人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 知识点总结

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第二十二章 二次函数
一、二次函数的有关概念：
1、二次函数的定义：
一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。
2、二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；
（2） 顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；
（3）两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
二、二次函数2yaxbxc图象的画法
1.基本方法：描点法
注：五点绘图法。利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式
2
()yaxhk

，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左

右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及
0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，
2
0x，

（若与x轴没有

交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的
交点.
三、二次函数的图像和性质
1.二次函数2yaxbxc的性质

（1）. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为
2
424bacbaa

，

．
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当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；
当2bxa时，y有最小值244acba．
（2）. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为
2
424bacbaa

，

．

当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；
当2bxa时，y有最大值244acba．
2.二次函数 2yaxhk 的性质：

四、二次函数图象的平移
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
五、二次函数与一元二次方程：

a
的符号 开口方向 顶点坐标 对

称轴
性质

0a
向上 hk， X=
h

xh
时，y随x的增大而增大；

xh时，y随x的增大而减小；xh
时，y有最小值k．

0a
向下 hk， X=
h

xh
时，y随x的增大而减小；

xh时，y随x的增大而增大；xh
时，y有最大值k．
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一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特
殊情况.
图象与x轴的交点个数：
① 当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其
中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．这两点间的距离
2
21
4bacABxxa



.

② 当0时，图象与x轴只有一个交点；
③ 当0时，图象与x轴没有交点.
1'
当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；
2'
当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．
六、二次函数中的符号问题
1. 二次项系数
a
a决定了抛物线开口大小和方向，a
的正负决定开口方向，a的大小决定开口的

大小．
2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称
轴．
⑴ 在0a的前提下，

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；
当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
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⑵ 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；
当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
总结：“左同右异”
3. 常数项
c
⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标
为正；⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的
纵坐标为0；
⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标
为负．
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
七、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求
二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一
般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
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