点)4,2(-M 的抛物线的标准方程。
（2）已知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与y 轴之间的距离为6，求此抛物线的标准方程。
例3已知点M 与点)0,4(F 的距离比它到直线06:=+x l 的距离小2，求点M 的轨迹方程。
练习题：求过点)3,0(F ，且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程。
例4已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点)M到焦点的,3(m距离等于5，求抛物线的方程和m的值小结：当堂检测2=上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标。
1、已知点M在抛物线xy122=和点A(4,0)，点M在此抛物线上运动，求点M与点A的2、已知抛物线xy6距离的最小值，并指出此时点M的坐标。
抛物线的几何性质学案学习目标：能根据抛物线的方程推导它的几何性质；能应用抛物线的性质解决有关问题；会归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质。
《抛物线及其标准方程》教学设计
《抛物线及其标准方程》教学设计抛物线及其标准方程教学设计
简介
在高中数学中，抛物线是一条非常重要的曲线。
本教学设计围绕抛物线及其标准方程展开，旨在帮助学生更好地理解这个概念，掌握相关的基本知识、技能和方法，从而提高其数学素养和解决实际问题的能力。
教学目标
- 了解抛物线的定义、性质和应用；
- 掌握抛物线的标准方程；
- 熟练掌握应用抛物线的基本技能，并能解决实际问题；
- 培养学生的数学思维、逻辑思维和创新思维。
教学内容
教学重点与难点
教学重点
- 抛物线的标准方程；
- 抛物线的应用实例分析；
- 抛物线的推导过程及其应用。
教学难点
- 抛物线的变化特征；
- 抛物线的推导过程及其应用。
教学方法
- 阅读教材和课外资料；
- 讲授与演示相结合，互动性强；
- 鼓励学生多思考、多操作、多实践、多交流；
- 提供练题和例题，检验学生的掌握程度。
教学评估
评估内容：选择题、填空题、计算题和应用题；
评估方式：个人作业、小组讨论、课堂测验和期末考试；
评估标准：考查学生对抛物线及其标准方程的理解和应用能力。
教学资源
- 教材：高中数学教科书；
- 工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算机。
小结
抛物线是数学中一个非常重要的概念，也是高中数学的基础知识之一。
本教学设计通过组织系统的课堂教学活动，有助于学生对抛物线及其标准方程的理解和应用能力的提高，以培养学生的数学思维、逻辑思维和创新思维，从而为其未来的学习和生活奠定坚实的数学基础。
抛物线及其标准方程学案
F F F 学校： 沅陵一中 学科：数学 编写人：李 威 审稿人：课题：抛物线及其标准方程（1）高二 班 组 号 姓名 时间 周 课时一、学习目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程二、学习重点抛物线的定义及标准方程三、学习难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）预习要求：阅读教材64页---66页内容。
自学检测： 1. 叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)， 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线。
2.焦点在x 轴正半轴的抛物线的标准方程为 ,其焦点坐标是 ,它的准线方程是 。
3.抛物线的标准方程2y =2px （p >0）中p 的几何意义： 。
4.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是（ ）A .抛物线B .直线C .抛物线或直线D .不存在5.抛物线y 2＝3x 的焦点坐标是 ，准线方程是 。
合作探究：探究1 设抛物线焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.∙ ∙ ∙x yOFl x y OF l 探究2对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线，你能写出对应的标准方程、焦点坐标、准线方程吗？探究3观察、归纳，寻找四种形式抛物线的异同：相同点不同点图 形标准方程 焦点位置 焦点坐标 准线方程x y O F ly 2=2px（p>0）x 轴正半轴上(2p ,0) x=-2p x yO F l练习反馈: 填 表：典例解析：例1 已知抛物线的标准方程是26y x =, 求它的焦点坐标和准线方程变式1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：⑴ 0522=+x y ； ⑵24x y =；例2 已知抛物线的焦点是F ()3,0，求它的标准方程。
变式2：已知抛物线的焦点F 到准线L 的距离为6。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线及其标准方程
淮阳中学
张勇
教材分析：
抛物线是继椭圆、双曲线之后的又一种圆锥曲线，与前两者不同的是学生在初中已学过
二次函数的图像——抛物线，在物理上也学过抛体运动的轨迹——抛物线。这足以说明抛物
线在实际生活中有着广泛的应用。本节我们将深入研究抛物线的定义与标准方程。
教学目标：
(一)知识目标
1、掌握抛物线的定义。
2、抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线 。
3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程。
(二)能力目标
1、训练学生化简方程的运算能力
2、培养学生数形结合，分类讨论函数与方程的思想
(三)情感目标
1、根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思
想教育。
2、通过本节课的学习，使同学们再次感受到数学与生活的美妙结合，进一步体会大自
然的奥秘。
教学重点：
抛物线的定义、焦点和准线的求法。
抛物线的四种标准方程形式以及p的几何意义。
教学难点：
1、抛物线的画法。
2、抛物线的四种图形下标准方程及焦点和准线的求法。
教具准备：
课件
课 时：1
教学方法：
启发引导式
教学过程：
课题引入： （回忆）椭圆、双曲线的第二定义
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹，当0< e <1时是椭圆，
当 e > 1时是双曲线，那么当 e = 1时是什么曲线呢？
讲授新课：
一、1、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做
抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线
想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系?
点F不在直线L上,即设|FK|=P则P>0
2、复习求曲线方程一般步骤：
（1）、建系、设点 （2）、写出适合条件P的点M的集合
（3）、列方程 （4）、化简 （5）、（证明）
3、求抛物线的方程及推导过程
解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴
设︱KF︱=p则F（0,2p），l：x=-2p。设抛物线上任意一点M（X，Y）定义可知|MF|=|MN|
即：2)2(22pxyPx,化简得y2=2px（p＞0）
二、标准方程
把方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程其中F（2P，0），l：x=-2P
而p的几何意义是:焦点到准线的距离。
由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
1．四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标 标准方程
)0(22p
pxy
0,
2
p
2
p
x
)0(22p
pxy
0,
2
p
2
p
x
)0(22p
pyx
2
,0
p
2
p
y
)0(22p
pyx
2,0
p
2
p
y
例.(1)已知抛物线的标准方程是2y=6x,求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。
解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（23，0）， 准线方程是x=-23
（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2，p=4，所以抛物线的方程是x2=-8y
练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y^2= 20x （2）y=－2 x²
（3）2y^2+5x =0 （4） x² －y =0
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； （2）准线方程 是x =-1/4
（3）焦点到准线的距离是2.
[反思研究]
已知抛物线的标准方程， 求其焦点坐标和准线方程？
先定位，后定量
小结：
1、学习了一个概念——抛物线
2、掌握了两类题型——由焦点、准线确定方程；由方程确定焦点、准线。
3、应用了三种思想——分类讨论、数形结合、函数与方程思想。
课本 P64： 3、4、6
板书设计：
8.5.1抛物线及其标准方程
1.定义
2.标准方程
3.小结
教后感：